CAPÍTULO VIII DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR FÓRMULA DE TAYLOR E APLICAÇÕES

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1 CAPÍTULO VIII DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR FÓRMULA DE TAYLOR E APLICAÇÕES. Dferecas de orde superor Tratareos apeas o caso das fuções de A R e R sedo que o caso geral das fuções de A R e R se obté a partr das respectvas copoetes ou coordeadas cada ua das quas é ua fução de A R e R. Seja f (... ) ua fução de A R e R co A cojuto aberto. Sedo f ( ) dferecável e A sabeos já que para qualquer poto A [ df] ( ) = f ( ) = = f ( ). Adtaos adcoalete que as preras dervadas parcas de f ( ) são dferecáves o aberto A - o que e partcular fca garatdo se f ( ) for de classe C o aberto e causa -. Ass para cada vector R a fução [ df] ( ) = f ( ) cosderada coo fução de = (... ) é dferecável o aberto A sedo a sua dferecal u poto geérco A e segudo u vector k dada por { d[ d f ] } ( ) = k j = = f ( ) j k j = = f ( ) k j j = = j represetado gualete esta epressão a dervada de f A e segudo u vector k. Ou seja ua otação as splfcada ( ) u poto geérco d f ( ) = f ( ) = k " k f ( ) k j. j = = j Quado seja k = obté-se e partcular 37

2 d f ( ) = f ( ) = " f ( ) j j = = j sedo usual este caso a segute splfcação de otação: d f ( ) = f " ( ) = f ( ) j j = = j e falado-se etão de seguda dferecal de f ( ) e A segudo o vector ou de seguda dervada e A segudo o eso vector. Voltado à fução f ( ) de A R e R se ela adtr dervadas parcas até à seguda orde dferecáves o aberto A - o que e partcular fca garatdo se f ( ) for de classe C 3 o aberto e causa - podeos defr a partr de tercera dferecal da fução o poto A segudo o vector : d f ( ) a 3 [ d f ] " ( ) = f ( ) = 3 f = = = ( ) E ass por date. Se a fução f ( ) de A R e R adtr dervadas parcas até à orde r - dferecáves o aberto A - o que e partcular fca garatdo se f ( ) for de classe C r o aberto e causa - podeos defr a r - ésa dferecal da fução o poto A segudo o vector : r [ d f ] ( ) = f ( r ) ( ) = = L = = = = r r f ( ) L 3 3 r L 3 Tedo e ateção as epressões dcadas para as sucessvas dferecas (e dervadas segudo vectores ) obtê-se as segutes relações que adate serão utlzadas: r. [ df] λ. ( ) = λ.[ df] ( ) ou f λ. ( ) = λ. f ( ) d f λ. ( ) = λ [ ]. d f ( ) ou f " λ. " ( ) = λ. f ( )... r [ d f ] λ. ( ) =.[ d f ] ( ) ou f ( r ) ( ) = λ r ( r). f ( ) λ r r λ.. E partcular co λ = - obté-se : 38

3 r [ d f ] ( ) = ( ).[ d f ] ( ) ou f ( r ) ( ) = ( ). ( ) r r f ( ). r r Tabé e partcular fazedo ρ = e vers = (quado seja ρ = ρ 0) te-se : r [ d f ] ( ) = r [ d f ] ρ.vers ( ) = ρ r r. [ d f ] ( ) vers ou ada f ( r ) ( ) = ρ r ( r ). f ( ). vers. Fórula de Taylor Adta-se que f ( ) te dervadas parcas até à orde dferecáves e certo aberto A R o que e partcular fca garatdo se a fução for de classe C + e A. Seja a A e u vector tal que qualquer que seja t [0 ] = a + t. A. E partcular se o aberto A se ltar a ser ua vzaça de u poto a seja ela V ε ( a ) a codção precedete cupre-se se o vector for tal que < ε coo faclete se verfca. Co a A e as codções referdas cosdere-se a fução g(t) = f ( a + t. ) para -δ < t < + δ devedo saletar-se que por ser A u cojuto aberto é possível ecotrar u δ > 0 sufceteete pequeo de fora a ter-se a + t. A para -δ < t < + δ. Usado sucessvaete (até à orde +) a regra de dervação de ua fução coposta obtê-se se qualquer dfculdade as sucessvas dervadas da fução g(t) para -δ < t < + δ : g (t) = f ( a + t. ). g (t) =... = j = = + g (k) ( k (t) = f ) ( a + t. )... " j = f ( a + t. ) f ( a t. ). = f " ( a + t. ) g (+) ( (t) = f ) ( a + t. ). + j 39

