Integrais de Funções Trigonométricas. Integrais de Funções Trigonométricas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. As seis integrais A lista a segir contém as fórmlas e integração qe corresponem às seis regras e iferenciação trigonométrica. Integrais e Fnções Trigonométricas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Integrais e Fnções Trigonométricas.As seis integrais.otras integrais.combinações e fnções. As seis integrais Integrais qe Envolvem Fnções Trigonométricas Regra e Diferenciação Regra e Integração [ sen] [ cos] = cos cos = sen + C = sen sen = cos + C [ tg] = sec sec = tg + C. As seis integrais. As seis integrais Para caa regra e iferenciação há ma regra e integração corresponente. Por exemplo, à regra e iferenciação [ cos] = sen correspone a regra e integração sen = cos + C Integrais qe Envolvem Fnções Trigonométricas Regra e Diferenciação Regra e Integração [ sec] = sec tg sec tg = sec + C [ cotg] = cossec cossec = cotg + C [ cossec] = cossec cotg cossec cotg = cossec + C

2 . As seis integrais. As seis integrais OBS: Esta relação á fórmlas para integrar apenas as as seis fnções : a fnção seno e a fnção cosseno. A relação não mostra como integrar as otras qatro fnções. As regras corresponentes serão aas mais aiante nesta ala. Exemplo : Calcle a integral x sen x. As seis integrais. As seis integrais Exemplo : Calcle a integral cos x Seja = x. Então = x ( ) sen sen x x = x x Reescrever o integrano = sen Sbstitir x e x = cos + C = cos x + C Integrar Sbstitir. As seis integrais. As seis integrais Seja = x, então = Exemplo : Calcle a integral cos x = cos x = cos = sen + C = sen x + C Regra o Múltiplo Constante Sbstitir x e Integrar Sbstitir sec x tgx

3 . As seis integrais. As seis integrais Seja = x. Então = sec x tgx = ( sec x tgx) = sec tg Mltiplicar e iviir por Sbstitir x e Os ois exemplos segintes tilizam a Regra Geral a Potência e a Regra Log para integração. n+ n = + C, n n + Regra Geral a Potência = sec + C = sec x + C Integrar Sbstitir = ln + C Regra o Log. As seis integrais. As seis integrais Exemplo : Calcle a integral x e sec e x A chave para a tilização essas as regras é a sbstitição aeqaa. Assim é qe, no próximo exemplo, a escolha aeqaa e é senx.. As seis integrais. As seis integrais Seja = e x, então = e x ( sec ) e x sec e x = e x e x = sec = tg + C = tge x + C Reescrever o integrano Sbstitir e x e e x Integrar Sbstitir Exemplo 5: Calcle a integral sen x cos x

4 . As seis integrais. As seis integrais Seja = sen x, então / = cosx ( ) ( ) sen x cosx = senx cosx ( x) = = + C = + C sen Exemplo 7: Calcle a integral efinia π 0 cosx sen = x + C. As seis integrais. As seis integrais Exemplo 6: Calcle a integral sen x cos x π 0 π cosx = senx 0 = = 0. As seis integrais. As seis integrais sen x = cos x = = ln + C Seja = cosx. Então / = -sen x = ln cos x + C sen x cos x Reescrever o integrano Sbstitir cos x e sen x Regra o Log Sbstitir Exemplo 8: Calcle a área a região elimitaa pelo eixo x e por m arco o gráfico e y = sen x

5 . As seis integrais. Otras integrais Estabelecem-se e maneira análoga as fórmlas e integração para as otras três fnções. Por exemplo, para integrar a fnção secante, temos: = sec x = sec sec tg ( + ) sec x sec x tg x sec x + tg x x + x x sec x + tgx = ln sec x + tg x + C Utilizar a sbstitição com = sec x + tg x 8. As seis integrais. Otras integrais Conforme inicao na figra anterior, esta área é aa por π 0 [ x] 0 Área = sen x = cos ( ) ( ) = = π Resmimos a segir estas fórmlas e as fórmlas e integração para as otras as fnções. 9. Otras integrais. Otras integrais No início esta ala foram aas as regras para integração as fnções seno e cosseno. Com o resltao o Exemplo 6, temos agora ma regra para a integração a fnção tangente: sen x tg x = = ln cos x + C cos x Integrais e Fnções Trigonométricas tg = ln cos + C sec = ln sec + tg + C cotg = ln sen + C cos sec = ln cos sec cotg + C 7 0 5

