PRIMITIVAS 1. INTRODUÇÃO

Transcrição

1 Material de apoio referente ao tópico: Integrais Módlo I. Adaptado de: Prof. Dr. José Donizetti Lima por Prof. Dra. Dayse Regina Batists.. INTRODUÇÃO PRIMITIVAS Em mitos problemas, embora a derivada de ma fnção seja conhecida, torna-se necessário determinar a própria fnção. É o caso dos segintes eemplos: Um sociólogo qe, conhecendo a taa de crescimento da poplação, poderá sar tal dado para prever ftras taas de crescimento daqela poplação; Um físico qe, conhecendo a velocidade de m corpo, será capaz de determinar a posição ftra do corpo; Um economista qe, conhecendo a taa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, no ftro; Entre otros. Ao processo de determinação de ma fnção a partir de sa derivada dá-se o nome de cálclo das primitivas o integração.. DEFINIÇÃO Uma fnção F() para a qal F () f() para todo pertencente ao domínio de f é ma primitiva (o integral indefinida) de f. Eemplo: ) Mostre qe F() é ma primitiva de f() Solção: F() é ma primitiva de f() F () f(). Assim, derivando F(), temos:. PRIMITIVA GENÉRICA DE UMA FUNÇÃO F () f() Uma fnção possi mais de ma primitiva. Por eemplo, F() é ma primitiva da fnção f(), pois F () f(). Da mesma forma, G() também é ma primitiva de f(), pois a derivada da constante é zero e G () f(). Em geral, se F for ma primitiva de f, qalqer fnção obtida ao acrescentarmos ma constante a F também será ma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todas as primitivas de f somando constantes a qalqer primitiva de f. Assim, se F e G forem primitivas de f, eiste ma constante tal qe: G() F(). INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Eiste ma eplicação geométrica simples para o fato de das primitivas qaisqer de ma fnção diferirem entre si de m valor constante. Se F for ma primitiva de f, então F () f(). Isto significa qe, para cada valor de, f() é o coeficiente anglar da reta tangente ao gráfico de F(). Se G for otra primitiva de f, o coeficiente anglar de sa reta tangente também é f(). Logo, o gráfico de G é paralelo ao gráfico de F e pode ser obtido transladando-se verticalmente o gráfico de F. Assim, eiste ma constante, tal qe G() F(). A figra a segir ilstra esta sitação para várias primitivas da fnção f().

2 F y Figra: Algns eemplos das primitivas de. NOTAÇÃO DE INTEGRAÇÃO Costma-se escrever: F(). f ( ) d F( ) para eprimir o fato de toda primitiva de f() ser da forma Por eemplo, para epressar o fato de toda primitiva de ser da forma, escrevemos: d O símbolo chama-se sinal de integração e indica qe qeremos encontrar a forma mais genérica da primitiva da fnção qe o sege. O sinal de integração lembra m S alongado, qe representa SOMA. No decorrer das alas veremos ma importante relação entre derivadas e somas, qe recebe o nome de Teorema Fndamental do Cálclo. Na epressão f () d F(), a fnção f() a ser integrada denomina-se integrando. A constante o C (não especificada), acrescentada a F() a fim de tornar mais genérica a epressão da primitiva, denomina-se constante de integração. O símbolo d qe sege o integrando serve para indicar qe é a variável em relação a qal efetaremos a integração. Definição da integral indefinida (o primitiva) sando a notação de integral f ( ) d 6. REGRAS DE INTEGRAÇÃO F ' D o (f) m, A integração é a operação inversa da diferenciação. Logo, podemos formlar várias regras de integração partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de diferenciação (derivadas). 6. REGRAS DA POTÊNCIA PARA INTEGRAÇÃO d Segndo a regra de potência: n n n, o seja, para derivar ma fnção potência, retiramos d ma nidade do epoente e mltiplicamos o epoente original pela fnção elevada ao novo epoente. Ennciando esta regra no sentido inverso, teremos qe, para integrar ma fnção potência, devemos amentar se epoente de ma nidade e dividir o resltado pela nova potência. Sege-se m ennciado mais preciso da regra. Para n, n d n n n o seja, para integrar ( n ), amenta-se o epoente de ma nidade, e divide-se a fnção elevada ao novo epoente por este novo epoente. f

3 Para comprovar esta regra, basta observar qe: d d n n n n n n Eemplos: ) Calcle as integrais a) d c) d. e) d d b) d d d) d d d A regra da potência vale para todos os valores de n, à eceção de n - (caso em qe indefinido). n é 6... Como determinar ma primitiva de Precisamos determinar ma fnção cja derivada é. O logaritmo natral ln é a tal fnção, logo d ln. Na realidade, isto só é válido qando for positivo, pois ln não é definido para valores negativos de. Qando é negativo, sege-se qe ln é a primitiva de, pois, sendo negativo, - e d d d - [ln ] [ln (- )] d -. Qando é positivo, sege-se qe ln é a primitiva de, pois sendo positivo, e d d d [ln ] [ln d Assim, a integral de 6.. INTEGRAL DE e ]. é dada por: ln d A integração da fnção eponencial e é trivial, pois e é sa própria derivada. Assim, e d e 6.. REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA É fácil reescrever as regras de derivação para soma e constante mltiplicada e transformá-las em regras de integração para estes casos..