4 Escrevedo a -ésa fórula de Mac-Laur co resto de Lagrage para a fução g(t) obté-se para cada t ] -δ + δ [ + t t t g(t) = g( 0) + t. g( 0) + g "( 0) + L + g ( ) ( 0) + g ( ) ( θ t)!! ( + )! co 0 < θ <. Tedo e cota as epressões obtdas aterorete para as sucessvas dervadas de g(t) e fazedo e seguda t = resulta f ( a + ) = f ( a) + f a f a f ( ) + ( ) + L + ( ) ( a ) +!! ( + ) + f ( a + θ ) ( + )! co 0 < θ < que é a fórula de Taylor co resto de Lagrage para f ( ) co orge e a. A valdade desta fórula depede coo vos de a fução ter dervadas parcas até à orde dferecáves e certo aberto A R e de a e sere tas que = a + t. A para t [0 ]. Usado a sbologa das dferecas sucessvas a fórula precedete pode escrever-se do segute odo: ( ) L!! f ( a + ) = f ( a) + d f ( a) + d f a + + d f ( a) + ( + )! d f ( a θ ) co 0 < θ <. Atededo ada às relações que fora troduzdas a parte fal do poto. podeos ada apresetar a segute versão da esa fórula quado seja 0 : ρ vers f ( a + ) = f ( a) + ρ. d f ( a) + d f ( a) + L +! vers + ρ + [ d f ] ( a) ρ + +! vers d f ( a + θ ) ( + )! vers co 0 < θ < ρ = e vers = ρ. No caso partcular de as dervadas parcas de orde + sere cotíuas o aberto A - ou seja se a fução f ( ) for de classe C + e A - fazedo 40

5 ( + ) ( + ) vers vers α () = f ( a + θ ) f ( a) vejaos que l α ( ) = 0. Co efeto desgado por ξ j as coordeadas de vers 0 ou seja sedo ξ j = teos para α () a epressão j j =... + L + f L + f L = = = + + ( a + θ ) ( a ) ξ L ξ + e coo cada parcela deste soatóro tede para zero quado 0 (devdo à cotudade das dervadas parcas de orde + ) e por outro lado as coordeadas de vers são ltadas (por ser vers = ) coclu-se se dfculdade que l α ( ) = 0. Etão o caso partcular de f ( ) ser de classe C + o aberto A 0 podeos obter a partr da últa versão da fórula de Taylor co resto de Lagrage ρ vers f ( a + ) = f ( a) + ρ. d f ( a) + d f ( a) + L +! vers + ρ + [ d f ] ( a) ρ + +! vers d f ( a) + α ( ) ( + )! vers co l α ( ) = 0. Esta varate é a fórula de Taylor co resto de Peao e va ser 0 utlzada a aplcação que vaos estudar o poto segute. 3. Aplcação à deteração dos etreates terores Seja f relatvo de f ( ) ua fução de A R e R. U poto a A dz-se azate ( ) se e só se este ua V ε ( a ) tal que V ε ( a ) A f ( ) f ( a) ; dz-se zate relatvo se e só se este ua V ε ( a ) tal que V ε ( a ) A f ( ) f ( a). 4

6 Os correspodetes valores f ( a) dze-se etão respectvaete áo relatvo e ío relatvo da fução. Geercaete os áos e íos relatvos desga-se por etreos relatvos ; os azates e zates relatvos desga-se por etreates relatvos. Aos etreates relatvos cotrapõe-se os etreates absolutos : caso esta u a A tal que A f ( ) f ( a) dz-se que a é u azate absoluto e f ( a) é o áo absoluto ; caso esta u a A tal que A f ( ) f ( a) dz-se que a é u zate absoluto e f ( a) é o ío absoluto. Note-se que o áo e ío absolutos de ua fução f ( ) e A se este são úcos as pode evetualete ser atgdos e as que u poto a A. No que se segue estudareos codções ecessáras e sufcetes para que u poto a INT. A seja etreate (azate ou zate) relatvo de f ( ) o pressuposto de cotudade e INT. A da fução e das suas dervadas parcas até certa orde coveete. A deteração de evetuas etreates froteros relatvos ão pode fazer-se pelos étodos que vão ser estudados. Por outro lado as téccas a desevolver o presete capítulo perte apeas a deteração dos etreates relatvos. Só e casos uto especas será vável deterar co tas téccas os etreates absolutos coo por eeplo os casos e que pelo estudo drecto da fução ou pela atureza do problea sabeos à pror que aqueles este ; estes casos os etreates absolutos poderão ser deterados por coparação dos valores da fução os dversos etreates relatvos dado que é óbvo que qualquer etreate absoluto é gualete u etreate relatvo. Tedo e cota facltar a eposção ote-se que as codções defdoras dos cocetos de azate e zate relatvos terores pode ser apresetadas do odo segute: a) O poto a INT. A é azate relatvo de f ( ) se e só se este u valor ε > 0 tal que < ε f ( a + ) f ( a) ; b) O poto a INT. A é zate relatvo de f ( ) se e só se este u valor ε > 0 tal que < ε f ( a + ) f ( a). O teorea segute dá ua codção ecessára para que u poto a INT. A seja etreate relatvo de f ( ). Teorea : Sedo a INT. A etreate relatvo de f ( )e estdo as dervadas parcas f ( a) te-se f ( a)= 0 ( =... ) 4

