1- TIPOS DE ESFORÇOS

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1 1- TIPOS DE ESFORÇOS Uma orça pode ser aplicada num corpo de dierentes maneiras, originando portanto, diversos tipos de solicitações, tais como: tração, compressão, cisalhamento, lexão e torção. Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é SIMPLES. No caso de dois ou mais tipos agirem conjuntamente a solicitação é COMPOSTA. TRAÇÃO solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da orça aplicada. COMPRESSÃO solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta da orça aplicada. CISALHAMENTO solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido oposto, duas seções de uma peça (orça cortante). Pro. Luiz Gustavo 1

2 FLEXÃO solicitação que tende a modiicar o eixo geométrico de uma peça. Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva. TORÇÃO solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma em relação às outras. SIMBOLOGIA DAS TENSÕES Pro. Luiz Gustavo

3 - DEFORMAÇÃO A ação de qualquer orça sobre um corpo altera a sua orma, isto é, provoca uma deormação. Com o aumento da intensidade da orça, há um aumento da deormação. Existem dois tipos de deormação: Deormação Elástica e Deormação Plástica. Deormação Elástica - deormação transitória, ou seja, o corpo retomará suas dimensões iniciais quando a orça or removida. Deormação plástica deormação permanente, ou seja, o corpo não retornará para suas dimensões iniciais depois de cessado o esorço aplicado. O ponto que separa os dois tipos de deormações é o limite de escoamento. DEFORMAÇÃO UNITÁRIA ou DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA => (AXIAL) Deormação especíica (ε ) é a relação entre o alongamento total ( l ou δ ) e o comprimento inicial ( l 0 ). ε = a δ l 0 ou = l ε ou l 0 l l 0 ε = l ( ) mm 0 mm [1.1] ε - é adimensional, ou seja, não tem unidade e pode ser expresso em porcentagem multiplicando por 100. Pro. Luiz Gustavo 3

4 3- TENSÃO É uma grandeza vetorial que oi introduzida na resistência dos materiais em 18, por Augustin Louis Cauchy. É deinida como sendo a resistência interna de um corpo qualquer, à aplicação de uma orça externa por unidade de área, ou seja, é a orça por unidade de área. σ = F A kg cm N = ( ) ou ( ) mm MPa [1.] onde: σ => Tensão Normal uniorme que pode ser tração simples ou compressão simples F => Força aplicada ao corpo (kg ou N) A => Área da seção transversal do corpo (cm ou mm ) Pro. Luiz Gustavo 4

5 4- DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma orça axial com o objetivo de deormá-lo até que se produza sua ruptura. Aumentando-se a tensão, a deormação também vai aumentando e os resultados da experiência podem ser mostrados por um gráico (σ x ε ), marcando em abscissas (eixo X ) as deormações e em ordenadas (eixo Y ) as tensões. GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO (σ x ε ) Pro. Luiz Gustavo 5

6 No gráico os pontos marcados signiicam respectivamente: Ponto P Tensão Limite de Proporcionalidade ( σ ) Abaixo deste ponto, a tensão é proporcional à deormação especíica (ε ), portanto a Lei de Hooke, que estabelece que a tensão é proporcional à deormação, vale somente até este ponto. p Ponto E Tensão Limite de Escoamento ( σ e ) Caracteriza o ponto de escoamento, ou seja, a perda da propriedade elástica do material. Nos aços de médio e baixo teor de carbono, ocorre um visível alongamento do corpo-de-prova praticamente sem aumento da tensão. Ponto R Tensão Limite de Resistência ( σ r ) É a maior tensão que o corpo-de-prova pode suportar antes de se romper. Obs.: conceitualmente pode-se admitir que σ p = σ e 5- RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO MÓDULO DE ELASTICIDADE A Lei de Hooke (Robert Hooke 1678) estabelece que até a tensão limite de proporcionalidade ( σ ), ou seja até o ponto P do Diagrama Tensão- p Deormação, a tensão em um material é proporcional à deormação nele produzida. Devido a esta condição de proporcionalidade pode se escrever que: E = σ ε σ E. ε onde: = ( ) MPa [1.3] σ => Tensão de tração ε => Deormação especíica E => Módulo de elasticidade ou módulo de Young ( MPa) (ver tabela 1) Obs.: Módulo de Elasticidade é a medida de rigidez do material: quanto maior o valor de E menor a deormação elástica e mais rígido é o material. Pro. Luiz Gustavo 6

