Detecção Remota Aplicada Mestrado em Engenharia Geográfica Lab 4: Qualidade posicional das imagens de alta resolução do Google Earth

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1 Data lmte de etrega: --0 Deteção Remota Aplada Mestrado em Egehara Geográfa Lab 4: Qualdade posoal das mages de alta resolução do Google Earth Ao Letvo 0/ (Ver.0/Nov-). Objetvos: Avalar a qualdade posoal horzotal das mages de alta resolução do Google Earth por omparação om a artografa :0k de Combra. Dados : Os dados para efetuar este estudo osstem em:. Images Google Earth. Cartografa :0k da dade de Combra 3. Tarefas a realzar. Avalar a qualdade posoal horzotal das mages Google Earth de Combra em termos de erro rular om um ível de ofaça de 90% (CE90).. Comparar os resultados obtdos aterormete om as espefações de eatdão e presão posoas para a ortoartografa as esalas K, k, 5k e 0k, dados a tabela em aeo. 4. Elemetos a etregar. Relatóro do trabalho efetuado. Utlze a segute estrutura para o seu relatóro: Itrodução Metodologa Resultados Colusões. Aeos om os potos de otrolo e suas oordeadas Sugestão: Cosulte a segute referêa. Potere D. Horzotal postoal aura of Google Earth s hgh-resoluto mager Arhve. Sesors. 008;8: do: /s Etratos dos dados relatvos a este TPC podem ser obtdos em

2 5. Meddas de avalação da qualdade Aplação da teora dos erros a defção de presão posoal de mages de satélte georefereadas Resumo Uma das otrbuções mas útes da teora dos erros são os ídes (métras) de presão, os quas defem a dstrbução dos erros e espefam a probabldade do erro verdadero de uma dada quatdade ão eede um determado valor. Neste estudo remos utlzar a teora dos erros, defda o oteto das probabldades e estatísta, para defrmos algumas métras de presão posoal de formação georefereada. Iremos aalsar em detalhe a dstrbução ormal dos erros leares (D) dado que as dstrbuções bdmesoal (D) e trdmesoal (3D) dos erros são mas falmete aalsadas estatstamete pelo tratameto das ompoetes dvduas. Como os prípos da dstrbução lear dos erros se aplam apeas a erros aleatóros depedetes, assume-se que os erros sstemátos foram elmados ou reduzdos sufetemete para permtrem o tratameto omo erros aleatóros. Os proedmetos propostos para o álulo dos erros rulares ou esféros a partr dos erros leares as dreções e ou, e z, respetvamete assetam o álulo da méda dos erros leares estas dreções. Kewords: Ídes de presão, Erro lear, Erro rular, Erro Elípto, Erro esféro e Erro Elpsodal Erros leares (D).... Itrodução.... Classes de erros Coetos básos de probabldades Dstrbução ormal de uma varável aleatóra otíua Aplação da fução de desdade de probabldade a erros aleatóros Ídes de presão Fatores de oversão Propagação dos erros Eemplos de erros leares... 7 Erros rulares e elíptos (D) Itrodução Erros elíptos Erros rulares Fução rular de dstrbução de probabldade Ídes de presão rular Erros esféros e elpsodas (3D)... 4 Aplação da teora dos erros à presão posoal da geo-formação Erros posoas... Bblografa... Aeo : Dervação e solução da fução de dstrbução de probabldade bdmesoal... Erros leares (D) Itrodução Em váras atvdades das êas fotogramétras, geodésas e artográfas é eessáro a medção de quatdades físas e a utlzação destas meddas em outros proedmetos. Idepedetemete da presão do strumeto utlzado para efetuar estas meddas, ão este ehum strumeto de medda ou método que foreça o verdadero valor da quatdade medda. As mperfeções de ídole teológa (meâa, ópta, eletróa) dos strumetos de medção e as lmtações troduzdas pelo fator humao são tas que medções repetdas da mesma quatdade produzem valores dferetes. As varações observadas os suessvos valores de uma dada quatdade são ausadas pelos erros as observações. O erro verdadero de ada observação será dado pela dfereça se

