Introdução à Decomposição de Dantzig Wolfe

Transcrição

1 Itrodução à Deoposção de Datzg Wolfe PNV-5765 Probleas de Prograação Mateáta Aplados ao Plaeaeto de Ssteas de Trasportes Maríto Prof. Dr. Adré Bergste Medes

2 Bblografa Utlzada WILLIAMS, H.P. The forulato ad soluto of dsrete optzato odels. I: Appa, G.; Ptsouls, L.; Wllas, H.P. (eds). Hadboo o odellg for dsrete optzato. Sprger s Iteratoal Seres Operatos Researh & Maageet See: New Yor, 006. p. -8. BRADLEY, S.P.; HAX, A.C.; MAGNANTI, T.L. Appled Matheatal Prograg. Addso-Wesley, p. DESAULNIERS, G.; DESROSIERS, J., SOLOMON, M.M. Colu Geerato. Sprger, p.

3 Coutos Coveos Dz-se que u outo S e R é oveo se o segeto de lha udo quasquer dos potos do outo tabé pertee ao outo. Ass, se e pertee a S etão quasquer obações oveasλ + ( λ), para λ [0,], estarão e S. Para o aso geral, a obação ovea é represetada por σ = λ, ode σ = λ =, λ 0, :. Eeplo: S =,, : + = 4 R Couto oveo Couto ão oveo

4 Evoltóra Covea Dado u outo arbtráro S e R, dferetes outos oveos pode ser gerados a partr de S. A evoltóra ovea de S ov(s) é a oleção de todas as obações oveas de S. Ass, se ov(s) se e soete se for represetado oo: = σ = λ ode λ =, λ 0, : e,..., S. σ =

5 Evoltóra Covea Couto S Cov(S)

6 Teorea de Carathéodory U poto e ua evoltóra ovea de u outo pode ser represetado oo ua obação ovea de u úero fto de potos do outo.

7 Deoposção Estruturas Partulares

8 Deoposção de Datzg-Wolfe sueto a: z Lg ostrat

9 Deoposção de Datzg-Wolfe a : sueto z A reoção da lg ostrat tora o problea de fál solução. Se <0, etão o orrespodete será ; seão, será.

10 Deoposção de Datzg-Wolfe z sueto a : Problea () oté parte das restrções do problea orgal e será haado de sub-problea ou problea relaado. Qualquer solução do subproblea poderá otrbur, partpado de ua solução do problea orgal.

11 Deoposção de Datzg-Wolfe Supor ser oheda soluções para este problea Varáves de Desão Utlzação Reurso Fução Obetvo Pesos Solução 8 - λ Solução -7 λ Este ua obação ovea destas soluções que gere ua solução vável para o problea orgal? Para sso, é eessáro detfar os pesos que estas soluções deve ter de tal aera que a fução obetvo sea otzada e a restrção relatva ao reurso sea atedda.

12 Deoposção de Datzg-Wolfe z sueto a : 7 8, 0 7

13 Deoposção de Datzg-Wolfe Tabela óta do sple λ λ λ λ 4 -z0/b -z λ 0 /5 -/5 4/5 λ 0 -/5 8/5 /5 Varáves pras: λ =4/5; λ =/5 ; λ =0 ; λ 4 =0 Varáves duas: π =-; σ=-4

14 Deoposção de Datzg-Wolfe Estra ua solução adoal para opor o problea estre? Quas as odções para que ua ova solução sea atratva ao problea (sto é, etre a base ua próa teração do sple)? z sueto 7 a : 8,, 0 r p 7

15 Deoposção de Datzg-Wolfe Reordado a otação atral... o oefete de usto a fução obetvo de ua varável ão-bása a fora aôa é dado por: N πan N 0 z z Sedo u problea de zação, a solução ada ão será óta se estr ua olua o usto reduzdo egatvo πa

16 Deoposção de Datzg-Wolfe Custo reduzdo do problea: Relaoado p e r às varáves de desão do problea orgal Para esta fução obetvo, a solução óta do sub-problea é =, =, =, tedo oo osequêa p =-e r =6 e o usto reduzdo <0. r p p p r p

17 Deoposção de Datzg-Wolfe Agora são ohedas três propostas de solução Varáves de Desão Utlzação Reurso Fução Obetvo Pesos Solução 8 - λ Solução -7 λ Solução 6 - λ Este ua obação ovea destas soluções que gere ua solução vável para o problea orgal? Para sso, é eessáro detfar os pesos que estas soluções deve ter de tal aera que a fução obetvo sea otzada e a restrção relatva ao reurso sea atedda.