7 Substituindo as expressões [1.1] e [1.] na expressão [1.3] e ordenando, temse a equação [1.4] para a deormação total: ε = σ = δ l 0 F A [1.1] [1.] σ = E.ε [1.3] δ = F. L E. A ( mm ) [1.4] MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL Através de ensaios com corpos-de-prova submetidos a cisalhamento puro por torção, pode-se escrever que: onde: τ = G.γ ( MPa ) [1.5] τ => Tensão de cisalhamento por torção ( MPa ) γ => Deormação angular ou distorção que é a alteração sorida em um ângulo reto de um elemento ( rad ) G => Módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de elasticidade Transversal ( MPa ) (ver tabela 1) COEFICIENTE DE POISON As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sore além da deormação axial (alongamento), uma deormação transversal (ainamento). Poisson demonstrou que estas duas deormações eram proporcionais uma em relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke (até o ponto P do Diagrama Tensão- Deormação). Pro. Luiz Gustavo 7

8 Esta constante é dada por: µ = onde: DeormaçãoLTansversal DeormaçãoL Axial ε µ = ε t (adimensional) [1.6] a µ => Coeiciente de Poisson (ver tabela 1) As três constantes se relacionam através da expressão: ( ) E =. G 1+ µ ( ) MPa [1.7] Material TABELA 1 PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS Módulo de Elasticidade (MPa) E Mód. Elasticidade Transversal (MPa) G Coeiciente de Poisson µ Aços ,30 Alumínio ,33 Bronze ,35 Cobre ,33 Ferro Fundido ,1 Cinzento Latão ,3 Madeira (Pinho) ,33 Pro. Luiz Gustavo 8

9 6- DIMENSIONAMENTO (TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA) No dimensionamento dos elementos de máquinas, as peças a serem calculadas deverão suportar as cargas com segurança. Para isto, admitem-se apenas deormações elásticas, portanto, a tensão de trabalho ixada deve ser inerior à tensão de escoamento do material. A esta tensão que oerece a peça uma condição de trabalho sem perigo, chamamos de TENSÃO ADMISSÍVEL. Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de resistência do material ( r ou τ ) por um coeiciente S chamado de COEFICIENTE DE SEGURANÇA. r σ σ = σ r S ou τ τ = r S ( ) MPa [1.8] O coeiciente de segurança é uma relação entre as tensões de resistência e admissível do material. Em princípio, o coeiciente de segurança é determinado levando-se em consideração diversos atores parciais, tais como, ator em unção da homogeneidade do material, ator em unção do tipo de carga a ser aplicado, ator em unção de causas desconhecidas, etc. Assim, a rigor o coeiciente de segurança é expresso da seguinte orma: S= S1xSxS3... Sendo: S - Coeiciente de segurança total S1, S, S3,... Fatores de segurança parciais Porém, para os nossos cálculos de resistência adotaremos os valores de coeicientes de segurança já consagrados pela prática, baseados na qualidade do material e no tipo de carga aplicada à peça. Os valores desses coeicientes já englobam todos os demais atores acima reeridos. Pro. Luiz Gustavo 9

10 Tipos de Solicitações: Basicamente existem 4 tipos de cargas: - Carga Estática Ocorre quando uma peça está sujeita a carga constante, invariável ao decorrer do tempo e aplicada lenta e gradualmente. EX: Vigas - Carga Intermitente Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável de zero a um valor máximo, sempre com a mesma direção e sentido. EX: dentes das engrenagens. - Carga Alternada Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável na mesma direção, mas com sentido contrario. EX: Eixos Rotativos. Pro. Luiz Gustavo 10

