MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A ENGENHARIA

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1 CEFET/PR - CENTRO FEDERA DE EDUCAÇÃO PARANÁ TECNOÓGICA DO PARANÁ DAMEC - DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A ENGENHARIA INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS Fndamentos Teóricos MARCO ANTÔNIO UERSEN Março /

2 Introdção ao MEF M. A. ersen ÍNDICE CAPÍTUO Conceitos Iniciais e Método dos Resídos Ponderados 3. Introdção 3. Conceitos Iniciais 5.3 Método dos Resídos Ponderados 7.3. Método da Colocação.3. Sbdomínio.3.3 Mínimos Qadrados.3.4 Colocação dos Mínimos Qadrados Galerkin 3 CAPÍTUO Elementos Finitos Unidimensionais. Método dos Elementos Finitos de Galerkin. Obtenção da Matriz de Rigidez e Vetor de Carga Globais 3.3 Imposição das Condições de Contorno 33.4 Resolção do Sistema Algébrico inear e Determinação dos Deslocamentos Nodais 35.5 Cálclo de Deformações e Tensões (Qantidades Derivadas) 37.6 Cálclo das Reações 4.7 Condção de Calor Unidimensional em Regime Permanente 4.8 Formlação de Elementos Finitos Utilizando o Princípio da Mínima Energia Potencial 47.9 Método Direto 5. Obtenção de Fnções de Interpolação Unidimensionais C 54. Transformação de Coordenadas para o Elemento de Barra 6 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS 65 APÊNDICE 67

3 Cap. Conceitos Introdtórios 3 CAPÍTUO Conceitos Iniciais e Método dos Resídos Ponderados. INTRODUÇÃO Para a representação de fenômenos físicos, os engenheiros e físicos geralmente estabelecem m sistema de eqações diferenciais válidas em certa região (domínio) e impõem nesse sistema condições de contorno e condições iniciais. Até esse estágio, o modelo matemático está completo e, para aplicações práticas, necessita-se somente a solção para m conjnto particlar de dados nméricos. Aqi srge a maior dificldade, pois apenas formas mito simples de eqações, dentro de contornos triviais, são possíveis de serem resolvidas eatamente através de métodos matemáticos. Eqações diferenciais ordinárias, com coeficientes constantes são algns eemplos para os qais solções analíticas são possíveis. Para solcionar tais dificldades, há a necessidade da tilização de métodos nméricos, obtendo-se assim solções aproimadas da eqação diferencial qe se deseja resolver, sjeita a certas condições de contorno e condições iniciais. A idéia básica dos métodos nméricos para solcionar tal classe de problemas é discretizar o problema contíno. O seja, o conjnto infinito de números qe representam a fnção o fnções desconhecidas é sbstitído por m conjnto finito de parâmetros desconhecidos, sendo qe esse processo reqer algma forma de aproimação. Os parâmetros desconhecidos são encontrados através de solção algébrica, o seja, obtém-se m sistema algébrico de eqações do tipo [ A ]{ } = { b} (.)

4 4 Introdção ao MEF M. A. ersen onde [ A ] é ma matriz qadrada e não-singlar, { b } é o vetor independente e { } é o vetor qe contém os parâmetros desconhecidos da solção aproimada, o seja, é o vetor solção. Por vezes a matriz [ A ] pode depender do vetor { }, caracterizando m problema não-linear. O ainda [ A ], { } e { b } podem ser todos dependentes do tempo, desejando-se a solção não somente para m instante, mas para m determinado intervalo de tempo, necessitando solcionar a eqação (.) várias, o inúmeras vezes. Dentre os métodos nméricos mais conhecidos e tilizados pode-se destacar o Método das Diferenças Finitas, o Método dos Volmes Finitos, o Método dos Elementos Finitos e o Método dos Elementos de Contorno. Os três primeiros métodos são métodos de domínio, isto é, a discretização é ao longo de toda a região. Já o Método dos Elementos de Contorno, como o próprio nome diz, é m método de contorno, necessitando apenas fazer a discretização ao longo do contorno da região de estdo. Otra classe de métodos nméricos qe está se destacando são os chamados métodos sem malha (meshless methods) onde, contrário ao Método dos Elementos Finitos, não necessita da definição de ma malha, mas somente de pontos ao longo do domínio. Maiores detalhes sobre métodos sem malha podem ser encontrados em Darte (995) e Darte e Oden (995). Na engenharia, otras formas de abordar a obtenção de solções aproimadas são tilizadas, tais como os princípios de eqilíbrio, conservação e métodos energéticos. Mas a qalqer ma dessas formas de abordar o problema pode-se sempre também associar ma eqação diferencial. Assim, de ma forma geral, o Método dos Elementos Finitos (MEF) pode ser encarado como m método nmérico aproimado, para solcionar eqações diferencias, com precisão aceitável para engenheiros. Se desenvolvimento inicial foi em aplicações de análise estrtral em aeronaves, tilizando o princípio de eqilíbrio de forças e análise matricial. Posteriormente foi aplicado a otros fenômenos, sendo atalmente tilizado na solção de mitos problemas, dentre os qais pode-se citar: análise de tensões, vibrações, acústica, escoamento de flidos, distribição de temperatra, campo eletromagnético, injeção de plástico, etc., tanto para modelar fenômenos lineares como não-lineares. Eistem inúmeros softwares comerciais no mercado:

5 Cap. Conceitos Introdtórios 5 - Ansys: análise estrtral linear e não-linear, acústica, eletromagnetismo, escoamento de flidos, distribição de temperatra - Pro-Mechanica: análise estrtral linear e distribição de temperatra - Abaqs: análise estrtral linear e não-linear - Nastran: análise estrtral - Cosmos: análise estrtral - Algor: análise estrtral linear e não-linear, análise térmica, escoamento de flido - S-Dyna: conformação mecânica de metais, "crash" - I-Deas: análise estrtral linear e não-linear, análise térmica, escoamento de flidos. - C-Mold: simlação do processo de injeção de plástico - Mold-flow: simlação do processo de injeção de plástico. CONCEITOS INICIAIS No estdo de solções aproimadas de eqações diferenciais, é necessário introdzir algns conceitos e definições. Fncional: epressão integral escalar qe contém implicitamente as eqações diferenciais qe descrevem o problema. Na mecânica estrtral, o fncional mais largamente tilizado é a epressão da energia potencial total. Fncionais também são avaliados para problemas de condção de calor, escoamento de flidos, acústica, etc. De ma forma genérica, m fncional, no espaço R, pode ser escrito da seginte forma I F y v v v =,,,,,,,..., ddy y (.) sendo e y as variáveis independentes, e v fnções de e y. O termo fncional indica qe I depende não somente de, v e sas derivadas em m ponto, mas também do se efeito integrado sobre a região de interesse. Na mecânica

