3 Conceitos Clássicos de Ductilidade 3.1. Introdução

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1 3 Conceitos Clássicos de Dctilidade 3.1. Introdção As vigas de concreto armado reorçadas externamente com compósitos de ibra de carbono (CFC) apresentam m comportamento dierenciado em relação às vigas de concreto armado. Dentre os vários parâmetros qe intererem no comportamento de m elemento reorçado pode-se enatizar a dctilidade. A dctilidade é deinida como a capacidade do material, seção, elemento estrtral o sistema estrtral, de experimentar deormações inelásticas sem a perda de sa capacidade resistente, atingindo a rptra após m considerável acúmlo de energia inelástica de deormação. A dctilidade é ma medida da capacidade do elemento estrtral se deormar antes qe a rptra ocorra. A dctilidade tem inlência signiicativa no comportamento de m elemento reorçado com CFC, sendo m parâmetro atalmente mito pesqisado, com resltados experimentais ainda poco conclsivos. Portanto, az-se necessário a realização de pesqisas mais detalhadas sobre a avaliação da dctilidade, bscando-se analisar o desempenho das estrtras reorçadas com CFC, pois se o dimensionamento do reorço or inadeqado, o se armadra do reorço adotada or mito sperior à necessária, o elemento estrtral poderá apresentar m comportamento não dúctil. Os procedimentos convencionais para a determinação da dctilidade em elementos estrtrais são, geralmente, expressos por meio de ma relação chamada índice de dctilidade o ator de dctilidade. Entretanto, as deinições tradicionais são consideradas poco apropriadas para determinar a dctilidade de vigas de concreto armado reorçadas com compósitos, daí propor-se ma nova deinição de índice de dctilidade. Esse novo índice de dctilidade é baseado nas considerações da energia elástica e da energia inelástica. Dessa orma, a dctilidade passa a ser determinada por meio de m índice energético, qe se

2 Conceitos Clássicos de Dctilidade 59 caracteriza como ma orma mais eiciente para a determinação e análise da dctilidade em elementos estrtrais Índices de Dctilidade A dctilidade dos elementos de concreto estrtral é representada por meio de índices, com valores nméricos adimensionais qe visam expressar a capacidade de deormação desses elementos antes qe a rptra ocorra, de modo a se controlar os parâmetros qe possam garantir ma rptra dúctil. A dctilidade é analisada qanto à lecha, à crvatra e à rotação, por meio de valores retirados, respectivamente, dos diagramas de carga x lecha, momento x crvatra e momento x rotação do elemento estrtral. eqações: Em geral, deinem-se os três índices de dctilidade por meio das segintes índice de dctilidade de lecha µ = (3.1) índice de dctilidade de crvatra = µ (3.2) índice de dctilidade de rotação θ µ ϕ = (3.3) θ onde: a lecha na carga de rptra; a lecha qando da tensão de escoamento do aço da armadra longitdinal; a crvatra devido ao momento proveniente da carga de rptra;

3 Conceitos Clássicos de Dctilidade 60 a crvatra devido ao momento qando do escoamento da armadra longitdinal; θ a rotação devido ao momento proveniente da carga de rptra; θ a rotação devido ao momento qando do escoamento da armadra longitdinal Energia de Deormação O concreto é m material rágil, mas as estrtras de concreto armado e protendido são projetadas para terem m comportamento dúctil. Nesse comportamento, a dctilidade é proveniente da deormação inelástica da armadra convencional, permitindo a capacidade total de deormação do concreto e, portanto, consmindo ma qantidade sbstancial de energia antes da rptra. Em estrtras reorçadas, a rptra pode srgir da rptra do compósito e a deormação inelástica necessária pode não ser atingida. Geralmente as issras são indzidas pela enorme energia de deormação elástica liberada na rptra pelo polímero reorçado com ibra (PRF), o seja, a energia elástica liberada é absorvida em parte pelo concreto, acarretando o amento das issras e danos no concreto. As grandes deormações qe ocorrem antes da rptra não, necessariamente, representam ma dctilidade aceitável. A parte inelástica da deormação é ma componente essencial de dctilidade. Entretanto, as deinições convencionais não levam em conta, diretamente, a energia inelástica absorvida drante a deormação inelástica. Diversos pesqisadores assmem qe desde qe grandes lechas sejam alcançadas, tem-se ma adeqada dctilidade. Porém, grandes lechas podem ser provenientes do baixo módlo de elasticidade do sistema de reorço, o qe leva a ma grande qantidade de energia elástica do sistema. Os diagramas mencionados no item 3.2 são mostrados na Figra 3.1 e permitem determinar a energia potencial do elemento analisado por meio do cálclo das áreas deinidas sob as crvas obtidas em ensaios, sabendo-se qe a energia potencial total é a soma da energia inelástica e da energia elástica.

