Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada no estudo da quadratura de Gauss.

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1 CAÍTULO QUADRATURA DE GAUSS Mutos dos tegras que é eessáro alular o âmbto da aplação do Método dos Elemetos Ftos (MEF) ão são trvas,.e., ou a prmtva da ução tegrada ão exste expltamete, ou é demasado omplada para vablzar a sua utlzação práta. or este motvo é esseal reorrer a téas de tegração uméra, que também reebem a desgação de quadratura. Neste apítulo é desrta e ustada a quadratura de Gauss, por ser a mas utlzada o âmbto do MEF [.].. - Smbologa Apreseta-se em prmero lugar um resumo da smbologa adoptada o estudo da quadratura de Gauss. Tabela. - Smbologa relatva à quadratura de Gauss. I p Coeete de um termo de um polómo Valor exato do tegral Valor do tegral alulado de aordo om a quadratura de Gauss osção de um poto de Gauss ou poto de amostragem eso (weght) assoado a um poto de Gauss ou poto de amostragem Número de potos de Gauss utlzados uma dreção Grau de um polómo. - Itegração de uma ução polomal Na Fgura. eotra-se represetada uma ução polomal de grau, ua expressãogeéraéasegute 7

2 ( x) x x x x x () (x) x - Fg.. - Fução polomal de grau. O tegral (exato) do polómo () o tervalo [-,] é ( x) I d x () I ( x x x x x ) d x () I () ara altar a sua omparação om uma expressão que va ser em seguda apresetada, o segudo membro de () é resrto da segute orma I () Supoha-se agora que se pretede avalar o tegral de (x) por termédo do somatóro de avalações da ução (x) em determados loas, multpladas por adequados pesos. No aso do polómo de grau dado em (), será adate mostrado que, para se obter um resultado exato, se deve avalar a ução (x) em três potos de amostragem e multplar ada um desses valores por pesos (ver a Fgura.). O tegral avalado desta orma é desgado por, sedo 7

3 7 (6) Mas adate será deduzdo o valor adequado para os segutes parâmetros: posção dos potos de amostragem, e em que a ução (x) deve ser avalada (ver a Fgura.); valores dos pesos, e. Uma vez que (x) é um polómo do tpo (), a expressão (6) passa a ser (7) No segudo membro de (7) podem-se oloar em evdêa os oeetes, resultado (8) Neste exemplo, relatvo ao polómo de grau dado em (), pretede-se que a expressão de (8) sea exatamete gual à de I () I () Igualado os segudos membros de () e de (8) resulta

4 76 () Uma vez que os oeetes são arbtráros, para que a gualdade () se verque sempre, é suete que () ara obter os valores de,,,, e, resolve-se o sstema de ses equações ão leares a ses ógtas (). A respetva solução é () O valor exato do tegral de um polómo de grau, o tervalo [-,], pode ser obtdo om 8 I () No aso de a ução (x) ser geéra,.e., ão polomal ou polomal de grau superor a, a expressão () oree um valor aproxmado do tegral I ().

5 ( x) d x () 8 () O valor do tegral alulado om o segudo membro de () é tato mas orreto, quato mas a ução (x) se aproxmar de um polómo do tpo (). Se se desear um valor mas orreto para o tegral, exste a possbldade de se utlzar mas potos de amostragem ( ) e orrespodetes pesos ( ). Os potos de amostragem também são desgados por potos de Gauss. O estudo que o aqu realzado om um polómo de grau pode ser eto, de um modo semelhate, om polómos de qualquer grau. Na Tabela. apreseta-se os resultados que se obtêm quado se az o estudo om polómos de grau, grau, grau e grau 7. Em [.] eotra-se uma tabela que oree os valores das posções dos potos de amostragem e dos pesos para um úmero de potos de Gauss o tervalo [,]. Com base a Tabela. podem-se extrar as segutes olusões: om potos de Gauss, obtém-se o valor exato do tegral de um polómo de grau p -, ou eror; quado se pretede a solução exata do tegral de um polómo de grau p, o úmero de potos de Gauss que se tem de utlzar é (p ) /, ou superor. Nota: quado p é par, deve-se substtur o seu valor pelo úmero ímpar medatamete superor. Nota: o tervalo de tegração de todos os tegras reerdos o âmbto da quadratura de Gauss é o tervalo [-,]. 77

