LOCALIZAÇÃO TEMPO-FREQUÊNCIA: UMA DESCRIÇÃO DA ANÁLISE WAVELET EM TEMPO CONTÍNUO

Transcrição

1 LOCALIZAÇÃO TEMPO-FREQUÊNCIA: UMA DESCRIÇÃO DA ANÁLISE WAVELET EM TEMPO CONTÍNUO Hmberto Gimenes Macedo, Virginia Klasner de Oliveira, Francisco Carlos Rocha Fernandes, Carlos Henriqe Netto Lahoz Universidade do Vale do Paraíba/Institto de Pesqisa e Desenvolvimento, Avenida Shishima Hifmi, 911, Urbanova São José dos Campos-SP, Brasil, gimeneshmberto@otlook.com, viklasner@gmail.com, gga@nivap.br, carloslahoz@nivap.br. Resmo A análise de Forier se apresenta como m ferramental mito útil para a análise espectral, pois permite decompor m sinal em sas freqências fndamentais de forma qe possam ser analisadas individalmente. Sas origens remontam às ideias propostas por Forier em ses estdos de propagação do calor, porém teve a contribição de mitos matemáticos até chegar à sa estrtra atal. Apesar de ses benefícios, ela não permite a localização em tempo-freqência, assim, a fim de resolver esse problema, srgi no séclo XX ma nova teoria denominada análise wavelet, com mitas aplicações em ciência e engenharia. No presente trabalho, é demonstrado como a análise tempo-freqência fnciona por meio da transformada wavelet contína (TWC), tilizando sinais senoidais de freqência conhecida. Palavras-chave: wavelet, Forier, sinal, tempo, freqência. Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra, Matemática. Introdção A análise de Forier tem sas origens na segnda metade do séclo XVIII e início do séclo XIX, qando Jean-Baptiste Joseph Forier ( ) em ses estdos de condção de calor propôs o qe se conhece por série de Forier, ao afirmar qe qalqer fnção periódica pode ser expandida em termos de ma série trigonométrica envolvendo ma soma de senos e cossenos. Essa afirmação não foi bem recebida pelos matemáticos da época, como Joseph-Lois Lagrange ( ), qe argmentavam ser impossível representar fnções descontínas e com bordas por meio de fnções contínas e saves como senos e cossenos (OPPENHEIM et al., 1996). Além disso, diziam qe havia asência de rigor no tratamento matemático tilizado por Forier. Drante mito tempo, o cenário permanece dessa forma, cabendo a Peter Gstav Lejene Dirichlet s ( ), em 189, estabelecer as condições sficientes para a convergência da série de Forier referente a fnções contínas por partes. Forier também considero a expansão em série de fnções aperiódicas, qe o condzi à ideia da transformada de Forier (TF), mito útil em análises no domínio da freqência. Apesar dos benefícios trazidos pela TF, em sa forma convencional ela não permite efetar o qe se denomina por localização tempo-freqência, isto é, não é possível determinar as componentes de freqência de m sinal ao longo do tempo. Nesse contexto, tem-se o desenvolvimento da análise wavelet qe recebe bastante atenção no final do séclo XX, considerando qe poderia ser aplicada em mitos ramos da ciência e da engenharia. A títlo de exemplo, ela pode ser tilizada no processamento de sinais biológicos para axiliar no diagnóstico de patologias envolvendo o coração (ADDISON, ). Além disso, é extensivamente tilizada pelo escritório federal de investigação dos EUA, o FBI, para efetar compressão de arqivos contendo impressões digitais (FRAZIER, 1). Intitivamente, a teoria de wavelets permite analisar regiões de m sinal de forma individal, localizando as componentes de freqência ao longo do tempo. Dessa forma, considerando