6 6 Introdção ao MEF M. A. ersen dos sólidos, m eemplo de fncional é a epressão da energia potencial total π de m corpo elástico, qe escrita em notação indicial é dada por π = Ω σ ij ε ij dω Ω b dω i i t dγ i Γ i (.3) onde σ ij são as componentes de tensão, ε ij as componentes de deformação, b i as forças de corpo, t i as forças de sperfície, i os deslocamentos, Ω o domínio de interesse, e Γ o contorno do domínio de interesse. Cálclo Variacional: parte da matemática qe se preocpa em encontrar valores estacionários (etremos) de fncionais. O seja, para o fncional I da epressão (.) procra-se as fnções (,y) e v(,y) de modo qe I seja estacionário. As fnções e v qe satisfizerem esta condição são também a solção das eqações de Eler-agrange associadas ao fncional. As eqações de Eler-agrange representam, em formato de eqações diferenciais, o mesmo problema representado, de forma integral, pelo fncional a elas associado. Noções sobre cálclo variacional podem ser encontrados em Dym & Shames (978), Tachert (974), Bassanezi & Ferreira Jr. (988), entre otros trabalhos. Princípio Variacional: sa ma epressão integral, chamada fncional, qe possi implicitamente as eqações diferenciais e as condições de contorno não essenciais de m problema, e nele são aplicados os princípios do cálclo variacional, procrando ma posição estacionária, geralmente m mínimo para o fncional. Freqüentemente o fncional é ma forma qadrática. O Princípio da Mínima Energia Potencial é m, dentre os vários princípios tilizados na mecânica. Assim, no sentido clássico, qando se fala em formlação variacional presspõe-se a minimização de ma forma qadrática. Utilizando m princípio variacional, o Método dos Elementos Finitos pode ser apresentado como ma generalização do Método de Rayleigh-Ritz. Detalhes sobre o Método de Rayleigh-Ritz podem ser encontrados no livro Energy Principles in Strctral Mechanics (Tachert, 974). Em otras áreas qe não seja a mecânica estrtral, m princípio variacional pode não ser obtido. Isto acontece se a eqação diferencial do problema contém derivadas de ordem ímpar, ocorrendo na mecânica dos flidos, para algns tipos de escoamento.

7 Cap. Conceitos Introdtórios 7 Mesmo assim, o Método dos Elementos Finitos pode ser aplicado, tilizando o Método dos Resídos Ponderados. Tanto o Método de Rayleigh-Ritz como o Método dos Resídos Ponderados sam epressões integrais qe contém as eqações diferenciais do problema físico. Ambas as formlações, fncional e residal, são conhecidas como forma fraca das eqações qe governam o problema. A eqação diferencial é conhecia como forma forte. A forma fraca força as condições de continidade na média (integral sense), ao passo qe a forma forte força as condições de continidade em cada ponto. Note qe a solção da forma forte é sempre também solção da forma fraca, ao passo qe a afirmação contrária nem sempre é verdadeira. A solção da forma fraca é conhecida também como solção generalizada..3 MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS Para se aplicar o Método dos Resídos Ponderados necessita-se primeiramente saber a eqação diferencial qe rege o problema físico em qestão. Seja a eqação diferencial, qe governa m determinado problema físico, com condições especificadas no contorno (problema de valor no contorno) onde: D B f = no domínio Ω g = no contorno Γ (condições de contorno) (.4) = variável dependente. Por eemplo: deslocamentos em m ponto, temperatra em m ponto, potencial elétrico; = variável independente. Por eemplo, coordenadas de m ponto; f, g = fnções de, constantes o zero, dependendo do problema; D, B = operadores diferenciais. Se o operador diferencial D é de ordem m, define-se dois tipos de condições de contorno, de acordo com a ordem do operador diferencial B. Esta classificação é importante no estdo de solções de eqações diferenciais, pois cada tipo de condição de contorno é abordada de ma forma.

8 8 Introdção ao MEF M. A. ersen Condições de contorno essenciais (o condições de contorno de Dirichlet): condições de contorno qe envolvem derivadas de ordem a m-. Em análise estrtral as condições de contorno essenciais também são conhecidas como condições de contorno geométricas o cinemáticas. Condições de contorno natrais o não essenciais (o condições de contorno de Nemann): condições de contorno qe envolvem derivadas de ordem m a m-. Uma eqação qe combine ma condição de contorno essencial e ma natral é chamada de condição de contorno mista. Para m mesmo ponto, apenas m tipo de condição de contorno pode ser especificada, isto é, se é especificada ma condição de contorno essencial, a natral, nesse mesmo ponto, o região, não pode ser especificada, pois depende da condição de contorno já fornecida, e vice-versa ao se especificar ma condição de contorno natral. O qe é possível é ter-se ma condição de contorno mista, isto é, para m mesmo ponto o região, ma eqação qe envolve os dois tipos de condições de contorno. Por eemplo, para ma eqação diferencial de segnda ordem, condições de contorno essenciais são as derivadas de ordem zero, o seja, a própria fnção, e condições de contorno natrais são as derivadas primeira da fnção. A segir são mostrados algns eemplos de eqações diferenciais associadas ao problema físico qe representam. Fleão de viga (material elástico-linear e teoria de peqenas deformações): EI d 4 w = p( ) 4 d para este caso, D = 4 EI d 4 d = w (defleão) f = p (carregamento transversal) e as condições de contorno natrais ( B g = ) EI d w M B = (momento fletor) d EI d 3 w V 3 B = (esforço cortante) d

9 Cap. Conceitos Introdtórios 9 Como condições de contorno essenciais para este problema tem-se a defleão w e sa derivada dw d, esta última representando a rotação. Condção de calor nidimensional, em regime permanente: onde d d k A dt ( ) ( ) ( ) Q( ) A( ) d + = T = temperatra k = condtividade térmica A = área Q = fonte de calor k dt d = flo de calor Como condição de contorno natral tem-se a especificação do flo (q = k dt ), d condição de contorno essencial a temperatra (T) e, para este problema, há a ocorrência comm de ma condição de contorno mista, representada pela troca de calor por convecção: onde k dt h( T T ) =, d h é o coeficiente de troca de calor por convecção e T envolvendo a sperfície do contorno. a temperatra do meio Condção de calor bidimensional: - regime permanente - sem fonte de calor (Q=) - k e A constantes T = (Eqação de aplace)

10 Introdção ao MEF M. A. ersen onde = + y (operador laplaciano bidimensional) Escoamento potencial bidimensional: φ = onde φ φ y = (velocidade na direção ) = v (velocidade na direção y) Eletrostática: d d A d φ( ) ε( ) ( ) ρ( ) A( ) d + = onde φ = potencial elétrico ε = permissividade A = área ρ = densidade de carga elétrica dφ = campo elétrico d Considerando o caso nidimensional, em geral desconhece-se a solção () do problema em qestão, e procra-se ma solção aproimada ~ ( ). Tipicamente ~ ( ) é m polinômio qe satisfaz as condições de contorno essenciais, e contém coeficientes a determinar a, a,...,a n. Assim, para se obter a solção aproimada ~ ( ) deve-se determinar os coeficientes a i tal qe e ~ sejam sficientemente próimas, segndo

