Instituto Tecnológico de Aeronáutica VIBRAÇÕES MECÂNICAS MPD-42
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- Brenda Penha Amarante
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1 Inso ecnológco de Aeronáca VIBRAÇÕES MECÂNICAS MPD-4
2 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMAS DISCREOS MPD-4
3 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMAS COM n GRAUS DE LIBERDADE DESACOPLAMENO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENO MPD-4 3
4 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno {&& } { } { F } { } { } { & } { v} Roero para solção do problea consdere o problea de vbração lvre não aorecda assocado e deerne freqüêncas naras e odos de vbração: { } {}, { },, K, n MPD-4 4
5 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno consdere a arz de odos de vbração: { } { } { L U } a arz U e n lnhas e colnas as colnas represena os odos de vbração e orde crescene de freqüênca naral coo n, ne odos os odos precsa ser consderados MPD-4 5
6 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno 3 consdere a ransforação lnear: { } U { } os deslocaenos são aproados por a sperposção dos odos de vbração a aproação é eaa se n os odos defne a varação espacal do oveno as coordenadas naras,, defne a varação eporal do oveno MPD-4 6
7 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno { } U { } { } { } 4 sbsr a ransforação lnear aca nas eqações de eqlíbro do ssea {&& } { } { F } U { & & } U { } { F } MPD-4 7
8 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno 5 pré-lplcar os dos ebros da eqação pela ransposa da arz U: U { & & } U { } { F } U U { & & } U U { } U { F } noe qe U U e U U são sepre arzes qadradas de orde e sércas MPD-4 8
9 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno 6 aplcar as propredades de orogonaldade dos odos de vbração: U U { & & } U U { } U { F } pode-se osrar qe o eleeno j de U U é : U U j { } { } j pode-se osrar qe o eleeno j de U U é : U U j { } { } j MPD-4 9
10 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno sando as propredades de orogonaldade: U U j { } { } j µ se se j j porano: U U µ L µ L L L L L L µ MPD-4
11 Inso ecnológco de Aeronáca U SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno sando as propredades de orogonaldade: U j { } { } j κ se se j j porano: U U κ L κ L L L L L κ L MPD-4
12 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno 7 defnr o veor de esforços generalzados: { N } U { F } o veor de esforços generalzados {N} e coponenes o sgnfcado físco desses esforços, e geral, não é claro MPD-4
13 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 3 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno 8 escrever o ssea de eqações desacoplado: N N N L L L L L L L L L && L && && L L L L L L L κ κ κ µ µ µ N,,, & K & κ µ } { } { } { F U U U U U & &
14 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno 9 noralzar o ssea de eqações desacoplado: µ & κ N,, K, κ µ N N &, µ κ, K, o problea se redz a resolver eqações ordnáras de segnda orde desacopladas anda é necessáro deernar as condções ncas para cada a das eqações MPD-4 4
15 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno deernar as condções ncas para as coordenadas desacopladas: { } U { } { } U { } { } a arz U e geral não é qadrada e não pode ser nverda para se ober {} pré-lplcando abos os ebros da eqação aca por U : U { } { } U U { } U { } MPD-4 5
16 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno U U { } U { a arz U U é sepre qadrada de orde e dagonal e co µ > { } porano: { } { } µ { } µ } analogaene: { } { v} & µ MPD-4 6
17 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno resolver ndvdalene as eqações desacopladas da fora: N &,, K, κ sjeas às condções ncas: { } { } µ { } { v} & µ Noa: achar solção hoogênea, solção parclar, soar e aplcar condções ncas MPD-4 7
18 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Vbração não aorecda - desacoplaeno cobnar as solções para cada coordenada naral para ober a solção geral: { } { } o procedeno descro é chaado de análse odal MPD-4 8
19 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Análse odal o procedeno de análse odal pere decopor o ssea e sseas de gra de lberdade o valor de pode ser be enor do qe n os odos e freqüêncas naras pode ser verfcados eperenalene rabalha-se co vole o enor de dados MPD-4 9
20 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal F 3 Deerne a resposa do ssea para a força degra na assa e condções ncas nlas & & 3 F F MPD-4
21 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 3 F F && && SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal Eqações do oveno: F && && arz de assa: arz de rgdez:
