CAPÍTULO III MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
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- Célia Barreiro Carrilho
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1 PMR 40 Mecâca Coputacoal CAPÍTULO III MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA São étodos de passo sples requere apeas dervadas de prera orde e pode forecer aproxações precsas co erros de trucaeto da orde de, 3, 4, etc. Todas os étodos de Ruge-Kutta tê a segute fora geral: + + φ( x,, ode φ, caado de fução creeto, é ua aproxação coveete para f((x, o tervalo x x x + Ruge-Kutta de seguda orde Seja φ ua éda poderada de duas aproxações da dervadas k e k o tervalo x x x + φ ak + bk Etão o algorto de Ruge-Kutta de seguda orde fca: + + ak + ( bk (I + k k + f ( x f x, + ( +, Assudo: x x + x k f ( x, (ab/ k f ( x + p, + qf ( x, f ( x, + + Expaddo k e sére de Talor: 33
2 PMR 40 Mecâca Coputacoal k f ( x + p, + qf ( x, f ( x, + pf ( x, + qf ( x, f ( x, O( (II x + Substtudo (II e (I + af x + bf x + bpf x + + bqf x f x + 3 [ (, (, ] [ (, (, (, ] O( (III x Expaddo (x e x usado sére de Talor: (IV ( x + ( x + f ( x, ( x + f! 3 3 d d d ( ξ ( x dx! dx 3! dx ' ( 3 x, ( x + 3! f "( ξ, ( ξ Lebrado que: f '( x, ( x f ( x, ( x + f ( x, ( x f ( x, ( x (regra da cadea x Igualado os teros de esa potêca e das equações (III e (IV, te-se: potêca de expasão de (x e Talor algorto de Ruge-Kutta 0 (x f ( x, ( x ( a + b f ( x, ( x f x x f x x f x x x (, ( + (, ( (, ( bpf x ( x, + bqf ( x, f ( x, assudo: ( x a + b a b bp p q bq b faíla de étodos de seguda orde 34
3 PMR 40 Mecâca Coputacoal Escoledo b p q e a (Método de Heu k f ( x, k f ( x +, + k etão: + + k + k fazedo b a 0 e p q / + + k ode: k f ( x, e k f x k +, + sto pode ser terpretado da segute fora: + + f x + +, ode + + f ( x, + k +/ k x / / x + x Este étodo é caado de Método de Euler Modfcado Ruge-Kutta de a orde te erro local de trucaeto O( 3 e erro global O( Os étodos de Ruge-Kutta de ordes superores são desevolvdos de odo aálogo. 35
4 PMR 40 Mecâca Coputacoal Ruge-Kutta de 3 a orde + + ak + bk + ck 3 ode k, k e k 3 são aproxações das dervadas e város potos o tervalo de tegração x x. Nesse caso,, + k f ( x, k f ( x + p, + pk k f ( x + r, + sk + ( r s k 3 Para deterar as costates a, b, c, p, r e s, expade-se k e k 3 e Talor, e toro de (x, e obtê-se as segutes equações: a + b + c bp + cr bp + cr cps Duas das cotates são escoldas arbtraraete. Para u deterado cojuto de costates escoldo por Kutta, te-se o segute étodo de 3 a orde + + k + k + k ( 4 3 k f ( x, k f x + k +, (, k f x + + k k 3 d Equvale à regra de Spso se f (x dx 3
5 PMR 40 Mecâca Coputacoal Ruge-Kutta de 4 a orde (város étodos depededo da escola das costates. Segudo Kutta: + + k + k + k + k k f ( x, k f x k, k f x 3 k, ( 3 4 (, k f x + + k 4 3 Cotrole do passo os Algortos de Ruge-Kutta Algorto de Ruge-Kutta de orde expasão e Talor co teros até + + erro local de trucaeto: e K + O( t ode: orde do étodo K fução coplcada depededo de f(x, e suas dervadas Para escoler dado u certo e t cosderado: a erro local de trucaeto et K + (supor K costate b erro local de trucaeto é a cotrbução as portate para o erro global * Assudo + coo a solução exata, ua estatva do erro local de trucaeto pode ser obtda tegrado-se etre x e x + co dos passos dferetes, e, obtedo-se duas estatvas de +, +, e +, Epregado a extrapolação de Rcardso: ( x x * + + +, K + ( ( x x * + +, K ( ode x + -x equvale ao úero de passos. Dvddo ( por ( te-se:
6 PMR 40 Mecâca Coputacoal ( * +, +, + (3 escoledo te-se: * +, +, + (4 Ass, ua estatva para o erro local de trucaeto para a solução +,, assudo x x + e t é dada por: + K ( +, +, (5 Para o algorto de Ruge-Kutta de 4a orde ( 4 ( +, +, 5 et K 5 Usado esse procedeto para otorar o erro, o úero de cálculos é trplcado. U outro crtéro para deterar o taao do passo, coecdo coo crtéro de Collatz é feto através da avalação da relação ( k k ( k k após cada passo de tegração. Se esta 3 relação se tora aor que algus cetésos, o passo deve ser dudo. Solução de E.D.O. sultâeas seja o segute sstea co E.D.O. d dx d dx d dx f x,,,, f x d dx,,,, ou [ f] f x,,,, co codções cas: ( x0 0 x0 0 ou [ ] [ ] 0 38
7 PMR 40 Mecâca Coputacoal ( x 0 0 Deve-se aplcar, qualquer u dos étodos apresetados, e paralelo e cada passo. Por exeplo, o étodo de Euler odfcado: + + k k + ou [ ] [ ] [ ] k ode: k + + ( ( k f x,,,,,, ou [ k ] [ (,[ ] ] f x k f x k f x,,, k f x + k k k + + +,,, k f x + k k k ( x + +,,, ou [ k ] f,[ ] [ ] k f x +, + k, + k, + k k Exeplo: Aplcar R.K 4 à segute equação dferecal (problea resolvdo o lvro do Caraa, pága 37: LC d V + RC dv + V 0 (crcuto elétrco RLC sujeta às segutes codções cas: V V (tesão elétrca o capactor 0 0 dv 0 (correte elétrca o crcuto: C dv t 0 Coo prero passo, deve-se trasforar a E.D.O. aca (seguda orde u sstea de E.D.O de prera orde. Fazedo: 39
8 PMR 40 Mecâca Coputacoal dv I podeos escrever a equação do crcuto coo: LC di + RCI + V 0 Ass tereos o segute sstea de E.D.O. di R L I LC V dv I co codções cas: V V I( Aplcado Ruge-Kutta de 4a orde: I + I + k + k + k + k V+ V + q + q + q + q ( ode: k f t, V, I k f t + V q I k + +,, k f t + 3 V q I k + +,, (,, k f t + V + q I + k q f t, V, I q f t + V q I k + +,, q f t + 3 V q I k + +,, (,, q f t + V + q I + k
9 PMR 40 Mecâca Coputacoal sedo: f R,, L I ( t V I f t V I I,, LC V 4
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