3- Autovalores e Autovetores.

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Flávio Varejão Lacerda
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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 3- Autovalores e Autovetores. 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz. 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz.

2 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz A Dada a atrz cosdere a trasforação lear: ode x e y são vetores de u espaço -desoal. Defção: U vetor x 0 é dto ser autovetor da atrz A se a trasforação lear deste vetor é colear a este vetor. Ou sea, se A O escalar é chaado de autovalor da x= x. atrz A correspodete ao autovetor x. Teorea: Toda trasforação lear (atrz) e u espaço vetoral coplexo te, pelo eos, u autovetor (real ou coplexo). Note que ( A E ) x= 0 esta equação te solução dferetes da ula ( x 0) se e soete se, seu deterate é zero det( A E ) = 0 ( ). Esta equação é chaada equação característca e o polôo e defdo por ela se chaa polôo característco. As raízes deste polôo são os y = Ax

3 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz A autovalores da atrz e o couto de autovalores se chaa espectro da atrz. As soluções ão ulas de () para cada autovalor são os autovetores que correspode a este autovalor ( A E ) x= 0. Pode ser provado que o úero learete depedete de autovetores correspodetes a u autovalor ão pode ser aor que a ultplcdade deste autovalor (raz do polôo característco). Cosequeteete, se todos os autovalores são dsttos (ão te ultplcdade), etão a cada autovalor correspode apeas u úco autovetor, sedo as outras possíves soluções de ( A learete depedete E ) x= 0 deste úco autovetor. Teorea: Os autovetores de ua atrz correspodetes a dos autovalores dsttos são learete depedete.

4 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Coroláro: Se todos os autovalores de ua atrz de orde são dferetes, etão os correspodetes autovetores desta atrz fora ua base o espaço -desoal. Exeplo: Ecotre os autovalores e autovetores da atrz Prero deveos ecotrar os autovalores solução A = do polôo característco: det( A E ) = 0 det = ( ) e 0 = 0 = = 3 Dados os autovalores, os autovetores deve ser ecotrados subttudo cada autovalor a equação: ( A E ) x= 0 x Para = segue x x ou x x ode x = 0 + = 0 = x = c 0 é ua costate arbtrára. O autovetor x correspodete a

5 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz é x c = = c = se c =. c x Para = 3 segue x x ou x x ode x = 0 = 0 = x = c 0 é ua costate arbtrára. O autovetor x correspodete a c é x = = c = se c =. c Note que x e x são learete depedete e fora ua base o espaço vetoral bdesoal. Duas atrzes são dta ser slares se elas pode ser obtdas a partr da outra, através de ua trasforação efetuada por algua atrz ão sgular. A = SBS B = S AS S, ode det( ) 0

6 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Teorea: Matrzes slares possue o eso polôo característco. Coroláro: Matrzes slares possue os esos autovalores cludo a ultplcdade deles. Coroláro: U vetor é autovetor de ua trasforação lear depedeteete da escolha da base. Teorea: Se ua atrz quadrada de orde te autovetores learete depedete, etão escolhedo estes autovetores coo base obteos ua atrz dagoal slar à atrz. A A Coroláro: Toda atrz quadrada co autovalores dsttos pode ser reduzda a ua atrz dagoal através da trasforação de slardade. 0 0 Λ =

7 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Exeplo: Reduza a atrz A = a sua fora dagoal. Já coheceos os autovalores e autovetores desta atrz. = x = Ax = x 0 Λ = 0 3 é slar a A = = 3 x = Ax = x As atrzes A e Λ são slares se exste ua atrz S tal que A= SΛS Λ = S AS, ode det( S) 0. Costrua S co os autovetores de A, S= det S= 3 0 e S = AS= S AS= = Λ

8 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Chaaos fora b-lear da atrz real quadrada ao produto escalar: ao espaço coplexo A x, y = a kxky = akxyk, xy, = k = = k= desoal Coroláro: Se A é real e sétrca ( A= A T ), etão ( ) * * ( A x y) = ( x A y),,. Teorea: Todos os autovalores de ua atrz real sétrca são reas. Ou sea, as raízes da equação característca de ua atrz real sétrca são todas reas. Teorea: Os autovetores correspodetes a dsttos autovalores de ua atrz real sétrca são ortogoas etre s esos. x, x = 0, ode x, x e ( ) A

9 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Os autovetores de ua atrz real sétrca pode ser assudos reas. Teorea: Toda atrz real sétrca pode ser reduzda a sua fora dagoal através de trasforações de slardade. Coroláro: Para toda trasforação lear defda por ua atrz real sétrca exste ua base ortogoal a qual a atrz de trasforação é dagoal. Note que a base ortogoal é forada pelos auovetores da atrz e que todos são reas. Coroláro: Se a atrz é sétrca, etão a todo autovalor está assocado u úero de autovetores learete depedete gual à ultplcdade deste autovalor.