22 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 freqüêncas naras e odos de vbração: SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal {} } { defnr: γ γ γ eqação caracerís ca: de γ γ γ 3 γ γ
23 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal Prero odo: γ γ γ γ γ γ escolher arbraraene: { } MPD-4 3
24 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal Segndo odo: γ γ 3 3 γ γ γ 3 γ escolher arbraraene: { } MPD-4 4
25 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 5 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal arz de odos : U } { } { } { L } { } { U 3 ransforação lnear: } { } { U o
26 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 6 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal 4 sbsr nas eqações de eqlíbro: } { } { } { F U U & & F && && 3 3 F && && noe qe as arzes neredáras aca não são sércas
27 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 7 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal 3 3 F && && 5 pré-lplcar por U : } { } { } { F U U U U U & & 6 F F && && noe qe as arzes reslanes são dagonas 6 aplcar as propredades de orogonaldade:
28 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 8 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal 7 defnr o veor de esforços generalzados: } { } { F U N { } F F F N N N 8 escrever o ssea de eqações desacoplado: N,,, & K & κ µ 6 F F && && 6 F F && &&
29 Inso ecnológco de Aeronáca MPD noralzar o ssea de eqações desacoplado: N N,,, K & & κ µ SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal 6 F F && && F F && && F F 6 && &&
30 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal deernar as condções ncas: { } { } µ pos {} {} { } { v} & µ & & pos {v} {} MPD-4 3
31 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal resolver ndvdalene as eqações: && F sjeo a: ; & && F 6 sjeo a: ; & fora geral: F & sjeo a: ; & κ MPD-4 3
32 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal fora geral: && F κ F κ solção hoogênea: A cos B sn solção parclar: solção geral: h p F κ F A cos B sn κ MPD-4 3
33 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal solção geral: F A cos B sn κ & A sn B cos condções ncas: F A κ A & B B F κ F κ solção: cos MPD-4 33
34 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 34 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal cobnar as solções para cada coordenada naral para ober a solção geral: } { } { cos F 3 cos 6 F 3 cos 6 cos F
35 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 35 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal 3 cos 6 cos F SOLUÇÃO DO PROBLEMA: 3 cos 6 cos F
36 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal F /.5.5 Varação das coordenadas físcas e co o epo -.5 / MPD-4 36
37 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal F /.5.5 Varação das coordenadas naras e co o epo -.5 / MPD-4 37
38 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal MPD-4 38
39 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal COMENÁRIOS: coo os odos de vbração são sepre orogonas não há necessdade de se verfcar essas relações coo no eeplo a vez achado os odos e os valores de assa, rgdez e esforços generalzados, pode-se escrever dreaene as eqações desacopladas MPD-4 39
40 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 3 Deerne a resposa do ssea para as condções ncas dadas não há força eerna & & 3 K εk K MPD-4 4
41 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 4 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 3 && && Eqações do oveno: K K && && ε ε ε ε K arz de assa: arz de rgdez:
42 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 4 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno freqüêncas naras e odos de vbração: K ε ε ε ε {} } { defnr: K γ γ ε ε ε γ ε de γ ε ε ε γ ε ε γ ε ε γ γ
43 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno Prero odo: γ γ K γ γ ε γ ε ε ε γ ε ε ε ε escolher arbraraene: { } MPD-4 43
44 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 44 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno Segndo odo: ε γ γ K ε γ ε ε ε γ ε ε γ ε ε ε ε escolher arbraraene: } {
45 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 45 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno assa generalzada: } { } { µ } { } { µ } { } { µ µ não é necessáro verfcar
46 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 46 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 3 rgdez generalzada: K K K } { } { ε ε ε ε κ ε ε ε ε ε ε ε κ 4 } { } { K K K } { } { κ κ não é necessáro verfcar
47 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 47 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 4 veor de esforços generalzados: } { } { F U N } { N N N 5 escrever o ssea de eqações desacoplado e noralzado: N N,,, K & & κ µ N,,, K & &