7 Deostração : Adta-se para far deas que a INT. A é zate relatvo. Este etão u ε > 0 tal que < ε f ( a + ) f ( a). Toado e partcular = ( ) co 0 < < ε te-se ou seja f (a + a... a ) f (a a... a ) f ( a) = l f ( a + a L a ) f ( a a L a ) 0 = l f ( a + a L a ) f ( a a L a ) + 0 = 0. Por outro lado toado e partcular = ( ) co 0 < < ε te-se dode resulta f (a - a... a ) f (a a... a ) ou ada f ( a a L a ) f ( a a L a ) f ( a+ k a L a ) f ( a a L a ) k 0 0 co k = - (-ε < k < 0 ). Obté-se etão f ( a) = l f ( a + k a L a ) f ( a a L a ) k k 0 = l f ( a + k a L a ) f ( a a L a ) k 0 = 0. Mas de f ( a) 0 e f ( a) 0 resulta ecessaraete f ( a)= 0. Para as restates dervadas parcas segudo cao aálogo obter-se-a f ( a) = = f ( a)= 0. O caso e que a INT. A é azate te deostração seelate. O teorea precedete forece u étodo para deteração dos possíves etreates terores de f ( ) o pressuposto de estre as preras dervadas parcas da fução e todos os potos do teror do respectvo doío. Basta resolver o sstea 43

8 f ( L ) = f ( L ) = L f ( L ) = as cógtas... sedo cada solução obtda u possível etreate da fução. Cada ua das soluções do sstea é aqulo a que usualete se caa u poto de estacoardade da fução. Vereos segudaete coo recorredo ao cálculo das dferecas de orde superor e co auílo da fórula de Taylor podeos averguar se u dado poto de estacoardade é ou ão etreate. E tudo o que va segur-se vaos adtr que a fução é de classe C r o teror do respectvo doío co r ão feror à aor das ordes das dferecas sucessvas evolvdas os cálculos. Seja a u poto de estacoardade da fução sto é u poto teror do respectvo doío ode se aula as preras dervadas parcas. Caso esta seja a orde da prera das dferecas sucessvas e = a que ão se aula para todos os vectores (claro que e vrtude de sere ulas as preras dervadas parcas e = a ). Etão a (-)-ésa fórula de Taylor co orge o poto a e resto de Peao assue a fora ρ f ( a + ) = f ( a) + d f ( a) + α ( )! vers co l α ( ) = 0. 0 Vão cosderar-se separadaete os segutes casos: º CASO : A dferecal de orde da fução o poto a é postva para certo = u e egatva para certo = v. Neste caso vê-se co facldade que a ão pode ser etreate. Co efeto toado β > 0 sufceteete pequeo de fora que a + β. u e a + β. v perteça abos ao doío da fução f ( ) o que sepre se cosegue por ser a poto teror de tal doío te-se ρ () f ( a + β. u ) = f ( a) + {[ d f ] ( a) + α ( β. u ) }! ver s u ρ () f ( a + β. v) = f ( a) + {[ d f ] ( a) + α ( β. v) }! v e r s v 44

