5 Exemplos de análise determinística 5.1. Introdução

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1 5 Exemplos de análise determinística 5.1. Introdção Para validação dos modelos nméricos determinísticos e comparações entre os procedimentos de solção, são efetadas análises de qatro exemplos. O primeiro exemplo refere-se ao adensamento nidimensional e trata por sa vez do problema de acoplamento flido mecânico com flxo monofásico com comportamento elástico linear. A simplicidade desse problema leva a ma solção analítica também simples, descrita por Detornay e Cheng (1993 e amplamente difndida e tilizada para validação do problema de acoplamento em qestão. O segndo exemplo trata do mesmo problema de acoplamento, entretanto para o caso específico de poço de petróleo. Para esse problema a solção analítica proposta por Detornay e Cheng (1988, tilizada para comparações, não é simples e bem estabelecida como no problema de adensamento nidimensional, mas é também mito tilizada. O detalhamento dessa solção não é apresentado, sendo o mesmo encontrado na referência citada o em otros trabalhos como no de Silvestre (004. Os resltados e os dados desse exemplo serão empregados para comparações nos capítlos sbseqüentes desse trabalho. Esse exemplo será tilizado para efetar algmas comparações a cerca dos procedimentos de solção dos problemas de acoplamento flido mecânico. O terceiro exemplo apresentado refere-se ao problema de flxo bifásico nidimensional (colna de solo rígida. Uma solção analítica desse problema é sgerida por McWhorter e Snada (1990 e tilizada na validação dos resltados nméricos obtidos por Keper e Frind (1991. No presente trabalho a solção analítica proposta por McWhorter e Snada (1990 não é detalhada, tilizando-se para as comparações, os resltados analíticos obtidos com essa solção, apresentados por Keper e Frind (1991. A asência de ma solção analítica bem estabelecida, para o problema de acoplamento flido mecânico com flxo bifásico, faz com qe não sejam

2 Exemplos de análise determinística 73 apresentados exemplos de validação desse problema. A análise de m problema de acoplamento flido mecânico com flxo bifásico, exemplo 4 será apresentada para comparação dos procedimentos de solção desse tipo de problema. Nos exemplos analisados, onde se faz necessário, tiliza-se o método L-BFGS. 5.. Exemplo 1: adensamento nidimensional Considera-se ma colna poroelástica de altra L, sobre ma base rígida e impermeável, Figra 5.1. Assme-se para o material a condição de isotropia e considera-se o meio poroso completamente satrado por m único flido. Aplicase no topo desta colna, sob condições drenadas, m carregamento constante * As condições de contorno para o modelo são: σ p H ( t, sendo H (t ma xx = * p. p fnção delta de Dirac; p = 0 em x = 0; x = 0 e = 0 x em x = L. p * Figra 5.1 Colna poroelástica. Para a consideração de tensão constante, a eqação da difsividade para pressão de poros é dada por: c = p p c = 0 t x kg(1 ν ( ν ν α (1 ν (1 ν (5.1

3 Exemplos de análise determinística 74 Sendo c o coeficiente de difsividade. Na expressão anterior G é o módlo de elasticidade transversal, k é a permeabilidade do meio, ν e ν são os coeficientes de Poisson drenado e não drenado respectivamente e, α o coeficiente de Biot, qe é expresso da seginte forma: K =1 K T é o módlo volmétrico de todo o esqeleto e Poisson não drenado pode ser representado como: Onde T α (5. K s K s, dos grãos. O coeficiente de 3K G ν = (5.3 (3K + G K, módlo volmétrico não drenado, é obtido por: K α K = K 1+ (1 α( α φ K + φk Sendo K o módlo volmétrico do flido e φ a porosidade. A pressão de poros gerada instantaneamente após o carregamento, (5.4 p, é obtida com as segintes expressões: ηp = GS p * α(1 ν η = (1 ν 3η (1 ν S = Gβ (1 + ν (5.5 Onde β representa o coeficiente de Skempton, obtido por: β = αk [ α φ(1 α ] K + φk (5.6 Usalmente os campos de deslocamento e pressões são representados em x ct termos da coordenada normalizada χ = e do tempo adimensional τ =. A L 4L solção da eqação (5.1, após aplicação das condições de contorno é expressa da seginte forma:

4 Exemplos de análise determinística 75 Com: F ( χ, τ 1 * ηp p = [ 1 F1( χ, τ ] (5.7 GS 4 mχ ( m τ = 1 sen e (5.8 m= 1,3,... m Já, o deslocamento x pode ser expresso em das parcelas, ma referente ao deslocamento elástico não drenado inicial, x. Com: x x * p L(1 ν = (1 χ G(1 ν * p L( ν ν = F G(1 ν (1 ν x, e otra dependente do tempo, ( χ, τ ( m τ ( 1 e (5.9 8 mχ F ( χ, τ = cos (5.10 m= 1,3,... m No modelo nmérico, para geração da malha de elementos finitos, tilizam-se elementos isoparamétricos de 4 nós (bi-lineares, com igal interpolação para deslocamentos e poro pressões ( N = N e integração nmérica com qadratra de Gass de x pontos. Considera-se também para o modelo, estado plano de deformações e material com comportamento elástico linear. O incremento de tempo tilizado é de 1 segndo. Os dados tilizados no exemplo de adensamento nidimensional são descritos na Tabela 5.1: p Tabela 5.1 Dados da colna poroelástica Parâmetros Valor G (MPa ν 0.0 K (MPa s K (MPa φ 0.19 k ( m 1.90E-13 µ (MPa s 1.00E-9 * p (MPa 1.00 L (m 7.0

5 Exemplos de análise determinística 76 As Figra 5. e Figra 5.3 apresentam os resltados obtidos para poro pressão na base da colna ao longo do tempo e poro pressão ao longo da colna para diferentes instantes. A Figra 5.4 mostra os resltados para os deslocamentos no topo da colna ao longo do tempo. Verifica-se a concordância dos resltados obtidos pelos métodos nméricos com a solção analítica do problema. Salientase qe os resltados nméricos obtidos com os procedimentos totalmente acoplado e staggered foram idênticos Solção analítica Solção nmérica Poro pressão na base da colna (MPa Tempo (s Figra 5. Poro pressão na base da colna poroelástica Solção analítica (10 s Solção analítica (5 s Solção analítica (50 s Solção nmérica (10 s Solção nmerica (5 s Solção nmerica (50 s Poro pressão (MPa x(m Figra 5.3 Poro pressão ao longo da colna poroelástica

6 Exemplos de análise determinística Deslocamento no topo da colna (m Solção analítica Solção nmérica Tempo (s Figra 5.4 Deslocamento no topo da colna poroelástica 5.3. Exemplo : poço vertical Em continidade a verificação dos resltados obtidos com os procedimentos nméricos sgeridos, faz-se a analise de m poço vertical. O material do meio poroso comporta-se segndo regime elástico linear, é considerado isotrópico e completamente satrado por m único flido. O meio está sbmetido a m estado de tensões e poro pressões inicias. O processo de perfração do poço é modelado considerando qe a escavação é realizada instantaneamente. A solção analítica, proposta por Detornay e Cheng (1988, é tilizada para comparação dos resltados obtidos com a análise nmérica. Na solção analítica as eqações acopladas são resolvidas sando o espaço de transformada de Laplace, assmindo o estado de deformações planas para o plano perpendiclar ao eixo do poço. Para modelagem nmérica do problema, tilizam-se elementos finitos isoparamétricos de 4 nós (bi-lineares, com igal interpolação para deslocamentos e poro pressões ( N = N, integração nmérica com qadratra de Gass de x p pontos e a condição de estado plano de deformações. A malha de elementos finitos é composta 4800 elementos e 4960 nós. A Figra 5.5 mostra a malha de

