Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
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- Daniel Klettenberg Van Der Vinne
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1 Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes Carla Marchão Francisco Virtuoso Maio de 2007.: 1
2 Objectivos Implementação de uma metodologia de verificação da segurança de elementos comprimidos esbeltos de betão armado tendo em conta os efeitos física e geometricamente não lineares Estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de betão armado Estudo do efeito da interacção entre pilares de um mesmo sistema estrutural Comparação dos resultados obtidos das análises física e geometricamente não lineares com os de uma análise corrente utilizando os métodos simplificados propostos pelo EC2.: 2
3 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.1. Metodologias propostas para a verificação da segurança de elementos comprimidos esbeltos Classificação das estruturas Imperfeições geométricas Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem.: 3
4 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.2. Classificação das estruturas Consoante a existência de elementos de contraventamento Estruturas contraventadas Estruturas não contraventadas Consoante a sua sensibilidade aos efeitos de segunda ordem devidos a deslocamentos laterais Estruturas de nós fixos Estruturas de nós móveis.: 4
5 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.3. Imperfeições geométricas Regulamento Excentricidades Adicionais EC 2 Parte 2 e i = θ i l 0 / 2, com θ i = Model Code 90 e i = θ i l / 2, com θ i = l 1/ l 1/200 BS 5400 e = 0,05 h 0,02 m, para flexão segundo o eixo de menor inércia e = 0,03 h 0,02 m, para flexão segundo o eixo de maior inércia.: 5
6 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.4. Avaliação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Regulamento Limites de esbelteza para a não consideração dos efeitos de segunda ordem Elementos de nós fixos / contraventados Elementos de nós móveis / não contraventados EC 2 Parte 1 15,4 (1,7 - M 01 / M 02 ) / n 10,8 / n Model Code 90 7,5 (2 - e 01 / e 02 ) / n se n 0,39 ou 12 (2 - e 01 / e 02 ) se n > 0,39 7,5 / n se n 0,39 ou 12 se n > 0,39 ACI 343R - 22 BS : 6
7 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem Método geral (análise física e geometricamente não linear) Métodos simplificados Método baseado na estimativa da rigidez nominal Curvatura obtida através da rigidez de flexão nominal Consideração dos efeitos da fendilhação e da fluência Método baseado na estimativa da curvatura Curvatura constante e independente do momento flector.: 7
8 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem Método baseado na estimativa da rigidez nominal Curvatura: 1 r = M EI Rigidez nominal: EI = K c E cd I c + K s E s I s Momento total de dimensionamento: M sd = M 0sd 1 + β N B / N sd -1.: 8
9 1. Estado de Arte Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes 1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem Método baseado na estimativa da curvatura Curvatura: 1 r = K r K ϕ 1 r 0 Curvatura base: 1 r 0 = ε yd 0,45 d Momento total de dimensionamento: M sd = M 0sd + M 2 = M 0sd + N sd e 2 Excentricidade de 2ª ordem: e 2 = 1 r l 0 2 c.: 9
10 2. Filosofia de verificação da segurança com base em análises não lineares Determinação dos efeitos das acções considerando coeficientes parciais de segurança: Aplicados aos valores característicos das acções quando o efeito da acção aumenta mais que a acção; Aplicados aos efeitos dos valores característicos das acções quando o efeito da acção aumenta menos que a acção. S Análise não linear S Análise linear γsd S(γ FFk) S(γ F ) f k Análise linear γ sd S(γ f F k ) S(γ FF k ) Análise não linear F k γ f F k γ F F k = γ sd γ F k f F Fk F k γ f γ F F k = γ sd γ f F k F.: 10