9 ua vez que v er s (β. u) = ver s u e v er s (β. v) = ver s v. Dado que [ d f ] ( a) > 0 u [ d f ] ( a) < 0 v [ d f ] ( a) > 0 v e r s u [ d f ] ( a) < 0 v e r s u l α ( β. u ) + β 0 = l α ( β. v) + β 0 = 0 coclu-se a partr das gualdades () e () supra co β ] 0 δ [ e δ sufceteete pequeo que : f ( a + β. u) > f ( a) e f ( a + β. v) < f ( a) desgualdades que e cojuto ão perte que a seja zate ou azate. Este caso ocorre sepre que seja ípar porque se for [ d f ] u a) 0 [ d f ] (a) a assur sas cotráros co = u e = v = u [ d f ]( u ) ( a) = ( ). [ d f ] u ( a) = [ d f ] u (a). ( ua vez que: te-se Mas pode tabé suceder co par bastado par tal que seja defda a fora de grau [ d f ] (a) = L f L = = ( a) L. º CASO : A dferecal de orde da fução o poto a te o eso sal para todos os 0 (para tal é ecessáro as ão sufcete que seja par). Neste caso á os dos segutes subcasos a cosderar: º Subcaso : A dferecal de orde o poto é postva segudo todos os vectores ão ulos ou seja a referda dferecal é ua fora defda postva de grau Te-se para 0 d f a ( ) > 0 e portato tabé d f ( a ) = L f vers L = = ( a ) ξ L ξ > 0 45

10 e que as coordeadas ξ j de vers verfca a relação ξ + L + ξ =. Cosderada coo fução das coordeadas ξ j a dferecal e causa é ua fução cotíua o cojuto ltado e fecado F = { (ξ ξ... ξ ) : ξ + L + ξ = } adtdo portato esse cojuto u ío µ > 0. Teos etão ρ f ( a + ) = f ( a) + d f ( a) + α ( ) >! vers ρ! µ α > f ( a) + { + ( )} co l α ( ) = 0 e portato desde que < ε (co certo ε > 0 ) te-se 0 f ( a + ) > f ( a). Coclu-se ass que o poto a é zate e trata-se evdeteete de u zate e setdo estrcto. º Subcaso : A dferecal de orde o poto é egatva segudo todos os vectores ão ulos ou seja a referda dferecal é ua fora defda egatva de grau Segudo cao seelate ao do subcaso ateror (as toado agora o áo - egatvo - da dferecal) coclu-se que co < ε f ( a + ) < f ( a) ou seja o poto a é azate e setdo estrcto. 3º CASO : A dferecal de orde da fução o poto a é ua fora de grau sedefda (para tal é ecessáro as ão sufcete que seja par) Neste caso á os dos segutes subcasos a cosderar: 3º Subcaso : A dferecal de orde o poto é postva ou ula segudo todos os vectores estdo poré vectores ão ulos que a aula (ou seja a referda dferecal é ua fora sedefda postva de grau ). Os vectores s ão ulos que aula a dferecal de orde caa-se vectores sgulares. Seja = u u vector que tora postva a dferecal e causa (á pelo eos u vector essas codções porque por pótese a dferecal de orde ão é detcaete ula) ; racocado coo o º CASO coclu-se que co β ] 0 δ [ e δ postvo sufceteete pequeo f ( a + β. u) > f ( a) ou seja se o poto a for etreate só pode ser zate. 46

11 Cosdere-se agora u vector sgular s e seja + k a orde da prera das dferecas de orde superor a que ão se aula para = s (ote--se que a orde + k poderá depeder do vector sgular cosderado). Te-se etão co β > 0 sufceteete pequeo de fora que a + β. s perteça ao doío da fução f ( ) + k Se for + k + k {[ d f ] ( a) α ( β. ) } ρ f ( a + β. s) = f ( a) + ver s s + s ( + k)! d f a s +k ( ) < 0 tabé [ d f ] (a) v er s s < 0 e racocado do eso odo que o prero caso coclu-se que co β ]0 δ [ e δ sufceteete pequeo f ( a + β. s) < f ( a) ou seja o poto a ão pode ser zate (úca pótese e aberto coo se vu) ; logo ão pode ser etreate. Observe-se que esta stuação se verfca sepre que + k seja ípar porque etão ua + k + k d f a d f ( a) é egatva e se o vector s é das dferecas s ( ) ou sgular o eso se passa co - s ; pode poré verfcar-se eso que + k seja par. + k Quado para todos os vectores sgulares s seja s d f ( a)> 0 ada se pode coclur. Trata-se do caado caso duvdoso cujo esclareceto obrga oralete ao estudo drecto da fução. 4º Subcaso : A dferecal de orde o poto é egatva ou ula segudo todos os vectores estdo poré vectores ão ulos que a aula (ou seja a referda dferecal é ua fora sedefda egatva de grau ). Procededo coo o subcaso ateror coclu-se se dfculdade que: - Se para certo vector sgular s a orde + k da prera das dferecas de orde superor a que ão se aula para = s for ípar etão o poto a ão pode ser etreate ; - O eso acotece quado + k seja par e a dferecal e causa seja postva para = s ; - Quado para todos os vectores sgulares s se tea [ + k ] coclur tratado-se de ovo de u caso duvdoso. s d f ( a)< 0 ada se pode Repare-se que para as fuções f : A R R (ou seja fuções reas de ua varável real) te-se s. [ d f ] (a) = f () (a). co f () (a) 0 e etão: 47