6 . Otras integrais Exemplo 9: Calcle a integral tgx Exemplo 0: Calcle a integral cos x. Otras integrais Seja = x. Então = tgx = ( tgx) = tg = ln cos + C = ln cos x + C Reescrever o integrano Sbstitir x e Regra a Tangente Sbstitir Solção: A simples sbstitição = cos x não aja, pois = - sen x. Para integrarmos as potências e cosseno, necessitaríamos e m fator extra sen x. Dessa forma, poemos separar m fator cosseno e converter o fator cos x restante em ma expressão envolveno o seno sano a ientiaesen x + cos x =. 5 Vamos agora sar as ientiaes para integrar certas combinações e fnções, começano com as potências e seno e cosseno. Poemos então avaliar a integral sbstitino = sen x, assim = cos x e 6 6

7 cos = cos cos x x x ( sen ) cos ( ) = x x = = = + = + C sen x sen x C Solção: Poeríamos converter cos x para - sen x, mas ficaríamos com ma expressão em termos e sen x sem m fator extra cos x. Em vez isso, separamos m único fator e seno e reescrevemos o fator sen x restante em termos e cos x. ( ) 5 sen cos = sen cos sen x x x x x ( ) = cos x cos x sen x 7 0 Em geral tentamos escrever m integrano envolveno as potências e seno e cosseno em ma forma one temos somente m fator seno (e o restante a expressão em termos e seno). A ientiae sen x + cos x = nos permite a interconversão e potências pares e seno e cosseno. 8 Sbstitino = cos x, temos = -sen x, teremos 5 ( ) = ( ) ( ) ( ) sen x cos x sen x cos x sen x = = = ( + ) = + + C = cos x + cos x cos x + C 5 7 Exemplo : Calcle a integral 5 sen x cos x Nos exemplos anteriores, ma potência ímpar e seno e cosseno nos permiti separar m único fator e converter a potência par remanescente. Se m integrano contém potências pares tanto para seno como para cosseno, essa estratégia falha. Nesse caso, poemos aproveitar as ientiaes os ânglos-metae. x x x x ( ) ( ) sen = cos e cos = + cos 9 7

8 Exemplo : Calcle a integral π sen x 0 Solção: Poemos escrever sen x = (sen x) e sar ma fórmla o ânglo-metae: cos x x x sen = ( sen ) = = ( cos x + cos x) 6 Solção: Se escrevermos sen x = - cos x, a integral não é mais simples para se avaliar. Usano a fórmla o ânglo-metae para sen x, conto, temos: π π sen = cos = sen x ( x) x x π Como cos x ocorre, precisamos sar otra fórmla o ânglo-metae: cos cos x = ( + x ) sen 0 sen0 π = π π = 7 Exemplo : Calcle a integral sen x Isso reslta em: x x x sen = cos + ( + cos ) 5 = cosx cosx + = x senx sen x C

9 Para resmir, listamos as regras a segir qano avaliamos as integrais a forma: m n sen x cos x one m 0 e n 0 são inteiros. c) Se as potências e seno e cosseno são pares, tilizamos as ientiaes os ânglos-metae. sen cos x = ( x ) cos x = ( + cosx) Algmas vezes é útil sar a ientiae sen x cos x = senx 9 5 Estratégia para avaliar a) Se a potência o cosseno é ímpar (n = k + ), gare m fator cosseno e se cos x = sen x para expressar os fatores remanescentes em termos e seno: Nesse caso, sbstita = sen x. m n sen x cos x ( ) k m k + m sen cos = sen cos cos x x x x x ( ) = sen m x sen x cos x k 50 Poemos tilizar ma estratégia semelhante para avaliar as integrais a forma m n tg x sec x Como (/) tg x = sec x, poemos separar m fator sec x e converter a potência (par) e secante remanescente para ma expressão envolveno a tangente tilizano a ientiae sec x = + tg x. 5 b) Se a potência e seno é ímpar (m = k + ), gare m fator seno e se sen x = cos x para expressar os fatores remanescentes em termos e cosseno: = ( ) k n ( ) k k + n n sen cos sen cos sen x x x x x = cos x cos x senx Então sbstita = cos x. [Note qe se ambos os fatores e seno e cosseno são ímpares, poemos sar (a) o (b). 5 O, como (/) sec x = sec x tg x, poemos separar m fator sec x tg x e converter a potência (par) a tangente remanescente para secante. 5 9