48 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 48 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 6 deernar as condções ncas: µ } { } { µ a posção: µ
49 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno b velocdade: { } { v} µ condções ncas: & & & & pos {v} {} MPD-4 49
50 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 7 resolver ndvdalene as eqações: & & & & & & sjeo a: sjeo a: fora geral: / ; & / ; & sjeo a: & solção hoogênea: A cos B sn solção parclar: p h vbração lvre solção geral: A cos B sn / MPD-4 5
51 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno solção geral: condções ncas: A A cos B sn & A sn B cos A & B B solção: cos K cos e K cos ε MPD-4 5
52 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno 8 cobnar as solções para cada coordenada naral para ober a solção geral: { } { } K cos K cos ε K K { } cos cos ε MPD-4 5
53 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo Análse odal, fenôeno de baeno SOLUÇÃO DO PROBLEMA: K K cos cos ε K K cos cos ε MPD-4 53
54 Inso ecnológco de Aeronáca Fenôeno de Baeno para: ε. MPD-4 54
55 Inso ecnológco de Aeronáca Fenôeno de Baeno MPD-4 55
56 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Fenôeno de Baeno o fenôeno de baeno é devdo à soa de das coponenes de esa aplde e freqüênca próa coo no eeplo aneror K K cos cos ε K K cos cos ε cos cos cos cos onde MPD-4 56
57 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 57 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Fenôeno de Baeno sando operações rgonoércas sn sn cos cos cos cos sn sn cos cos cos cos
58 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Fenôeno de Baeno das relações rgonoércas anerores cos cos cos cos cos cos sn sn as relações aca são eaas para qasqer valores de e ; defne-se: édo MPD-4 58
59 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Fenôeno de Baeno das defnções anerores cos cos cos édocos cos cos sn édo sn se, enão édo é snal de ala freqüênca e é snal de baa freqüênca qe odla o snal de ala freqüênca MPD-4 59
60 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo Os blocos deslza se aro sobre o plano. Deerne a resposa do ssea para as condções ncas dadas não há força eerna & & v MPD-4 6
61 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 6 && && Eqações do oveno: && && arz de assa: arz de rgdez: SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo
62 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 6 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo freqüêncas naras e odos de vbração: {} } { defnr: γ γ γ de γ γ γ γ γ
63 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo Prero odo: γ γ γ γ γ escolher arbraraene: γ { } MPD-4 63 odo de corpo rígdo: freqüênca nla e energa de deforação nla
64 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 64 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo Segndo odo: γ γ γ γ γ escolher arbraraene: } { odo elásco: freqüênca não nla
65 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 65 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo assa generalzada: } { } { µ } { } { µ } { } { µ µ não é necessáro verfcar
66 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 66 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo 3 rgdez generalzada: } { } { κ 4 } { } { κ } { } { κ κ não é necessáro verfcar noe qe a rgdez generalzada assocada co o odo de corpo rígdo é nla
67 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 67 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo 4 veor de esforços generalzados: } { } { F U N } { N N N 5 escrever o ssea de eqações desacoplado e noralzado: N N,,, K & & κ µ N && &&
68 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 68 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo 6 deernar as condções ncas: µ } { } { a posção: pos {} {} v µ } { } { b velocdade: v v v µ & v v v µ &
69 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo 7 resolver ndvdalene as eqações: & & sjeo a: ; & v / & & sjeo a: ; & / v a solção para o odo de corpo rígdo: solção hoogênea: h A solção parclar: p solção geral: B A B vbração lvre MPD-4 69
70 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo solção para o odo de corpo rígdo: solção geral: condções ncas: & A A v B A B B & B v solção de corpo rígdo: v MPD-4 7
71 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo b solção para o odo elásco: solção hoogênea: A cos B sn solção parclar: p h solção geral: A cos B sn condções ncas: & A A v B v B Asn B cos & v solção: sn MPD-4 7
72 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo v v solções : e sn onde: 8 cobnar as solções para cada coordenada naral para ober a solção geral: { } { } { } v v sn MPD-4 7
