Osciladores lineares contínuos

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1 Osciladores lineares contínos Apontamentos da Disciplina de Dinâmica e Engenharia Sísmica Mestrado em Engenharia de Estrtras Institto Sperior Técnico ís Gerreiro Março de 1999

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3 Osciladores ineares Contínos Osciladores lineares contínos 1. Introdção A análise dinâmica de estrtras é normalmente realizada com base em modelos discretos. Estes modelos, qe apresentam a grande vantagem de permitir realizar a análise com base nm número limitado de variáveis, condzem sempre a solções aproximadas por mais refinado qe o modelo seja, pois estaremos sempre a representar ma realidade contina através coordenadas discretas. Uma alternativa possível é a representação da realidade através de modelos com infinitos gras de liberdade o seja através de modelos contínos. A formlação necessária à análise de modelos contínos pode ser obtida a partir do estabelecimento das eqações de eqilíbrio dma porção infinitesimal do oscilador. Desta forma são estabelecidas as eqações diferenciais de eqilíbrio, através das qais se podem obter as freqências e as configrações modais dos infinitos modos de vibração do oscilador. Nesta secção são analisados essencialmente três problemas: a vibração longitdinal de barras; a vibração transversal de barras e a vibração de lajes.. Vibração longitdinal de barras Considere-se ma barra com alinhamento recto, de secção A(x), densidade de massa ρ e módlo de elasticidade E. Se se admitir qe N é o esforço axial qe acta ma secção transversal genérica da barra recta e qe representa o deslocamento dessa secção ao longo do alinhamento da barra, então pode-se estabelecer a eqação de eqilíbrio de forças segndo este alinhamento. Na figra 1 estão representadas as forças envolvidas no eqilíbrio dma porção infinitesimal da barra. (x,t) (x,t)+ (x,t) N(x,t) m(x) (x,t) t N(x,t)+ N(x,t) X Figra 1 Eqilíbrio de m elemento infinitesimal de barra. Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

4 Osciladores ineares Contínos - N(x,t) - m(x) (x,t) t + N(x,t) + N(x,t) (x,t) - deslocamento ao longo do eixo X; N(x,t) - esforço axial; m(x) - massa na secção x [m(x) = ρ A(x)]; m(x) (x,t) t - força de inércia. = (1) Simplificando a eqação e introdzindo a relação força-deformação expressa na eqação () obtem-se ma nova representação da eqação de eqilíbrio. N(x,t) = E A(x) (x,t) () N(x,t) = (x,t) [ EA(x) ] (3) - m(x) (x,t) t + (x,t) [ EA(x) ] = (4) Uma forma simples de resolção da eqação de eqilíbrio (4) e qe permite determinar as freqências e os modos de vibração, passa pela separação da variável (x,t) em das componentes, representando ma delas a configração deformada e a otra a variação no tempo qe se admite harmónica. (x,t) = (x) Y(t) (5) Y(t) = sen(p t) (6) Ẏ(t) = p cos(p t) (7) Ẏ. (t) = - p sen(p t) = - p Y(t) (8) (x,t) t = (x) Ẏ. (t) = - (x) p Y(t) (9) (x,t) = (x) Y(t) (1) m(x) (x) p Y(t) + [ EA(x) (x) Y(t)] = (11) Se se resmir o problema à análise da vibração longitdinal de barras niformes (barras com densidade e características mecânicas constantes ao longo do eixo) e com secção transversal constante, então a eqação (11) toma a seginte forma: m (x) p Y(t) + EA (x) Y(t) = (1) Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

5 Osciladores ineares Contínos Eliminando a variável Y(t) da eqação (1) obtem-se ma nova eqação, só dependente da variável qe representa a configração deformada da estrtra. m (x) p + EA (x) = (13) (x) + m p EA (x) = (14) Se tivermos em consideração qe a velocidade de propagação de ondas elásticas em barras niformes é tradzida pela eqação (15) [Clogh e Penzien, 1993], pode-se escrever a eqação (14) em fnção deste novo parâmetro. c o = EA m (15) (x) + p c (x) = (16) o Esta eqação tradz m problema de valores e vectores próprios com a seginte solção geral: (x) = A sen p c x + B cos p x o c (17) o Na eqação (17) as constantes A e B dependem das condições de fronteira. A títlo de exemplo comecemos por resolver o problema em qe ambas as extremidades são fixas. Posteriormente serão abordadas otras sitações mas de forma abreviada. Barra com ambas extremidades fixas Condições de fronteira para ambas extremidades fixas: 1) () = ) () = Solção geral: (x) = A sen x + B cos c o Sbstitindo nas condições de fronteira: 1) () = B = ) () = A = sen p p x c o p x = c o Se A e B forem simltaneamente nlos seremos condzidos à solção trivial, pelo qe interessa reter a condição qe anla a fnção seno, os seja: p c o = n π p = n π c o A solção terá então a seginte forma: (x) = A sen n π x Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