4 Conceitos Clássicos de Dctilidade 61 E = E + E (3.4) tot inel el F (N) carga x delexão (cm) (a) (Pa) momento x crvatra (Pa) (b) momento x rotação φ (%) (c) θ (rad) Figra 3.1 Diagramas tipo qe permitem analisar a energia potencial de deormação de elementos de concreto armado: a) carga x lecha; b) momento x crvatra; c) momento x rotação; adaptados de NAAAN e JEONG (2001).

5 Conceitos Clássicos de Dctilidade 62 Neste trabalho será adotada a metodologia proposta por NAAAN e JEONG (2001), estdada por ARAÚJO (2002), onde a dctilidade é avaliada por meio de m índice de dctilidade energético, o qal será comparado com os índices de dctilidade clássicos. Serão analisados os índices clássicos de dctilidade de lecha, de crvatra, e os índices de dctilidade energética de lecha e de crvatra Índice de Dctilidade Energética O índice de dctilidade energética representa a contína interação entre a ação aplicada e a deormação correspondente, de orma a se obter o comportamento real da estrtra, elemento o seção, até a rptra, avaliando-se as parcelas de energia de deormação armazenadas nos mesmos. Observa-se qe não é a deormação por si só qe contribi para a dctilidade, mas sim a energia absorvida drante a deormação elástica e inelástica dos elementos estrtrais. Admitindo-se a carga última como sendo 75% da carga total, deine-se a relação entre as energias por E Tot µ E = (3.5) E0,75P A E Tot corresponde à energia total obtida no diagrama em análise para a carga de rptra, e E 0, 75P representa a energia elástica obtida no diagrama analisado para m carga correspondente a 75% da carga de rptra. O cálclo da dctilidade por meio da energia, adotando-se para a energia elástica o valor qe corresponde no gráico a ma carga limite de até 75% da carga última, tem o objetivo de eliminar os problemas qe possam ocorrer com os dados de ensaio obtidos com a carga última, P. Dessa orma determina-se a dctilidade energética de lecha, de crvatra e de rotação tilizando-se as áreas dos respectivos diagramas, o seja, P, e θ, apresentados na Figra 3.1.

6 Conceitos Clássicos de Dctilidade 63 P P 0,75 P 0 a) real P E tot P 0,75 P E el 0 b) teórico Figra 3.2 Diagrama carga x lecha (P x ) real e teórico para obtenção das parcelas de energia; adaptada de ARAÚJO (2002). As deinições de NAAAN e JEONG (2001) oram eitas para estrtras de concreto armado sem qalqer tipo de reorço, a não ser o das barras de armadras internas de material compósito. Nesse caso sabe-se qe a armadra consege alcançar sa deormação inelástica antes da rptra, permitindo qe o concreto atinja a sa total capacidade de deormação, o qe acarreta o consmo de ma qantidade bastante signiicativa de energia inelástica. Se m sistema de reorço externo or adicionando às estrtras, essas passam a ter m conjnto capaz de absorver ma maior qantidade de carga, mas a sa capacidade de deormação não permanece a mesma, havendo ma tendência para a estrtra atingir a rptra sem qe esta tenha alcançado ma determinada deormação. As lechas em estrtras sem reorço e em estrtras reorçadas podem ser da mesma ordem de grandeza, mas as estrtras reorçadas possirão ma energia elástica acmlada mito maior qe a das estrtras sem reorço, e ma energia

7 Conceitos Clássicos de Dctilidade 64 inelástica acmlada inerior à mesma, como está mostrado na Figra 3.3. Dessa orma, pode-se dizer qe a dctilidade em estrtras reorçadas será, em geral, menor do qe em estrtras convencionais. Figra 3.3 Comparação das parcelas da energia elástica e energia inelástica; adaptada de NAAAN e JEONG (2001) Em geral, qando m elemento reorçado com compósito de ibra de carbono apresenta grandes deormações, tem-se ma dctilidade energética bastante satisatória. Uma nova deinição de índice de dctilidade, considerandose a energia elástica e inelástica, oi estdada por ARAÚJO (2002) para a aplicação em estrtras com m sistema de reorço com compósitos de ibras de carbono. A Figra 3.4a ilstra m gráico teórico carga x lecha ( P ), onde se observam as parcelas de energia elástica e da energia total, dadas por: E E tot el = 2 1 (3.6) 1 Etot = Eel (3.7)