a sa importância, o objetivo do presente trabalho é demonstrar o fncionamento da transformada wavelet contína, doravante TWC, no qe se refere à localização tempo-freqência, por meio de exemplos qe tilizam sinais senoidais de freqência conhecida. Tais sinais serão aplicados em m algoritmo desenvolvido em MATLAB, qe calcla tanto a TF qanto a TWC. Escolhe-se como wavelet-mãe a wavelet Marr, por ser ma fnção real a valores reais, qe é fácil de se maniplar matematicamente e qe se encaixa bem para o propósito do trabalho. Além disso, será demonstrado com todo rigor matemático qe ela de fato satisfaz às condições qe ma wavelet deve satisfazer. 1

2 Metodologia A análise de sinais no domínio do tempo não é conveniente na maioria dos casos, ma vez qe ela não permite obter informações relevantes sobre o fncionamento dos fenômenos físicos responsáveis pela geração desses sinais. Mitas vezes essas informações se encontram no domínio da freqência, por exemplo, ao analisar o conteúdo em freqência de m ádio gravado por ma pessoa, é possível determinar se a voz é provavelmente de ma criança (alta freqência) o de m adlto (baixa freqência). Assim sendo, é necessário bscar m ferramental matemático qe torne possível passar do domínio do tempo para o domínio da freqência e vice-versa. É qase imediato, principalmente para aqeles familiarizados com processamento de sinais, pensar na análise de Forier, pois ela tem como objetivo decompor m sinal f, seja ele periódico o não, em sas componentes de freqência fndamentais. Em particlar, para sinais não periódicos, f, tem-se a TF, denotada por f como indicado pela Eqação (1), qe mensra o qanto ma freqência ω está presente em f (MALLAT, 8) f (ω) = f(t)e jωt dt, j = 1 Utilizando termos da álgebra linear, basicamente a TF determina a projeção de f sobre exponenciais complexas de freqência ω, sendo conveniente pensar qe elas constitem ma base de m espaço vetorial cjos vetores são fnções. Dessa forma, a Eqação (1) estabelece o espectro de freqências de f, tornando possível dizer qais são as freqências qe o compõe e qal a relevância de cada ma delas. De acordo com Dabechies (199), assim como m músico ao ler as partitras sabe o instante de tempo em qe deve tocar ma nota de freqência conhecida, no contexto de processamentos de sinais, algém pode desejar saber qais as componentes de freqência de m sinal e os intervalos de tempo no qal elas ocorrem, sendo qe esse processo é denominado localização tempo-freqência e não pode ser determinado por meio da Eqação (1). Para resolver esse problema, diversas teorias matemáticas foram desenvolvidas, como a transformada de Forier janelada, porém a qe vem ganhando maior destaqe nos últimos anos é a TWC, definida pela Eqação (), Wf(a, b) = f(t) 1 t b a ψ ( a ) dt a > = f(t)ψ a,b (t)dt, b R em qe ψ a,b (t) = 1 a ψ (t b a ), sendo qe a fnção ψ é denominada wavelet-mãe e deve satisfazer certas condições matemáticas conforme será apresentado na próxima seção. Ao comparar as Eqações (1) e (), nota-se qe elas são bastante similares, porém em () tem-se a projeção do sinal f sobre ma família de fnções ψ a,b (t), denominadas de wavelets-filhas, concebidas ao variar os parâmetros de escala a e translação b. Uma vez qe a dilata/comprime a forma de onda da waveletmãe e b efeta o se deslocamento, torna-se então possível analisar todo o sinal com janelas de largra variável, sendo essa a principal característica