11 -Carga de Choque Ocorre quando uma peça está sujeita a variação brusca ou a de choque. EX: Componentes de Prensas. Os valores de COEFICIENTE DE SEGURANÇA que serão utilizados estão representados na Tabela abaixo: MATERIAL TABELA COEFICIENTE DE SEGURANÇA (S) * TIPOS DE CARGAS ESTÁTICA INTERMITENTE ALTERNADA CHOQUE Ferro Fundido Aço mole (até SAE-1030) Aço duro Madeira *EM RELAÇÃO À TENSÃO DE RESISTÊNCIA DO MATERIAL As propriedades mecânicas dos materiais que serão utilizadas na resolução dos exercícios propostos estão listadas na tabela 3. Pro. Luiz Gustavo 11

12 TABELA 3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS TENSÃO DE ESCOAMENTO NA TRAÇÃO MATERIAL TENSÃO DE RESISTÊNCIA ( MPa ) ( MPa ) σ tr σ cr τ cr te ALONG. (%) σ ε SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE SAE AISI AISI AISI AISI Fo.Fo. 10 à à 850 OBS.: Aços carbono, recozidos ou normalizados. Aços Ni, recozidos ou normalizados. Aços Ni-Cr, recozidos ou normalizados. Aços Cr-Mo, recozidos ou normalizados. Aços Ni-Cr-Mo, recozidos ou normalizados Aços Cr, recozidos ou normalizados Aços Ni-Cr-Mo, recozidos ou normalizados Aços inoxidáveis austeníticos Aços inoxidáveis martensítico Ferro undido Cobre Latão Bronze Alumínio Pro. Luiz Gustavo 1

13 7- TRAÇÃO E COMPRESSÃO FÓRMULA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO: σ t = F A c = F A σ ( MPa ) F A A F onde: σ => Tensão Normal uniorme que pode ser tração simples ou compressão simples F => Força aplicada ao corpo (N ) A => Área da seção transversal do corpo (mm ) CRITÉRIO DE PROJETO: σ σ Sendo: σ σ = tr ou σ S σ cr S = ( MPa ) FÓRMULA DO ALONGAMENTO TOTAL: F. L δ = E. A ( mm ) Pro. Luiz Gustavo 13

14 8- CISALHAMENTO PURO Esorço cortante simples desprezando a lexão. Ocorre quando uma peça é submetida a uma orça F, atuando transversalmente ao seu eixo, produzindo um cisalhamento (corte). F τ C = A ( MPa ) onde: τ => Tensão de cisalhamento F => Força aplicada ao corpo (N ) A => Área da seção transversal do corpo (mm ) CRITÉRIO DE PROJETO: τ τ c c Sendo: τ c τ = c r ( MPa ) S As tensões de resistência ao cisalhamento ( cr ), para os materiais em geral, obedecem aproximadamente a seguinte relação com reerência à tensão de resistência à tração ( σ tr ): τ τ = 0, 6 a, 8 cr σ 0 tr Pro. Luiz Gustavo 14

15 9- COMPRESSÃO SUPERFICIAL (ESMAGAMENTO) Se a carga F atua da maneira que se vê na igura abaixo, as partes B são tracionadas contra o rebite, ocasionando uma TENSÃO DE COMPRESSÃO NAS SUPERFÍCIES de contato M. F t B M B t F M D Num caso como este, normalmente se usa a área projetada do rebite para o cálculo da compressão na superície M, ao se aplicar a órmula ( σ F A ). c = Substitui-se então a superície real que é um semicilindro por um retângulo de dimensões t e D. t D Assim, a Tensão de Compressão sobre a superície será obtida por: σ c ( t. D ) c = F A σ = F ( MPa ) Sendo t e D as dimensões da área projetada. Pro. Luiz Gustavo 15