4 6.. Regra da constante mltiplicada para integrais Para qalqer constante, f() d f ( ) d o seja, a integral de ma constante mltiplicada por ma fnção é igal à constante mltiplicada pela integral da fnção Regra da soma para integrais [ f() g()] f ( ) d d g( ) d o seja, a integral da soma é a soma de cada ma das integrais. Eemplo: ) Calcle as integrais a) d d b) [ e ] d d e d e e c) e d e d d d e e ln ln 6 Nota: pelo eemplo c, temos qe ao invés de adicionarmos ma constante a cada ma das primitivas, basta adicionar apenas ma constante ao final do resltado encontrado. 6. INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES Não eistem regras gerais de integração de prodtos e qocientes. Ocasionalmente, consegiremos eprimir m prodto o m qociente de ma forma integral, com o aílio das regras já apresentadas. Eemplos: ) Calcle d Fazendo a divisão indicada, temos: Assim, d [ ] d d d d. 8 ) Calcle d Fazendo a divisão indicada, temos :

5 , pois 8 ) ).( ( Assim: d d d d d ] [ 8 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Nos problemas a segir, calcle a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as. a) d Resposta: 6 6 b) d Resposta: c) d Resposta: d) dt ) t (t Resposta: t t t t t t e) dy y y y Resposta: y n y y y n y y f) d e Resposta: e e g) d e Resposta: e n e n h) d Resposta: n i) d ) ( Resposta: j) dt t t ) ( Resposta: t t t t

6 Sabemos qe: [ sen ] cos [ cos ] - sen [ tg ] sec [ cotg ] - cossec [ sec ] sec. tg [ cossec ] - cossec. tg Assim, sen d cos cos d sen sec d tg cos sec d cot g sec tg d sec cos sec cotg d cos sec INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES Passo : Introdza a letra para sbstitir algma epressão em qe seja escolhida para simplificar a integral. d Passo : Reescreva a integral em termos de. Para reescrever d, calcle e resolva d d algebricamente como se o símbolo fosse m qociente, lembrando dos diferenciais. d Passo : Calcle a integral resltante e então sbstita por sa epressão em termos de na resposta. Nota: Se o integrando é m prodto o qociente de dois termos e m termo é múltiplo da derivada de ma epressão qe aparece no otro, então esta epressão é provavelmente ma boa escolha para. Eemplos: ) Calcle: ( ) d Solção: Fazendo:, temos: d d d d ( ) Logo, ( ) d d ) ( ) ( ) d... 8 ) 7d... ( 7) ) 8 7 ( ) ( ). d... 8

7 ) (7-6 ). (7-6 ) d ) ( ) d... 6 ( ) ( ) 7) d... ( ) 8) ( ) ( ) d... ( ) ln 9) d... ln ln 0) d... ln ) d... ) d... ln (dica: e d d) 6 8 ) d e ) e d... 7 e ). e d... sen ( 6) d ) cos ()... sen ( ) 7).cos ( ) d... cos d 9) d... sen (dica: ) d cos d 0) (cos sen ) d... (dica: cos sen ) 0 d (ln ) (ln ) ) d... ln (ln ) ) d... ) d... (ln ) ln ) d... ln ln. ln n n (ln ) (ln ) ) d..., { n R/ n } n

8 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Prove, sando mdança de variável o o método da sbstitição, qe: a) d ln - a, a R a α α e b) e d, α R α cos α c) sen α d, α R α senα d) cos α d, α R α sen e) tg d d ln cos cos cos f) cot g d d ln sen sen ) Resolva os eercícios a segir sando o método de sbstitição: Eercício a) ( ) d b) d c) d d) d ( ) e) sen d f) e d g) e d h) sen d i) cos d j) cos 6 d ) cos sen d l) sen cos d m) d n) d Resposta a) ( ) b) ( ) 9 c) ln d) ( ) e) cos f) e g) e h) cos i) sen j) sen 6 6 ) cos 6 l) sen 6 m) ln n) ln