6 Tabela. - osções dos potos de amostragem e respetvos pesos. Número de potos de Gauss Grau do polómo que é possível tegrar de um modo exato osções dos potos de Gauss e respetvos pesos p -, ara ustar a expressão p - (ver a Tabela.) é suete osderar o segute (sugere-se que se aompahem as segutes osderações om o exemplo do polómo de grau p, atrás desrto): supoha-se que se pretede tegrar de um modo exato um polómo de grau p (sedo p um úmero ímpar); 78

7 o úmero de oeetes o polómo de grau p égualap ; uma vez que exstem p oeetes, o sstema de equações ão leares () va ter p equações; para que o sstema de equações () possa ser resolvdo, o úmero de ógtas deve ser também p ; uma vez que as ógtas são as posções dos potos de Gauss e respetvos pesos (,,,...,,,,...), o úmero de potos de Gauss () temdeser metade do úmero de ógtas (p ),.e., (p )/; esta expressão pode-se expltar p, resultado p -, que é o resultado que se preteda demostrar. Qualquer que sea o valor de, ovalordep que se obtém é sempre um úmero ímpar. É por este motvo que, oorme o atrás reerdo, se deve passar p para o valor ímpar medatamete superor, quado se utlza a expressão (p )/eovalordep épar. A expressão geéra da quadratura de Gauss om potos é (). - Itegras múltplos Apreseta-se em seguda a adaptação da tegração uméra desrta a seção ateror ao aso do tegral duplo ( x y) I, d x d y (6) Cosderado em prmero lugar o tegral em ordem a x, tem-se, de aordo om () x (, y) d y (7) sedo x o úmero de potos de Gauss utlzados a dreção x. 7

8 Cosderado que a ução tegrada de (7) é uma ução g(y), tem-se ( y) g d y (8) om g x ( y) ( y), () Substtudo agora o tegral em ordem ay em (8) por um somatóro do tpo (), resulta y g () sedo y o úmero de potos de Gauss utlzados a dreção y. Atededo a (), a expressão () passa a ser y x, () ( ) que é equvalete a x y ( ), () O úmero de potos de Gauss assoados à dreção x ( x ) pode ser derete do úmero de potos de Gauss assoados à dreção y ( y ). A seleção destes úmeros deve ateder ao modo omo a ução (x,y) vara om x eomy. Assm, se a dreção x a ução (x,y) se assemelhar a um polómo de grau e a dreção y aumdegrau7, deve ser x e y (ver a Tabela.). No aso do tegral trplo, pode-se geeralzar (), resultado x y z x y, z d x d y d z k (,, k ), () k 8

9 No aso do tegral do produto das uções e g,tem-se ( x, y, z) g ( x, y, z) x y z k d x d y d z k (,, ) g (,, ) k k () o que permte uma avalação sequeal de e g o poto de Gauss (,, k ). Esta osderação é extesva a qualquer ombação de uções, e.g., adção, dvsão, et. Quado se tem, por exemplo, o tegral de um produto de matrzes, pode-se avalar ada uma das matrzes em ada poto de Gauss e só em seguda azer o produto matral. Assm se evta ter de expltar a ução que resulta do produto matral de dversas uções.. - Cosderações as O proedmeto de tegração uméra geeramete desgado quadratura de Gauss tem omo prpal vatagem o ato de poder ser almete luído um programa de omputador destado à aálse de estruturas pelo MEF. A prpal duldade assoada à sua utlzação resde a eessdade de esolher um úmero de potos de Gauss adequado à presão pretedda. BIBLIOGRAFIA [.] - Cook, R. D.; Malkus, D. S.; lesha, M. E.; tt, R.. - Coepts ad Applatos o Fte Elemet Aalyss, Fourth Edto, oh ley & Sos, I.,. [.] - Zekewz, O. C.; Taylor, R. L. - The Fte Elemet Method, Fourth Edto, MGraw-Hll, 88. 8

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