11 Cap. Conceitos Introdtórios m determinado critério estabelecido. O seja, ~ = a + a + a..., sendo os coeficientes a i determinados segndo critérios qe serão vistos. + Sbstitindo ~ no lgar de nas eqações diferenciais (.4), tem-se dois tipos de erros, o resídos R = R ( a, ) = D~ f (resído interior, no domínio) D D i R = R ( a, ) = B~ g (resído no contorno) (.5) C C i Em algns casos, eistem somente condições de contorno essenciais. Assim, ao se aplicar o Método dos Resídos Ponderados, R C não necessita ser considerado, pois na escolha da solção aproimada ~, esta deve, a priori, satisfazer as condições de contorno essenciais, tal como no método de Rayleigh-Ritz. Os resídos podem se anlar para algns valores de, mas só serão nlos para todos os valores de se a solção aproimada ~ for a solção eata, isto é, se ~ ( ) ( ). Presme-se qe ~ é ma boa aproimação de e os resídos sejam peqenos. Resídos peqenos podem ser alcançados de várias maneiras, cada ma delas resltando nm sistema de eqações algébricas de ordem n a ser resolvido, onde as incógnitas são os coeficientes a i. Algmas dessas maneiras são apresentadas a segir..3. Método da Colocação Para n diferentes valores de, o resído é imposto como sendo nlo R ( a, ) = para i=,,..., j- D i i R ( a, ) = para i=j, j+,..., n (.6) C i i

12 Introdção ao MEF M. A. ersen () ~ () i i+ Figra.: Representação do método da colocação, onde a solção aproimada é imposta igal à solção eata nas coordenadas i e i+..3. Sbdomínio imposta nla Sobre n diferentes regiões do domínio Ω e do contorno Γ, a integral do resído é RD( ai, ) dω = para i=,,..., j- Ω i RC ( ai, ) dγ = para i=j, j+,..., n (.7) Γ i.3.3 Mínimos Qadrados Os coeficientes a i são escolhidos de forma a minimizar a fnção I: I = para i=,,..., n (.8) a i A fnção I é formada integrando os qadrados dos resídos:

13 Cap. Conceitos Introdtórios 3 [ (, ) D i ] Ω [ (, ) C i ] I = R a d + α R a dγ. (.9) Ω Γ onde α é m escalar arbitrário qe pondera a importância de R C em relação a R D..3.4 Colocação dos Mínimos Qadrados (o Mínimos Qadrados pontais) Similar ao anterior, sendo qe a fnção I é dada de forma discreta, isto é, j i= n D i i C i i ) i= j [ R ( a, )] + [ R (a, ] I = α (.).3.5 Galerkin (o mais importante!) Selecionam-se fnções peso W = W ( ) e impõe-se qe a média ponderada do i i resído R D com relação às fnções peso é igal a zero. Em termos matemáticos, R D é feito ortogonal às fnções peso (o prodto interno entre W i e R D é nlo - ver figra.): Ri = Wi ( ) RD( ai, ) dω = para i=,,..., n (.) Ω R D ~ espaço gerado pelas fnções peso Figra.: O resído R D é ortogonal ao espaço gerado pelas fnções peso W i.

14 4 Introdção ao MEF M. A. ersen No método de Bbnov-Galerkin, o commentemente chamado simplesmente de Galerkin, as fnções peso são os coeficientes das coordenadas generalizadas a i. Assim, W i = ~ a i. (.) O seja, a base de fnções para aproimar ~ e para aproimar W i são as mesmas. No método chamado de Petrov-Galerkin otras formas de W i são tilizadas, o seja, o conjnto de fnções peso é diferente do conjnto de fnções tilizadas para a aproimação. No método de Galerkin, o resído no contorno R C é sado em combinação com integração por partes, para a imposição das condições de contorno natrais. Se eistir m princípio variacional associado à eqação diferencial, Galerkin e Rayleigh-Ritz darão solções idênticas qando tiliza-se a mesma fnção aproimada ~. Eemplo - Método de Galerkin Seja a eqação diferencial, = + c para (.3a) com condições de contorno = em = (Dirichlet), = b em = (Nemann) (.3b) Na eqação diferencial qe sege, e freqentemente no decorrer do teto será tilizada a notação comma, seja, ( ), representa ( ), ( ) ( ) representa,y y, etc.

15 Cap. Conceitos Introdtórios 5 associada com o problema de ma barra sbmetida a m carregamento distribído ao longo do comprimento, e m carregamento de tração na etremidade = (veja Apêndice A). A barra possi seção transversal constante igal a A e módlo de elasticidade, também constante, igal a E. A figra.3 esqematiza o problema, sendo a fnção deslocamento ao longo do eio. q()=q o σ EA Figra.3: Barra sbmetida a tração e carregamento distribído.. Os valores das constantes c e b são dados por q c = b = σ EA E. (.4) Escolhe-se como fnção aproimada ~, por eemplo, m polinômio de segndo gra, da forma a ~ = a +. (.5) Note qe ~ satisfaz, independentemente dos coeficientes ai a serem determinados, a condição de contorno de Dirichlet (essencial), qe é o deslocamento nlo em =. O seja, diz-se qe ~ é m campo de deslocamentos cinematicamente admissível. Aplicando-se o método de Galerkin, onde Ri = W i( )RD (ai, ) dω = Ω i=,,..., n (.6)

16 6 Introdção ao MEF M. A. ersen para o problema em qestão, tem-se R = W ( )( ~ + c )d i=, (.7) i i, = O Método de Galerkin inicia com ma integração por partes, redzindo a ordem da diferenciação dentro da integral, relaando assim a ordem da continidade reqerida para a fnção aproimada. A integração por partes também serve para introdzir as condições de contorno natrais (o de Nemann), conforme será visto a segir. Integrando por partes apenas a parcela W ( ) ~,, e lembrando a epressão da integração por partes: i dv v = v d, (.8) faz-se = e dv = ~ d tendo-se W i, R [ ) ~ W ( ] + ( W ~ + W c ) d = i =, (.9) i i, i,, i = Como W = ~ a = e ~ W = = a e, o termo fora da integral W ( = ) ~ (para i= e i=, pois W ( = ) = W ( = ) = ) e i, = W ( = ) ~ = W ( )b, (ver condições de contorno, eq..3b) i, i = tem-se R i = i,, i i = = ( W ~ + W c) d + [ W b] i =, (.)

