RESOLUÇÃO DE MODELOS FÍSICOS COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS

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1 Cogreso de Métodos Nércos e Igeería 005 Graada, 4 a 7 de Jlo, 005 SEMNI, España 005 RESOLUÇÃO DE MODELOS FÍSICOS COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS Mara do Caro Cobra 1 *, Carlos Sereo e Alíro E. Rodrges 1: Departaeto de Egehara Cvl LSRE - Facldade de Egehara da Uversdade do Porto Ra Dr. Roberto Fras, s/, Porto, Portgal e-al: cobra@fe.p.pt, web: : Departaeto de Egehara Qíca LSRE - Facldade de Egehara da Uversdade do Porto Ra Dr. Roberto Fras, s/, Porto, Portgal e-al: arodrg@fe.p.pt, web: Palavras-chave: Método dos Eleetos Ftos Móves, Malhas Adaptatvas, Probleas de Reacção Dfsão Covecção Reso Mtos probleas da egehara e da cêca são odelzados por ssteas de eqações de reacção dfsão covecção. Neste trabalho cetraos a ossa ateção a slação érca de probleas evoltvos e espaços de desão dos, cjas solções exbe fretes abrptas óves, co o étodo dos eleetos ftos óves (MEFM) co aproxações de gra arbtráro. O algorto desevolvdo é aplcado a problea proveete da teora da cobstão. Os resltados ércos ostra qe o MEFM gera solções ércas de elevada precsão co úero redzdo de eleetos. Mostra tabé o elevado desepeho e fcoaldade do MEFM co aproxações de gra speror a. 1. INTRODUÇÃO O MEFM é a técca de alha adaptatva trodzda por K. Mller [1] e E doíos espacas de desão 1 o MEFM co aproxações leares te sdo aplcado por dversos atores. Baes [] apreseta as cotrbções as sgfcatvas dos trabalhos desevolvdos co aproxações leares e espaços de desão 1 e. A forlação do MEFM qe apresetaos decorre dos trabalhos de Sereo et al. [3] e Cobra et al. [4]. Neste trabalho o algorto baseado o MEFM co aproxações poloas e cada eleeto, de gra arbtráro, é aplcado a problea proveete da teora da cobstão doío espacal de desão. A dscretzação espacal faz-se cosderado a alha espacal úca, defda por a traglarzação cofore hexagoal do doío espacal e

2 aproxado a solção exacta e cada trâglo por a fção poloal. O oveto dos ós espacas é obtdo por zação da ora L do resído pesado co respeto às dervadas teporas da solção aproxada e cada poto de terpolação e co respeto às velocdades dos ós da alha espacal. Deste odo o MEFM perte deterar a solção aproxada e cada state ass coo a alha e qe essa solção está represetada.. PROBLEMAS EVOLUTIVOS O étodo dos eleetos ftos óves fo especalete desehado para a classe de probleas evoltvos odelzada por sstea de eqações do tpo, k k = + + t x y f, k ( ξ, t,, x, y ) g, k ( ξ, t,, x, y ) h ( ξ, t,, x, y ) (1) k = 1 k = 1 0, e qe as varáves depedetes são o tepo, t 0 e o espaço, ξ = ( x, y) Ω e a varável depedete é a fção vectoral e qe ( ξ, t). Por x estaos a represetar o vector das dervadas parcas de prera orde e orde a x de todas as fções copoetes de ; por y estaos a represetar o vector das dervadas parcas de prera orde e orde a y de todas as fções copoetes de. Adtos ada qe são váldas as codções cas, ( ξ,0) = ( ξ ) () 0, 0, a fção dada e codções de frotera de Drchelet, de Nea o de Rob O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS O étodo dos eleetos ftos óves desevolve-se e das etapas. Icalete é feta a dscretzação espacal por eleetos ftos, pertdo qe os ós da alha se ova, dado orge a sstea de eqações dferecas ordáras e qe as cógtas são e cada state o valor da varável depedete os ós espacas ass coo a posção desses esos ós. Na segda fase este sstea é resolvdo recorredo a tegrador aproprado Teora e pleetação A dscretzação espacal faz-se cosderado a traglarzação cofore do doío espacal qe spoos ser rectâglo Ω = [ a, b] [ c, d]. Os vértces dos trâglos Ω defe a alha espacal. A traglarzação escolhda é hexagoal por cada ó espacal teror a Ω é vértce de 6 trâglos. E cada eleeto Ω, a solção