6 Osciladores ineares Contínos A eqação solção obtida representa o conjnto de modos de vibração longitdinais de ma barra niforme com alinhamento recto e com ambas as extremidades fixas. Como acontece sempre qe se resolve m problema de valores e vectores próprios, as configrações do modos (vectores próprios) estão definidos a menos de ma constante. Esta constante pode ser definida através de ma qalqer condição imposta como por exemplo definir qe a máxima amplitde deve ter valor nitário. À semelhança do qe se faz freqentemente qando se trabalha com sistemas discretos, também nos sistemas contínos é possível normalizar os modos de vibração em relação à massa. Neste caso a expressão a tilizar tomará a seginte forma: m [z(x)] = 1 (18) z(x) configração normalizada dos modos Aplicando esta regra de normalização ao modos de vibração representados através da solção indicada, obtem-se a seginte representação modal: z(x) = m sen n π x (19) No Qadro 1 estão indicadas, além da eqação característica qe representa o problema das vibrações longitdinais de barras niformes de secção constante, as solções para várias condições de apoio. É possível demonstrar qe os modos de vibração obtidos apresentam relações de ortogonalidade eqivalentes às apresentadas pelos modos de vibração em modelos discretos. Para o caso dos osciladores contínos a condição de ortogonalidade em relação à massa é representada através da seginte expressão: m n(x) m(x) = m n () Recorrendo ao teorema de reciprocidade de Betti pode-se afirmar qe o trabalho das forças de inércia f In, calcladas com base no modo n, na deformação correspondente ao modo m é igal ao trabalho das forças de inércia f Im na deformação do modo n: f In (x,t) m (x,t) = f Im (x,t) n (x,t) (1) f In (x,t) = m(x) n (x,t) t (força de inércia) () n (x,t) = n(x) Y n (t) (com Y n (t) = A n sen (p n t)) (3) Sbstitindo na eqação (1) a definição de força de inércia tradzida pela relação () e fazendo a separação de variáveis indicada em (3), temos: 4 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

7 Osciladores ineares Contínos Y n (t) Y m (t) p n m n(x) m(x) = Y n (t) Y m (t) p m m n(x) m(x) (4) Eliminando a variável dependente do tempo e agrpando os termos da eqação de otro modo, obtem-se: (p n - p m ) m n(x) m(x) = (5) Como, para modos diferentes temos freqências diferentes, para qe a igaldade se verifiqe é necessário qe o integral indicado se anle. Desta forma se tradz a condição de ortogonalidade dos modos de vibração em relação à massa. No caso do integral atrás indicado envolver o mesmo modo, o seja, na hipótese de m ser igal a n, então define-se a seginte grandeza: m n(x) n(x) = M n (6) Existe também, à semelhança do qe acontece com osciladores discretos, o descontínos, ma segnda condição de ortogonalidade, envolvendo a rigidez da estrtra. Comecemos por considerar a eqação de eqilíbrio dinâmico representada em (4). - m(x) (x,t) t + (x,t) [ EA(x) ] = (4) Se se considerar apenas a contribição do modo de vibração n, a eqação atrás indicada pode ser apresentada na seginte forma: - m(x) n (x,t) t + [ EA(x) n(x,t) ] = (7) Fazendo a alteração de variáveis indicada em (3) e eliminando a variável qe depende do tempo, temos: p n m(x) n(x) + d d x [ EA(x) d n(x) d x ] = (8) Mltiplicando toda a eqação pela configração do modo m, e integrando ao longo do comprimento da barra obtem-se: p n m(x) m(x) n(x) + m(x) d d x [ EA(x) d n(x) d x ] = (9) Como devido à propriedade de ortogonalidade dos modos de vibração em relação à massa o primeiro termo da eqação é nlo, resta a seginte igaldade qe tradz a segnda condição de ortogonalidade: Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

8 Osciladores ineares Contínos m(x) d d x [ EA(x) d n(x) ] = se m n (3) Em geral não é esta a forma de apresentar esta condição de ortogonalidade. A eqação normalmente tilizada para exprimir esta condição pode ser obtida a partir da eqação (3) fazendo ma integração por partes: m(x) d [ EA(x) d n(x) Recordemos qe: ] = = m(x) EA(x) d n(x) - d m (x) EA(x) d n(x) = (31) EA(x) d n(x) = N n (x) (3) Assim, recorrendo a esta igaldade a eqação (31) pode ser simplificada: m(x) N n (x) - d m (x) EA(x) d n(x) = (33) Note-se qe na maioria dos problemas estdados as condições de fronteira são de tal forma qe o prodto representado na primeira parcela da eqação (33) é nlo. Deste modo a condição de ortogonalidade pode ser apresentada na sa forma mais corrente, qe se indica de segida: EA n (x) m (x) = m n (34) A partir da eqação (9) e se considerarmos dois modos igais, o seja m igal a n, obtem-se a seginte igaldade: EA n (x) n (x) = - p n M n (35) Se representarmos as configrações modais z(x) normalizadas em relação à massa, de acordo com a expressão (18), então esta expressão pode ser simplificada: EA [z n (x)] = p n (36) Existem otros problemas de vibração de barras cjo movimento é regido por eqações semelhantes aqela qe se obteve neste caso (16). Nestas sitações as solções serão semelhantes às apresentadas para o problema das vibrações longitdinais. Um dos casos em qe se verifica esta semelhança é no estdo da vibração transversal dma barra apenas com deformabilidade por corte. 6 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