17 Cap. Conceitos Introdtórios 7 e W, = W, = ~, = a + a obtendo-se as das componentes do prodto interno R i. i = R ( a a + c ) = d + b = c 3 a a + + b = 3 c 3 a a = b 3 (.) i = R 3 ( a 4a + c ) = d+ b = 4 3 c 4 a a + + b = 3 4 a a = c 4 4 b (.) As eqações (.) e (.) formam m sistema algébrico de eqações lineares, cjas incógnitas são a e a

18 8 Introdção ao MEF M. A. ersen a a = c b 4, (.3) c b sendo a solção deste sistema a 7c = b e + c a =. (.4) 4 Assim, a solção aproimada ~ fica 7c c ~ = b + 4. (.5) A solção eata deste problema é facilmente obtida, sendo dada por c c 3 = b + 6. (.6)

19 Cap. Conceitos Introdtórios 9 Comparação de Resltados (software Mathcad) Solção Analítica X Solção via Galerkin tilizando como fnção aproimada m polinômio de ordem σo 45 E.. 5 A 5 qo b σo E c qo. E A c. Solção analítica: ( ) b. c c. Solção via Galerkin: ap( ) b. c.. 4 6, ( ) ap( ) Cálclo de Tensões: σ = E ε = E d/d Solção Eata (tensão): σ( ) E. d d b c.. c. 6 3 σ( ) E. b.. c.. c Solção via Galerkin (tensão): σap( ) E. d d b 7. c.. c.. 4 σap( ) E. 7 b.. c... c

20 Introdção ao MEF M. A. ersen.5 4, σ( ) σap( ) Fim da listagem do arqivo do Mathcad Eercício Resolver o problema anterior através do Método de Rayleigh-Ritz, a) tilizando como fnção de aproimação: b) tilizando como fnção de aproimação: a ~ = a + ; 3 + a a3 ~ = a + Comparar as das solções com a solção analítica, já dada anteriormente pela epressão (.6), e com a solção via Galerkin tilizando ~ = a + a (epressão.5).

21 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais CAPÍTUO Elementos Finitos Unidimensionais. MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS DE GAERKIN Seja o mesmo problema da barra resolvido no capítlo anterior, representado pela eqação diferencial AE + q( ) para T (.a), = e com condições de contorno = em = e AE, P = em = T (.b) q() P EA T Figra.: Barra sbmetida a tração. Para aplicação do Método dos Elementos Finitos ao problema acima, sbdividese o corpo em análise, no presente caso a barra, em ma série de pedaços, chamados elementos finitos, e aplica-se o método de Galerkin em m pedaço (elemento finito) característico da estrtra. A fnção aproimada, no Método dos Elementos Finitos, tem como incógnitas os deslocamentos em determinados pontos do elemento, sendo esses

22 Introdção ao MEF M. A. ersen pontos denominados nós. O número de nós depende do tipo de fnção de aproimação qe se está arbitrando. Se for ma eqação de primeiro gra (polinômio de gra ), isto é, o deslocamento é linear ao longo do comprimento do elemento, ter-se-á dois nós, localizados nas das etremidades do elemento. Se se arbitrar ma fnção qadrática (polinômio de gra ), ter-se-á três nós, m em cada etremidade, e m terceiro intermediário, e assim por diante. Deste modo obtém-se m sistema algébrico de eqações, característico de m elemento finito, sendo as incógnitas os deslocamentos nodais do elemento. Monta-se esse sistema para cada m dos elementos qe formam a estrtra, sendo feita depois a sperposição, isto é, jntam-se os pedaços do corpo, de modo a preservar a continidade, o seja, deslocamentos em nós coincidentes serão igais,. obtendo-se m sistema algébrico de eqações para toda a estrtra. No estdo de condção de calor, ao invés de deslocamentos nodais como incógnitas, tem-se temperatras nodais. No caso da barra, tem-se ma incógnita associada com cada nó, portanto tem-se m gra de liberdade por nó. Posteriormente será visto qe pode-se ter mais incógnitas, gras de liberdade, associadas a apenas m nó, como é o caso da elasticidade plana, onde tem-se como incógnitas dois deslocamentos, m em cada direção, e portanto o elemento finito terá dois gras de liberdade por nó. Para elementos finitos nidimensionais, sa representação é apenas ma linha, nindo os ses nós (figra.4). Na análise do problema da figra., divide-se a barra em três elementos finitos, de comprimentos, e 3, conforme figra.. O processo de divisão do corpo em elementos finitos chama-se discretização. EA q() P 3 T Figra.: Discretização em elementos finitos.

23 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 3 figra.3. Analisa-se m elemento característico, de comprimento, conforme mostra a e Figra.3: Elemento finito característico. Faz-se agora a aproimação ~, para o elemento. Esta fnção aproimada terá como incógnitas os deslocamento nos pontos nodais. Como eemplo, arbitrar-se-á ma fnção aproimada de primeiro gra, isto é, o deslocamento ao longo do elemento será ma interpolação linear entre os deslocamentos das etremidades. Portanto, o elemento e terá dois nós, localizados nas etremidades, sendo ses gras de liberdade (incógnitas) os deslocamentos nessas posições, o seja, e, conforme mostra a figra.4. nó e nó Figra.4: Nós e gras de liberdade do elemento finito. Sem perda de generalidade, considerando o sistema de coordenadas com origem no nó, ~ pode ser escrito da seginte forma ~ ( ) = + (.) o, de ma forma mais geral ~ ( ) = i= N i( ) i (.3)

24 4 Introdção ao MEF M. A. ersen onde N i são as chamadas fnções de interpolação, sendo qe i varia de ao número de nós do elemento qe, no presente caso, é igal a dois. As fnções de interpolação N i portanto, são dadas por N = e N = (.4) Verifiqe qe para as coordenadas nodais ~ é igal aos deslocamentos nodais, o seja, para = ~ = e para = ~ =. A epressão (.3) pode ser epressa, em forma matricial [ ]{ } ~ ( ) = N, (.5) onde [ N ] é denominada de matriz das fnções de interpolação do elemento, e { } o vetor de deslocamentos nodais do elemento. A epressão (.5) é ma epressão geral, onde [ N ] contém fnções de interpolação (não necessariamente lineares), e { } representa todos os gras de liberdade do elemento. Esta forma será etensivamente tilizada no decorrer do presente teto. Para ma interpolação linear [ N ] e { } dados por são [ N ] = X e { } = X. (.6) Em ma forma gráfica, a eqação (.) pode ser representada pela figra.5, onde os deslocamentos ao longo do elemento são interpolados, de forma linear, pelos deslocamentos das etremidade, e. A obtenção das fnções de interpolação será vista no item.8.