18 Deoposção de Datzg-Wolfe ,, sueto a: z

19 Deoposção de Datzg-Wolfe Tabela óta do sple λ λ λ λ 4 λ 5 -z0/b -z 0 5/ 0 / 4/ λ -/ 0 / -8 / λ 0 5/ -/ 9 / Varáves pras: λ =/; λ =0; λ =/; λ 4 =0 ; λ 5 =0 Varáves duas: π =-/; σ=-

20 Deoposção de Datzg-Wolfe Estra ua solução adoal para opor o problea estre? Quas as odções para que ua ova solução sea atratva ao problea (sto é, etre a base ua próa teração do sple)? z sueto a: 7 8,,, r p

21 Deoposção de Datzg-Wolfe p p Custo reduzdo do problea: r Relaoado p e r às varáves de desão do problea orgal p r p Para esta fução obetvo, a solução óta do sub-problea é =, =, =, tedo oo osequêa p =-e r =6 e o usto reduzdo =0. Nehua outra solução será apaz de elhorar a fução obetvo

22 Deoposção de Datzg-Wolfe Varáves de Desão Utlzação Fução Reurso Obetvo Pesos Solução 8 - / Solução -7 0 Solução 6 - / Sol. Óta / 7 -.5

23 Doío do Problea Mestre & Subproblea X Mestre A solução óta é obtda por eo da obação lear ovea dos potos etreos do trâgulo X, sedo estas soluções váves para o problea orgal.

24 Doío do Problea Mestre & Subproblea X Mestre Neste aso, a solução óta pode ser epressa por dferetes obações leares oveas.

25 Deoposção de Datzg-Wolfe d e e e d e e e b a a a b a a a z q q q,,, 0 a : sueto Restrções relatvas aos reursos ( lg ou oplatg ostrats ) Restrções dos subprobleas ( fáes de resolver se as deas são otdas)

26 Deoposção de Datzg-Wolfe Supor haver soluções addatas aterorete geradas. Cada solução osoer udades do reurso (=,,...,), e gera u luro de, podedo ser esrtas oo: r p a a p a O próo passo osste e resolver o problea estre, para álulo das varáves pras e duas (ultpladores sple).

27 Deoposção de Datzg-Wolfe Problea Mestre a : sueto b r r r b r r r b r r r p p p Varáves duas (Multpladores sple) das oplatg ostrats e da restrção de ovedade

28 Deoposção de Datzg-Wolfe Custo reduzdo de ua ova olua (solução addata) o problea estre: Substtudo as varáves do problea orgal: r p p a a p

29 Deoposção de Datzg-Wolfe A resolução do sub-problea será: a v d e e e d e e e q q q,,, 0 a : sueto

30 Deoposção de Datzg-Wolfe Duas stuações pode aoteer: Se v, etão p 0 e ehua solução é apaz de elhorar a fução obetvo do problea estre. O algorto é falzado. Se v, etão a solução do sub-problea é adoada ao problea estre e o proesso é repetdo. OBS: A solução do subproblea deve ser a óta. Na práta, basta que sea ua solução o usto reduzdo egatvo. Nua últa teração de DW, a solução óta do sub-problea deve ser busada, para que a otaldade possa ser oprovada.

31 Ltate Superor Cada vez que o problea estre é resolvdo u ltate superor da solução óta é gerado: z SUP p

32 Ltate Iferor Cosdere ua solução vável do problea estre, o qual atede às restrções de reursos ou oplatg ostrats. Pode-se ostatar que: Desta aera:,,, v a b v a v INF b v z