7 Exemplos de análise determinística 78 elementos finitos tilizada na análise nmérica. O detalhe apresentado nessa figra corresponde à região próxima ao poço. O ânglo β será tilizado como referência para apresentação de algns resltados. O diâmetro do poço é de 0,0 m e os demais dados do problema apresentam-se na Tabela 5.. Os resltados apresentados referem-se aos obtidos para m ânglo 0 β = 0. Figra 5.5 Malha de elementos finitos e detalhe do poço vertical Tabela 5. Dados do poço vertical Parâmetros Valor G (MPa ν 0.0 K (MPa s K (MPa φ 0.19 k (m 1.90E-15 µ (MPa s 1.00E-9 σ (MPa xx σ 0 yy (MPa p 0 (MPa Na Figra 5.6 a distribição de poro pressões corresponde aos resltados obtidos com as analises nmérica e analítica para diferentes instantes. Verificamse com essas respostas resltados mito semelhantes.

8 Exemplos de análise determinística 79 Similarmente, na Figra 5.7 a distribição de tensão total σ yy, no instante 10 segndos é apresentada. Os resltados obtidos nesse caso também são bastante semelhantes. Esse mesmo comportamento se verifica em para otros tempos de análise Poro pressão (MPa Solção analítica para s Solção analítica para 10 s Solção nmérica para s Solção nmérica para 10 s Distância (m Figra 5.6 Poro pressões, solção analítica x solção nmérica σ yy (MPa Solção analítica para 10 s Solção nmérica para 10 s Figra 5.7 Tensão total Distância (m σ yy, solção analítica x solção nmérica

9 Exemplos de análise determinística Comparação entre os procedimentos de solção No capítlo anterior cito-se qe, embora as respostas obtidas com os procedimentos de solção, totalmente acoplado e staggered sejam semelhantes, o tempo para análise, reqerido por cada procedimento, pode ser distinto. Essas diferenças são geradas por diversos fatores, como número de eqações a serem resolvidas e número de vezes qe serão resolvidas nos procedimentos iterativos para solção dos problemas não lineares, entre otros. Considerando-se o fato do procedimento de solção totalmente acoplado ser comprovadamente mais eficiente para solção dos problemas lineares, faz-se a análise do exemplo considerando o material com comportamento elástico perfeitamente plástico condicionado ao critério de Mohr Colomb. O ânglo de atrito Φ assmido é igal a 0 30 e a coesão igal a 10 (MPa. Para se avaliar o comportamento dos procedimentos para diferentes níveis de não linearidade, consideram-se 3 diferentes valores de pressão interna PI, aplicadas na parede do poço. Para ma pressão interna igal a 5 (MPa tem-se ma região plastificada relativamente grande, sendo essa região mito inferior para ma pressão interna de 0 (MPa e nla (problema linear para ma pressão interna de 35 (MPa. A Figra 5.8 mostra a região plastificada para os dois primeiros casos após 60 segndos de análise. Para efetar ma comparação dos resltados obtidos para números diferentes de eqações a serem resolvidas, adota-se para m primeiro caso (caso A, gras de liberdade (Ngl e para m segndo caso (caso B 7533 gras de liberdade. Nas tabelas segintes (Tabela 5.3 e Tabela 5.4 apresentam-se os valores obtidos para o tempo relativo de análise desses problemas. Tabela 5.3 Procedimento e tempo relativo de análise para o caso A Procedimento e tempo relativo de análise Caso PI (MPa Totalmente acoplado staggered A

10 Exemplos de análise determinística 81 Tabela 5.4 Procedimento e tempo relativo de análise para o caso B Procedimento e tempo relativo de análise Caso PI (MPa Totalmente acoplado staggered B Com base nos resltados apresentados constata-se qe o procedimento staggered mostra-se mais eficiente para a condição de não linearidade mais acentada. Uma redção considerável no tempo de análise foi obtida com esse procedimento, sendo essa redção mais significante para o problema com m número de gras de liberdade maior. Para ma pressão interna de 0 (MPa o tempo de análise reqerido pelos dois procedimentos de análise foi mito semelhante. O tempo necessário com o procedimento staggered no problema com gras de liberdade foi ligeiramente inferior ao necessário pelo procedimento totalmente acoplado. No problema com 7533 gras de liberdade o tempo de análise do procedimento staggered foi m poco sperior ao verificado com o procedimento totalmente acoplado. Já, no último caso (problema linear, confirmando a afirmativa exposta anteriormente, o procedimento totalmente acoplado mostro-se mito mais eficiente para solção do problema. (a (b Figra 5.8 Região plastificada para PI =5 (MPa (a e PI =0 (MPa (b Com base nos resltados obtidos no decorrer desse trabalho, se verifico qe geralmente, em problemas não lineares, o procedimento staggered apresentase mais eficiente qe o procedimento totalmente acoplado. Essa eficiência tende a crescer à medida qe o nmero de gras de liberdade e as não linearidades dos problemas crescem.