25 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 5 () ~ 3 3 Figra.5: Interpolação linear de deslocamentos. Definida a fnção de aproimação ~, pelo método de Galerkin, as fnções peso W i são dadas por W i ~ = = i N i o W W = N = = N = (.7) e as eqações de Galerkin são dadas por Assim ( ) Ri = Wi ( ) AE~, + q d = (.8) N ( AE ~ + q) d i, = (.9) Integrando por partes a primeira parcela da epressão (.9)

26 6 Introdção ao MEF M. A. ersen [ i ] N AE~ d = N AE~ N AE~ d (.) i,, i,, Note qe no contorno AE ~, = AEε = Aσ = P (carga concentrada aplicada), e portanto são as condições de contorno natrais. Assim, tem-se i i,, i ( ~ ) [ i ] R = N A E + N q d + N P = (.) Para i= ( ( ) ) [ ( ) ( ),,, ] N AE N + N + N q d + N = P N = P = ( ) [ ] N AE N + N d + N qd + N ( = ) P N ( = ) P =,,, ( ) N AEN + N AEN d = N qd P (.),,,, como N, = e N, = (.3) e mltiplicando toda a epressão por -, tem-se AE + AE d = qd+ P (.4) Integrando obtém-se

27 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 7 EA EA P = + qd. (.5) Procedendo de forma similar para i=, obtém-se a segnda eqação EA + = + EA P qd. (.6) O segndo termo da direita nas epressões (.5) e (.6) são chamados de forças nodais consistentes, pois são forças aplicadas nos nós, provenientes de ma força distribída ao longo do elemento. São ditas consistentes pois são ponderadas pelas fnções de interpolação. Em forma matricial, as das últimas epressões podem ser escritas como EA F = (.7) F onde F = P + qd F = P + qd (.8) o, de forma compacta onde [ K E ] { E } [ K E ]{ E } { F E } = EA = =, (.9) é a matriz de rigidez do elemento é o vetor deslocamentos nodais do elemento { F E } F = F é o vetor de carregamentos nodais do elemento.

28 8 Introdção ao MEF M. A. ersen A epressão (.7) (o (.9)) é a eqação de elementos finitos para o elemento de barra, considerando a tilização de fnções de interpolação lineares. Agora, necessita-se montar a eqação para toda a estrtra. Isto é feito sperpondo-se todos os elementos qe compõem a estrtra, o seja NE NE ([ K ]){ } ({ F }) E E = E = E = o [ K]{ } = { F}, (.) onde [ K] é a matriz de rigidez global da estrtra, isto é, ma matriz qe engloba todas as matrizes elementares, { } { F} é o vetor deslocamentos nodais da estrtra, é o vetor de carregamentos nodais da estrtra. A segir é mostrado como são obtidas as matrizes e vetores globais, qe representam toda a estrtra. Voltando agora à barra, qe foi divida em três elementos, nmera-se todos os elementos e nós da estrtra. A estrtra portanto terá qatro nós (figra.6) Figra.6: Barra discretizada em três elementos finitos. Observando a figra.6, verifica-se qe o elemento é composto pelos nós e, o elemento pelos nós e 3, e o elemento 3 pelos nós 3 e 4. Esta relação entre número do elemento e nmeração dos nós globais dá-se o nome de conectividade o incidência (ver tabela.).

29 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 9 Tabela.: Tabela da conectividade Elemento Nó Nó Montando a matriz de rigidez e vetor de carga para cada m dos elementos e, para generalizar o problema, considera-se qe cada m dos elementos tenha diferentes propriedades, isto é, módlo de elasticidade E, E, E 3 ; área da seção transversal A, A, A 3 e comprimento,, 3. Para efeitos de demonstração da sperposição do vetor carga, será considerado qe a força distribída é constante, isto é, q( ) = q. Elemento : composto pelos nós e. e Matriz de rigidez e vetor de carga do elemento, associados aos gras de liberdade [ ] E A K = { F } = F = + F q q R (.) Onde R é a reação na direção, devido à restrição no nó, e também desconhecia a priori. Elemento : composto pelos nós e 3. e 3 Matriz de rigidez e vetor de carga do elemento, associados aos gras de liberdade

30 3 Introdção ao MEF M. A. ersen [ ] E A K = 3 3 F F { } = F = q q (.) Elemento 3: composto pelos nós 3 e 4. 3 e 4 Matriz de rigidez e vetor de carga do elemento, associados aos gras de liberdade [ ] K = E A { } 3 = q F = q 3 + F 3 3 F 3 P (.3). OBTENÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E VETOR DE CARGA GOBAIS A matriz de rigidez global [ K ] e do vetor de carga global { F} da estrtra são obtidos a partir da sperposição das matrizes e vetores elementares, criando-se ma matriz (o vetor) qe englobe todas as matrizes elementares. Os efeitos dos gras de liberdade coincidentes são somados, da seginte forma [ K ] = EA E A EA E A EA + EA E A E A E3A + 3 E3A3 3 3 E3A 3 E A (.4) o vetor de deslocamentos globais é dado por

31 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 3 { } = 3 4 (.5) e o vetor de carga global { F } = F F F F + F = F3 F + F F4 F 3 3 q + R q q + = q q + 3 q 3 + P. (.6) Note qe a matriz de rigidez global (.4) é simétrica e apresenta valores não nlos somente na diagonal principal e nas diagonais adjacentes, caracterizando a chamada matriz banda. Em programas de elementos finitos, dependendo do tipo de solção, estas propriedades diminem o espaço de armazenamento da matriz. Por eemplo, pode-se armazenar somente os elementos da matriz qe estiverem na semi-banda sperior (o inferior), conforme representa a figra.7, onde na primeira colna é armazenada a diagonal principal. a e e b f f c g g d a b c d e f g Figra.7: Representação do armazenamento em banda de ma matriz simétrica. Considerando os três elementos finitos do mesmo tamanho: = = 3 =, mesma área de seção transversal, A = A = A3 = A e mesmo módlo de elasticidade, E = E = E 3 = E, tem-se o seginte sistema linear a ser resolvido:

32 3 Introdção ao MEF M. A. ersen EA q + R q = 3 q q 4 + P (.7) O sistema de eqações acima ainda não pode ser solcionado pois a matriz de rigidez é singlar. Para se poder obter ma solção é necessário impor as condições de contorno, isto é, impor ao modelo sa vinclação (sportes). Caso o número de vinclações seja insficiente, a matriz continará sendo singlar. Fisicamente isto indica qe algm movimento de corpo rígido ainda é possível. Sem vinclações sficientes a estrtra pode assmir infinitas configrações, não sendo possível obter ma única solção.