9 Osciladores ineares Contínos Considere-se ma barra caracterizada por ma secção transversal A, massa m, módlo de distorção G e área de corte A. Sendo (x,t) o deslocamento transversal da barra obtem-se a seginte eqação de eqilíbrio para forças transversais à barra (V): - m(x) (x,t) t + (x,t) [ GA (x) ] = (37) Admitindo a separação da variável (x,t) em das componentes à semelhança do qe se fez anteriormente, serão válidas as relações expressas nas eqações (5) a (1) e a eqação de eqilíbrio pode tomar a seginte forma: m (x) p + GA (x) = (38) Também aqi se pode fazer referência à velocidade de propagação de ondas elásticas (transversais neste caso), cja eqação é apresentada em (39). Assim a eqação de eqilíbrio redz-se à forma expressa pela eqação (4) e qe é idêntica à eqação obtida para o estdo das vibrações longitdinais (16). c o = GA m (x) + p c (x) = (4) o Um exemplo de m fenómeno qe pode ser simlada através dma barra niforme com deformabilidade apenas de corte é a vibração horizontal de ma colna de solo brando assente sobre ma camada de rocha o de solo mito rígido. Neste caso as condições de fronteira a considerar seriam as de apoio fixo nma extremidade (extremidade de contacto com a rocha) e de livre na otra extremidade. De acordo com as solções apresentadas no Qadro 1, as freqências próprias seriam tradzidas pela seginte expressão: (39) p n = ( n - 1) π c o n = 1,, 3, (41) Através desta forma é possível obter para o período fndamental de vibração dma colna de solo com a altra e velocidade de propagação das ondas de c o ma valor de: T = 4 c o (4) Este resltado é por vezes tilizado para calclar a ordem de grandeza do período de vibração dma colna de solo nas condições apontadas [Darte,1983]. Otro problema qe condz a ma eqação semelhante à eqação (16) é o problema da análise de vibrações transversais dma corda vibrante. Se considerarmos ma corda com massa m (por nidade de comprimento) e admitirmos qe a sa tensão se mantêm constante ao longo do se cmprimento (hipótese válida se as amplitdes de vibração forem peqenas), então podemos considerar o diagrama de eqilíbrio de forças representado na figra. Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

10 Osciladores ineares Contínos N (x,t) (x,t)+ (x,t) N m(x) (x,t) t X Figra Eqilíbrio de m troço de corda vibrante. Sendo (x,t) o deslocamento segndo a direcção perpendiclar à direcção X, obtem-se a seginte eqação de eqilíbrio: N (x,t) + m (x,t) t - N (x,t) N (x,t) = (43) Simplificando esta eqação obtem-se: m (x,t) t N (x,t) = (44) Fazendo a separação de variáveis já várias vezes mencionada, e eliminando a variável dependente do tempo, a eqação toma a seginte forma: m (x) p + N (x) = (45) Fazendo a sbstitição indicada na eqação (46), obtemos finalmente ma eqação qe é identica à obtida para o estdo das vibrações longitdinais (16). c o = N m (46) (x) + p c (x) = (16) o As solções desta eqação obedecem à eqação (17), qe se reprodz novamente: (x) = A sen p c x + B cos p o c x (17) o As constantes A e B dependem das condições de fronteira. Neste tipo de problema as diferentes condições de fronteira correspondem apenas a diferentes cotas das extremidades da corda vibrante. 8 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

11 Osciladores ineares Contínos Qadro 1 Vibrações longitdinais de barras niformes de secção constante. Vibrações longitdinais de barras de secção constante Eqação característica Solção p (x) + c o (x) = com c o = p (x) = A sen x + B cos c o p x c o EA m Barra com ambas extremidades fixas Condições de fronteira () = ; () = Freqências próprias p n = n π c o n = 1,, 3, Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = A sen n π x n = 1,, 3, Configrações dos modos (normalizadas) z(x) = m sen n π x n = 1,, 3, Barra com ambas extremidades livres Condições de fronteira N() = ; N() = Freqências próprias p n = n π c o n = 1,, 3, Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = B cos n π x n = 1,, 3, Configrações dos modos (normalizadas) z(x) = m cos n π x n = 1,, 3, Barra com ma extremidade livre e otra fixa Condições de fronteira () = ; N() = Freqências próprias p n = ( n -1) π c o n = 1,, 3, Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = A sen ( n - 1) π x n = 1,, 3, Configrações dos modos (normalizadas) z(x) = m sen ( n - 1) π x n = 1,, 3, Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