3 Classes de erros Os erros presetes as observações podem ser agrupados relatvamete à sua orgem em: erros grosseros (bluders): erros sstemátos (sstemat) erros aleatóros (radom) A probabldade de um dado erro aleatóro ão eeder um determado valor pode ser ferda pela aálse da dstrbução ormal ou Gaussaa de um úmero fto de varáves aleatóras. Coetos básos de probabldades A probabldade é defda omo a frequêa da oorrêa em proporção ao úmero das oorrêas possíves, ou smplesmete omo o quoete etre o úmero de aertos e o úmero de laçametos. Sejam A e B dos evetos ompletamete depedetes. Desgemos por P(A) a probabldade do eveto A e P(B) a probabldade do eveto B. A probabldade de qualquer eveto aoteer deve estar etre zero e um: a probabldade zero sgfa que um dado eveto ua aoteerá, a probabldade um sgfa que um determado eveto aoteerá sempre em ada laçameto. Por eemplo, a probabldade de termos o úmero 7 um laçameto de um dado é 0.0, as a probabldade de termos um úmero etre 0 e 6 é.0. As regras básas da teora das probabldades são: 0 P( A) P( A) represeta a probabldade de um eveto ão aoteer P( Aou B) P( A) + P( B) represeta a probabldade de oorrêa de um de dos evetos P( Ae B) P( A) P( B) represeta a probabldade de dos evetos oorrerem smultaeamete Eemplo: A fgura mostra as probabldades de oorrêa Fgura : Probabldades do úmero para um laçameto de dos dados Dstrbução ormal de uma varável aleatóra otíua A área debao da urva de desdade de probabldade ormal represeta a probabldade total da oorrêa da varável aleatóra otíua e é gual a um, ou 00%. A epressão Ode, - é a varável aleatóra - µ um parâmetro represetado o valor médo da varável ( µ ) p( ) e () π - um parâmetro represetado o desvo padrão, que é uma medda da dspersão da varável aleatóra em toro da méda. Os parâmetros são alulados a partr de um úmero fto de varáves aleatóras: e Ode é o úmero de varáves aleatóras ( ) µ ( µ ) () (3) Não ofudr esta otação om a otação utlzada para represetar o valor médo

4 A fução de dstrbução de probabldade ormal determa a probabldade que uma varável aleatóra assumrá um dado valor detro de um determado tervalo e é dervada da fução desdade de dstrbução ormal pela tegração etre os lmtes do tervalo desejado. Assumdo os lmtes do tervalo etre e vem: P( ) p( ) d e π ( µ ) O valor de P( ) vara etre 0 e tal omo está lustrado a fgura -b segute. d (4) Fgura : a) Curva desdade de probabldade ormal; b) Curva da dstrbução de probabldade ormal Aplação da fução de desdade de probabldade a erros aleatóros A urva de desdade de probabldade de um úmero fto (ou seja, a população) de medções de uma quatdade é epressa por parâmetros aálogos aos da equação (). O valor verdadero µ é a méda da dstrbução dos valores observados,, K, ode. A urva represetada a fgura 3 é desrta pela equação ( µ ) p( ) e (5) π ( ) µ População Fgura 3: Curva desdade de probabldade ormal dos valores observados Amostra A urva de desdade de probabldade dos erros tem méda zero 3 e a sua forma é dêta à dos valores observados. A urva represetada a fgura 4 é desrta pela equação: ode ε µ é o erro verdadero - p( ε ) e π ε 3 Note-se que os erros sstemátos foram elmados das observações

5 - ε é o desvo padrão dos erros, que desgaremos por erro padrão Fgura 4: Curva de desdade de probabldade ormal dos erros Dado que o verdadero valor de uma quatdade ão pode ser observado e que é mpratável efetuar um úmero fto de observações, os valores estmados, obtdos a partr de um úmero fto de medções, sto é de uma amostra, deverão ser substtuídos pelo valor verdadero e pelos parâmetros da fução desdade. O valor mas provável ( ) aproma o valor verdadero e é determado a partr da méda artméta dos valores observados: O valor verdadero é apromado pelo resíduo, desgado aqu por erro e defdo pela dfereça etre o valor observado e o valor mas provável: O erro padrão alulado a partr da amostra ( ) e detfado pelo subsrto é dado por: ( ) A fução desdade de probabldade dos erros será dada por: p( ) π Como os parâmetros e podem assumr valores dferetes em fução da amostra que é seleoada da população, são portato varáves aleatóras e om dspersão epressa por parâmetros semelhates. O erro padrão da méda erro padrão dam a fabldade (relablt) da estmatva: e ( ) ( ) e o erro padrão do e ( ) ( ) ( ) Ídes de presão Um íde de presão mostra a dspersão dos erros em toro do zero e reflete a magtude lmte do erro para váras probabldades. Por eemplo, 50% dos erros uma dada sére de medções ão eedem ±0m; 90% ão eedem ±49m. Apesar de serem dados dferetes erros, ada um deles epressa a mesma presão do proesso de medção (fgura 5). O erro padrão e o erro médo (η) são dos ídes omummete utlzados e que podem ser deduzdos teoramete. Outros ídes utlzados são os três íves de probabldade os quas são de fato ídes de presão: erro provável (PE-probable error)