33 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 33.3 IMPOSIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO Para o eemplo da figra.6, tem-se, como única vinclação, o deslocamento nlo do nó, o seja: = (. e o sistema linear da epressão (.7) pode ser reescrito como EA q = q 3 q 4 + P, (.9) onde a primeira eqação de (.9) foi eliminada, sendo sbstitída pela eqação =, e como sabe-se qe o deslocamento no nó é nlo, elimino-o das otras eqações. Ao invés de se resolver o sistema de 4 eqações a 4 incógnitas (.9), pode-se agora resolver o seginte sistema de 3 eqações a 3 incógnitas: EA 3 4 q = q q + P. (.3) No caso de se ter m valor de variável prescrita (deslocamento) diferente de zero, o seja = (comm em problema de distribição de temperatra, onde tem-se temperatras prescritas diferentes de zero), a imposição desta restrição é feita da seginte forma:

34 34 Introdção ao MEF M. A. ersen + + = P q q EA q EA EA 4 3. (.3) Assim, de ma forma geral, qando se tem o sistema de eqações k k k k k k k k k k k k k k k k F F F F i n i n i i ii in n n ni nn i n i n M M M M M M M M M M M M = (.3) com vinclação i i =, o sistema acima pode ser escrito como = i ni n i i i i i n i nn n n n n k F k F k F k k k k k k k k k M M M M M M M M M M M M. (.33) A forma de imposição das condições de contorno mostrada acima é ma, dentre as várias eistentes.

35 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 35.4 RESOUÇÃO DO SISTEMA AGÉBRICO INEAR E DETERMINAÇÃO DOS DESOCAMENTOS NODAIS Após feita a imposição das condições de contorno, resolve-se, por algm método nmérico, o sistema linear de eqações, obtendo-se assim os deslocamentos nodais. Dentre os métodos de solção de sistema de eqações lineares podemos destacar os métodos diretos da eliminação de Gass, decomposição U, decomposição de Cholesky, método de solção frontal (wavefront), e os métodos iterativos de Gass- Seidel, Jacobi, IOR, Gradiente Otimizado (Steepest Descent), Gradientes Conjgados, entre otros. Cada m desses métodos tem vantagens e desvantagens, dependendo do tipo de matriz obtida (simétrica, não-simétrica, positiva definida, matriz banda, matriz esparsa, condicionamento, etc), da disponibilidade de memória do comptador, precisão de resltados e tempo necessário para obtenção da solção Como para o problema estdado o sistema de eqações possi peqena dimensão, representado pelas epressões (.9) o (.3), pode-se resolvê-lo facilmente, obtendo-se os segintes resltados: 3 4 = 5 q P = + EA EA 4q P = + EA EA 9 q 3P = +. EA EA (.34) A solção analítica para este problema é dada por P( ) EA d q EA P q ( ) = = T ( ) + EA = EA 3 + P EA (.35) qe, nas posições correspondentes aos nós, tem-se os mesmos valores obtidos pela solção nmérica (.34).

36 36 Introdção ao MEF M. A. ersen A coincidência de resltados entre a solção nmérica e a solção eata, nos pontos nodais, ocorre apenas para problemas simples e, como já mencionado, na maioria dos casos não se tem ma solção analítica para comparação de resltados. Nesses casos a qalidade da solção nmérica obtida é analisada de otras formas, tilizando-se estimadores de erros (Szabó & Babska, 99; Zienkiewicz & Zh, 987). Sbstitindo em (.34) os segintes valores nméricos: q T o = 9mm = 6.5 N / mm P = 675 N E =. A = 5mm 5 MPa, (.36) obtém-se os valores de deslocamento nos pontos nodais: 3 4 = =. 7mm =. 86mm =. 7643mm (.37) Graficamente, as das solções podem ser visalizadas na figra.8.6. Deslocamento [mm].8.4 Solção eata Solção nmérica aproimada Posição [mm] Figra.8: Solção eata e solção através do MEF.

37 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 37 Note qe a solção analítica é m polinômio de segndo gra (parábola), enqanto a solção nmérica (MEF) é linear, dentro de cada elemento, devido à escolha do tipo das fnções de interpolação. Se fossem tilizadas fnções de interpolação de ordem maior, m polinômio qadrático o cúbico, a solção nmérica e a solção eata seriam coincidentes ao longo de toda a barra. Note também qe, se o carregamento distribído constante q for nlo, a solção nmérica e a solção analítica são coincidentes ao longo de toda a barra, e não somente nos pontos nodais. Isto era de se esperar, pois a solção analítica é linear e as fnções de interpolação tilizadas também são lineares..5 CÁCUO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES (QUANTIDADES DERIVADAS) Analisar-se-á agora as derivadas da fnção aproimada ~ ( ) e da solção analítica ( ). Essas derivadas estão associadas às deformações, e conseqentemente às tensões. Para ma barra sbmetida a m esforço normal, a deformação normal ε é dada por ε = d d (.38) e a tensão normal, tilizando a ei de Hooke σ = Eε. (.39) Para a solção via elementos finitos, ma vez calclados os deslocamentos nodais, basta calclar, para cada elemento finito, a deformação ε, dada pela derivada d ~. d Como os deslocamentos são dados por ~ ( ) = N + + N = (.39)

38 38 Introdção ao MEF M. A. ersen A deformação no elemento é dada por: d ~ d ε = = = d d +. (.4) E a tensão no elemento fica: σ = Eε = E, (.4) onde e são os deslocamentos nodais do elemento. A derivada da solção (deformação e tensão) via MEF é contína apenas ao longo do elemento finito, possindo descontinidades nos pontos nodais A derivada da solção analítica (eqação.35) é dada por d q P q P ε = = ( T ) + = (3 ) +. (.4) d EA EA EA EA e a tensão q σ = Eε = (3 ) + A P A (.43) A figra.9 mostra, graficamente, para os valores nméricos tilizados na epressão (.36) a derivada da solção analítica e da solção nmérica, sendo esta última constante ao longo de m elemento finito.

39 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 39.4 Deformação (d/d) Deformação (derivada d/d) Solção eata Solção nmérica Posição [mm] Figra.9: Derivada da solção eata e da solção via MEF. Note qe na interface entre os elementos finitos as deformações, e conseqentemente as tensões, são descontínas. Para obtenção das tensões nesses pontos, várias técnicas podem ser tilizadas (Cook, Malks & Plesha, 989; Hinton & Campbell, 974), sendo a mais simples a média ponderada entre os valores na descontinidade. Essa descontinidade das derivadas acontece devido à escolha das fnções de interpolação, qe são da classe C (C zero), isto é, apenas a derivada de ordem zero, o seja, a própria fnção de interesse é contína ao longo de todo o corpo. Se fossem tilizadas fnções de interpolação da classe C (C m), como por eemplo os polinômios de Hermite (Ziekiewicz & Taylor, 99), não só a fnção seria contína, como também sa derivada primeira, mas em contrapartida teria-se mais gras de liberdade, e o sistema linear a ser resolvido seria de maior ordem. Certos tipos de problemas, como por eemplo na modelagem de vigas tilizando a teoria clássica (viga de Eler-Bernolli), eige-se, para se ter ma adeqada convergência, a escolha de fnções da classe C. Esta eigência do gra de continidade está associada com a ordem do operador diferencial da eqação qe rege o problema. Se o operador for de ordem m, eige-se, pelo menos, fnções de continidade C m (Cook, Malks & Plesha, 988). As afirmações acima sobre a continidade das variáveis de interesse, sas derivadas e das fnções de interpolação reqeridas, são válidas para os chamados elementos finitos baseados em campos de deslocamentos, isto é, onde somente as