11 Exemplos de análise determinística Exemplo 3: flxo bifásico nidimensional Considera-se ma colna de solo rígida, Figra 5.9, na qal se injeta m flido não molhante em ma de sas extremidades. A colna de solo está sbmetida a ma condição inicial de S = 1 e as segintes condições de contorno: S = 0.55 para x = 0m e t > 0 ; p = 0 para x = 10m e t > 0. w w w Solo Figra 5.9 Colna de solo sob flxo bifásico 10 m Na Tabela 5.5, apresenta-se os dados do problema. O modelo de Brooks e Corey (1964 é tilizado para descrição da crva P S c w. O tempo total de análise é de segndos e as comparações dos resltados obtidos para a satração da fase molhante em diferentes instantes apresentam-se na Figra No modelo nmérico, para geração da malha de elementos finitos, tilizamse 30 elementos isoparamétricos de 4 nós (bi-lineares, distribídos niformemente, com integração nmérica com qadratra de Gass de x pontos. Tabela 5.5 Dados da colna de solo sob flxo bifásico Variáveis Valor S 0.05 rw S rnw 0.00 β.00 P d (Pa φ 0.35 k ( m 5.0x10 µ (Pa s 1.0x w µ (Pa s 0.5x nw Verifica-se através da Figra 5.10 qe bons resltados foram obtidos com os procedimentos propostos nesse trabalho. A ligeira diferença entre os resltados

12 Exemplos de análise determinística 83 nméricos e analíticos é aceitável e commente encontrada qando se emprega o método de elementos finitos Satração da fase molhante Solção analítica Solção nmérica (1000 s Solção nmérica (50000 s Solção nmérica (50000 s Solção nmérica ( s Solção nmérica ( s x(m Figra 5.10 Satração da fase molhante na colna ao longo do tempo Salienta-se qe solções analíticas bem estabelecidas para o problema de acoplamento flido mecânico com flxo bifásico são de grande importância. Essas solções proporcionariam condições para comparação entre resltados analíticos e nméricos. Nesse trabalho, considerando-se qe bons resltados são obtidos na solção de problemas de flxo bifásico e também na solção de problemas mecânicos, assme-se qe o acoplamento dessas solções como apresentado anteriormente também irá gerar bons resltados Exemplo 4: acoplamento flido mecânico com flxo bifásico Para avaliação do problema de acoplamento flido mecânico com flxo bifásico, analisa-se m poço horizontal drante a fase de prodção. O meio a ser analisado é constitído por 3 materiais diferentes, conforme esqema apresentado no primeiro capítlo desse trabalho. O diâmetro do poço é de 0.17 m, o revestimento possi espessra de m e o gravel ma espessra de m. Considera-se para o revestimento o critério de Von Mises e para o meio poroso