6 presão padrão do mapa (MAS-map aura stadard) erro 3 sgma (3) O erro padrão é um dos ídes de presão mas mportates e tem a probabldade: + Ou seja 68.7% dos erros oorrem detro do tervalo P( ) p( ) d ±. Fgura 5: Áreas de probabldade O erro médo (average error) é defdo omo a méda da soma dos valores absolutos de todos os erros: µ A probabldade represetada pelo erro médo é ou 57.5%. O erro médo pode ser alulado falmete a partr do erro padrão através de: η O erro provável é o erro para o qual 50% de todos os erros duma dstrbução lear ão o eedem. É epresso matematamete por b PE p( ) d 0.50 O erro provável pode ser alulado a partr do erro padrão utlzado a epressão: a PE A sttução U.S. Natoal Map Aura Stadards espefa que ão mas do 0% dos erros da alttude (um erro udmesoal) duma arta topográfa deverão ultrapassar um dado valor lmte. Os padrões são omummete terpretados omo o lmte da ampltude do erro que 90% das alttudes ão deverão ultrapassar. Cosequetemete o MAS (map aura stradard) é dado por b MAS p( ) d 0.90 Este valor pode ser alulado a partr do erro padrão através de: a MAS.6449 Tal omo o ome da o erro 3 é um erro uja magtude é três vezes superor à magtude do erro padrão. Este erro tem teresse porque a probabldade quase- erta ou 99.73% Fatores de oversão Uma vez que todos os ídes de presão estão relaoados om o desvo padrão (tabela ) os fatores alulados a partr desta relação overtem a probabldade do erro em outra probabldade (tabela) Tabela :

7 Íde Probabldade Epressão PE η MAS Tabela : Fatores de oversão leares 50.00% 57.5% 68.7% 90.00% 99.73% 50.00% % % % % Propagação dos erros Seja f uma quatdade alulada a partr de duas quatdades meddas a e b: f ( a, b ). O erro ambas as varáves a e b: a e b dstrbuídos, o erro ombado f pode ser alulado utlzado a epressão Ode. Assumdo que a e b são depedetes e que os erros f f f a + a a b - f, a, b são, respetvamete, os erros padrão em f, a e b. f f -, as dervadas paras em relação a a e a b a b f de f é afetado pelos erros em a e b são aleatoramete Eemplos de erros leares Em Egehara Geográfa estem város asos da oorrêa de varáves aleatóras. Por eemplo, as lhas de base, os âgulos meddos, os omprmetos observados e as otas resultates de operações de tragulação, velameto otêm erros. Assm os prípos da teora dos erros podem ser utlzados para aalsar os resultados em termos das espefações estabeledas para os levatametos. Assm, a dstrbução ormal do erro lear tem mportates aplações relatvamete à avalação da eatdão da formação posoal. Além, dos erros u-dmesoas que estem em dados posoas tas omo as alttudes as ompoetes do erro lear as posções bdmesoas e trdmesoas podem ser aalsadas por aplação da dstrbução ormal do erro lear. Erros rulares e elíptos (D) Itrodução Um erro bdmesoal é um erro duma quatdade defda por duas varáves aleatóras. Assumdo que os erros são aleatóros e depedetes e que ada um deles tem a fução de desdade de probabldade p( ) e e p( ) e π π e aplado a regra 4 do parágrafo fução bdmesoal de desdade de probabldade é etão dada por p(, ) e π + Reorgazado os termos vem que + p (, ) e π