16 Observando a Figura, pode-se notar que as ibras da superície do uro e as ibras da superície do rebite estão comprimidas umas de encontro às outras, mas que a tensão de compressão devido à orça F não atinge todo o rebite e nem se estende por toda a chapa. A esse tipo de esorço dá-se o nome de COMPRESSÃO SUPERFICIAL. Quando houver mais de um elemento (rebite ou parauso) utiliza-se: σ = F c n.. ( MPa ) ( t D) Sendo n o número de elementos (parauso ou rebite) em análise. Pro. Luiz Gustavo 16

17 10- FLEXÃO Ocorre quando uma barra é submetida a uma orça F, atuando perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma lexão na barra. Flexão pura desprezam-se as orças cortantes. σ = M W ( MPa ) F LINHA NEUTRA a h b L onde: σ => Tensão de lexão M => Momento letor (N.mm) VER TABELA 6 W => Módulo de resistência à lexão (mm 3 ) VER TABELA 5 O Módulo de resistência à Flexão é a característica geométrica da seção de uma viga que se opõe à lexão, e é expresso como: W = I a Pro. Luiz Gustavo 17

18 onde: I => Momento de Inércia à lexão da seção transversal (mm 4 ) VER TABELA 5 a => Distância da linha neutra à ibra externa (mm) Exemplo de módulo de resistência à lexão ( W ): NOTA: As órmulas de Momento de Inércia ( I ) e Módulo de Resistência à Flexão ( W ) da maioria das seções de uso prático na engenharia estão apresentadas na TABELA 5. Pro. Luiz Gustavo 18

19 Tensão de Flexão: Na igura abaixo pode-se observar que uma viga ao se lexionar, as suas ibras situadas acima da LINHA NEUTRA se alongam, enquanto que as ibras ineriores, sorem um achatamento, denotando uma compressão. Por outro lado, as ibras da camada neutra se mantêm inalteradas. F LINHA NEUTRA + - Dessa orma, deduz-se que o corpo sujeito a um esorço de lexão sore, simultaneamente, uma tensão de tração e outra de compressão. Consequentemente, para valores de tensões de resistência à lexão dos materiais, tomam-se os mesmos valores de tração ou de compressão, constantes na TABELA 3. Caso os valores das resistências à tração orem dierentes aos da compressão, para lexão toma-se o menor valor. σ = σ r tr ou σ cr DEFLEXÃO: Para todas as peças submetidas à lexão é necessário veriicar a delexão. A delexão máxima atuante é calculada utilizando-se as expressões da Tabela 6, e depende do tipo de apoio e carregamento. Pro. Luiz Gustavo 19

20 Tensão de cisalhamento na lexão: Além das tensões normais (tração e compressão) que surgem numa seção transversal de uma viga letida, aparecem também, tensões de cisalhamento ( τ c ). As tensões de cisalhamento não se distribuem uniormemente sobre a seção transversal, quando ela age em conjunto com a Tensão de Flexão. Ela pode ser calculada através da expressão: τ c = Q. M b. I s Onde: M s = Q = I = b = Momento estático da área. Esorço cortante Momento de inércia à lexão Largura da seção resistente DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO RESISTENTE DE UMA BARRA SUJEITA À FLEXÃO: SEÇÃO RETANGULAR 3 Q τ c =. máx c máx A τ 50% maior que τ c simples SEÇÃO CIRCULAR 4 Q τ c =. máx c máx 3 A τ 33% maior que τ c simples VERIFICAÇÃO: τ τ c c máx Pro. Luiz Gustavo 0

21 TABELA 5 MOMENTO DE INÉRCIA À FLEXÃO, MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO E RAIO DE GIRAÇÃO Pro. Luiz Gustavo 1

22 Pro. Luiz Gustavo

23 TABELA 6 FÓRMULAS RELATIVAS À FLEXÃO DE VIGAS DE SEÇÕES CONTÍNUAS Pro. Luiz Gustavo 3

24 11- EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS Pro. Luiz Gustavo 4