12 O ºCASO só pode ocorrer quado seja ípar ; O 3ºCASO ão pode ocorrer pos co f () (a) 0 [ d f ] (a) co 0 ; ão pode aular-se Para terar vaos apresetar algus eeplos de aplcação dos resultados obtdos a dscussão precedete. ) Para deterar os etreates de f ( y z) = yz y + z a resolução do sstea f = yz = 0 f y = z 4y = 0 fz = y + = 0 perte obter dos potos de estacoardade: = y = - z = - ; = - y = z = -. Ora a seguda dferecal da fução u poto geérco ( y z) é a fora quadrátca " " " " " y z 3 y y d f ( y z) = f + f + f + f + f + " " " " yz 3 z 3 zy 3 z 3 = f + f + f + f = = + z. + y. + z y. +. cuja atrz (atrz Hesseaa) é H = z y z 4 y 0. 48

13 Para o prero poto de estacoardade te-se H = 4 0 cocludo-se se dfculdade que a seguda dferecal é o poto e causa ua fora quadrátca defda. Logo o poto de estacoardade e causa ão é etreate. Ua aálse seelate feta para o segudo poto de estacoardade leva gualete à coclusão de que ão se trata de u etreate. ) Para deterar os etreates de a resolução do sstea f ( y) = ( - y ) y 4 3 f = ( y) 4 = 0 3 f y = ( y) 4y = 0 perte obter três potos de estacoardade : = y = - ; = - y = ; = 0 y = 0. A seguda dferecal de f ( y) u poto geérco é ua fora quadrátca (os acréscos e k das varáves e y) cuja atrz (atrz Hesseaa) é H = y. Para o prero e segudo potos de estacoardade te-se H = 0 0 e coclu-se se dfculdade que a seguda dferecal é ua fora quadrátca egatva. Portato qualquer dos dos potos de estacoardade e causa é u azate. Para o tercero poto de estacoardade te-se H = 49

14 sedo portato sedefda postva a seguda dferecal. Para deterar os vectores sgulares escreva-se a epressão da seguda dferecal o poto de coordeadas = y = 0 : d f = - 4 k + k = ( - k) ; esta epressão perte coclur que os vectores sgulares são os vectores da fora s = ( ) co 0. A epressão da tercera dferecal u poto geérco é d 3 f = y k 3 cocludo-se portato que o poto (0 0) é ula segudo qualquer vector sgular. Passado etão à quarta dferecal te-se u poto geérco d 4 f = k 4 pelo que o poto (0 0) e para u vector sgular geérco s = ( ) te-se d 4 f = < 0 ass se cocludo que o poto e aálse ão é etreate. 3) Para deterar os etreates de a resolução do sstea f ( y) = - 3 y + y 4 f = 3y = 0 3 f y = 6y + 8y = 0 perte obter coo úco poto de estacoardade o poto de coordeadas = y = 0. Nesse poto e segudo u vector geérco ( k) a seguda dferecal é d f = fora quadrátca sedefda postva que se aula para os vectores sgulares s = (0 k). Segudo qualquer destes vectores sgulares a tercera dferecal a orge é ula e a quarta dferecal é d 4 f = 48 k 4 ou seja é ua fora de grau 4 postva para qualquer dos ecoados vectores sgulares. Estaos portato o caso duvdoso e só ua aálse drecta da fução poderá esclarecer a questão. Notado que f ( y) = - 3 y + y 4 = - y + y 4 + y 4 - y = = ( - y ) + y. (y - ) = ( - y ). ( - y ) coclu-se que e qualquer vzaça da orge a fução assue sas cotráros pos é postva para > y > y e egatva para y > > y. Coo f (0 0) = 0 cocluse que a orge ão pode ser zate e azate: caso fosse zate 50

15 5 devera ter-se f ( y) 0 e certa vzaça da orge; caso fosse azate devera ter-se f ( y) 0 e certa vzaça da orge. Tera-se apresetado u dagraa que resue a técca a aplcar a deteração dos etreates terores. Sedo (a) = = 0 ) ( 0 ) ( f f K L K (b) = = = = r r r r r f f d ) ( ) ( L L L veja-se o dagraa da pága segute.