11 2. Filosofia de verificação da segurança com base em análises não lineares Cálculo da capacidade resistente dos elementos Utilizando valores de cálculo das resistências dos materiais, obtidos através dos valores característicos das resistências minorados por coeficientes parciais de segurança; Utilizando os valores médios das resistências dos materiais e posterior adopção de um único coeficiente parcial de segurança para a resistência das secções..: 11
12 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares Análise física e geometricamente não linear Efeitos fisicamente não lineares Efeitos geometricamente não lineares Introduzidos ao nível da análise de secções, através das relações constitutivas não lineares dos materiais. Considerados na passagem para o referencial global da estrutura a partir da descrição exacta das equações de equilíbrio e de compatibilidade dos elementos, desprezando-se a sua deformação em relação à corda..: 12
13 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares Hipótese simplificativa: Desprezam-se os efeitos geometricamente não lineares associados à deformação do elemento. V N N Deformação dos vários elementos de uma barra relativamente às cordas respectivas para o caso de divisão da barra num ou em três elementos V.: 13
14 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.1. Análise fisicamente não linear Análise ao nível da secção ε c(y) σ c(y) M x G N ε G As ε s σ s y Diagramas de deformações e tensões de uma secção genérica de betão armado χ Relação constitutiva incremental para a secção: ΔS = ~ _K secção Δ ε ~ Utilizaram-se as relações constitutivas propostas pelo EC2 para análises não lineares: para o betão considerou-se uma relação constitutiva parabólica e para o aço foi considerado o diagrama elastoplástico com endurecimento..: 14
15 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.1. Análise fisicamente não linear Análise ao nível da secção -σc ε c(y) σ c(y) s fc M k fy fy Es1 Ec x G N ε G As ε s εy σes s 0,4 fc y χ εy εu εs Diagramas de deformações e tensões de uma secção genérica de betão armado Relação constitutiva incremental para a secção: ΔS = ~ _K secção Δ ε ~ -fy εc1 εcu -εc Utilizaram-se as relações constitutivas propostas pelo EC2 para análises não lineares: para o betão considerou-se uma relação constitutiva parabólica e para o aço foi considerado o diagrama elastoplástico com endurecimento..: 15
16 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.1. Análise fisicamente não linear Análise ao nível do elemento M 1 M 2 un N θ 1 θ 2 Esforços e deformações independentes de um elemento Relação constitutiva incremental para o elemento: ΔX = ~ _K el emento Δu ~.: 16
17 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.2. Análise geometricamente não linear Análise ao nível do elemento Q 5 M 2 Q 2 Q 3 M 1 Q 1 q 1 V q 2 L α γ Lc q 4 q 5 V N Q 6 Q 4 Forças nodais, deslocamentos nodais e esforços independentes num elemento genérico Relação constitutiva incremental: ΔQ = (_K el emento el + ~ K emento G ) Δq ~ elemento ΔQ = ~ _K T Δq ~.: 17
18 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.2. Análise geometricamente não linear Análise ao nível da estrutura Resolução do sistema de equações est. Relação constitutiva incremental: ΔQ = ~ _K T Δq ~ Q K T Q f A um incremento de carga ΔQ corresponde um acréscimo de deslocamentos Δq que difere do ΔQ Q i realmente instalado na estrutura Δq total ; Para minimizar o erro, optou-se por adicionar, em cada incremento de carga, o desequilíbrio calculado no final do incremento anterior. q i Δq Δq total q f q Significado físico da matriz de rigidez tangente da estrutura.: 18
19 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.3. Consideração do efeito da fluência Método dos módulos de elasticidade efectivo e ajustado Deformação total de um elemento: ε c (t, t 0 ) = σ c(t 0 ) E c,eff + Δσ c(t, t 0 ) E c, adj As deformações associadas a tensões constantes ao longo do tempo podem ser calculadas utilizando o módulo de elasticidade efectivo. Caso a tensão varie ao longo do tempo, a deformação associada à variação de tensão deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade ajustado. E c,eff = E c (t 0 ) 1 + E c(t 0 ) E c,28 ϕ(t, t 0) E c,adj = E c (t 0 ) 1 + χ(t, t 0 ) E c(t 0 ) E c,28 ϕ(t, t 0) Consideração do efeito da fluência na metodologia de cálculo -σc Na metodologia de cálculo, a fluência foi introduzida ao nível da relação constitutiva do betão para as acções fc Ec Ec,ϕ que actuam com carácter permanente. 0,4 fc εc1 εc1,ϕ -εc Relações constitutivas do betão para acções permanentes e variáveis.: 19
