5 Aplicação do GFMM no BEM

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1 38 5 Apação do GFMM o BEM esse apítuo os desevovmetos apresetados o apítuo 4 são apados ao BEM pea expasão das souções fudametas utzadas as tegrações sobre os segmetos do otoro. É apresetada a formuação das tegrações para terpoações do tpo apresetado a e. (.4, ode todas as expressões a serem tegradas são meramete poomas. Dessa forma, ao fa do apítuo são desevovdas tabeas de tegração geéras para eemetos eares, uadrátos e úbos, e ue são as mesmas para uauer ue seja a soução fudameta utzada. 5.. Impemetação omputaoa Em um agortmo de smuação baseado o BEM, as tegrações sobre os eemetos do otoro são bastate ustosas, pos em gera as souções fudametas apresetam ata ompexdade e sua tegração uméra deve ser mpemetada de modo a evar em ota as sguardades exstetes. a expasão proposta a e. (4.3, ota-se ue o úo termo ue depede das oordeadas do eemeto ( z é pooma, pos é auado segudo o vetor P apresetado a e. (4.5. H e G são ode Cosdere-se, por exempo, um probema de potea, em ue as matrzes u m e H ( z z ( z u ( z d( z, e (5. m m G u ( z z t ( z d( z, (5. m m m são as souções fudametas em termos de potea e fuxo, respetvamete, para o probema de eastdade em D esrtas em termos de úmeros ompexos, é o vetor utáro orma à superfíe do otoro,

2 39 represeta o tervao de tegração sobre todo o eemeto, poteas odas, e t é o vetor de fuxos a superfíe. u é o vetor de As tegrações apresetadas as es. (5. e (5., se osderadas um otexto de FMM, só serão desevovdas em stuações em ue o poto fote z está fora (e dstate do eemeto em uestão a defção de uão dstates os potos fote e ampo devem estar um do outro é proposta para trabahos futuros em ue o autor pretede trabahar. este aso, as matrzes ão apresetam sguardade, e suas expasões segudo a e. (4.3 são H m u u H u d u d, m m m z + +, e (5.3 ( z u P ( z z ( ( Pj z z Q L L m + j z z d L L fa j fa j G t P( z z P ( z z Q ( z z d + + m L j L m j L L π + fa j fa j. (5.4 as euações ama, apeas o poômo P ( z z, t,, e u depedem de z, ou seja, devem ser tegrados sobre o eemeto. Dessa forma H m fa fa + + ( L ( L ( ( L m + L j j, e (5.5 Pj z z Q j z z P z z z ud Gm Pj z z Q j z z P z z t d fa j fa j + + ( L ( L ( L m + L, (5.6 ode as úas tegrações a serem desevovdas são ( H ( ( P z z z u d z, e (5.7 G P ( z z t d( z. (5.8 j j 5.. Itegração o GFMM uma represetação soparamétra, o vetor u (ue para um probema de eastdade, por exempo, tem sgfado de desoametos odas é

3 4 represetado peas mesmas fuções ue defem a geometra do otoro. Essas fuções têm suporte oa e são defdas omo u( z u ( z d, (5.9 ode d são vaores odas de potea. As fuções de forma são etão defdas em termos de uma oordeada paramétra ξ [,], podedo esse tervao ser eotrado também a teratura omo [,]. Como já meoado, ão há a eessdade de osderação de sguardades o presete desevovmeto, pos ees somete oorrem uado z z, e os asos egobados esse trabaho z é sempre dstate de z, aso otráro, a presão do agortmo é prejudada sesvemete. Para os desevovmetos a segur, as fuções de forma usuas são substtuídas por t t J J (e. (.4, ode J é o vaor do Jaobao o poto araterzado peo íde. Dessa forma, o J presete o uoete de t desaparee uado da mutpação por d, vsto ue d J dξ. Isso faz om ue o tegrado da e. (5.8 seja pooma, e de fá obteção aaíta o otexto do GFMM. uma mpemetação omputaoa, t é desrto peas fuções de forma ( ξ. Utzado os oetos apresetados ama as es. (5.7 e (5.8, obtémse ( ( ξ ( ξ ( ξ dξ, e (5. H P z z z ( j ( ( d j ξ ξ ξ. (5. G P z z essas euações, ídes repetdos têm sgfado de somatóro. Essas expressões são formadas apeas por poômos e sua tegração é depedete da soução fudameta do probema, e pode ser auada aatamete. Para fs prátos de mpemetação, tabeas de tegração depedetes apeas das oordeadas odas do eemeto podem ser geradas, presddo assm da eessdade de reazar tegração durate a exeução do agortmo do GFMM. Para sso, troduzem-se as varáves, ustradas a Fgura 9, ta ue z z, om... oe +, (5.

4 4 ode oe é a ordem do eemeto osderado. o atua trabaho, oe pode ser gua a,, ou 3 para eemetos eares, uadrátos e úbos, respetvamete. Fgura 9 Eemeto soparamétro úbo e o poo de expasão z Tabeas de tegração para a matrz H esta seção são apresetados os proedmetos para a geração de tabeas de tegração para a matrz H ue são totamete depedetes das souções fudametas. São osderados eemetos eares, uadrátos e úbos. Tas tabeas podem ser pré-auadas, de forma ue ão há a eessdade do áuo de tegras para eemetos ue estejam dstates do poto fote. As fuções de forma utzadas, defdas o tervao [,], são ( ( [ ξ +, ξ ] 3 +, 4 + 4, ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + ξ ξ ξ, 3, 3, ( ( ( ( ( ( ξ ξ ξ + ξ ode os ídes, e sgfam ear, uadráto e úbo, respetvamete, e suas dervadas são ' [,] [ 4ξ 3, 8ξ + 4, 4ξ ] ' ' 7ξ 8ξ ;8ξ 8ξ 7; 8ξ 8ξ 7; 7ξ 8ξ. (5.4 São apresetados a segur os resutados da tegração da e. (5., para um eemeto ear e uma expasão de três termos ( 3, (5.3

5 4 H ( + ( + ( + + ( ( ( ( ( ( Vae otar a smetra obtda através da defção de ada mas os áuos premares a serem desevovdos. o ue smpfa Os resutados para fuções de forma uadrátas e úbas são apresetados o Apêde Tabeas de tegração para a matrz G Para a tegração da expressão apresetada a e. (5. utza-se a mesma defção de fuções de forma da e. (5.3 também para eemetos eares, uadrátos e úbos. Abaxo são apresetados os resutados da tegração da e. (5. também para uma expasão de 3 termos G j ( + ( (5.6 ( ( ( ( Mas uma vez ota-se ue há uma smetra etre os resutados, advda da defção das varáves. Os resutados para fuções de forma uadrátas são apresetados o Apêde.