RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I

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1 SÇÃO STRUTURS RTMNTO NGNHRI IVI FU IÊNIS TNOOGI UNIVRSI NOV ISO RSISTÊNI MTRIIS I roblemas 1. omplementos de stática 2. ascas Finas xissimétricas 3. abos 4. sforço xial em eças ineares 5. Flexão em eças ineares João arlos Gomes Rocha de lmeida

2 1. omplementos de stática 1. lassifique as seguintes estruturas planas quanto às estatias exterior, interior e global, justificando. omente a boa ou má distribuição das ligações interiores e exteriores. m caso negativo proponha soluções que transformem o mecanismo em uma estrutura estável. Figura 1-1 Figura 1-2 Figura 1-4 Figura 1-3 2

3 Figura 1-5 Figura 1-6 Figura 1-7 Figura 1-8 3

4 2. onsidere as estruturas esquematizadas. a. etermine todas as reacções de apoio. b. Trace os diagramas de esforços da estrutura, indicando todos os valores necessários à sua perfeita definição. 15,0 kn/m 40,0 kn 2,0 2,0 2,0 2,0 Figura ,0 kn/m 10,0 kn/m 40,0 kn 4,0 4a F G M 0 4,0 a a a a Figura 1-10 Figura ,0 kn/m 3,0 3,0 kn F 5,0 knm 2,0 2,0 4,0 4,0 Figura

5 2,0 kn/m 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Figura 1-13 q R R Figura 1-15 Figura kn/m 3,0 4 kn 3,0 Figura

6 3 kn/m 3 kn/m 3 kn/m 3 kn/m 5 kn lanta 2,0 4,0 2,0 5 kn Figura onsidere a viga simplesmente apoiada sujeita a n cargas concentradas igualmente espaçadas. carga total aplicada é, logo a intensidade de cada carga é n. O comprimento da viga é, logo o espaçamento entre as cargas é ( n+ 1). n n... n... n + 1 n + 1 n + 1 Figura 1-16 a. etermine o momento flector máximo na viga. b. ompare o resultado anterior com o valor obtido para a mesma viga sujeita a uma carga uniformemente distribuída com intensidade q tal que q=. 6

7 2. abos 4. O cabo está sujeito a duas cargas concentradas, como se representa na figura. etermine: a. a distância h; b. as reacções nos apoios; c. a força de tracção máxima no cabo. 2 m h 5 m 10 kn 4 m 8 kn 9 m Figura O cabo representado na figura encontra-se sujeito ao seu peso próprio, o qual é igual a 60 N/m. onsidere que a forma do cabo é uma parábola. a. etermine a força de tracção máxima no cabo; b. etermine o comprimento do cabo c. dmitindo que a flecha f pode variar, determine o valor de f para o qual a tracção máxima no cabo é a menor possível. f = 4 m 20 m Figura Resolva o roblema 5, considerando agora que a forma do cabo é uma catenária. 7

8 3. ascas Finas xissimétricas 7. Um reservatório consiste numa casca cilíndrica de eixo vertical tapada na base por uma casca semiesférica, como indicado. O peso do sistema é suportado por um apoio contínuo distribuído ao longo do perímetro superior do cilindro. O reservatório encontra-se cheio com um líquido de peso específico γ. etermine: R a. s tensões circunferenciais e longitudinais máximas na região cilíndrica. b. s tensões máximas na região semiesférica. H t R Figura ois cilindros de parede fina encontram-se dispostos em paralelo como mostrado na figura. Os cilindros interior e exterior são de cobre e aço, respectivamente. etermine as tensões circunferenciais em cada material devidas a um aumento de temperatura de 35º. espreze os efeitos introduzidos pela expansão longitudinal dos cilindros. 0,50 0,51 ço 0,52 α α aço aço cobre cobre = 205 Ga = º = = 90 Ga º obre Figura eduza a expressão da extensão volumétrica de um cilindro delimitado por uma casca cilíndrica de parede fina submetida a uma pressão uniforme interna p. s extremidades da casca encontram-se limitadas por lajes circulares. dmita que a extensão radial é constante ao longo do comprimento. 8

9 3. sforço xial em eças ineares 10. Uma barra longa com a forma de um cone de revolução de comprimento e diâmetro d na base encontra-se suspensa na vertical sob acção do seu peso próprio (ver figura a). barra tem peso próprio γ e módulo de elasticidade. d a Figura 3-1 b a. etermine o deslocamento do vértice da barra cónica. b. Se a mesma quantidade de material for utilizada numa barra prismática de secção circular e comprimento (ver figura b), determine o correspondente deslocamento na extremidade livre. 11. etermine a forma que o pilar representado na figura deve ter tal que a tensão seja igual em todas as secções transversais. onsidere que o pilar está sujeito à força e que o seu peso próprio por unidade de volume é γ. Figura 3-2 9