8 Conceitos Clássicos de Dctilidade 65 sendo os termos de energia obtidos por meio das áreas sob o diagrama P, segindo-se 1 Etot µ = + 1 (3.8) 2 Eel onde: µ índice de dctilidade energética; E energia total; to t E el energia elástica. A energia total E to t é calclada como sendo a área sob o diagrama carga x lecha para a carga última. Esta carga última pode ser deinida como sendo a carga de rptra, o então, como sendo a carga qe corresponde a ma parcela da carga máxima. A energia elástica E el corresponde a ma parte da energia total (Figra 3.4a) e é obtida após ma descarga do elemento estrtral, o qe pode ser obtido por meio de m teste de carga-descarga, e caso esse teste não possa ser realizado, esta pode ser calclada como sendo a área de m triânglo mostrado na Figra 3.4b, ormado pela linha vertical qe passa pela carga última, e pela linha qe tem como inclinação o valor médio das das primeiras linhas ormadas pelas deormações iniciais do diagrama carga x lecha (Figra 3.4b).

9 Conceitos Clássicos de Dctilidade 66 P P E el E tot 0 (a) P E inel P P 2 S 2 E el P 1 S S 1 0 (b) Figra 3.4 Esqema para a obtenção do índice de dctilidade energética: (a) crva teórica P ; (b) determinação da inclinação da linha de echamento do triânglo qe deine a área da energia elástica; adaptada de ARAÚJO (2002). A sistemática adotada sege em linhas gerais o estdo de ARAÚJO (2002), qe considera: E = E + E (3.9) tot inel el sendo qe a energia elástica é calclada por meio da área do triânglo (Figra 3.4b) dada por:

10 Conceitos Clássicos de Dctilidade 67 S P S + ( P P ) = (3.10) P 2 S onde S, S 1 e S 2 correspondem às linhas de inclinação ormadas pelas deormações iniciais do diagrama de P. Desta orma tem-se qe as mesmas deinições aplicáveis ao cálclo da dctilidade energética de lecha podem ser tilizadas para os diagramas de momento-crvatra e momento-rotação, qe permitem calclar, respectivamente, os índices de dctilidade energética para crvatra e para rotação. são: As expressões para a dctilidade energética de lecha, crvatra e rotação Dctilidade energética de lecha: 1 Etot µ = + 1 (3.11) 2 Eel Dctilidade energética de crvatra: 1 Etot µ = + 1 (3.12) 2 Eel Dctilidade energética de rotação: 1 Etot µ = + 1 θ (3.13) 2 Eel sendo as energias total e elástica obtidas nos respectivos gráicos Dctilidade de Vigas Reorçadas Apresenta-se o estdo teórico da dctilidade de vigas reorçadas por meio da relação momento x crvatra, ndamentando-se ma análise baseada na homogeneização da seção e na seção issrada. São mostrados também os procedimentos de cálclo tilizado na determinação dos índices de dctilidade energética de lecha e crvatra. Eeta-se a determinação da rotação plástica no

11 Conceitos Clássicos de Dctilidade 68 meio do vão da viga a partir dos valores de crvatras obtidas por meio do estdo da dctilidade Relação omento Fletor x Crvatra A relação momento x crvatra, é ndamental para a análise da dctilidade dos elementos estrtrais solicitados à lexão. A Figra 3.5 ilstra os parâmetros básicos para o estdo dessa relação. Figra Parâmetros básicos de ma viga solicitada à lexão. Para m elemento com comprimento x sbmetido ao momento letor, tem-se a deormação especíica na ibra sperior: h ε 2 S = EJ (3.14) e para a deormação especíica na ibra inerior tem-se h ε 2 i = + EJ (3.15) logo a rotação da seção é dada por ( ε + ε ) S i x ϕ = (3.16) h Deinindo-se a crvatra como o inverso do raio de crvatra, tem-se: ϕ ε S + ε i = 1 = = (3.17) r x h

12 Conceitos Clássicos de Dctilidade 69 e sbstitindo-se as expressões de ε S e ε I nessa eqação reslta onde J é dado pela eq. (3.32) 1 r = EJ A Figra 3.6 ilstra os estágios da relação (3.18) relativos ao comportamento de ma viga de concreto armado, desde a ase não issrada até a ase de rptra. Estágio 0 1 Seção não issrada Estágio 1-2 Formação de issras Estágio 2 3 Estabilização das issras Estágio 3 4 Escoamento do aço Figra 3.6 Estágios básicos da relação momento x crvatra.