20 Por forma a simplificar a formulação adoptada no programa de cálculo automático, optou-se pela adopção de um único módulo de elasticidade para as acções permanentes. Dado que, de todas as acções permanentes consideradas, apenas a retracção introduz variações de tensão ao longo do tempo, optou-se pela adopção do módulo de δs elasticidade efectivo corrigindo o efeito da retracção para ter em consideração a diferença entre os módulos de elasticidade efectivo e ajustado. Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.3. Consideração do efeito da fluência Módulo de elasticidade considerado para as acções permanentes ΔT A, I, Ec,adj L δs ΔT M1 V1 V1 M1 ΔT' = ΔT E c,adj E c,eff δs' δ s > δ s ΔT' A, I, Ec,adj L A, I, Ec,eff L e i ' = e i - (δ s ' - δ s ) V1 M1 V1 V1 M1 V1 M1 M1.: 20
21 3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares 3.3. Consideração do efeito da fluência Módulo de elasticidade considerado para as acções permanentes δs δs ΔT ΔT E c,ef < E c,adj δs' ΔT' V1 A, I, Ec,adj L V1 Correcção da variação de temperatura ΔT' = ΔT E c,adj E c,eff δs' δ s > δ s ΔT' A, I, Ec,eff M1 M1 A, I, Ec,adj L maiores efeitos de 2ª ordem nos pilares V1 L V1 M1 M1 Correcção da excentricidade inicial e i ' = e i - (δ s ' - δ s ) M1 V1 M1 A, I, Ec,eff V1 V1 M1 L V1 M1.: 21
22 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Exemplos analisados Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes Consideração de três estruturas distintas Exemplos A, B e C baseadas na estrutura de um caso real. A diferença entre exemplos consiste unicamente na secção transversal adoptada para os pilares por forma a se fazer variar a esbelteza dos pilares e, consequentemente, a importância dos efeitos de segunda ordem. Para cada exemplo foram efectuadas as seguintes análises física e geometricamente não lineares: Análise com incremento de forças verticais até à rotura Análise com incremento de forças horizontais até à rotura Análise com as acções de dimensionamento Comparação com os resultados obtidos utilizando os métodos simplificados propostos pelo EC2..: 22
23 4.2. Estrutura do exemplo Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC2 Corte longitudinal do viaduto Pilar H (m) P1 27,61 P2 32,27 P3 16,95 Alçado frontal da estrutura.: 23
24 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Estrutura do exemplo 0,50 5,00 4,00 0,50 0,50 5,00 4,00 0,50 0,45 1,90 2,80 0,45 Exemplo C - Secção transversal dos pilares 0,45 0,70 0,45 1,60 Exemplo A - Secção transversal dos pilares Esbeltezas dos pilares nos exemplos considerados 0,50 5,00 4,00 0,50 0,45 0,95 0,45 1,85 Pilar Exemplo A Exemplo B Exemplo C P1 66,3 106,5 128,0 P2 76,0 122,0 146,6 P3 44,2 71,0 85,4 Densidades de armadura das secções transversais Exemplo A Exemplo B Exemplo C Exemplo B - Secção transversal dos pilares ρ (%) 1,2 1,4 1,4.: 24
25 4.3. Acções consideradas Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC2 Acções permanentes Peso próprio Restantes cargas permanentes Efeitos axiais do pré-esforço no tabuleiro Fluência e retracção Acções variáveis Sobrecarga rodoviária uniformemente distribuída Frenagem.: 25
26 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Análise com incremento de forças verticais Exemplo A N (kn) (M Rd,N Rd ) (M Rd,N Rd ) - ANL Análise dos pilares isolados Pilar P1 Pilar P2 Pilar P M (knm) N (kn) (M Rd, N Rd) (M Rd, N Rd) - ANL Pilar P1 Pilar P2 Pilar P3 Pilar P1 - AEL Análise da estrutura Pilar P2 - AEL Pilar P3 - AEL M (knm) : 26