40 4 Introdção ao MEF M. A. ersen variáveis primais são aproimadas (deslocamentos na mecânica dos sólidos, temperatra em problemas de condção de calor, campo eletromagnético em problemas de eletromagnetismo, etc.). Para otros tipos de formlações, tais como as formlações híbridas e mistas, as afirmações não são válidas. Formlações de elementos híbridos e mistos fogem ao escopo deste teto. Detalhes sobre tais elementos podem ser encontrados em Pian & Tong (987). Fazendo ma análise para o caso de q =, tem-se qe a derivada da solção analítica e da solção nmérica são coincidentes, sendo constante ao longo de todo o comprimento da barra (figra.). Obviamente para a variável primal, deslocamento, as solções também são coincidentes ao longo de todo o corpo..4.3 Deformação (d/d) Posição [mm] Figra.: Coincidência entre a derivada da solção eata e a derivada da solção nmérica para o caso do carregamento distribído q. ser nlo.

41 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 4.6 CÁCUO DAS REAÇÕES Voltando ao sistema de eqações antes da imposição das condições de contorno, epressão (.7), tinha-se EA q + R q = 3 q q 4 + P (.44) Como já foram determinados os deslocamentos nodais, pode-se tilizar a primeira eqação para a determinação da reação R : EA EA q = + R (.45) 3 4 De (.34) tem-se qe = e 5 q P = + (.46) EA EA Assim, R = 3q P qe é o mesmo resltado obtido por eqilíbrio (verifiqe!). Portanto, para se obter as reações, primeiramente determinam-se os deslocamentos nodais, e em posse deles, retorna-se ao sistema de eqações original (antes da imposição das condições de contorno).

42 4 Introdção ao MEF M. A. ersen Eercício Seja a barra escalona mostrada abaio, com seções transversais circlares de mm e 6 mm de diâmetro, e módlo de elasticidade E =7 MPa tensões nas barras e as reações tilizando elementos finitos. 4. Calcle as 8 kn mm 5 mm.7 CONDUÇÃO DE CAOR UNIDIMENSIONA EM REGIME PERMANENTE O problema de condção de calor nidimensional, com área A e condtividade térmica k constantes, em regime permanente, é regido pela seginte eqação diferencial k d T ( ) + Q( ) =, (.47) d sendo Q( ) a fonte interna de calor por nidade de volme. Note qe a eqação diferencial (.47) é da mesma forma qe a eqação da barra (.a) e, portanto, para m elemento, tilizando fnções de interpolação lineares, a eqação de elementos finitos é dada por k T qr Q d = T +, (.48) q R onde T e T são as temperatras nos pontos nodais do elemento, e q r está associado com o flo de calor no contorno. O eemplo a segir ilstra m problema de condção nidimensional solcionado pelo MEF.

43 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 43 Eemplo: Usando cinco elementos finitos, resolva o problema de distribição de temperatras no sólido apresentado na figra abaio: Ambiente Ambiente h = W/(m K) Sólido h = 5 W/(m K) T oo ο = C ο T oo = 5 C. m k = 5 W/(m K) Figra.: Problema de distribição de temperatras. Divide-se o corpo em cinco elementos finitos de mesmo comprimento, conforme figra (nós). m. m Figra.: Discretização do problema em cinco elementos finitos.

44 44 Introdção ao MEF M. A. ersen O modelo de elementos finitos possi 5 elementos e 6 nós, sendo sa conectividade dada na tabela.: Tabela.: Conectividade para o modelo de elementos finitos da figra.. Elemento Nó Nó A eqação de elementos finitos para cada elemento pode ser obtida à partir de (.48), sendo Q( ) =, pois não há fonte interna de calor. Como o tamanho dos elementos é igal, a matriz de rigidez elementar, para os cinco elementos, toma a mesma forma [ K ] E = k = 5. (.49) Fazendo-se a sperposição para todos os elementos finitos, da mesma forma qe foi feito para o problema da barra, tem-se o seginte sistema global, antes de serem impostas as condições de contorno 5 T q T q T3 q = T4 q T 5 q T6 q R R R3 R4 R5 R6 (.5) Na posição = (nó ), e na posição =., o flo de calor é dado através da condição de convecção:

45 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 45 q = h ( T T ) = T R q = h ( T T ) = 5 5T (.5) R6 6 6 Os otros valores de q R são todos nlos, pois o calor qe sai de m elemento é o mesmo qe entra no elemento adjacente. Introdzindo (.48) em (.47) obtém-se 5 5 T T T T3 = T T T6 5 5T6 (.5) Rearranjando de modo qe o vetor independente não tenha variáveis temperatras, tem-se 45 5 T T T3 = T T T6 5 (.53) A solção analítica para este problema é dada por T( ) = T ( T T ) ( ) + ( h ) ( h ) + ( h ) + ( k ). (.54) Para a posição dos pontos nodais, a solção analítica (.54) e a solção nmérica do sistema linear (.53) coincidem, dando os segintes resltados:

46 46 Introdção ao MEF M. A. ersen T T T T T T = = = 7. = = 6.77 = 59.9 (.55) Para este problema, a coincidência de resltados não se dá somente na variável primal (T), mas também nas sas derivadas. Esta coincidência entre as solções era de se esperar, pois como a fonte interna de calor é nla (Q = ), a solção analítica é ma eqação linear, e as fnções de interpolação tilizadas na aproimação via elementos finitos também são lineares, similar ao caso da barra, qando o carregamento distribído q é nlo As derivadas de T em relação a agora estão associadas ao flo de calor (q = k dt ). d Eercício Dado o sólido da figra abaio, formado por dois materiais, A e B, com geração interna de calor. Calcle as temperatras no centro dos materiais, e o flo total de calor qe sai pelo lado direito da parede. Despreze a resistência de contato. Parede isolada. m A B T P ο = 5 C k A ο = 75 W / m C cm 5 cm k B = 35 W / m ο C. q = 5 kw / m 3

47 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 47.8 FORMUAÇÃO DE EEMENTOS FINITOS UTIIZANDO O PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIA (generalização do Método de Rayleigh Ritz) O Método dos Elementos Finitos pode ser definido como a aplicação do método de Rayleigh-Ritz em sb-regiões do domínio, os elementos finitos, onde os coeficientes a determinar são os gras de liberdade (deslocamentos, temperatra, etc). Na mecânica dos sólidos a energia potencial total π, para m sólido elásticolinear, em notação indicial, é epressa por π = σ ij ε ij dω bi i dω ti i dγ, (.56) Ω Ω Γ onde σ ij são as componentes de tensão, ε ij as componentes de deformação, b i as forças de corpo, t i as forças de sperfície, i os deslocamentos, Ω o domínio de interesse, e Γ o contorno do domínio de interesse. Para o problema da barra, tem-se m estado niaial de tensões, isto é, apenas a tensão normal ao longo do eio da barra é diferente de zero. E a epressão da energia potencial total fica π = σ ε dω bdω t dγ. (.57) Ω Ω Γ Utilizando a ei de Hooke σ = Eε (.58) tem-se π = Eε dω bdω t dγ. (.59) Ω Ω Γ