10 Exemplo : Calcle a integral 6 tg x sec x Solção: Se separarmos m fator sec θ como no exemplo anterior, ficaremos com m fator sec θ, qe não é facilmente convertio para tangente. Conto, se separarmosmfatorsec θtg θ,poeremosconvertera potência remanescente e tangente para ma expressão envolveno apenas a secante sano a ientiae tg θ = sec θ -. Poeremos então avaliar a integralsbstitino =sec θ,assim=sec θtg θθ Solção: Se separarmos m fator sec x, poeremos expressar o fator remanescente em termos e tangentesano a ientiaesec x = + tg x. Poemos então avaliar a integral sbstitino = tg x com =sec x. ( ) ( ) 6 6 tg x sec x = tg x sec x sec x 6 6 = tg x + tg x sec x = = ( + ) = + + C = tg x + tg x + C ( ) 6 = sec θ ( ) ( ) tgθsec θθ = tgθsec θsecθtgθθ sec θsecθtgθθ = = = ( + ) = + + C = sec θ sec θ + sec θ + C Exemplo 5: Calcle a integral 5 7 tgθsec θθ Os exemplos anteriores mostram as estratégias para avaliar as integrais a forma m n tg x sec x para ois casos, resmios aqi

11 Estratégia para avaliar a) Seapotênciaasecanteépar(n=k,k ),garem fator esec x e se sec x = + tg x para expressar os fatores remanescentes em termos e tg x. Assim, sbstita = tg x. m n tg x sec x ( ) k ( ) k m k m tg x sec x = tg x sec x sec x = tg m x + tg x sec x Também precisaremos a integral inefinia a secante: sec x = ln sec x + tgx + C 6 6 b) Se a potência a tangente é ímpar (m = k + ), gare m fator e sec x tg x e se tg x = sec x - para expressar os fatores remanescentes em termos e secx. = ( ) k k n ( ) k + n n tg sec tg sec sec tg x x x x x x = sec x sec x sec x tg x Então sbstita = sec x. Exemplo 6: Calcle a integral tg x 6 65 Para otros casos as regras não são tão simples. Talvez seja necessário sar as ientiaes, a integração por partes e, ocasionalmente, m poco e engenhosiae. Algmas vezes precisaremos integrar tg x tilizano a expressão tg x = ln cos x + C tg x = ln cos x + C tg x = ln sec x + C 6 Solção: Aqi apenas tg x ocorre; então samos tg x = sec x para reescrever m fator tg x em termos e sec x. tg = tg tg = tg ( sec ) ( ) x x x x x = tg x sec x tg x = tg x sec x tg x = tg = ln sec + C tg x = ln sec x + C 66

12 Se ma potência par e tangente aparece com ma potência ímpar e secante, é útil expressar o integrano completamente em termos e sec x. As potências e sec x poem reqerer a integração por partes, como mostrao no exemplo a segir. 67 Então + = + sec = sec tg + sec sec = sec tg sec + sec x x x x x sec x sec x sec x tg x sec x x x x x sec x = sec x tg x + ln sec x tg x + C ( ) 70 Exemplo 7: Calcle a integral sec x As integrais a forma m n cotg x cos sec x poem ser encontraas por métoos similares por casa a ientiae + cotg x = cosssec x Solção: Aqi integramos por partes com = sec x = sec x tg x Então v = sec v = tg x ( ) x sec x = sec x tg x sec x tg x = sec x tg x sec x sec x = sec x tg x sec x + sec x 69 Finalmente, poemos sar otras ientiaes 7

13 Para avaliar as integrais (a) sen mx cos nx (b) sen mx sennx (c) cos mx cosnx se a ientiae corresponente: Solção: Essa integral poe ser avaliaa tilizano-se integração por partes, mas é mais fácil sar a ientiae anterior, como a segir: sen x cos5x = sen( x) + sen9x = cos x cos9x C (a) sen AcosB = sen( A B) + sen( A + B) (b) sen AsenB = cos( A B) cos( A + B) (c) cos AcosB = cos( A B) + cos( A + B) 7 Exemplo 8: Calcle a integral senx cos5x 75