3 aproxada é defda sado coordeadas barcetrcas. O gra da aproxação, p, é o eso e todos os eleetos e ass as posções dos potos de terpolação, qe desgaos por ós locas, relatvaete aos vértces são fxas. O úero de ós locas é = ( p + )( p + 1) /. Desgaos por alha global a alha defda por todos os ós p locas e por g o úero de ós globas. U eleeto da alha global dz-se ó global e pode ser ó local teror a dado eleeto, pode ser ó local sobre a aresta o pode ser vértce. Desgaos por sporte de ó global a reão dos eleetos a qe pertece. Ua vez defda a aproxação eleeto a eleeto defos a solção aproxada se-dscreta, U = ( U,..., 1 U ) e Ω. Cada a das fções U, = 1..., depede do valor da aproxação o j-éso ó glbal, assocado k ao k-éso ó local do -éso eleeto fto,.e., de U, e da posção dos ós da alha espacal ζ = ( x, y ). A solção aproxada fca defda por l l l g U ( t) = Φ ( ζ ) U ( t), ζ Ω (3) k j, j= 1 E qe Φ j é a fção básca global. As eqações geras obtê-se defdo o resído assocado a cada a das fções U, = 1..., e exgdo qe as dervads teporas de U e ζ = ( x, y ) seja escolhdas de odo qe a fção k, l l l seja zada. I = 3.. Teros co segdas dervadas ( R ) dω (4) = 1 Ω Para o cálclo dos tegras sobre o sporte de ó espacal qe evolve segdas dervadas espacas optáos por savzar a solção aproxada a vzhaça do ó. E [4] ostráos qe, para a classe de probleas qe pretedeos resolver, basta calclar os tegras o teror dos eleetos, ao logo das arestas adjacetes a ó espacal e a aresta qe o coté caso o ó ão seja ó espacal. Deste odo é possível calclar todos os tegras recorredo a tegração érca, depedeteete do problea a tratar Estrtra da atrz do MEFM e Fções de pealzação A atrz qe defe o sstea de eqações ordáras, qe desgaos por atrz do MEFM, ao cotráro da atrz de assa dos eleetos ftos fxos, ão é defda postva, é apeas se-defda postva []. Tal coo e espaços de desão 1 as sglardades pode ocorrer por paralelso o por deforação da alha. As 3

4 sglardades da atrz do MEFM decorre do facto desta atrz ser obtda por processo de optzação e portato toda a foração reddate resltar e sglardade. O paralelso ocorre sepre qe a paraetrzação de degeera. A t deforação da alha pode levar a qe a área dos eleetos se ale o eso se tore egatva. Para cotorar os probleas proveetes das possíves sglardades da atrz do MEFM, optáos por ater a tlzação de fções de pealzação tal coo e [1,3-5]. As fções de pealzação são as defdas e [4], fções essas qe depede da área de cada eleeto,, P = ε S (4) e qe ε e S depede de 3 costates postvas, c1, c e c 3 a defr pelo tlzador. c é a área ía perssível para cada eleeto. As fções de pealzação ão 3 terfere a solção érca obtda, apeas pede a ocorrêca de sglardades a atrz do MEFM. 4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA: EQUAÇÃO DE REACÇÃO - DIFUSÃO EM D A slação érca qe apresetaos procra resolver problea de cobstão escalar. O odelo ateátco para este problea evolve a eqação de reacção co dfsão. Apresetáos e [5] a solção e doíos espacas de desão 1. Cosdereos agora o problea doío espacal de desão. A eqação oralzada qe descreve este problea é δ = d + D + ( 1+ α ) e t x y (5) e qe a teperatra de a stra reagete sstea qíco é represetada pela fção. As varáves depedetes oralzadas são o tepo, t 0 e o espaço, δ e ( x, y) Ω = [ 0,1] [ 0,1]. As costates d, D = R, R, α e δ são parâetros qe αδ caracterza o sstea qíco. As codções cas e de frotera são expressas por ( x, y,0) = 1, ( x, y) Ω (0, y, t) = 0 (1, y, t) = 1, x t 0,0 y 1 ( x,0, t ) = 0 ( x,1, t ) = 1, y t 0,0 x 1 Para tepos peqeos a teperatra e toro da orge aeta gradalete. N (6) 4