12 Osciladores ineares Contínos 3. Vibração transversal de barras Considere-se ma barra com alinhamento recto, com momento de inércia I(x), massa por nidade de comprimento m e módlo de elasticidade E. Se se admitir qe M é o momento flector qe acta ma secção transversal genérica da barra recta e qe representa o deslocamento transversal dessa secção, então podem-se estabelecer as eqação de eqilíbrio de forças e momentos dm troço de barra de comprimento infinitesimal. Na figra 3 estão representadas as forças e os momentos envolvidos no eqilíbrio dma porção infinitesimal da barra. (x,t) (x,t)+ (x,t) V(x,t) m(x) (x,t) t V(x,t)+ V(x,t) M(x,t) M(x,t)+ M(x,t) X Figra 3 Eqilíbrio de m elemento infinitesimal de barra. V(x,t) - m(x) (x,t) t - V(x,t) - V(x,t) = (47) M(x,t) + V(x,t) - m(x) (x,t) t - M(x,t) - M(x,t) = (48) (x,t) - deslocamento transversal ao eixo X; V(x,t) - esforço transverso; M(x,t) - momento flector; 1 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

13 Osciladores ineares Contínos Tendo em conta qe na eqação (48) o termo qe envolve a força de inércia pode ser desprezado, pois mltiplica pelo qadrado do comprimento infinitesimal, e após algns arranjos nméricos, as eqações (47) e (48) tomam o seginte aspecto: V(x,t) = - m(x) (x,t) t (49) V(x,t) = M(x,t) (5) Sbstitindo em (49) a eqação do esforço transverso obtido em (5) obtem-se a seginte eqação: Como, M(x,t) = - m(x) (x,t) t (51) M = EI (x) (x,t) (5) então temos: EI (x) (x,t) + m(x) (x,t) t = (53) Se a barra for niforme, isto é, as sas características mecânicas e a sa massa não variar ao longo do comprimento da barra (EI=constante e m=constante), então a eqação (53) pode ser simplificada ficando com o seginte aspecto: EI 4 (x,t) 4 + m (x,t) t = (54) Faça-se agora a separação da variável (x,t) em das parcelas, representando ma delas a configração deformada e otra a variação no tempo qe se admite harmónica. Esta separação da variável inicial é semelhante à qe foi tilizada no estdo das vibrações longitdinais de barras. (x,t) = (x) Y(t) (5) Y(t) = sen(p t) (6) Fazendo as devidas sbstitições na eqação (54) tendo em conta as expressões (5) e (6), obtem-se: EI d 4 (x) d x 4 Y(t) - m (x) p Y(t) = (55) Eliminando a variável dependente do tempo Y(t), obtem-se ma nova eqação só dependente da variável qe representa a configração da deformada da estrtra. Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

14 Osciladores ineares Contínos d 4 (x) d x 4 - (x) p m EI = (56) Esta eqação tradz m problema de valores e vectores próprios cja solção tem a seginte expressão geral: com, (x) = A cosh (α x) + B senh (α x) + C cos (α x) + D sen (α x) (57) α = 4 p m EI (58) As constantes qe A, B, C e D dependem das condições de fronteira. O cálclo dos modos de vibração e das respectivas freqências próprias resme-se à determinação dos valores das referidas constantes para cada tipo de condições de fronteira. A títlo de exemplo apresenta-se de segida e resolção do problema para ma barra encastrada nma extremidade e livre na otra (consola). Barra encastrada-livre Condições de fronteira: 1) () = ) () = 3) M() = () = 4) V() = () = Solção geral : (x) = A cosh (α x) + B senh (α x) + C cos (α x) + D sen (α x) (x) = α A senh (α x) + α B cosh (α x) - α C sen (α x) + α D cos (α x) (x) = α A cosh (α x) + α B senh (α x) - α C cos (α x) - α D sen (α x) (x) = α 3 A senh (α x) + α 3 B cosh (α x) + α 3 C sen (α x) - α 3 D cos (α x) Sbstitindo nas condições de fronteira: 1) () = A + C = A = -C ) () = B + D = B = -D 3) () = A cosh (α) + B senh (α) - C cos (α) - D sen (α) = 4) () = A senh (α) + B cosh (α) + C sen (α) - D cos (α) = 1 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