25 CONVENÇÃO DE SINAIS MOMENTO NO PONTO FORÇAS NORMAIS OBS.: + Pro. Luiz Gustavo 5

26 APOIOS Pro. Luiz Gustavo 6

27 TIPOS DE ESTRUTURAS Pro. Luiz Gustavo 7

28 1- DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DISPOSIÇÃO DAS CARGAS CARGA CONCENTRADA: quando a carga age sobre um ponto da viga. CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA: quando a carga se distribui igualmente ao longo da viga CONVENÇÃO DE SINAIS FORÇA NORMAL (N) TRAÇÃO + COMPRESSÃO - Pro. Luiz Gustavo 8

29 FORÇA CORTANTE (Q) MOMENTO FLETOR (M) Pro. Luiz Gustavo 9

30 13- TORÇÃO Ocorre quando uma barra é submetida a uma orça P, agindo no plano perpendicular ao eixo da barra, que tende a girar cada seção transversal em relação às demais, produzindo uma torção, que por sua vez causará uma deormação (ϕ ) que chamamos de ângulo de torção. x F Mt LINHA NEUTRA ϕ R L τ t = M W t t ( MPa ) onde: τ t => Tensão de torção M t => Momento torçor (N.mm) M t = F. x onde: F => Força aplicada (N) x => Distância entre a orça aplicada e o centro de torção da peça (mm) Pro. Luiz Gustavo 30

31 O Momento torçor pode ser obtido também pela seguinte órmula: onde: M t N n N = potência que aciona o eixo (W) n = rpm do eixo = ( N. mm ) W t => Módulo de resistência à torção ou (mm 3 ) VER TABELA 8 Módulo de resistência polar O Módulo de resistência polar é a característica geométrica da seção de uma viga que se opõe à torção, e é expresso como: W t = It R onde: I t => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm 4 ) VER TABELA 8 R => Distância da linha neutra à ibra externa (mm) Exemplo de módulo de resistência à torção ( W ): t NOTA: As órmulas de Momento de Inércia Polar ( I t ) e Módulo de Resistência Polar ( W t ) da maioria das seções de uso prático na engenharia estão apresentadas na TABELA 8. Pro. Luiz Gustavo 31

32 É importante observar que as tensões de torção no corpo equivalem às tensões de cisalhamento. Portanto, para as tensões de resistência à torção dos dierentes materiais, tomam-se os valores das tensões de resistência ao cisalhamento, TABELA 3, dos respectivos materiais. τ tr = τ cr ÂNGULO DE TORÇÃO DA SEÇÃO RESISTENTE (ϕ ) x F Mt L ϕ O ângulo de torção (ϕ ) poderá ser determinado pela seguinte expressão: 180. M. L t ϕ = (graus) π. G. I t M. L t ϕ = (rad) G. It onde: ϕ => Ângulo de torção M t => Momento torçor (N.mm) L => Comprimento da peça (mm) G => Módulo de Elasticidade Transversal ( MPa ) VER TABELA 1 I t => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm 4 ) VER TABELA 8 Pro. Luiz Gustavo 3

33 DISTORÇÃO (γ ) γ = τ t G (rad) onde: γ => Distorção τ t => Tensão de torção ( MPa) G => Módulo de Elasticidade transversal ( MPa ) Pro. Luiz Gustavo 33

34 TABELA 8 MOMENTO DE INÉRCIA POLAR E MÓDULO DE RESISTÊNCIA POLAR Pro. Luiz Gustavo 34

35 14- FLAMBAGEM DEFINIÇÃO A lambagem consiste na deormação de uma peça, causada por uma orça de compressão axial, como ilustrada na igura abaixo. Como conseqüência, a peça pode perder a sua estabilidade (sorer um colapso) sem que seu material atinja o limite de escoamento. Este colapso sempre ocorrerá na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. F L EIXO DE MENOR MOMENTO DE INÉRCIA I=b.h 3 / CARGA CRÍTICA ( F CR ) Denomina-se carga crítica, a carga axial que az com que a peça venha a perder a sua estabilidade e comece a lambar. Portanto, se lambagem. F Fcr, não ocorre lambagem, e se F Fcr, ocorre Euler ( ) oi o primeiro a estudar o enômeno, e determinou a órmula da carga crítica nas peças carregadas axialmente. π. E. A F cr = ( N ) λ eq. 1 (CARGA CRÍTICA) cr F => Carga crítica (N) E => Módulo de elasticidade do material ( MPa ) - Aço= MPa A => Área da seção transversal ( mm ) λ => Índice de esbeltez (adimensional) Pro. Luiz Gustavo 35

