Homework 06 (Equações de estado) Felippe de Souza &&& Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) = e) = Y(s) 2. u 1. 1 u 3.

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1 Homework 6 ) Considere o sistema descrito pela sa eqação diferencial ordinária abaio. Ache a F (Fnção de ransferência). Escreva na forma de Eqações de Estado & A B, C D. Verifiqe qe a eqação característica e os polos do sistema obtidos através da F são os mesmos encontrados através da matriz A de estados. 8 & 4& 5 ) Considere o sistema descrito pela sa eqação diferencial ordinária abaio. Ache a F (Fnção de ransferência). Escreva na forma de Eqações de Estado & A B, C D. Verifiqe qe a eqação característica e os polos do sistema obtidos através da F são os mesmos encontrados através da matriz A de estados. 8 &&& 5 && 8& ) Para cada m dos sistemas descritos pela F (Fnção de ransferência) / abaio, encontre ma representação na forma de eqações de estado & A B, C D e faça ma simlação analógica. a) 4 b) (s s ) (s ) (s s ) c) s (s ) d) (s 8s 5) s s (s 5s 4) e) g) (s )s (4s 5) e) (s )(s ) s 4(s s ) h) s s (s 5s) (s ) 4) Para cada m dos sistemas descritos na forma de eqações de estado abaio, encontre a F (Fnção de ransferência) / assim como os polos do sistema. a) & 8 [ ] b) & 9 [ / ] c) & 7 8 [ ] d) & 8 7 [ ] 5 6

2 Homework 6 e) & 6 6 [ ] f) & 4 [ 4 ] 5) Somente é possível representar m sistema na forma de eqações de estado com a matriz A diagonal se os polos forem todos reais. Para o sistema descrito pela F (Fnção de ransferência) / abaio verifiqe qe tem todos os polos reais. Represente na forma de eqações de estado a) & A B, C D com a matriz A na forma companheira ; b) ˆ &  ˆ Bˆ, Ĉ ˆ Dˆ com a matriz  na forma diagonal. (s 4) (s 7s 6) 6) Para o sistema descrito pela F (Fnção de ransferência) / abaio verifiqe qe nem todos os polos são reais. Represente na forma de eqações de estado & A B, C D com a matriz A na forma companheira. (s s - ) (s 4s 74s 6) 7) Considere o sistema abaio descrito pelas sas eqações de estado & A B, C D. Verifiqe qe este sistema é o mesmo sistema do eercício 6 acima. O seja, trata-se de ma otra representação do mesmo sistema. & [ ] A matriz A deste sistema é dita estar na forma dal da companheira. Note qe A é a transposta da matriz A do sistema na forma companheira (eercício 6). Isto é, A A. Observe também qe as matrizes B e C deste sistema são respetivamente as transpostas das matrizes C e B na forma companheira. O seja: B C e C B. Além disso, D D. Estas das representações do mesmo sistema são ditas serem dais ma da otra.

3 Homework 6 8) Considere novamente o sistema dos dois eercícios anteriores (i.e., eercícios 6 e 7 acima) representado nas formas companheira e dal da companheira. Ache ma otra representação do sistema na forma de eqação de estados & A B, C D fazendo ma mdança da variável de estado com a nova variável de estado abaio. O seja, calclar as matrizes A, B, C e D da nova representação do sistema sando respetiva- mente A PAP, B PB, na forma companheira. P P, onde P é a matriz idem potente dada - C CP e D D, onde as matrizes A, B, C e D são as do sistema Nota: Observe qe a representação aqi obtida neste eercício é jstamente a forma canónica do Matlab, o seja, a forma com qe o Matlab normalmente (por defalt ) representa sistemas qando calcla as eqações de estado. 9) Reescrever o sistema do eercício 5 acima na sa representação em eqações de estado & A B, C D na forma dal da companheira. ) Considere novamente o sistema do eercício 5 acima na sa representação em eqações de estado & A B, C D na forma companheira. Ache ma otra representação do sistema na forma de eqação de estados & A B, C D fazendo ma mdança da variável de estado com a nova variável de estado P, onde P é a matriz dada por: P O seja, calclar as matrizes A, B, C e D da nova representação do sistema sando respetiva- mente A PAP, B PB, na forma companheira. - C CP e D D, onde as matrizes A, B, C e D são as do sistema Nota: Observe qe a matriz P define ma mdança de variável de estado correspondente à:, e.