5 dado state ocorre a gção e a teperatra passa rapdaete para valor perto de 1 para 1+ α. Esta varação é tato as rápda qato eor o valor do coefcete de dfsão d. Cosdereos para valores dos parâetros os referdos e [5], R = 5, α = 1 e δ = 30. Para valores do coefcete de dfsão cosdereos casos, d = 1 e d = 0,1. Para valores eores de d tereos fretes as abptas e a gção ocorre as cedo. Na fgra 1 podeos ver as hstóras de teperatra a orge para dferetes valores do coefcete de dfsão. Para d = 1 a gção ocorre o state t = 0, 89 eqato qe para d = 0,1 a gção ocorre o state t = 0, 4. Na fgra apresetaos os perfs da solção e evolção da alha para o caso de d = 0,1. Esta solção fo obtda co a alha cal fore, co 7 7 ós e aproxações cúbcas e cada eleeto. As 4 6 costates de pealzação sadas fora c = 10 e c = c = 10. Para as tolerâcas relatva e absolta do tegrador de EDO cosdero-se CONCLUSÕES O étodo e o algorto coptacoal costte a portate cotrbção para a resolção de probleas de evolção cjas solções apreseta regões de grade actvdade espacal qe se ove co o tepo. Apesar de a estrtra coplexa o MEFM, e espaços de desão, ostro-se efcaz, pertdo obter solções ércas precsas para problea da teora da cobstão. Os parâetros do MEFM são e úero elevado. O tlzador é lvre de escolher o úero de eleetos, a posção cal da alha espacal, o gra da aproxação, os valores das 3 costates de pealzação, o úero de potos para a qadratra e ada os valores da tolerâca para o tegrador de EDO. A escolha dos parâetros ão terfere a qaldade da solção o setdo de qe dferetes parâetros prodze solções de qaldade seelhate. O MEFM perte pos o cálclo de solções ércas de elevada precsão e lvres de osclações co peqeo úero de eleetos ftos óves. REFERÊNCIAS [1] K. Mller ad R.N. Mller, Movg Fte Eleets, SIAM Joral of Nercal Aalyss, Vol. 18, pp , (1981). [] M.J. Baes, Movg Fte Eleets, Claredo Press, Oxford, (1994). [3] C. Sereo, A.E. Rodrges, J. Vlladse, Solto of partal dfferetal eqatos systes by the ovg fte eleet ethod, Copyters ad Checal Egeergl, Vol. 16, pp , (199). [4] Mara do Caro Cobra, C. Sereo, A.E. Rodrges, A ovg fte eleet ethod for the solto of two-desoal te-depedet odels, Appled Nercal Matheatcs, Vol. 44, pp , (003). [5] Mara do Caro Cobra, C. Sereo, A.E. Rodrges, Applcatos of a ovg fte eleet ethod, Checal Egeerg Joral, Vol. 84, pp. 3-9, (001). 5

6 d=1 d= t Fgra 1. Hstóras de teperatra a orge para dferetes valores do coefcete de dfsão. Fgra. Solção e evolção da alha e para d = 0,1. 6

7 ACKNOWLEDGEMENTS The athors grateflly ackowledge FCT, Fdação para a Cêca e Tecologa, Project Grat POCI/EQU/6100/004, for the facal spport. 7