15 Osciladores ineares Contínos 1) A = -C ) B = -D 3) A [cosh (α) + cos (α)] + B [senh (α) + sen (α)] = 4) A [senh (α) - sen (α)] + B [cosh (α) + cos (α)] =.. 3) A = -B 4) -B.. [senh (α) + sen (α)] [cosh (α) + cos (α)] (note-se qe [cosh (α) + cos (α)], para qalqer α) [senh (α) + sen (α)] [senh (α) - sen (α)] + B [cosh (α) + cos (α)] = [cosh (α) + cos (α)] 4) B {[cosh (α) + cos (α)] - [senh (α) sen (α)]}= Esta eqação tem das solções possíveis: B = (solção trivial) o [cosh (α) + cos (α)] - [senh (α) sen (α)] = Somente a segnda solção nos interessa, pelo qe se considera: 4) [cosh (α) + cos (α)] - [senh (α) sen (α)] = 4) cosh (α) + cos (α) + cosh (α) cos (α) - senh (α) + sen (α) = 4) [cosh (α) - senh (α)] + [cos (α) + sen (α)] + cosh (α) cos (α) = 4) + cosh (α) cos (α) = 4) cosh (α) = -1 cos (α) As solções desta eqação encontram-se indicadas no Qadro. Como se pode observar neste qadro, as freqências de vibração associadas a cada modo são obtidas a partir das solções da eqação atrás representada. Para obter as configrações modais, tem qe se proceder à sbstitição, nas várias eqações, do valor de α n correspondente ao modo em estdo, calclando deste modo os valores das constantes presentes na eqação geral. Como seria de esperar a configração modal obtida é indeterminada, o seja, depende dma constante, qe pode ter m valor arbitrário. No Qadro está indicada a expressão geral para todas as configrações modais. Neste caso opto-se por normalizar todos os modos considerando nitário o valor do deslocamento máximo. No mesmo qadro encontram-se representados os três primeiros modos de vibração. Nos qadros 3 a 5 encontram-se indicadas as solções correspondentes a otras condições de apoio da barra. Também na análise da vibração transversal de barras contínas se pode considerar a normalização dos modos em relação à massa, tilizando para isso a expressão de normalização apresentada anteriormente (18). m [z(x)] = 1 (18) z(x) configração normalizada dos modos Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

16 Osciladores ineares Contínos A condição de ortogonalidade dos modos em relação à massa também se mantém eqivalente à qe foi apresentada no caso das vibrações longitdinais de barras (). m n(x) m(x) = m n () A condição de ortogonalidade, envolvendo a rigidez da estrtra, pode ser obtida a partir da eqação de eqilíbrio dinâmico representada em (53), considerando somente a contribição do modo de vibração n: EI (x) n (x,t) + m(x) n (x,t) t = (53) Fazendo a alteração de variáveis indicada em (3) e eliminando a variável qe depende do tempo, temos: d EI (x) d n(x) - p n m(x) n(x)= (59) Mltiplicando toda a eqação pela configração do modo m, e integrando ao longo do comprimento da barra obtem-se: m(x) d EI (x) d n(x) - p n m(x)m(x) n(x) = (6) Como devido à propriedade de ortogonalidade dos modos de vibração em relação à massa o segndo termo da eqação é nlo, resta a seginte igaldade qe tradz a segnda condição de ortogonalidade: m(x) d EI (x) d n(x) = se m n (61) Em geral não é esta a forma de apresentar esta condição de ortogonalidade. A eqação normalmente tilizada para exprimir esta condição pode ser obtida a partir da eqação (61) fazendo ma dpla integração por partes: m(x) d EI (x) d n(x) = Recordemos qe: = m(x) d EI (x) d n(x) - d m (x) d EI (x) d n(x) = (6) d EI (x) d n(x) = V n(x) (63) Assim, recorrendo a esta igaldade pode-se simplificar a eqação (6) exectando posteriormente a segnda passagem na integração por partes: 14 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

17 Osciladores ineares Contínos m(x) V n (x) - d m(x) EI (x) d n(x) + d m(x) EI(x) d n(x) = (64) EI (x) d n(x) = M n(x) (65) Recorrendo à eqação (65) é possível simplificar a eqação (64) para a seginte forma: m(x) V n (x) - m (x) M n (x) + m (x) EI(x) n (x) = (66) Note-se qe na maioria dos problemas estdados as condições de fronteira são de tal forma qe o prodto representado nas primeira parcelas da eqação (66) são nlos. Deste modo a condição de ortogonalidade pode ser apresentada na sa forma mais corrente: EI(x) n (x) m (x) = m n (67) A partir da eqação (6) e se considerarmos dois modos igais, o seja m igal a n, obtem-se a seginte igaldade: EI(x) n (x) n (x) = - p n M n (68) Verifica-se também qe, se representarmos as configrações modais z(x) normalizadas em relação à massa, de acordo com a expressão (18), então é válida a seginte relação: EI [z n (x)] = p n (69) Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

18 Osciladores ineares Contínos Qadro Vibrações transversais dma barra encastrada-livre. Barra encastrada nma extremidade e livre na otra Condições de fronteira () = ; () = ; M() = ; V() = Eqação das freqências cos (α) = -1 cosh (α) Freqências - p n = α n Ε Ι m α 1 = ; α = ; α 3 = ; α 4 = ; α n (n 1) π Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = cosh (α n x) cos (α n x) β n (senh (α n x) - sen (α n x)) β n = cosh α n+ cos α n senh α n + sen α n Determinação das freqências Valores de α cos(x) -1/cosh(x) solções Modos de vibração Modo 1 Modo Modo 3 x/ 16 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