16 Resolver o sstea (a) para deterar os potos de estacoardade terores ao doío da fução Para cada poto a de estacoardade deterar a prera das dferecas sucessvas (b) que ão é detcaete ula. Não este são todas ulas: - Caso Duvdoso Este e te orde par Este e te orde ípar: - O poto a ão é etreate Esta dferecal é defda postva: -O poto a é zate Esta dferecal é sedefda Esta dferecal é defda egatva: -O poto a é azate Para certo vector sgular s a prera dferecal sucessva de orde superor a que ão se aula te orde ípar: - O poto ão é etreate Pare certo vector sgular s a prera dferecal sucessva de orde superor a que ão se aula te orde par e é egatva: - O poto ão é etreate Pare certo vector sgular s a prera dferecal sucessva de orde superor a que ão se aula te orde par e é postva: - O poto ão é etreate Para todos os vectores sgulares s a prera dferecal sucessva de orde superor a que ão se aula te orde par e é postva: - Caso duvdoso. Para todos os vectores sgulares s a prera dferecal sucessva de orde superor a que ão se aula te orde par e é egatva: - Caso duvdoso. Para todos os vectores sgulares s as dferecas sucessvas de orde superor a são todas detcaete ulas: - Caso Duvdoso 5

17 4. Estudo da covedade e cocavdade Coo se sabe o cojuto A R dz-se coveo (ou coeo por segetos) se e só se quasquer que seja os potos a b A o cojuto S( a b ) = { : = λ. a + µ. b λ 0 µ 0 λ + µ = } está cotdo e A ou seja se e só se o segeto de etredades os potos a e b estver cotdo o cojuto A. As fguras segutes eeplfca u cojuto coveo e u cojuto ão coveo e R : B A a b a b A é coveo B ão é coveo Sedo A R coveo a fução f ( ) de A e R dz-se covea o coveo A se e só se quasquer que seja a b A λ 0 µ 0 e λ + µ = f (λ a + µ b ) λ. f ( a ) + µ. f (b ) ; dz-se côcava se e só se λ 0 µ 0 e λ + µ = f (λ a + µ b ) λ. f (a ) + µ. f (b ). O teorea segute dá ua prera codção ecessára e sufcete de covedade (cocavdade): Teorea : A codção ecessára e sufcete para a fução f ( ) seja covea (côcava) o cojuto coveo A R é que quasquer que seja a b A a fução real de varável real g (λ ) = f [λ a + (- λ)b ] seja covea (côcava) o tervalo [0 ] Deostração : A codção é ecessára. Adtdo f ( ) covea o coveo A cosdere-se a fução g (λ ) = f [λ a + (- λ)b ]. Dados os reas λ µ [0 ] seja α 0 e β 0 tas que α + β =. Te-se etão 53

18 g (α λ + β µ) = f [ (α λ + β µ). a + (- α λ - β µ). b ] = = f [ (α λ + β µ). a + (α + β - α λ - β µ). b ] = = f [ α. (λ a + b - λ b ) + β. (µ a + b - µ b )] = = f {α. [ λ a + ( - λ)b ] + β. [ µ a + ( - µ)b ] } e coo por ser coveo o cojuto A a b A λ a + ( - λ)b A µ a + ( - µ)b A tra-se pela covedade de f ( ) g (α λ + β µ) α. f [ λ a + ( - λ)b ] + β. f [ µ a + ( - µ)b ] = = α. g (λ) + β. g (µ) ass se provado a covedade da fução g (λ) o tervalo [0 ]. Vejaos agora que a codção é sufcete. Se dados quasquer a b A a fução g (λ ) = f [ λ a + (- λ)b ] é covea o tervalo [0 ] te-se co λ 0 µ 0 e λ + µ = f (λ a + µ b ) = f [ λ a + ( - λ)b ] = g (λ ) = g (λ. + µ. 0 ) λ. g() + µ. g(0) = λ. f ( a ) + µ. f (b ) ass se provado que f ( ) é covea e A. Trocado a arguetação precedete o setdo das desgualdades o teorea fca provado para o caso da cocavdade. O teorea que acaba de deostrar-se perte deduzr ova codção ecessára e sufcete de covedade (cocavdade) aplcável o caso e que f ( ) seja de classe C u coveo aberto A. Teorea 3 : Sedo f ( ) de classe C u coveo aberto A a codção ecessára e sufcete para que a fução seja covea (côcava) e A é que qualquer que seja A a seguda dferecal d f ( ) = j = = " j f ( ). seja ua fora quadrátca defda ou sedefda postva (egatva) j 54