13 Conceitos Clássicos de Dctilidade 70 Os estágios ilstrados na Figra 3.6 são: Estágio 0 1: Seção Não-Fissrada A seção não apresenta issras, donde a armadra de aço não contribi para a resistência da seção, qe pode ser considerada composta de m material homogêneo; Estágio 1 2: Formação de Fissras As primeiras issras começam a srgir, amentam e alcançam a zona de compressão da seção. As issras sbseqüentes possem comprimentos menores (devido a inlência das primeiras issras), pois a seção transversal não é plenamente tracionada. Novas issras poderão srgir jnto à armadra de lexão; Estágio 2 3: Estabilização das Fissras Nessa ase tem-se ma estabilização das issras, e não aparecem novas issras. As issras existentes têm sa abertra amentada; Estágio 3 4: Escoamento do Aço Após o crescimento palatino das issras tem-se o escoamento da armadra de lexão. A crvatra amenta acentadamente, enqanto o amento do momento letor é praticamente constante. Os acréscimos inais da crvatra ocorrem em virtde do peqeno amento do braço de alavanca interna, e o concreto na área de compressão atinge a rptra, o qe corresponde ao ponto 4 da Figra Vigas Reorçadas com Tecido de Fibra de Carbono Neste item será descrita ma sistemática encontrada na literatra, para se obter o diagrama, por meio da homogeneização da seção issrada.

14 Conceitos Clássicos de Dctilidade Homogeneização da Seção A análise da dctilidade da seção reorçada é realizada admitindo-se a seção homogeneizada. Os parâmetros dessa análise são mostrados na Figra 3.7. h CG t t b b Figra 3.7 Parâmetros geométricos da seção reorçada com CFC. As características dos materiais são: Compósito de Fibra de Carbono (CFC) E módlo de elasticidade da ibra; t espessra da ibra; b largra da ibra; A área de reorço. sendo qe: A = b t (3.19) Aço E s módlo de elasticidade do aço; A s área de armadra.

15 Conceitos Clássicos de Dctilidade 72 Concreto E c módlo de elasticidade do concreto; b largra da seção transversal; h altra da seção transversal; A a área da seção de concreto. c A relação entre os módlos de elasticidade do compósito de ibra de carbono e do concreto é dada por: E n = (3.20) E C A relação entre o módlo de elasticidade do aço e módlo de elasticidade do concreto é dada por: E S n = (3.21) E C = sendo qe E S 200GPa, E depende do tipo de prodto, e E é dado pela NB- 1 /2003 por meio da seginte expressão: EC = 5600 c (3.22) onde é a resistência à compressão do concreto (Pa). c C A área da seção transversal homogeneizada é dada por: t C ( n ) AS n A A = A (3.23) Adotando-se os segintes parâmetros geométricos: t h + = d (3.24) 2 onde d é a altra útil do reorço, tem-se

16 Conceitos Clássicos de Dctilidade 73 = A C h + AS d + A d 2 (3.25) A t onde é a distância do centro de gravidade da seção de concreto até a ibra sperior mais comprimida, com + t = h (3.26) sendo t a distância do centro de gravidade até a ibra inerior mais tracionada. O momento de inércia da seção homogeneizada é dado por: J 2 3 bh h = + A ( 1) ( ) 2 ( ) 2 C + n AS d + n A h d (3.27) Seção Fissrada A análise da relação em vigas reorçadas com compósitos de ibra de carbono sege a sistemática análoga à descrita no item A Figra 3.5 ilstra a compatibilidade cinemática da seção transversal. As deormações especíicas dos materiais são dadas por: deormação especíica do concreto: x ε C = (3.28) EJ deormação especíica do aço: ( d x) deormação especíica da ibra: ε S = (3.29) EJ ( d x) ε = (3.30) EJ

17 Conceitos Clássicos de Dctilidade 74 A crvatra da seção é dada por: = 1 = (3.31) r EJ A análise da relação como mostra a Figra 3.8. é admitida como ma relação tri-linear, tal Figra Relação tri-linear. Os estágios da relação tri-linear (Figra 3.9) são: Estágio 0 1: o momento solicitante não issra a viga, o seja, ; < Estágio 1 3: representa o estágio de pós-issração, mas sem a armadra longitdinal atingir o escoamento, o seja, ; Estágio 3 4: o momento solicitante é sperior ao momento de escoamento da seção, sendo admitido como cerca de 10 % inerior ao momento último, o seja, 0, 9.