9 o) d p) 6 d q) ( ) d r) d s) e e d t) ( ) d sen ) d cos v) - d e o) ln( ) 8 p) ln( 6 ) q) 8( ) r) ( ) 9 s) ( e ) t) ( ) ) cos v) e Novos Eemplos ) tg d (sec -) d tg Nota de revisão: sen cos e tg sec, pois: sen cos sen sec cos cos cos sen sen ) cos d cos d. Nota de revisão: cos cos ( ) cos. cos - sen. sen cos - sen cos - ( - cos ) cos -, logo cos cos - cos cos sen sen ) sen d (- cos ) d - cos ) (sen cos ) d... ) (sen cos ) d... cos (Sgestão: sen θ senθ cosθ ) 6) (sen cos ) d... sen sen 7) d... - cos (Sgestão: sen θ senθ cosθ ) cos

10 ( cos ) 8) sen ( cos ) d... 9) d d cos cot g cos cot g ( sec tg)d sec sen Nota de revisão: sec ; cos sec ; tg ; cot g cos sen cos tg 0) Mostre, sando mdança de variável, qe tg d ln cos d Solção: d sen tg d d d cos sen cos - d d cos sen d d sen -ln ) Mostre, sando mdança de variável, qe cotg d ln sen cos Solção: cot d g d cos d d d sen sen d sen cos d cos d d sen ( ) ) cos ( ) d... ln - ln cos ln sen cos ) d... sen (Dica: d ) d cos ) (cos sen ) d... 0 (Dica: d cos sen ) d ) Mostre, sando o método de sbstitição, qe: sen (i) sen cos d (Faça: sen ) cos (ii) sen cos d (Faça: cos ) cos 6) Mostre qe sen cos d (Lembre-se: sen θ senθ cosθ ) sen Solção: Como sen sen cos sen cos Assim, sen sen d cos d d d cos sen sen sen d cos d d e d d cos α 7) Prove, sando o método da sbstitição, qe sen α d, α α R

11 d cos α α α α d d α α e d d α Solção: sen α d sen cos senα 8) Prove, sando o método da sbstitição, qe cos α d, α d sen α Solção: c osα d cos sen α α α α R d α α e d d α d TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES Sponhamos f e g definidas e deriváveis nm mesmo intervalo I. Temos: o [ f().g()] ' f ' ().g() f().g ' () f().g ' () [ f().g()] ' f ' ().g() Spondo, então, qe f ' ().g() admita primitiva em I e observando qe f().g() é ma primitiva de [f().g()] ', então f().g ' () também admitirá primitiva em I e f ( ) g'( ) d f() g() - f '( ) g( ) d () qe é a regra de integração por partes. Fazendo f() e v g(), teremos d f ' () d e dv g ' () d, o qe nos permite escrever a regra () na seginte forma sal: dv v - v d Sponha, agora, qe se tenha qe calclar α ( ) β ( ) d. Se você perceber qe, mltiplicando a derivada de ma das fnções do integrando por ma primitiva da otra, chega-se a ma fnção qe possi primitiva imediata, então apliqe a regra de integração por partes. Eemplos: Calcle as segintes integrais: ) cos d.... sen cos ) sen d.... cos sen

12 ) cos d....sen.cos sen ) sen d....cos.sen cos ) e cos d... e (sen cos ) 6) e sen d... e (sen cos ) 7) Sabendo qe d ln, mostre qe: ln d. (ln ) Resposta: fazendo: f ln e g ln d (ln ) 8) Sabendo qe: d arc tg, mostre qe: arc tg d arc tg ln( ) 9) Sabendo qe: d arc sen, mostre qe: arc sen d. arc sen sen 0) cos d... sen ) sen d... ) Sabendo qe sec d ln sec tg e tg sec mostre qe sec [sec tg ln sec tg ].

13 OUTROS EXEMPLOS DE INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS ) Calcle sec d. Solção: sec d tg ) Calcle tg d. Solção: tg d d [sec ] sec d d tg Onde: ) Calcle cos sec d. Solção: cossec tg sec d cot g ) Calcle cot g d. Solção: cot g d [cossec ] d cossec d d cot g Onde: cot g cossec ) Calcle sec d. Solção: Mltiplicando e dividindo o integrando por sec tg, temos: sec tg sec sec tg sec d sec d sec tg sec tg d Considerando a sbstitição: sec tg d (sec tg sec ) d Assim, sec d d ln ln sec tg 6) Calcle cos sec d. Solção: Mltiplicando e dividindo o integrando por cossec cot g, temos:

14 cossec cot g cossec cossec cot g cossec d cossec d d cossec cot g cossec cot g Considerando a sbstitição: cossec cot g d ( cossec cot g cossec ) d Assim, cos sec d d ln ln cossec cot g 7) Usando resltados anteriores, calcle sec d. Solção: sec d sec { sec d v v d sec tg tg sec tg d dv sec tg d sec tg sec (sec sec tg ) d sec tg sec d sec d sec tg sec d ln sec tg Onde: sec d sec d sec tg d e dv sec d v tg tg sec sec d ln sec tg Assim, sec d sec tg ln sec tg sec d [sec tg ln sec tg ] 8) Mostre qe cossec d [cossec cot g ln cossec cot g ]. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Calcle as integrais indefinidas: a) e d Resposta: ( ) e b) e d Resposta: e ( ) c) ln d Resposta: fazendo ln e dv d > ln d) ln d Resposta: fazendo: ln e dv d ln

15 e) sec d Resposta: fazendo: e dv sec d tg ln cos f) (ln ) d Resposta: (ln ) ln g) (ln ) d Resposta: (ln ) (ln ) h).e d Resposta: e i) e - sen d Resposta: e - (cos sen ) j) e d Resposta: fazendo: e dv e d ( ) e ) cos d Resposta: fazendo: e dv. cos d ( sen cos ) l) e - cos d Resposta: fazendo: e - e dv cos d e (sen cos ) n m) ln d Resposta: n ln n n ( n ) INTEGRAIS QUE RESULTAM EM FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: ARCO TANGENTE E ARCO SENO MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO SIMPLES De acordo com as derivadas calcladas no capítlo de derivadas, temos: d arc tg Eemplos: ) d... arc tg Solção: d d d d d arc tg arc tg d d Fazendo: d d d ) d... arc tg Solção: d d d d d d d arc tg arc tg

16 d Fazendo: d d d 6 6 ) d... arc tg d 6 6 d arc tg arc tg arc tg Solção: d d d Fazendo: d d d d Racionalizando: 6 6. e.. 6 ) Sabendo qe d arc tg, mostre qe: d arc tg, com a a a Solção: d d d d a a a a a a a a d d arc tg arc tg a a a a a d Fazendo: a d d a d a ) d... ln( 9) arc tg 9 Solção: d 9 9 d 9 d d d 9 d dv 9 v d dv ln arc tg v ln ( 9) arc tg v d d Fazendo: 9 d e dv v dv d d d 6) d... arc tg d Solção: d tg tg d arc arc a R

17 d d Fazendo: d d REFERÊNCIAS O presente Material é ma adapatação da Apostila de Cálclo I do Prof. Dr. José Donizetti de Lima, por Prof. Dra. Dayse Regina Batists. Referências da versão original: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálclo A: Fnções, Limite, Derivação, Integração, a ed. São Palo: Marow Boos, 99. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálclo B: Fnções de Várias Variáveis, Integrais Dplas e Triplas. São Palo: Marow Boos, 999. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálclo C: Fnções Vetoriais, Integrais Crvilíneas, Integrais de Sperfície. São Palo: Marow Boos, 999. GUIDORIZZI, H. L. Um Crso de Cálclo, a ed. Vol. I, São Palo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 00 GUIDORIZZI, H. L. Um Crso de Cálclo, a ed. Vol. II, São Palo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 00 GUIDORIZZI, H. L. Um Crso de Cálclo, a ed. Vol. III, São Palo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 00 GUIDORIZZI, H. L. Um Crso de Cálclo, a ed. Vol. IV, São Palo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 00 HOFFMANN, L. D., Cálclo: Um Crso Moderno e sas Aplicações, 7 a ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 00. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálclo Diferencial e Integral. Vol. I, São Palo: IBEC Institto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Palo, 98 RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálclo Diferencial e Integral. Vol. II, São Palo: IBEC Institto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Palo, 98 Bibliografia de Apoio: ANTON, H. Cálclo, m novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Booman, Vol.I, 000. ANTON, H. Cálclo, m novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Booman, Vol.II, 000. LEITHOLD, L. O Cálclo com Geometria Analítica. Vol. I, São Palo: Harbra, 986. LEITHOLD, L. O Cálclo com Geometria Analítica. Vol. II, São Palo: Harbra, 986. MUNEN, F. Cálclo. Vol. II, Rio de Janeiro: Editora Ganabara Dois S.A., 98. LARSON, H. E. Cálclo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 99. SWOKOWSKI, E. W. Cálclo com Geometria Analítica.. ed. Vol. I, São Palo: Marow Boos, 99.

18 SWOKOWSKI, E. W. Cálclo com Geometria Analítica.. ed. Vol. II, São Palo: Marow Boos, 99. SIMMONS, G. Cálclo com Geometria Analítica. São Palo: McGraw-Hill, v., 987.