13 Exemplos de análise determinística 84 (gravel e formação o critério de Mohr Colomb na condição de plasticidade perfeita. Os dados tilizados para descrição do modelo nmérico apresentam-se na Tabela 5.6. Tabela 5.6 Dados do poço horizontal Revestimento Gravel Formação Variáveis Valor E (MPa.0E5 σ y (MPa ν 0.9 G (MPa ν 0.0 c (MPa.00 Φ (gras k (m 6.9E-14 G (MPa ν 0.0 c (MPa 5.00 Φ (gras k (m 6.9E-15 P d (MPa 5.00 φ 0.19 β.00 µ w (MPa s 0.4E-9 µ (MPa s 1.0E-9 nw K (MPa s K (MPa Como condição inicial do problema, considera-se qe o meio poroso está completo por m flido não molhante com pressão p nw0 = 36(MPa e sob m estado de tensões de -65 (MPa e -40 (MPa respectivamente para σ e σ 0. xx Impõem-se para t 0, a ma distância de 3 m do poço, S w = 0. 60, p nw = p nw 0 e no poço ma pressão de flido não molhante p nw = 30(MPa. Para modelagem nmérica do problema, tilizam-se elementos finitos isoparamétricos de 4 nós (bi-lineares, com igal interpolação para deslocamentos e poro pressões ( N = N, integração nmérica com qadratra de Gass de x p pontos e a condição de estado plano de deformações. A malha de elementos finitos é composta 560 elementos e 640 nós. A Figra 5.11 mostra a malha de elementos finitos tilizada na análise nmérica. O detalhe apresentado nessa 0 yy

14 Exemplos de análise determinística 85 figra representa além da malha, à distribição dos materiais na região próxima ao poço. Os pontos A e B serão tilizados posteriormente para apresentação de algns resltados. B A Figra 5.11 Malha de elementos finitos e detalhe do poço horizontal Comparação entre os procedimentos de solção A fim de avaliar algns aspectos a respeito dos procedimentos de solção do problema de acoplamento flido mecânico com flxo bifásico, analisa-se o exemplo descrito no item anterior, com os procedimentos de solção totalmente acoplado e staggered. Além de analisar o problema para a malha de elementos finitos, com gras de liberdade, apresentada na Figra 5.11 (caso A, também se analisa o problema para ma malha com 541 gras de liberdade, 180 elementos e 1353 nós (caso B. Além disso, tilizam-se dois incrementos de tempo distintos para análise. Os incrementos de tempo da segnda metade da análise são 50% speriores aos tilizados na primeira metade. Ainda qe o exemplo não seja tilizado nesse momento para qantificar as repostas obtidas é importante ressaltar qe ma região considerável do gravel e da formação se

15 Exemplos de análise determinística 86 plastifica, o seja, as não linearidades apresentam-se tanto no problema mecânico qanto no problema de flxo bifásico. Na Figra 5.1, onde T total e P total são respectivamente o tempo total de análise e o número total de passos de tempo, apresentam-se os resltados obtidos. Verifica-se com esses resltados, qe o procedimento de solção staggered apresento m melhor desempenho para análise desse exemplo. Nota-se qe a diferença relativa entre os dois procedimentos cresce qando se amento o tamanho do problema. Verifica-se, em relação à tilização de incrementos de tempo distintos, qe o comportamento das solções foi ligeiramente diferente. Para o caso B, a adoção de m incremento de tempo maior não afeto de maneira significativa o tempo de análise, sendo isso também verificado para o caso A, para ma análise com o procedimento totalmente acoplado. Entretanto, para o caso A com o procedimento staggered se verifico m save decréscimo no tempo de análise T. acoplado; Caso A T. acoplado; Caso B Staggered; Caso A Staggered; Caso B 0.6 T/T total P/P total Figra 5.1 Tempo relativo de análise para os procedimentos de solção Assim como relatado para o problema de acoplamento flido mecânico com flxo monofásico, o procedimento de solção staggered mostra-se como ma alternativa eficiente para solção do problema de acoplamento flido mecânico com flxo bifásico. Essa tendência se verifico para ma série de análises

16 Exemplos de análise determinística 87 efetadas no decorrer desse trabalho. Não se descarta porém, qe o procedimento totalmente acoplado pode se mostrar mais eficiente, dependendo das características do problema. Além da qestão referente ao tempo de análise, otro aspecto importante, mencionado anteriormente, refere-se à vantagem de tilização do procedimento staggered qando se deseja analisar problemas com condições de contorno mais complexas, qe podem ser descritas com maior facilidade qando os problemas mecânico e de flxo são resolvidos de forma particionada.