18 Conceitos Clássicos de Dctilidade 75 0,9 0 Figra Consideração do momento no estágio de rptra da seção. Uma análise simpliicada admite a relação bi-linear (Figra 3.10), onde não se tem m dos trechos da relação tri-linear (Figra 3.9). 0 Figra Relação bi-linear. Nesse modelo tem-se o momento de inércia de issração dado pela seginte eqação: J 3 bx = + na ( d x) 2 n A ( d x) 2 S + (3.32) 3 sendo o momento de issração dado por

19 Conceitos Clássicos de Dctilidade 76 ct J = (3.33) onde ct = ct, lexão é a tensão de tração na lexão dada por IHILY e TEDESCO (2000) = = 0, 62 (3.34) ct r c Da Figra 3.7 tem-se: t = t + (3.35) 2 A determinação da linha netra é dada por: ESTÁTICO = 0 (3.36) x 2 ( bx) na ( d x) n A ( d x) = 0 s (3.37) 2 ( na + n A ) x ( na d + n A d ) = x + s s (3.38) b b sendo qe as raízes dessa eqação do segndo gra ornecem a posição da linha netra. A compatibilidade cinemática ornece: ε C x ε x = ε C = ε (3.39) d x d x segindo-se para o momento de escoamento J = = EC J (3.40) n ( d x) A crvatra da seção no estágio 1-2 (Figra 3.10) é dada por:

20 Conceitos Clássicos de Dctilidade 77 com tem-se = A crvatra última é dada por: ( ) 0,35% (3.41) C = ε = (3.42) x x = (3.43) J eqec J eq = (3.44) E C Determinação dos Índices de Dctilidade Energéticos O procedimento para a determinação dos índices de dctilidade desenvolvido neste estdo ndamenta-se na crva experimental P. Tem como objetivo obter todos os índices de dctilidade energéticos por meio dos valores de carga e lecha para os estágios de issração, escoamento e rptra. Com o diagrama P da viga é possível determinar-se as energias total e elásticas, e obter o índice de dctilidade energético de lecha, bem como determinar os valores dos momentos e das crvatras. A Figra 3.11 apresenta o diagrama análise. P ndamental para a determinação da dctilidade por meio desta

21 Conceitos Clássicos de Dctilidade 78 P P E elástica O Figra 3.11 Gráico carga x lecha teórico. A energia total corresponde à área sob a crva P, qe pode ser determinada de várias ormas, seja pela integração da eqação da linha de tendência qe mais se aproxima do gráico real, o por meio de programas qe ornecem a área sob a crva. A determinação da energia elástica, qe corresponde a ma parte da energia total (Figra 3.11), é obtida após m descarregamento do elemento estrtral. Portanto, o cálclo da energia elástica pode ser expresso por: 1 E elástica P 2 = ( ) (3.45) onde: P carga de rptra; lecha de rptra; lecha qe delimita a área do trianglo qe ornece a energia elástica. Sendo: = (3.46) e sabendo-se qe P tgα = (3.47) onde:

22 Conceitos Clássicos de Dctilidade 79 P carga de issração; lecha de issração. com encontra-se o valor de. P tg α = (3.48) As energias total e elástica permitem a determinação do índice de dctilidade energético de lecha por meio da seginte expressão: 1 Etot µ = + 1 (3.49) 2 Eel De posse desses valores é possível determinar os respectivos valores de momento e crvatra de cada elemento estrtral, para cada m dos estágios em estdo. Com os valores de carga obtém-se os respectivos valores de momento, e com os valores das lechas e das cargas obtém-se as rigidezes dos elementos. Para a determinação da crvatra, conhecendo-se os momentos e as rigidezes tem-se: 1 = r ( EJ) = (3.50) A determinação do índice de dctilidade energético de crvatra é análogo ao índice de dctilidade energético de lechas, o seja, é necessário a determinação das energias total e elástica segindo-se os mesmos conceitos, porém analisando-se os diagramas de. A energia total, analisando-se os momentos e as crvatras, é obtida por meio da área total sob a crva, e a energia elástica é determinada pela seginte expressão: E elástica 1 = 2 ( ) (3.51)