73 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo SOLUÇÃO DO PROBLEMA: v sn v onde: sn no odo elásco as assas vbra de odo qe o cenro de assa peraneça esaconáro no odo de corpo rígdo o cenro de assa se ove co velocdade consane MPD-4 73
74 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo 6 4 v MPD-4 74
75 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo 6 4 v MPD-4 75
76 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo MPD-4 76
77 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: sseas co oveno de corpo rígdo caraceríscas dos odos de corpo rígdo: freqüênca nla energa de deforação nla pode esr aé ses odos de corpo rígdo e a esrra ses freqüêncas nlas repedas orogonas aos odos eláscos odos eláscos preserva o cenro de assa MPD-4 77
78 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMAS COM n GRAUS DE LIBERDADE DESACOPLAMENO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENO: CASO GERAL MPD-4 78
79 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno {&& } c{ & } { } { F } sjeo a: { } { } { & } { v} Solção va análse odal: consdere a ransforação lnear: { } U { } U {&& } c U {& } U { } { F } Pré-lplcando por U : U U {&& } U c U {& } U U { } U { F } MPD-4 79
80 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno U U {&& } U c U {& } U U { } U { F } orogonaldade e relação à assa: U U µ L µ L L L L L L µ defnção de veor de esforços generalzados: orogonaldade e relação à rgdez: U κ U L MPD-4 8 κ L L L L L { N } U { F } κ L
81 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno U U {&& } U c U {& } U U { } U { F } as arzes de assa e rgdez generalzadas são sepre dagonas: µ U U κ U U porano se a arz U cu for dagonal, o ssea fca desacoplado: µ {&& } U c U {& } κ { } { N } MPD-4 8
82 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno µ {&& } U c U {& } κ { } { N } e geral, a arz U cu não é dagonal e o ssea conna acoplado, possblando a solção por análse odal caso porane e qe a arz U cu é dagonal é qando a arz c é a cobnação lnear das arzes de assa e rgdez o caso aca é chaado de aoreceno proporconal MPD-4 8
83 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno µ {&& } U c U {& } κ { } { N } se a arz U cu é dagonal, enão: U c U χ L o ssea de eqações fca: µ & χ & κ,, K, χ N L L L L L L χ MPD-4 83
84 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno µ & χ & κ,, K, { } µ { } N as condções ncas para as eqações aca são: { } { v} & µ a solção para cada odo sege o procedeno para sseas de gra de lberdade MPD-4 84
85 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Caso geral: vbração forçada co aoreceno µ & χ & κ,, K, N sjeo a: { } { } µ { } { v} & µ resolver para cada odo e cobnar as solções para ober a solção geral: { } { } MPD-4 85
86 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal no caso de aoreceno proporconal, a arz de aoreceno c é a cobnação lnear das arzes de assa e rgdez: enão: c α β U c U U α β U α µ β κ MPD-4 86
87 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal U c U α µ β κ χ αµ βκ sbsndo nas eqações do oveno: µ & χ & κ,, K, N µ & αµ βκ & κ,, K, N noralzando: αµ βκ κ N κ N & &, µ µ µ µ κ, K, MPD-4 87
88 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal αµ βκ κ N κ N & &,, K, µ µ µ µ κ coo deonsrado anerorene: confore defnção aneror: κ µ αµ βκ ζ µ resla: N & ζ &, κ, K, MPD-4 88
89 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal ζ é o faor de aoreceno do -éso odo de vbração: αµ βκ κ α ζ α β α β ζ µ µ β ζ vara co a freqüênca naral do odo α e β pode ser ajsados para represenar o aoreceno de dos odos os códgos de eleenos fnos pere escolher α e β para aoreceno proporconal MPD-4 89
90 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal o éodo aneror pere ajsar apenas o faor de aoreceno de dos odos; se o faor de aoreceno de núero arbráro de odos é obdo eperenalene, é possível consrr-se a arz de aoreceno proporconal sando o procedeno qe se sege MPD-4 9
91 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal a arz de aoreceno ransforada é: χ U c U dagζ µ r r r onde χ é a arz dagonal e ζ r é o faor de aoreceno do r-éso odo da epressão aca: c U χ U MPD-4 9
92 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal a arz U pode ser achada de fora convenene sando: µ U U enão: I I - - µ µ µ U U µ U - U - U U das eqações aca: U µ - U MPD-4 9
93 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 93 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal lebrando qe: U U c χ U U c µ χ µ coo é sérca e µ dagonal: U U c µ χ µ - U U µ
94 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 94 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal r r r dag µ ζ χ r µ dag µ coo χ e µ são dagonas µ χ µ abé é dagonal: r r r dag µ ζ µ χ µ a arz c fca: n r r r r r r c } { } { µ ζ U U c µ χ µ