da TWC, qe a torna tão útil para localização tempo-freqência e o motivo principal qe explica o fato dela ser freqentemente denominada de microscópio matemático (ADDISON, ). Resltados (1) () As fnções fqe apresentam energia finita, isto é, qe satisfazem f(t) dt <, pertencem ao espaço de Hilbert L (R), denominado espaço das fnções qadraticamente integráveis o de energia finita. Assim, tem-se bem definido a noção de prodto interno entre os elementos desse espaço. Dessa forma, se f, g L (R), então o prodto interno é definido como f, g = f(t)g (t) dt, onde g denota o conjgado complexo da fnção g. Uma vez qe o espaço L (R) é mnido de prodto interno, pode-se definir então o conceito de norma : L (R) R de ma fnção f L (R) por meio da noção de prodto interno, conforme a Eqação (), f = f, f = ( f(t)f (t) dt) 1 = ( f(t) ² dt) 1. () ()

3 Se E f denota a energia da fnção f, então ao observar () nota-se qe E f = f ², isto é, a norma ao qadrado é igal a energia da fnção f. Esse resltado é importante e será tilizado posteriormente. Uma vez definido o espaço L (R), pode-se então definir o qe se denomina por wavelet. Uma fnção ψ L (R) é denominada wavelet se satisfazer a condição de admissibilidade, isto é, a integral ao lado direito da implicação em (5) deve convergir, ψ () = ψ(t)dt = C ψ = ψ (ω) ² dω <, ω em qe ψ denota a TF de ψ. Note em (5) qe, para a condição de admissibilidade ser satisfeita, é necessário qe ψ () =, o seja, a fnção ψ deve ter média nla, apresentar oscilações e ter dração finita de modo qe a área sob a crva seja nla. Isso garante qe as wavelets sejam bem localizadas em tempo, pois devem ter dração finita. No presente trabalho, tilizo-se a wavelet Marr para a aplicação da TWC em sinais senoidais, a fim de ilstrar como a localização tempo-freqência fnciona. Esta wavelet também é conhecida por chapé mexicano, devido ao se formato característico conforme ilstrado na Figra 1a. (5) Figra 1 Representação da forma de onda (σ = 1): (a) da wavelet Marr no domínio do tempo; e (b) de sa TF (domínio da freqência). (a) (b) Fonte: Os Atores. A rigor, a wavelet Marr, denotada aqi por ψ, corresponde à segnda derivada de ma fnção gassiana e em sa forma mais geral é definida conforme a Eqação (6), t t ψ(t) = π 1 (1 e σ σ σ). Assim sendo, será demonstrado qe a wavelet Marr, conforme sa lei de formação em (6), de fato satisfaz todas as condições necessárias qe ma fnção deve satisfazer para ser ma wavelet. Inicialmente, será determinada a sa TF, ψ, cja forma de onda está representada na Figra 1b, de forma a verificar a condição de admissibilidade. Por definição, se f L (R) então sa TF, f, é definida como indicado na Eqação (1). Aplicando tal definição na lei de formação da wavelet Marr em (6), tem-se então a TF ψ, ψ (ω) = π 1 σ (1 t σ t ) e σ e jωt dt = t π 1 [ e σ σ e jωt dt + 1 σ t t e σ e jωt dt]. Ao definir as fnções f, g: R R como f(t) = e t σ e g(t) = t e t σ = t f(t), nota-se qe as integrais dentro dos colchetes em (7) representam a TF f e g. Assim, se f(t) F f (ω), então pela propriedade da derivada em freqência ( jt) p f(t) F f (p) (ω), onde f (p) denota a p-ésima derivada da fnção f, vem qe g(t) = t f(t) = ( jt) f(t) F f () (ω) = g (ω) g (ω) = f () (ω). Logo, tilizando do resltado obtido em (8), pode-se reescrever a Eqação (7) em termos apenas de f e f () como sege, ψ (ω) = [f (ω) π g (ω)] = [f (ω) σ σ π f () (ω)]. σ σ Dessa forma, é necessário calclar a TF de f e sas derivadas para qe a Eqação (9) fiqe determinada. Assim, aplicando a definição (1) na lei de formação de f e derivando ambos os lados em relação a ω obtém-se (6) (7) (8) (9)