23 Conceitos Clássicos de Dctilidade 80 onde: momento de rptra; crvatra de rptra; crvatra qe delimita a área do trianglo qe ornece a energia elástica. Com: = (3.52) e sabendo-se qe tg = α (3.53) onde momento de issração; crvatra de issração. com encontra-se o valor de. tgα = (3.54) As energias total e elástica permitem determinar o índice de dctilidade energético de crvatra por meio da seginte expressão: 1 Etot µ = + 1 (3.55) 2 Eel Dessa orma é possível visalizar a grande importância dos diagramas P, e dos diagramas dos para a determinação de índices de dctilidade energéticos. Todos os passos realizados para a determinação dos índices tilizando-se este procedimento são mostrados nos Anexos E, F e G.

24 Conceitos Clássicos de Dctilidade Rotação Plástica A rotação plástica é obtida por meio da análise das crvatras nos estágios de issração, de escoamento e de rptra. α α O α 0 κ α eq κ κ Figra 3.12 Gráico teórico da relação momento x crvatra. Para a determinação da rotação plástica é necessário analisar as crvatras das vigas. O esqema das crvatras ao longo da viga está ilstrado na Figra Esse esqema admite ma nção linear para a variação das crvatras. a l a a A 3 4,00 Figra 3.13 Esqema das crvatras das vigas. A rotação plástica é determinada por: ϕ = (3.58) PLÁSTICA A 3 onde é a dierença das áreas do trapézio da Figra 3.13, e A é a área 3 delimitada pela crvatra de issração (Figra 3.15).

25 Conceitos Clássicos de Dctilidade 82 Para se determinar Figra é necessário obter-se as áreas dos trapézios mostrados 1,25 4,00 2,50 1, 25 A 3 4,00 Figra 3.14 Esqema das crvatras com as dimensões das vigas. Dessa orma tem-se: A 1 = Trapézio maior 4,00 + 1,50 4,00 + 1,50 κ 75κ 2 2 = = 2, = 2, 75 A2 = Trapézio menor : 4,00 + 1,50 κ = 2, 75κ 2 Portanto: = A (3.56) 1 A 2 Sbstitindo-se os valores das áreas na expressão 3.56 reslta: 4,00 + 1,50 ( ) = 2, ( ) = 75 2 (3.57) X x cr Figra 3.15 Área delimitada pela crvatra de issração.

26 Conceitos Clássicos de Dctilidade 83 Analisando-se o triânglo ormado pela área delimitada pela crvatra de issração A 3 (Figra 3.15), tem-se a expressão para o cálclo da área: A 1 = 2 ( X x ) 3 cr (3.59) Por meio da Figra 3.16 obtém-se a expressão de x para a determinação de A 3. a x cr Figra 3.16 Esqema para obtenção de triânglos analisando-se a crvatra relativa ao escoamento. Com: tg α = a (3.60) e por meio da relação de triânglos a = (3.61) x cr reslta cr x = a (3.62)

27 Conceitos Clássicos de Dctilidade 84 Por meio da Figra 3.17 obtém-se a expressão de para a A 3 determinação de. X a X Figra 3.17 Esqema para obtenção da relação de triânglos analisando-se a crvatra relativa à rptra. Com tg α = a (3.63) e por meio da relação de triânglos a = (3.64) X cr reslta X = a cr (3.65) Como deinido anteriormente, a área A 3 é dada por: A 1 = 2 ( X x ) 3 cr (3.66) Sbstitindo-se as eqações 3.62 e 3.65 na eqação 3.66 tem-se:

28 Conceitos Clássicos de Dctilidade 85 ( ) 2 A 3 = a (3.67) 2 A rotação plástica, como deinida em 3.58, é dada por ϕ = (3.68) PLÁSTICA A 3 É possível determinar o valor da rotação plástica das vigas a partir dos valores das crvatras de issração, de escoamento e de rptra, por meio da análise dessas crvatras, e admitindo-se a existência de ma nção linear para a variação das crvatras. Todos os passos realizados para a determinação da rotação tilizando-se este procedimento são mostrados nos Anexos H.