27 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Análise com incremento de forças verticais N (kn) Exemplo B (M Rd, N Rd ) (M Rd, N Rd ) - ANL Análise dos pilares isolados Pilar P1 Pilar P2 Pilar P M (knm) N (kn) (M Rd, N Rd ) (M Rd, N Rd ) - ANL Pilar P Pilar P2 Pilar P3 Pilar P1 - AEL Pilar P2 - AEL Pilar P3 - AEL Análise da estrutura M (knm) : 27
28 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Análise com incremento de forças verticais Exemplo C N (kn) (M Rd, N Rd ) (M Rd, N Rd ) - ANL Análise dos pilares isolados Pilar P1 Pilar P2 Pilar P M (knm) N (kn) (M Rd, N Rd ) (M Rd, N Rd ) - ANL Pilar P1 Pilar P Pilar P3 Pilar P1- AEL Pilar P2 - AEL Análise da estrutura Pilar P3 - AEL M (knm) : 28
29 4.5. Análise com incremento de forças horizontais Exemplo A Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC2 H (kn) 5000 H (kn) Pilar P1 Pilar P2 Pilar P Pilar P1 Pilar P2 Pilar P ,05 0,05 0,15 0,25 δ topo (m) V (kn) Exemplo B H(kN) 2000 H (kn) Pilar P1 Pilar P2 Pilar P Pilar P1 Pilar P2 Pilar P3 0 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 δ topo (m) V (kn).: 29
30 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos Exemplo A F.S. N (kn) Pilar P1 - ANL pilar isolado 6, (M Rd, N Rd ) (M Rd, N Rd ) - ANL Pilar P2 - ANL pilar isolado 9,1 Pilar P3 - ANL pilar isolado 4,6 Pilar P1- ANL estrutura 6, Pilar P2 - ANL estrutura 11, Pilar P3 - ANL estrutura 5, Pilar P1 - MERN 2, Pilar P2 - MERN 2, M (knm) Pilar P3 - MERN Pilar P1- MEC Pilar P2 - MEC 3,8 1,4 1,6 Pilar P3 - MEC 2,1.: 30
31 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos Exemplo B F.S. N (kn) Pilar P1 - ANL pilar isolado 2, (M Rd, N Rd) (M Rd, N Rd) - ANL Pilar P2 - ANL pilar isolado Pilar P3 - ANL pilar isolado Pilar P1- ANL estrutura 2,6 4, Pilar P2 - ANL estrutura 6, Pilar P3 - ANL estrutura Pilar P1 - MERN 2, Pilar P2 - MERN M (knm) Pilar P3 - MERN 0, Pilar P1 - MEC 0,6 Pilar P2 - MEC 0,6 Pilar P3 - MEC 1,1.: 31
32 4.7. Conclusões (1/2) Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC2 Para o caso dos exemplos analisados, nomeadamente nos que apresentam pilares com maior esbelteza, verificou-se que os métodos simplificados sobrestimam os efeitos de segunda ordem devido a vários factores: Consideram curvaturas excessivamente conservativas por admitirem que os pilares se encontram em situação de eminência de rotura; Para o cálculo do momento total, incluindo efeitos de segunda ordem, não consideram o funcionamento conjunto dos vários elementos integrados na mesma estrutura já que, quer a excentricidade de segunda ordem no método da estimativa da curvatura, quer o factor de amplificação do momento no método da rigidez nominal, são calculados com base no comprimento de encurvadura do pilar isolado;.: 32
33 4.7. Conclusões (2/2) Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes 4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC2 As diferenças entre os resultados da aplicação dos métodos simplificados face aos obtidos em análises não lineares serão menores nos casos de estruturas em que os pilares tenham alturas semelhantes, pelo facto do comprimento de encurvadura dos pilares ser semelhante ao comprimento de encurvadura dos pilares isolados; Refira-se que nos exemplos apresentados se introduziram características de rigidez e esbelteza por forma a tornar mais significativos os efeitos de segunda ordem, pelo que na análise de exemplos reais será de esperar menores diferenças entre os resultados da aplicação dos métodos simplificados face aos obtidos em análises não lineares; Excluindo a questão dos aspectos particulares de verificação da segurança na fase construtiva, é vantajoso sob o ponto de vista da economia verificar a segurança dos pilares através de análises física e geometricamente não lineares; É de salientar que as análises não lineares efectuadas aos pilares isolados podem ser excessivamente penalizantes para os pilares mais esbeltos e contra a segurança no caso dos pilares mais rígidos..: 33
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