36 onde Índice de Esbeltez ( λ ) => mede a acilidade ou a diiculdade que um elemento comprimido tem de lambar e é deinido como sendo a relação entre o comprimento de lambagem ( l ) e o raio de giração ( R ) da seção transversal da peça. Uma peça é esbelta quando seu comprimento é grande perante sua seção transversal. Quanto maior o índice de esbeltez maior a probabilidade do elemento lambar. λ = Onde: l R (ÍNDICE DE ESBELTEZ) l => Comprimento de lambagem (mm) R => Raio de giração (mm) e R = I MÍN A (RAIO DE GIRAÇÃO) TABELA 6 Onde: I => Menor momento de inércia da seção (mm 4 ) MIN A => Área da seção (mm ) Substituindo λ, na equação 1, tem-se: l λ = R R = I A => I A l l. λ = I A => I A Pro. Luiz Gustavo 36

37 F cr π =. E. A π. E. A. E. A. I.. λ => l I. A π => l. A π E I => l F cr π. E. I MÍN = ( ) l N eq. (CARGA CRÍTICA) COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM ( l ) Em unção do tipo de ixação das suas extremidades, a peça apresenta dierentes comprimentos de lambagens: Pro. Luiz Gustavo 37

38 14.4- CONDIÇÕES PARA USO DA FÓRMULA DE EULER A órmula de Euler é válida para colunas esbeltas, onde : λ 105 => Aço-carbono λ 80 => FoFo λ 59 => Alumínio λ 100 => Madeira OBS.: se λ 30. a. 40 não existe lambagem TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM ( σ l ) Tensão Crítica de Flambagem é a tensão que az com que a peça perca a sua estabilidade e comece a lambar. A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade (abaixo do escoamento) do material. Desta orma, observase que o material deverá estar sempre na região de deormação elástica. F cr π σ l =. => σ A E λ l = ( MPa ) (EQUAÇÃO DE EULER) CRITÉRIO σ l σ proporcionalidade OBS.: Para que em uma barra não ocorra a lambagem, o valor de tensão desenvolvido pela orça de compressão atuante deve ser menor que o da Tensão Admissível Crítica de Flambagem ( σ l ), isto é: σ c F A = σ l onde σ l = σ S l Pro. Luiz Gustavo 38

39 DIMENSIONAMENTO - NORMA ABNT NB-14 - AÇOS TABELA 1 Expressões para aços, segundo ABNT NB-14 Índice ( λ ) Material σ l (MPa) λ < 105 Aço σ = 40 0,0046. λ π. E λ 105 (Euler de. elástica) Aço σ l = λ l - DIMENSIONAMENTO ESPECIAL FLAMBAGEM NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS Quando a tensão de lambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do material, a órmula de Euler (colunas delgadas) perde a sua validade. Para estes casos, utiliza-se o estudo de Tetmajer (colunas curtas) que indica: TABELA Expressões de Tetmajer para colunas curtas Índice ( λ ) Material σ l (MPa) λ < 100 Madeira (pinho) σ = 9,3 0,194. λ λ < 80 Foo cinzento σ = λ + 0,053. λ λ < 89 Aço duro σ = 335 0,6. λ l l l Pro. Luiz Gustavo 39

40 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS FIGURA FÓRMULA h A = b. h b a A = a a D A = π. D 4 d D. A = π ( D d ) 4 Pro. Luiz Gustavo 40

41 ALFABETO GREGO Pro. Luiz Gustavo 41