19 Osciladores ineares Contínos Qadro 3 Vibrações transversais dma barra encastrada em ambas extremidades. Barra encastrada em ambas extremidades Condições de fronteira () = ; () = ; () = ; () = Eqação das freqências cosh (α) cos (α) - 1 = Freqências - p n = α n Ε Ι m α 1 = 4.73 ; α = ; α 3 = 11. ; α 4 = ; α n (n + 1) π Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = cosh (α n x) cos (α n x) γ n (senh (α n x)- sen (α n x)) γ n = cosh α n - cos α n senh α n - sen α n Determinação das freqências Valores de α cos(x) 1/cosh(x) solções Modos de vibração Modo 1 Modo Modo 3 x/ Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

20 Osciladores ineares Contínos Qadro 4 Vibrações transversais dma barra encastrada-rotlada. Barra encastrada nma extremidade e rotlada na otra Condições de fronteira () = ; () = ; () = ; M() = Eqação das freqências tg (α) = tgh (α) Freqências - p n = α n Ε Ι m α 1 = 3.97 ; α = 7.69 ; α 3 = 1.1 ; α 4 = ; α n (4n + 1) π 4 Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = cosh (α n x) cos (α n x) γ n (senh (α n x)- sen (α n x)) γ n = cosh α n - cos α n senh α n - sen α n Determinação das freqências Valores de α tg(x) tgh(x) solções Modos de vibração Modo 1 Modo Modo 3 x/ 18 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

21 Osciladores ineares Contínos Qadro 5 Vibrações transversais dma barra rotlada em ambas extremidades. Barra rotlada em ambas extremidades Condições de fronteira () = ; () = ; M() = ; M() = Eqação das freqências sen (α) = Freqências - p n = α n Ε Ι m α n = n π Configrações dos modos (não normalizadas) (x) = sen (α n x) Determinação das freqências Valores de α sen(x) solções Modos de vibração Modo 1 Modo Modo 3 x/ Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

22 Osciladores ineares Contínos 4. Vibração de lajes Nesta secção pretende-se dar ma breve panorâmica do problema da determinação das freqências próprias e dos modos de vibração de lajes. O objectivo é somente fornecer algma informação qe permita fazer ma estimativa das freqências fndamentais de lajes com diversos tipos de apoio. Considere-se ma laje de espessra niforme h, composta por m material homogéneo e isotrópico, com módlo de elasticidade E, coeficiente de Poisson n, e densidade de massa r. Nestas condições a eqação qe tradz o eqilíbrio dinâmico da laje, para forças actando na direcção perpendiclar ao se folheto médio toma o seginte aspecto: 4 (x 1, x, t) (x 1, x, t) + 4 (x 1, x, t) 4 + ρ h (x 1, x, t) 1 1 D t = (7) D = E h 3 1 (1 - ν ) (71) (x 1, x, t) - deslocamento perpendiclar ao plano da laje Fazendo a separação de variáveis de modo a isolar a componente dependente do tempo temos: (x 1, x, t)= (x 1, x ) sen (p t) (7) 4 (x 1, x ) (x 1, x ) (x 1, x ) 4 = ρ h D p (x 1, x ) (73) Esta eqação diferencial de 4ª ordem a das dimensões tradz m problema de valores e vectores próprios cjas solções são, respectivamente, as freqências próprias e os modos de vibração da laje. Para resolver o problema é necessário, em cada caso, definir as condições de fronteira adeqadas às condições de apoio da laje em estdo. Recordase qe, no caso das lajes, as condições de fronteira correspondentes às condições de apoio mais freqentes têm o seginte aspecto: Bordo encastrado - = ; Bordo simplesmente apoiado - = ; Bordo livre - y 1 + ν y = y 1 = + ν = y 1 y y 1 + ( - ν ) y = 1 y Nas eqações atrás indicadas considero-se m referencial local (y 1, y ), definido de forma a qe a direcção y coincida com o alinhamento do bordo. Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

23 Osciladores ineares Contínos Para lajes rectanglares com todos os bordos simplesmente apoiados obtêm-se as segintes expressões, respectivamente para as freqências e para as configrações modais (Darte,1983): p mn = π m a + n b D ρ h (74) mn = sen m π x 1 a sen n π x b (75) com x 1 a e x b Na figra 4 estão representados 4 modos de vibração, correspondentes às combinações possíveis dos parâmetros m e n para valores entre 1 e. aje com bordos simplesmente apoiados Modos de vibração n = m = 1 n = 1; m = n = ; m = 1 n = m = Figra 4 Modos de vibração de ma laje rectanglar com os bordos simplesmente apoiados. No qadro 6 encontram-se tabelados os valores das freqências de vibração para lajes rectanglares com vários tipos de condições de apoio e para algmas relações de dimensão entre lados. Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

24 Osciladores ineares Contínos Qadro 6 Freqências próprias de lajes rectanglares. p n = λ a D ρ h Condições de fronteira Valores de λ a b b a Modos de vibração 1º º 3º (adaptado de Darte, 1983) Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