95 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 95 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal coo verfcação, calcla-se: s s s s s s s n r s r r s r r r n r s r r s r r r s s c µ ζ µ µ ζ µ ζ µ ζ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { n r r r r r r c } { } { µ ζ
96 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Aoreceno proporconal a forlação apresenada fncona eso para núero de odos enor do qe n solção rncada; nesse caso: c N c r ζ rr µ r { } r { } r os N c preros odos erão faor de aoreceno especfcado e os odos as alos erão aoreceno nlo MPD-4 96
97 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal F 3 c c c 3 Deerne a resposa do ssea para a força degra na assa e condções ncas nlas & & 3 c c c 3 c c c c. F F MPD-4 97
98 Inso ecnológco de Aeronáca MPD F F c c c c c c & & && && Eqações do oveno: F c c c c & & && && arz de assa: arz de rgdez: SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal arz de aoreceno: c c c c / β α
99 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 99 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal freqüêncas naras e odos de vbração: {} } { defnr: γ γ γ eqação caracerís ca: de γ γ γ 3 γ γ
100 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal Prero odo: γ γ γ γ γ γ escolher arbraraene: { } MPD-4
101 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal Segndo odo: γ γ 3 3 γ γ γ 3 γ escolher arbraraene: { } MPD-4
102 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal Iporane: noe qe a arz de aoreceno c não é sada na deernação dos odos de vbração e freqüêncas naras o problea resolvdo é o problea não aorecdo assocado arz de odos : U { } { } L { } U { } { } MPD-4
103 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 3 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal 3 ransforação lnear: } { } { U o U
104 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 4 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal 4 calclar arzes dagonalzadas: U U µ 6 U U κ 6 c c U c U χ
105 Inso ecnológco de Aeronáca MPD calclar o veor de esforços generalzados: } { } { F F F F U N N N 6 escrever o ssea de eqações desacoplado: 6 6 F F c & & && && SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal 6 6 F c F c & && & &&
106 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 6 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal 7 noralzar o ssea de eqações desacoplado: 6 6 F c F c & && & && F F c F F c & && & && 3 F c F c 6 3 & && & &&
107 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal 8 cálclo dos faores de aoreceno: a prero odo: c ζ b segndo odo: 3c ζ c. c c c ζ ζ. ζ 3c 3c c c. ζ.73 MPD-4 7
108 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal 9 deernar as condções ncas: { } { } µ pos {} {} { } { v} & µ & & pos {v} {} MPD-4 8
109 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal resolver ndvdalene as eqações: && ζ & F sjeo a: ; & && ζ & F 6 sjeo a: ; & fora geral: F & ζ & sjeo a: ; & κ MPD-4 9
110 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal fora geral: && ζ solção hoogênea: h e A cos B sn solção parclar: solção geral: ζ & κ p F κ F ζ e κ F F κ A cos B sn MPD-4
111 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal solção geral: F ζ e κ & ζ e e ζ ζ A cos B sn A cos B sn A sn B cos condções ncas: F A κ A F κ & B ζ A B ζ A MPD-4
112 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal solção geral: F ζ e κ A cos B sn F ζ A e κ cos ζ sn F κ e cos sn ζ ζ MPD-4
113 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal cobnar as solções para cada coordenada naral para ober a solção geral: F. e cos.sn F 6.73 e cos.73sn onde: F 6.3 e cos.73.73sn.73 MPD-4 3
114 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 4 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal solção:.73sn.73 cos.73 6.sn cos.3. e e F
115 Inso ecnológco de Aeronáca Eeplo: aoreceno proporconal. F / MPD-4 5
116 Inso ecnológco de Aeronáca Eeplo: aoreceno proporconal. F / MPD-4 6
117 Inso ecnológco de Aeronáca Eeplo: aoreceno proporconal MPD-4 7
118 Inso ecnológco de Aeronáca SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal a aplde da conrbção do prero odo é as ala qe a do segndo o decaeno do segndo odo é as rápdo qe o do prero esses dos faos são e geral observados e sseas dnâcos: os odos as baos ende a ser donanes MPD-4 8
119 Inso ecnológco de Aeronáca MPD-4 9 SISEMA COM n GRAUS DE LIBERDADE Eeplo: aoreceno proporconal no eeplo, e ende a valor não nlo solção esáca: F c c c c & & && && no problea esáco, as dervadas e relação ao epo são nlas: F es es 3 F es es F es es
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