4 f (ω) = f(t)e jωt dt = e t σ e jωt dt f (ω) = e t d σ dω (e jωt )dt = ( jt)e t σ e jωt dt = j e jωt ( te t σ ) dt dv Utilizando o método de integração por partes escolhendo e dv como indicado em (1), tem-se então d = jωe jωt dt,v = σ e t σ. Logo, f (ω) = j [σ e jωt e t σ + jωσ e t σ e jωt dt] = ωσ e t σ e jωt dt = ωσ f (ω). A Eqação em (11) é ma eqação diferencial de primeira ordem, cja solção pode ser encontrada efetando os segintes passos, f (ω) ω f f (ω) = (ω) ω ωσ dω = σ ωdω ln f (ω) f (ω) f () = ω σ f (ω) = f ()e ω σ. Mas pode-se verificar qe f () = f(t)dt = e t σ dt = σ π, σ >. Sbstitindo esse resltado em (1) tem-se finalmente qe Derivando (1) das vezes, vem qe, f (ω) = σ πe ω σ. f (1) (ω) = σ πωe ω σ f () (ω) = σ π(ω σ 1)e ω σ. Sbstitindo as Eqações (1) e (1) em (9), tem-se a TF de ψ, ψ (ω) = π 1 σ [ω σ πe ω σ ] = 8σ5 π 1 ω²e ω σ. Com a Eqação (15), é possível verificar qe ψ () =, assim a condição de admissibilidade é satisfeita e o valor de C ψ é finito. Para determiná-lo, é necessário calclar o valor absolto de ψ e elevar ao qadrado, o qe vem facilmente de (15), π 1 ω²e ω ψ (ω) = 8σ5 σ ψ (ω) ² = 8σ5 π ω e ω²σ². Assim, aplicando (16) na definição de C ψ tem-se C ψ = ψ (ω) dω = 8σ5 π ω e ω σ dω = πσ ω σ e ω σ ωσ dω ω d C ψ = πσ 1 e d = πσ Γ() = πσ, Γ() em qe Γ() = 1, sendo qe Γ denota a fnção gama qe será tilizada nas dedções. Para demonstrar qe a energia E ψ de ψ é finita, ma vez qe ψ L (R), tiliza-se a fórmla de Plancherel, para calclar a energia de ψ no domínio da freqência, conforme a Eqação (18), E ψ = ψ 1 = ψ(t) ²dt = π ψ (ω) ²dω. Utilizando a Eqação (16) em (18) e observando qe ψ (ω) ² é ma fnção par vem qe, ψ = E ψ = 1 π ψ (ω) par 1 dω = π ψ (ω) dω = 8σ5 π π ω e ω σ dω ψ = E ψ = σ π π ω σ ωe ω σ ωσ dω d = σ π σ 1 e d = π ψ = E ψ = π = 1 ψ = 1, π em qe Γ ( 5 ) = π e o fato de ψ = 1 qer dizer qe a wavelet ψ está normalizada. 5 1 e d Γ( 5 ) (1) (11) (1) (1) (1) (15) (16) (17) (18) (19)

5 Apesar de ser possível obter o valor médio M da wavelet ψ avaliando a Eqação (15) em ω =, qe a propósito dever ser nlo ma vez qe ψ é ma wavelet, pode-se chegar no mesmo resltado efetando os segintes cálclos, M = ψ(t)dt = π 1 σ t (1 σ t e ) σ dt = e σ [ π 1 t σ dt média de f 1 σ² t²e t σ dt I ] A primeira integral dentro dos colchetes da Eqação () é o valor médio da fnção f, qe vale σ π, σ > como determinado anteriormente. Utilizando o método de sbstitição no cálclo da t segnda integral dentro dos colchetes, denotada por I, com = t σ, d = σ dt e observando qe a fnção integrando é par, tem-se qe t par I = t e σ t dt = t e σ dt = σ I = σ 1 e d = σ Γ ( Γ( ) te t σ ) = σ π tdt σ = σ = σ π, σ 1 e d onde Γ ( ) = π. Sbstitindo a média de f e (1) em () tem-se então a média M de ψ, como se qeria demonstrar, M = π 1 σ [σ π 1 σ² σ π] =. Um parâmetro importante associado à ψ é a sa freqência central f c, tilizada para a conversão de escalas em freqências e vice-versa. Ela é definida por f c = 1 π ω² ψ (ω) ²dω. ψ (ω) ²dω A integral no denominador pode ser facilmente determinada tilizando os resltados anteriores. Especificamente, ma vez qe E ψ = 1 e ψ (ω) ² é par, vem pela fórmla de Plancherel qe E ψ = 1 par π ψ (ω) ²dω 1 = π ψ (ω) ²dω = 1 ψ (ω) ²dω = π. Por otro lado, tilizando (16), a integral no nmerador pode ser determinada da seginte forma, ω² ψ (ω) ²dω = 8σ5 π ω 6 e ω²σ² dω = σ π ω²σ² ω³e ω²σ² ωσ²dω ω² ψ (ω) ²dω = σ π e d = π σ³ σ² 7 1 Γ( 7 ) e d = π σ² d 15 π 8 sendo Γ ( 7 ) = 15 π. Sbstitindo as eqações () e () na Eqação () vem qe 8 f c = 1 π 5π πσ² = 1 πσ 5. = 5π σ², Apesar de tilizar apenas a wavelet Marr nas dedções realizadas nessa seção, o processo é bastante análogo para otras fnções wavelet. Convém ressaltar qe os resltados obtidos com a wavelet Marr corroboram a teoria, sendo qe para as otras fnções wavelet o mesmo deve ocorrer. Discssão Para ilstrar a diferença entre a TF e a TWC com relação à localização tempo-freqência, tilizose m sinal senoidal com dração de 6 segndos, qe apresenta ma freqência de,1 Hz drante os segndos iniciais e, Hz no restante do tempo. Conforme ilstrado na Figra, o espectro de amplitde obtido por meio da TF apresenta amplitdes em torno de,1 Hz e, Hz, indicando qe essas freqências compõem o sinal, porém não indica qando tais freqências ocorrem no tempo. Por otro lado, o espectro de potência wavelet (parte inferior da Figra ) mostra tanto essas. () (1) () () () (5) 5

6 componentes de freqência (apesar do eixo das ordenadas representar o período) qanto os intervalos de tempo qe elas ocorrem, i.e., evidencia qe nos segndos iniciais tem-se m período de 1 segndos e no restante m período de 5 segndos. Assim sendo, é fácil notar qe a localização tempo-freqência oferecida pela TWC é a sa principal vantagem em relação a TF. Figra Análise de m sinal senoidal com variação abrpta de freqência por meio da TF e da TWC. Conclsão Fonte: Os Atores. Drante o desenvolvimento do trabalho, noto-se qe na maioria dos casos a teoria envolvendo a TWC encontrada na literatra especializada não é apresentada de forma didática, de maneira qe possa contribir efetivamente no processo de entendimento. Especificamente, é difícil encontrar m gia qe apresente de forma simples as dedções matemáticas passo a passo, com exemplos práticos de aplicação envolvendo a TWC qe permitam compará-la com otras transformadas. Dessa forma, ao introdzir a análise wavelet no contexto da TWC e jstificar de forma didática todos os passos nas demonstrações, atingi-se o objetivo principal do presente trabalho, sendo esse o se diferencial, qe contribirá consideravelmente para o entendimento e aprendizagem da teoria. Além disso, os resltados obtidos condizem com a teoria no qe se refere as dedções matemáticas realizadas e as diferenças existentes entre a TWC e a TF, qe foram apresentadas. Portanto, o presente trabalho irá contribir principalmente para aqeles qe procram m gia introdtório do ferramental matemático pertinente a análise wavelet e de Forier. Agradecimentos H. G. Macedo agradece a Bolsa de IC do PIBIC (Proc. 1651/17-). F. C. R. Fernandes agradece a Bolsa PQ do CNPq (Proc. 1176/15-) e o Projeto Reglar da FAPESP (Proc. 17/86-). Referências ADDISON S.P. The Continos Wavelet Transform: Comptation, Bondary Effects and Viewing. Bristol: Institte of Physics Pblishing, p.16-7,. DAUBECHIES, I. Ten lectres on wavelets. SIAM: Society for Indstrial and Applied Mathematics, 199. FRAZIER, M. W. An Introdction to Wavelets Throgh Linear Algebra. Springer, 1. MALLAT, S. A wavelet tor of signal processing: The sparse way.. ed. Academic Press, 8. OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; HAMID, S. Signals and systems.. ed. Pearson,