25 Osciladores ineares Contínos 5. Resolção das eqações de movimento Existe m grande paralelo entre a metodologia tilizada para a análise modal de sistemas discretos e aqela qe é aplicável a sistemas contínos, tema abordado neste texto. De acordo com o conceito de análise modal, qalqer campo de deslocamentos admissível na estrtra pode ser obtido através da sobreposição dos deslocamentos obtidos em cada modo de vibração: (x,t) = i=1 i(x) Y i (t) (76) A partir da igaldade estabelecida em (76) é possível calclar a contribição de cada modo de vibração nma determinada configração deformada recorrendo para tal às condições de ortogonalidade referidas anteriormente. Assim, se se pretende calclar a participação do modo n, deve-se mltiplicar ambos os membros da eqação (76) pela configração do modo em estdo e pelo termo qe representa a massa (m(x)) e integrar em ordem à variável de posição x: n(x) m(x) (x,t) = i=1 Y i (t) n(x) m(x) i(x) (77) O segndo termo da igaldade representada em (77) de acordo com as propriedades da ortogonalidade será nlo excepto qando i for igal a n, sitação em qe o integral condz ao parâmetro M n. n(x) m(x) (x,t) = Y n (t) M n (78) Y n (t) = n(x) m(x) (x,t) M (79) n A grandeza Y n (t), representa a participação do modo n na resposta global da estrtra ao longo do tempo. Da mesma forma como acontece com os osciladores discretos, também no caso do osciladores contínos é possível, a partir das condições de ortogonalidade, transformar as eqações de movimento nm sistema de eqações independentes. Nesta forma cada ma das eqações qe se obtem exprime a resposta de m determinado modo de vibração. Para, finalmente, obter a resposta global a partir da resposta em cada m dos modos basta aplicar então a expressão (76), qe tradz a sobreposição modal da resposta. Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

26 Osciladores ineares Contínos 5.1. Vibrações longitdinais A eqação do movimento de m oscilador contíno sjeito a vibrações longitdinais sem amortecimento pode ser obtida a partir da eqação (4): m(x) (x,t) t - (x,t) [ EA(x) ] = q(x,t) (8) q(x,t) - força aplicada no ponto de coordenada x no instante t Fazendo a sbstitição indicada em (76) e qe tradz a sobreposição modal, fica: i=1 m(x) i(x) Ẏ. i(t) - i=1 d [ EA(x) d i(x) ] Y i (t) = q(x,t) (81) Mltiplicando ambos os termos da eqação (81) pela configração do modo n e integrando ao longo da barra obtem-se: n(x) i=1 = m(x) i(x) Ẏ. i(t) - n(x) i=1 d [ EA(x) d i(x) ] Y i (t) = n(x) q(x,t) (8) i=1 Ẏ. i(t) n(x) m(x) i(x) - i=1 Y i (t) n(x) d [ EA(x) d i(x) ] = = n(x) q(x,t) (83) Recorrendo às propriedades da ortogonalidade de modos e recordando as relações qe se obtêm qando as integrações representadas se referem ao mesmo modo de vibração e qe estão tradzidas nas eqações (6) e (35), então pode-se escrever a eqação de eqilíbrio dinâmico correspondente ao modo n. M n Ẏ. n(t) + p n M n Y n (t) = n(x) q(x,t) (84) Para simplificar a notação considere-se o seginte parâmetro qe representa a participação da força de excitação no correspondente modo de vibração n: n(x) q(x,t) = P n (t) (85) Utilizando esta notação a eqação do movimento referente ao modo n fica com a expressão final qe de segida se apresenta e qe é em tdo semelhante às eqações 4 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

27 Osciladores ineares Contínos obtidas para sistemas discretos, o, dma forma mais geral, semelhante à eqação de movimento de m sistema de m gra de liberdade. M n Ẏ. n(t) + p n M n Y n (t) = P n (t) (86) 5.. Vibrações transversais Como se pode verificar de segida a eqação de eqilíbrio dinâmico qe se obtem para cada modo de vibração no caso do estdo das vibrações transversais é idêntica à eqação obtida para as vibrações longitdinais. A eqação do movimento de m oscilador contíno sjeito a vibrações transversais sem amortecimento pode ser obtida a partir da eqação (53): EI (x) (x,t) + m(x) (x,t) t = p(x,t) (87) p(x,t) - força aplicada no ponto de coordenada x no instante t Fazendo a sbstitição indicada em (76) e qe tradz a sobreposição modal, fica: i=1 m(x) i(x) Ẏ. i(t) + d [ EI(x) d i(x) ] Y i(t) = p(x,t) (88) i=1 Mltiplicando ambos os termos da eqação (88) pela configração do modo n e integrando ao longo da barra obtem-se: i=1 Ẏ. i(t) n(x) m(x) i(x) + i=1 Y i (t) n(x) d [ EI(x) d i(x) ] = = n(x) p(x,t) (89) Recorrendo às propriedades da ortogonalidade de modos e recordando as relações qe se obtêm qando as integrações representadas se referem ao mesmo modo de vibração e qe estão tradzidas nas eqações (6) e (68), então pode-se escrever a eqação de eqilíbrio dinâmico correspondente ao modo n. M n Ẏ. n(t) + p n M n Y n (t) = n(x) p(x,t) (9) Mais ma vez para simplificar a notação considere-se o seginte parâmetro qe representa a participação da força de excitação no correspondente modo de vibração n: n(x) p(x,t) = P n (t) (91) Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