4 Homework 6 ) Represente o sistema descrito pela F (Fnção de ransferência) abaio na forma de eqações de estado & A B, C D com a matriz A na forma companheira. (s s s 4) 4 (s 5s 6s 7s 8) Mostre qe as matrizes B e C são respetivamente: B [ ] e C [ 4 ] ) Considere o sistema representado na forma de eqações de estado & A B, C D dado abaio. Mostre qe ele é o mesmo sistema do eercício acima com ma representação diferente (a representação na forma dal da companheira C B e D D). & [ ] A A, B C, ) O sistema abaio representado pelas sas eqações de estado tem o instante de pico (peak time) tp,57s, e o tempo de acomodação com tolerância de % (settling time) ts(%) 4s. Calclar os valores de a, b, c, o overshoot Mp, e o tempo de sbida (rising time) tr. b c & [ a] 4) O sistema de segnda ordem cjas eqações de estado são dadas abaio tem ganho Ko,5. Calclar o valor de α. Achar o overshoot Mp, o instante de pico tp ( peak time ), o tempo de sbida ( rising time ) tr, e o tempo de acomodação ( settling time ) com margens de tolerância de % e 5% [ i.e., ts(%) e ts(5%) ] deste sistema. & [ ] 7 α

5 Homework 6 5) As das representações na forma de eqações de estado dadas abaio são do mesmo sistema. Achar os valores de α e β. Qais são os polos e zeros do sistema? Fazer ma simlação analógica do sistema. α ( α 7) & α ( α 6) & ( β 4) ( β ) [ ] [ ] Nota: Não é pedido para calclar a, b, b, c o c. Levar estas constantes até o fim do eercício. 6) Verificar se os sistemas descritos pelas eqações de estado dadas abaio são o mesmo. O seja, verificar se as eqações de estado dadas abaio são representações diferentes do mesmo sistema o se são representações de sistemas diferentes. 6 & [ ] 4 & [ ] 7) Considere o sistema cja fnção de transferência / é dada abaio. Achar ma representação qalqer na forma de eqações de estado & A B, C D. Agora represente este sistema na forma de eqações de estado & A B, C D com a matriz B (dada abaio). s (s ) B 8) Reescrever o sistema & A B, C D dado abaio na forma de eqações de estado & e com C [ ] A B, C D c c, onde: a, b, b, c e c. Mostrar qe A e A têm os mesmos atovalores (i.e., valores próprios), o seja o novo sistema tem os mesmos polos do sistema original, como seria de se esperar. & [ c c ] a b b

6 Homework 6 9) O sistema qe possi a F (Fnção de ransferência) G(s) dada abaio é o mesmo qe o descrito pelas eqações de estado & A B, C D também dadas abaio. Achar os valores de α, β e γ. Mostrar qe A e A têm os mesmos atovalores (i.e., valores próprios), o seja o novo sistema tem os mesmos polos do sistema original, como seria de se esperar. (s ) G(s) (s βs γ) & [ ] α ) O sistema qe possi a F (Fnção de ransferência) G(s) dada abaio é o mesmo qe o descrito pelas eqações de estado & A B, C D também dadas abaio. Achar os valores de α e β. Encontrar ma otra representação deste sistema com C dado por [ ] C. Mostrar qe A e A têm os mesmos atovalores (i.e., valores próprios), o seja o novo sistema tem os mesmos polos do sistema original, como seria de se esperar. G(s) (s α) & [ β]