8 Ou seja l π p(, ) + (6) Para valores dados de p(,) o lado esquerdo da equação (6) é ostate e será desgado por k. Assm k + (7) Para valores de p(,) a varar de 0 a teremos uma famíla das elpses de gual desdade de probabldade om eos k. Quado a equação (6) vrá: l π p (, ) + (8) k e Para um dado valor de p(,) o lado esquerdo da equação (8) é ostate e é gual ao quadrado do rao de um írulo de gual desdade de probabldade. A fução desdade de probabldade tegrada sobre uma dada regão tora-se a fução de dstrbução de probabldade a qual traduz a probabldade de e oorrerem smultaeamete esta regão, sto é: P(, ) p(, ) dd No etato, omo ambos os valores postvos e egatvos quer de omo de oorrem om gual frequêa, os erros podem ser osderados omo erros radas e serão desgados por r, om r + Erros elíptos A probabldade de uma elpse é dada pela fução de dstrbução k e P(, ) (9) A solução da equação (9) om valores de k para dferetes probabldades é dada a tabela. Para 39% de probabldade os eos da elpse são Tabela : Valores da ostate k Probabldade K 39.35% % % % % % A utlzação da elpse de erro é omplea devdo ao problema da oretação dos eos e da propagação dos erros elíptos. Cosequetemete as elpses de erro são habtualmete substtuídas pela forma rular a qual é mas fál de usar e ompreeder. Erros rulares Fução rular de dstrbução de probabldade A fução de dstrbução de probabldade do erro radal que epressa a probabldade de r ser gual ou meor que o rao R, ou ada a probabldade do vetor (,) estar otdo detro de um írulo de rao R é dervada o apêde e é dada por: ode I é a fução Bessel de ordem 0. Um aso espeal da fução P(R) aotee quado r Ode r + R 4 r P( R) re I dr R e r. Etão R P( R) P e (0)

9 - P é a fução rular de dstrbução de probabldade (um aso espeal de P(R) - R o rao do írulo de probabldade o erro padrão rular (um aso espeal para r ) Quado - e ão são guas, a fução P(R) pode ser modfada fazedo a ode é o meor erro padrão dos dos. Ídes de presão rular Os ídes represetados a fgura 6 são meddas de dspersão dos erros uma dada dstrbução e represetam o erro que é mprovável de ser eeddo segudo uma dada probabldade. Os ídes de presão esolhdos, osstetes om os ídes utlzados as dstrbuções leares, são: O erro padrão rular O erro provável rular (CPE) A presão stadard rular do mapa (CMAS rular map aura stadard) O erro três poto o sgma A probabldade do erro padrão rular é obtda resolvedo a equação (0) em ordem a P para R sto é P e e Para uma verdadera dstrbução rular, os erros padrão leares são guas e dêtos ao erro padrão rular Fgura 6: Dstrbução rular ormal O erro provável rular é o valor do erro rular que ão será eeddo por mas de 50% de todos os erros uma dstrbução rular, ou seja, o valor de R a equação para o qual P 0.5. Este erro que é uma dstrbução rular eata (.e. ) é alulado a partr de Ou seja R 0.5 e

10 R l 0.5 e por defção de CPE, vem que R ou seja.774 CPE.774 Fgura Curvas de probabldade da fução P(R) em fução de m ma a : a) para P(R) 39.35%; b) para P(R) 50.00% O erro posoal médo quadráto (MSPE - mea square postoal error) é defdo omo o rao do írulo de erro gual a e tem pouo sgfado uma dstrbução do erro rular eata. No etato quado e são apromadamete.44 guas, o MSPE defe o erro uma posção geográfa e é alulado através de: MSPE +, [0.8,.0] m ma A probabldade represetada pelo MSPE pode ser alulada resolvedo a equação (0) em ordem a P, para R apromado pela equação quado vem R + b MSPE e para P e e () P.0 e 63.% Quado, a solução de () oduz-os a valores de P (

11 Fgura :Curva de probabldade do erro MSPE A presão padrão do mapa rular (CMAS) é baseada o ível de peretagem (ou quatle) utlzado o U.S. Natoal Map Aura Stadards a qual espefa que ão mas do que 0% dos potos utlzados para aferr a presão do mapa deverão eeder um dado erro. Cosequetemete, a presão rular do mapa é represetada pelo valor R da equação (0) para P 0.90, ou seja ou O erro três-poto-o sgma represeta a probabldade de Erros esféros e elpsodas (3D) CMAS.460 CMAS.87 CPE Aplação da teora dos erros à presão posoal da formação geográfa Erros posoas Bblografa Aeo : Dervação e solução da fução de dstrbução de probabldade bdmesoal As fuções de desdade de probabldade de dos erros depedetes são: p( ) e e p( ) e π π Utlzado a regra 4 vem: p(, ) e π e portato + + P(, ) e d π Utlzado oordeadas polares r os θ ; r s θ

12 ode r é o erro radal e r + Assm, ( ) ( ) P( r) P r + R P < R ode R é o írulo de probabldade. Por outro lado R π r 0 θ 0 r s θ os + P( R) e rdrdθ π Aeo : Tabela de espefações de qualdade para a artografa. θ

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