28 Osciladores ineares Contínos Utilizando esta notação a eqação do movimento referente ao modo n fica com ma expressão idêntica à indicada atrás para o estdo das vibrações longitdinais de barras: M n Ẏ. n(t) + p n M n Y n (t) = P n (t) (86) 5.3. Movimento com amortecimento Nas secções anteriores foi apresentada a formlação para a resolção da eqação de movimento desprezando o amortecimento. Para considerar o efeito do amortecimento no movimento pode-se definir m amortecimento modal, proporcional à velocidade, e tradzido através de ma constante de amortecimento C n : M n Ẏ. n(t) + C n Ẏ n (t) + p n M n Y n (t) = P n (t) (9) C n = a M n + a 1 p n M n (Clogh, 1993) (93) Introdzindo o conceito de coeficiente de amortecimento modal, temos: ζ n = C n M n p = a + a 1 p n n p n = 1 a + a p 1 p n (94) n M n Ẏ. n(t) + ζ n M n p n Ẏ n (t) + p n M n Y n (t) = P n (t) (95) A solção desta eqação de movimento, o deste conjnto de eqações de movimento, pode ser obtida através de qalqer método conhecido para o estdo de osciladores de m gra de liberdade Resposta a m movimento do solo Um tipo particlar de solicitação dinâmica qe interessa considerar é o caso da acção sísmica. Esta solicitação é tradzida pela imposição dm movimento nos pontos de ligação da estrtra ao exterior pelo qe é necessário fazer algmas adaptações à formlação atrás indicada. Para ilstrar a forma como deve ser abordado o problema da acção sísmica será referida somente o problema das vibrações transversais embora os resltados aplicáveis também ao caso das vibrações longitdinais. Considere-se a hipótese da acção sísmica corresponder a m movimento niforme do solo, o seja, com igal movimento em todos os pontos de ligação ao exterior. Desta forma pode-se descrever o campo de deslocamentos da barra da seginte forma: T (x,t) = (x,t) + s (t) (96) T (x,t) - deslocamento total da barra (x,t) - deslocamento em relação ao solo s (t) - deslocamento do solo 6 Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999

29 Osciladores ineares Contínos Sbstitindo a igaldade indicada em (96) na eqação de eqilíbrio dinâmico dma barra sjeita a vibrações transversais obtem-se: m(x) (x,t) t + EI (x) (x,t) + c(x) (x,t) = t = - m(x) s (t) t - EI (x) s (t) - c(x) s(t) t (97) Como o campo de deslocamentos do solo não depende da posição x, o segndo membro da eqação (97), qe por simplificação se designa por carregamento efectivo (P ef ), terá a seginte forma: P ef = - m(x) s (t) t - c(x) s(t) t (98) Na maioria dos casos de aplicação prática a contribição das forças de amortecimento para o carregamento efectivo é desprezável face à contribição das forças de inércia (Clogh, 1993) pelo qe se considera somente: P ef = - m(x) s (t) t (99) Assmindo este carregamento, então o termo correspondente ao carregamento associado a cada modo de vibração será: P ef,n (t) = - n(x) m(x).. s(t) = -.. s(t) n(x) m(x) (1) A eqação de eqilíbrio dinâmico para o modo n passará a ser escrita da seginte forma: M n Ẏ. n(t) + ζ n M n p n Ẏ n (t) + p n M n Y n (t) = -.. s(t) Se se dividir toda a eqação pelo termo M n, teremos: Ẏ. (t) + ζ n p n Ẏ(t) + p n Y i(t) = -.. s(t) n(x) m(x) (11) n(x) m(x) M (11) n O termo qe, no segndo membro da eqação, mltiplica a aceleração do solo terá o efeito dm factor de participação modal, tal como é definido na formlação para osciladores discretos. F Pn = n(x) m(x) M n (1) Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST,

30 Osciladores ineares Contínos Utilizando este novo parâmetro a eqação de eqilíbrio dinâmico para o modo de vibração n, qando a estrtra é solicitada por m movimento no solo pode ser escrita na seginte forma: Ẏ. n(t) + ζ n p n Ẏ n (t) + p n Y n(t) = -.. s(t) F Pn (13) Tal como foi referido anteriormente, esta expressão é válida qer para movimentos vibratórios transversais qer para movimentos longitdinais. Esta eqação é formalmente idêntica à eqação de m oscilador de m gra de liberdade pelo qe a sa solção também pode ser obtida através de qalqer método aplicável à resolção do problema de m oscilador de m gra de liberdade. 6. Referências bibliográficas Clogh, R.W. e Penzien, J. Dynamics of Strctres, McGraw-Hill, ª edição, Darte, R. T. Princípios e Métodos da Dinâmica Aplicada à Engenharia de Estrtras (versão preliminar), Seminário 65 Dinâmica Aplicada, NEC, Dinâmica e Engenharia Sísmica, IST, 1999