19 Deostração : A codção é ecessára. Adtdo que f ( ) é covea o coveo aberto A cosdere-se u qualquer A e ua vzaça V ε ( ) cotda e A. Etão toado u qualquer vector de ora feror a ε te-se + A. Defdo g (λ ) = f [λ + ( - λ)( + )] = f [ + ( - λ) ] o teorea afra que a fução real de varável real g(λ) deverá ser covea o tervalo [0 ] ou seja " g (λ ) = [ + ] j = = f ( λ ).. 0 j j esse tervalo: co efeto se para algu valor λ 0 do tervalo pudesse ser g (λ 0 ) < 0 etão devdo à cotudade de g (λ ) resultate do facto de f ( ) ser de classe C o aberto A teríaos que g (λ ) < 0 e algu subtervalo de [0 ] e g(λ) sera etão côcava (estrtaete) esse subtervalo ão podedo portato ser covea o tervalo total. De g ( ) 0 resulta etão d f ( ) = j = = " j f ( ). 0 j para qualquer tal que < ε. Daqu resulta que a fora quadrátca d f ( ) deverá ser ão egatva para todos os vectores R ; co efeto a partr de qualquer R pode defr-se k = α co α sufceteete pequeo de odo que k < ε e por ser 0 [ ] coclu-se que tabé d f d f ( ) 0. A codção é sufcete. Adtdo que k ( ) = α. [ ] d f ( ) d f ( ) = j = = " j f ( ). j é para cada A ua fora quadrátca defda ou sedefda postva seja quasquer a b A e toe-se a fução g (λ ) = f [ λ a + (- λ)b ] ; etão " g (λ ) = [ ] f λ. a + ( λ ). b.( a b )( aj bj ) 0 j = = j 55

20 ou seja g (λ ) é covea o tervalo [0 ] ; o teorea garate etão a covedade de f ( ) o aberto coveo A. O teorea deostra-se da esa fora (recorredo ao teorea ) para o caso da cocavdade. O teorea ateror perte ada estudar a covedade ou cocavdade de f ( ) u coveo A* que seja o feco ou aderêca de u certo aberto coveo A o qual se verfca as póteses do teorea desde que a fução seja cotíua e A*. Dea-se a deostração ao cudado do letor sugerdo-se para o efeto que: a) Prove e prero lugar que o feco ou aderêca de u cojuto coveo é ada u cojuto coveo; b) Prove depos que a covedade (cocavdade) de f ( ) e A e cojuto co a cotudade da fução a aderêca ou feco de A plca a covedade (cocavdade) da esa fução e Ad A. 56

21 5. Eercícos - Escreva a prera fórula de Taylor co resto de Lagrage para f ( y) =. y co orge o poto ( ). - O eso que o eercíco ateror as para a fução f ( y) = orge o poto ( 0). y y + co 3 - Cosderado a fução f ( y) = se ( + y) a) Detere ua epressão geral para f ( = 3... ; α = 0... ) α α y u poto geérco ( y). Qual a dervada que está e causa quado seja α = 0 ou α =? ( b) Escreva a epressão geral de f ) ( y) co u = ( k) ; u c) Escreva a -ésa fórula de Taylor (resto de Lagrage) para a fução f ( y) co orge o poto (0 0) toado coo acréscos das varáves = e k = y. 4 - Cosdere a fução f ( y) defda pela segute sére f ( y) = + ( - y) + ( - y) ( - y) a) Detere o respectvo doío ; b) Detere ua epressão geral para f ( = 3... ; α = 0... ) α α y o poto ( ) ; ( c) Escreva a epressão geral de f ) u ( ) co u = ( k) ; d) Escreva a -ésa fórula de Taylor (resto de Lagrage) para a fução f ( y) co orge o poto ( ) toado coo acréscos das varáves = - e k = y Detere os etreates e correspodetes etreos para as fuções: a) f ( y) = ( - y) y 4 ; b) f ( y) = ( + y ). e y ; c) f ( y) = - 3 y + y 4 ; d) f ( y z) = y z - / - y + z. 57

22 6 - Estudar se o poto de coordeadas = -/4 y = / e z = 0 é ou ão etreate da fução f ( y z) = + y + y 4 + z. 7 - Deterar os etreates de f ( y z) = α y + + z fazedo a dscussão e fução de α 0. (α 0 ) 8 - Deterar os etreates das segutes fuções: 3 3 a) f ( 3 ) = + ; b) f ( y) = y. log ( + ) ; c) f ( y z) = y + z y - β ; d) f ( y) = e ( y+ y ) ; e) f ( y) = ( + y ) - a. ( - y ). Nos casos c) e e) fazer a dscussão e fução dos parâetros evolvdos. 9 - Detere os etreates e os correspodetes etreos de f ( y) = + 4y y. 3 SUGESTÃO : Escreva o radcado sob a fora de ua costate eos ua soa de quadrados. 0 - Detere os etreates e os correspodetes etreos de 3 f ( y) = + y 3 y +. - Estude a covedade ou cocavdade das segutes fuções os cojutos coveos que se dca: a) f ( y z) = - e + y + z e R 3 ; b) f ( y) = + y e A = {( y) : + y 0 } ; c) f ( y) =. y e A = {( y) : 0 y 0} e e B = {( y) : 0 y 0} ; d) f( y z) =. y. z e A = {( y z) : 0 y 0 z 0 } e e B = {( y z) : 0 y 0 z 0}. 58