48 48 Introdção ao MEF M. A. ersen Mas como ε comprimento, então d = (elasticidade linear), e q sendo ma força de corpo por nidade de d d π = E dω qd t dγ d. (.6) Ω Γ A partir da epressão (.6) aplica-se o Método de Rayleigh-Ritz à m elemento do domínio, onde as variáveis a serem determinadas são os gras de liberdade nodais. Como no método de Rayleigh-Ritz a fnção aproimada deve satisfazer as condições de contorno cinemáticas, para m elemento esta condição é representada pelo fato de qe nos pontos nodais o valor da fnção aproimada deverá ser igal ao valor do próprio gra de liberdade nodal, de modo a ter-se continidade entre os elementos. Assim, para m elemento finito de comprimento e de área A, tem-se d π = EA d q d t d d. (.6) Γ Aproimando-se o deslocamento através de fnções lineares, com dois nós por elemento, como já feito anteriormente na tilização do Método de Galerkin, o seja ~ ( ) = + o ~ ( ) = N i ( ) i= i (.6) onde as fnções de interpolação lineares são dadas por N = e N =, (.63) a derivada da fnção aproimada ~ ( ) em relação a fica sendo

49 d ~ d = + Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 49. (.64) A energia potencial total, agora aproimada π a, toma a forma d ~ π EA d q ~ d t ~ a = d d. (.65) Γ Sbstitindo (.64) em (.65), e verificando qe as forças de sperfície estão associadas à forças no contorno do elemento, o seja, forças aplicadas nos nós, tem-se π a = EA ( ) d q ( ) + d P P. (.66) Em notação matricial (.66) toma a forma π a EA = [ ] d [ ] q( )d [ ] P P (.67) Aplica-se agora o Princípio da Mínima Energia Potencial (PMEP), qe diz: Dentre todas as eqações de deslocamentos qe satisfazem a compatibilidade interna e as condições de contorno em m sistema estável, aqelas qe também satisfazem as eqações de eqilíbrio fazem da energia potencial m mínimo. Em termos matemáticos, o PMEP é epresso por δπ a =, o π a i =, pois as incógnitas (coeficientes, no Método de Rayleigh-Ritz) são os gras de liberdade nodais. Assim

50 5 Introdção ao MEF M. A. ersen π a EA d EA d = qd P = (.68) π a EA d EA d = + qd P = e a eqação de elementos finitos, em forma matricial, fica EA = P qd + P, (.69) qe é a mesma obtida pelo Método dos Elementos Finitos de Galerkin. Eercício: Dedzir a eqação de elementos finitos do elemento de barra através do Princípio dos Trabalhos Virtais (PTV), tilizando fnções de interpolação lineares. PTV diz qe: O trabalho virtal realizado pelas forças internas é igal ao trabalho virtal realizado pelas forças eternas, o seja, σ ijδε ij dω = biδi dω + tiδidγ. Ω Ω Γ E para a obtenção da eqação de elementos finitos necessita-se aproimar tanto os deslocamentos reais i como os deslocamentos virtais δ i.

51 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 5.9 MÉTODO DIRETO O método direto consiste em obter a eqação de elementos finitos à partir dos conceitos de eqilíbrio. Para elementos simples este método é ma alternativa em relação à tilização dos métodos energéticos o resídos ponderados. Mas para elementos mais compleos sa tilização é praticamente inviável. Para eemplificar a tilização do método direto, ele será aplicado para a obtenção da eqação do elemento finito para análise estrtral mais simples, o elemento de barra. Analisando-se m elemento finito de barra de comprimento, com dois nós, atando sobre eles as forças F e F, conforme esqematiza a figra.3, fazendo o eqilíbrio de forças, tem-se F + F = o F = F (.7) F F Figra.3: Forças atantes sobre o elemento de barra. Como o elemento de barra está sbmetido apenas a m carregamento aial, temse somente a tensão normal σ atando ao longo da barra, e σ P =, (.7) A onde P é o esforço normal, e A a área da seção transversal do elemento. Assim, podese escrever: F = σ A e F = σ A. (.7)

52 5 Introdção ao MEF M. A. ersen Utilizando a lei de Hooke para o estado niaial de tensões σ = Eε, tem-se F = EAε F = EAε. (.73) A deformação aial ε é dada em fnção do deslocamento aial () através de sa derivada em relação à coordenada ε = d( ) d (.74) Assmindo qe a deformação ε é constante ao longo do elemento, pode-se escrever ε = (.75) onde é a variação do comprimento do elemento, e o comprimento original do elemento. pode ser dado em fnção dos deslocamentos nodais e = (.76) e a deformação ε toma a forma ε =. (.77) Sbstitindo-se (.77) em (.73) tem-se F F EA = ( ) EA = ( ). (.78)

53 Cap. - Elementos Finitos Unidimensionais 53 Em notação matricial (.78) toma a forma: EA F =, (.79) F qe é a mesma eqação já dedzida anteriormente, através da tilização de otros métodos, para o elemento de barra. Eercício Dedza, tilizando o método direto, a eqação de elementos finitos de ma barra circlar, sjeita apenas à momentos torçores nas etremidades, sendo os gras de liberdade as rotações ϕ e ϕ (ver figra). A matriz de rigidez será em termos de J, G e, sendo J o momento polar de inércia, e G o módlo de elasticidade transversal. T,ϕ T,ϕ Vi-se, até o presente momento, três maneiras de se formlar m problema através da tilização do Método dos Elementos Finitos, sendo qe para todas elas segi-se ma metodologia similar. Assim, o Método dos Elementos Finitos pode ser sbdividido em seis pontos básicos. Especificação do tipo de aproimação: linear, qadrática, etc.... Discretização do domínio em elementos finitos: localização dos pontos nodais, especificando as coordenadas, bem como a conectividade. 3. Desenvolvimento do sistema de eqações. Utilizando o Método dos Resídos Ponderados, Princípio da Energia Potencial Estacionária, eqilíbrio, o otro princípio, obtém-se m sistema de eqações para cada elemento (obtenção das matrizes de rigidez e vetores de carga para cada elemento). A partir disso, faz-se a adeqada sperposição das matrizes e vetores, obtendo-se a matriz de rigidez global, e o vetor de cargas global. 4. Imposição das condições de contorno na matriz de rigidez e vetor de carga global.