10 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Teorea (propredade extreal dos autovalores): Sea ua atrz real sétrca e todos seus autovalores,,,. Sea = (,,, ) e M = ax(,,, ), etão para todo vetor x se verfca: ( xx, ) ( A xx, ) ( xx, ). M Coroláro: O eor e o aor autovalor de ua atrz real sétrca A, são respectvaete o eor e aor valor da fora quadrátca = A x, x a esfera utára xx, =. ( ) u ( ) Ua atrz real sétrca é chaada postva defda se sua correspodete fora quadrátca é postva defda. Isto é, * ( ) a x x se x 0, u = A x, x = > 0. = = Teorea: Ua atrz real sétrca é defda postva se e soete se todos seus autovalores são postvos. A

11 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz Para ua atrz real quadrada de orde os coefcetes do polôo característco são reas. E geral, as raízes,,, (autovalores) deste polôo são cougados e pares, se eles são coplexos. Ou sea, dado u autovalor seu cougado é tabé autovalor da atrz co a esa ultplcdade. Pode ser que ua atrz real quadrada ão teha ehu autovalor real. Etretato, se todos os eleetos da atrz são postvos a > 0, etão exste pelo eos u autovalor real (o aor uercaete) e o autovetor assocado a ele é forado por coordeadas postvas. A segur, étodos para ecotrar autovalores e autovetores!

12 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Dvdos o problea e duas partes: - Ecotrar os autovalores de ua atrz cosste e deterar as raízes do polôo característco: det( A E ) = 0. - Ecotrar os autovetores assocados a cada autovalor cosste e deterar os vetores x 0 que são solução do sstea lear hoogêeo: ( A E ) x= 0. Abordareos duas téccas para resolver a prera parte:.- expadr o deterate P( ) = det( A E) = 0 e polôos de grau e ecotraos suas raízes usado algu étodo aproxado, A

13 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz.- aproxar as raízes da equação característca pelo Método da Iteração se expadr o deterate. Técca.- Expasão do deterate e polôos ( a ) a a a ( a ) a P( ) = det( A E) = = 0 a a ( a ) 3 P ( ) = ( ) σ σ σ ( ) σ = 0 Deterar os coefcetes σ é equvalete a calcular deterates de varas ordes, que é ua tarefa trabalhosa quado é grade. Exste étodos (Dalevsky, Krylov, Leverrer, etc) que cotora o calculo destes deterates. O étodo de Dalevsky exge eos operações artétcas.

14 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Técca.- Ecotrar aproxadaete o aor autovalor e valor absoluto e seu autovetor se expadr o deterate Caso. Etre todos os autovalores exste apeas u (se ultplcdade) co aor valor absoluto. Supoha que é o prero: > 3. Lebre que para ua atrz real co todos os eleetos postvos seu aor autovalor é real. Sea y u vetor arbtráro represetado coo cobação lear da base forada pelos autovetores da atrz : = y c x, ode x, x,, x são autovetores de A = e c são coefcetes costates. A

15 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Já que ( A segue A y cax c x. E ) x = 0 = = Chaaos Ay de ua teração do vetor y e foraos ua 3 sucessão de terações Ay, AAy = A y, A y,, A y, ode y A y c x. = = = Escolha ua base e, e,, e (ão ecessaraete utára) e descopoha os autovetores de A e o vetor y esta base: x = x e e y = y e logo, = = y = c xe = e cx e y = cx = = = = = = = x y slarete teos y = cx e costruos. y =

16 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz + cx = + + = = + + cx = + + y c x c x y c x c x cx cx cx y = y cx cx cx = + + Se c 0 e x 0 podeos trasforar a expressão ateror a fora: + + cx cx y cx cx = y cx cx + + cx cx

17 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Note que para garatr que c e é sufcete fazer ua 0 x 0 escolha aproprada do vetor y e da base e, e,, e. Note que < > á que e o aor autovalor de A. Logo l = 0. Cosequeteete, se passaos ao lte o processo teratvo obteos: + + cx cx y cx cx l l =, y = cx cx + + cx cx + y + y = + O ou (,,, ). ( ) = y y

18 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Se o úero de terações é sufceteete grade, o processo teratvo () proporcoa o autovalor de aor valor absoluto da atrz A, co a precsão deseada. Para fazer sto deveos escolher o vetor cal y. Nos casos que a escolha de y ão é adequada o processo teratvo () pode ão covergr. Esta ão covergêca pode ser observada quado os valores do cocete oscla. Neste caso deveos fazer ua ova escolha do vetor cal y. Note que o autovetor x assocado ao autovalor é aproxadaete x y = A y, á que A y x x x x x c = c = c + c = c + = = = c

19 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz Coo l = 0 >, cosequeteete A y c x. Ou sea, para ua teração sufceteete grade A y se dfereca do autovetor x apeas por u fator (são paralelos). Lebrado o Coroláro: U vetor é autovetor de ua trasforação lear depedeteete da escolha da base. Exeplo: Ecotre o aor autovalor e seu autovetor da atrz? A = Feto co Excel

20 Frase do Da Sce a geeral soluto ust be udged possble fro wat of aalyss, we ust be cotet wth the kowledge of soe specal cases, ad that all the ore, sce the developet of varous cases sees to be the oly way to brgg us at last to a ore perfect kowledge. Leohard Euler

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