23 - Seja f ( ) ua fução de A R e R e adta-se que A é coveo e f ( ) covea e A. Prove sucessvaete que: a) Sedo a A u zate relatvo de f ( ) etão esse poto a é zate absoluto da fução ; b) O cojuto K dos zates relatvos (logo absolutos) de f ( ) é u cojuto coveo e a fução é costate e K ; c) Se a INT. A é azate relatvo de f ( ) etão a fução é costate e certa V ε ( a ) ; d) Se f ( ) te áo absoluto este ão pode ser atgdo u poto a INT. A ecepto o caso trval de a fução ser costate e A. 3* - Seja f ( ) ua fução de A R e R covea e certa vzaça V ε ( a ) A e adta-se que se trata de ua fução de classe C e V ε ( a ). Prove que se as preras dervadas parcas da fução se aula o poto a etão este poto é azate relatvo da fução. Euce e deostre ua proposção aáloga para o caso e que f V ε ( a ). SUGESTÃO : Utlze a fórula de Taylor co resto de Lagrage. ( )seja côcava e RESPOSTAS : k k k.( + θ ) - ( + ). + k = + ( + ) + + θ k 4.( + θ k). + θ k co 0 < θ <. k + k - = k co 0 < θ <. + + k 3 ( + θ + θ k) f 3 - a) = se ( + y +.π /) ; quado α = 0 a dervada e causa é α α y f y ; quado α = a dervada e causa é ( b) f ) ( y) = ( + k). se ( + y +. π / ) ; u c) se ( + y) = + + α = 0 ( y) α! ( + y) ( + )! α + se ( α. π / ) + f [.( ) ( ). / ] se θ + y + + π co 0 < θ <. ; 59

24 4 - a) Doío = {( y) : - < y < + R } ; f b) =!.( - ) - α o poto de coordeadas = y = ; α α y u ( c) f ) ( ) =! ( k) ; d) f ( y) = + ( y) + ( y) + L + ( y) + co 0 < θ <. y θ ( y) a) Os potos de coordeadas = y = - e = - y = são azates e o áo correspodete é gual a e abos os casos ; o poto de estacoardade de coordeadas = y = 0 ão é etreate ; b) O poto de coordeadas = y = 0 é zate sedo 0 o correspodete ío; o poto de estacoardade de coordeadas = 0 y = - ão é etreate ; c) O poto de estacoardade de coordeadas = y = 0 ão é etreate ; d) Os potos de estacoardade de coordeadas = y = - z = - e = - y = z = - ão são etreates. 6 - É zate. 7 - Co α 0 o poto de coordeadas = -/ y = z = 0 é zate se for α < 0 e ão é etreate se for α > a) O poto de coordeadas = = 3 = 0 é azate ; b) O poto de estacoardade de coordeadas = y = 0 ão é etreate ; c) O poto de estacoardade de coordeadas = y = 0 z = β ão é etreate qualquer que seja o valor do parâetro β ; d) Os potos de estacoardade de coordeadas = y = 0 e = 0 y = - ão são etreates ; e) Co a 0 o poto de estacoardade de coordeadas = y = 0 ão é etreate e os potos de coordeadas = ± a y = 0 são zates (abos coduzdo ao eso ío) ; co a = 0 o poto de coordeadas = y = 0 é zate. 9 - O poto de coordeadas = y = é azate sedo o correspodete áo gual a 5 ; os potos de coordeadas = a y = ± 4 + a a co a pertecete ao tervalo [ 5 + 5] são zates (froteros) todos eles coduzdo ao valor ío gual a O poto de estacoardade de coordeadas = /4 y = / ão é etreate; a fução adte coo zates (froteros) os potos de coordeadas = a y = b tas que a + b 3-3 a b + a = 0 coo é o caso etre outros dos potos de coordeadas = y = 0 = y = e = - y = 0 todos eles coduzdo ao valor ío gual a 0. - a) Côcava ; b) Covea ; c) Côcava e A e e B ; d) Não covea e côcava e qualquer dos cojutos dados. 60