10 12. onsidere a barra encastrada no topo e sujeita à acção do seu peso próprio. 1 l 1 γ 1 =80 kn/m 3 1 =200 Ga 1 =30 mm 2 l 1 =5 m γ 2 =60 kn/m 3 2 =250 Ga 2 =40 mm 2 l 2 =6 m 2 l 2 Figura 3-3 a. etermine o campo de deslocamentos na direcção vertical. b. etermine o deslocamento máximo na barra. 13. alcule as tensões normais na secção de betão armado da figura quando esta se encontra submetida a um esforço axial de 250 kn. dmita que os materiais têm comportamento elástico linear, que a aderência entre o aço e o betão é perfeita e que as secções se mantêm planas após deformação. 8f12 0,3 aço =210 Gpa betão =14 Ga 0,3 Figura

11 14. onsidere a barra representada na figura, constituída por dois materiais perfeitamente aderentes. aço N N 10,0 betão 0,2 0,3 aço =210 Gpa betão =30 Ga 0,5 Figura 3-5 a. etermine o ponto onde os elementos de redução das tensões são equivalentes apenas a N. b. Supondo que o aço é substituído por betão, determine a área de betão necessária para se terem as mesmas características de deformabilidade. c. etermine as extensões, ε 33, e as tensões, σ 33, instaladas nos dois materiais. 15. barra representada na figura, de secção transversal uniforme, possui uma placa na sua extremidade inferior. Um peso é libertado do topo da barra e cai livremente ao longo da barra até atingir a placa. etermine o alongamento máximo e a tensão axial máxima na barra devidos ao impacto do peso na placa. Figura

12 16. barra prismática de comprimento possui a meio vão (ponto ) um apoio elástico de rigidez k. Um bloco de massa m é largado sobre o ponto à altura h. m h k 2 2 Figura 3-7 dmitindo que a barra é rígida e de peso desprezável, mostre que a expressão para o deslocamento máximo no ponto, δ, devido ao impacto do objecto é: δ 4mg kh = k 2 mg Um tirante comprido apoiado na sua extremidade superior é introduzido num poço de petróleo e suporta uma carga na extremidade oposta. O material do tirante tem uma relação constitutiva bilinear, como mostrado na figura, onde 1 e 2 são os declives das duas partes do diagrama. σ 100 Ma 2 =12 Ga 1 =75 Ga 0 ε Figura 3-8 etermine o alongamento da barra devido ao seu peso próprio e à força sendo o peso 3 2 específico γ = 28 kn/ m, a área da secção transversal = 960mm, o comprimento = 360 m e a carga = 92kN. 12

13 18. onsidere o sistema indicado na figura, constituído por cinco barras biarticuladas. Ω = const. Figura 3-9 a. etermine os esforços nas barras. b. alcule o deslocamento relativo entre os pontos e devido à deformação axial elástica das barras utilizando: 1. princípio da conservação de energia; 2. princípio dos trabalhos virtuais; 3. considerações geométricas. 19. s barras e possuem secção transversal constante, como indicado na figura. Os apoios nas extremidades impedem todos os movimentos. O sistema encontra-se submetido a uma carga concentrada no ponto e a uma variação uniforme de temperatura na barra. 1 = 200 Ga Ω 1 = 40 mm 2 α 1 = 10 5 /º 2 = 100 Ga Ω 2 = 60 mm 2 α 2 = 2x10 5 /º T 3 m 3 m Figura 3-10 etermine, em função de e T: a. as reacções de apoio em e ; b. o diagrama de esforço axial nas barras; c. o deslocamento do ponto ; d. o valor de T para que o esforço axial na barra seja nulo. 13

14 20. onsidere a treliça representada na figura seguinte. ( ) ( ) ( ) Ω = Ω = Ω = Ω ( Ω) ( Ω) ( Ω) Figura 3-11 alcule os deslocamentos vertical e horizontal do ponto, ara tal utilize: a. equações de compatibilidade de deslocamentos; b. princípio dos trabalhos virtuais. δ v e δ h, respectivamente. 21. onsidere a treliça representada na figura. Todas as barras têm rigidez axial Ω e coeficiente de dilatação térmica linear α. ara além das cargas concentradas aplicadas nos pontos e, a estrutura está sujeita a uma variação uniforme de temperatura na barra F de valor T. Nestas condições, calcule: T F Ω= const. Figura 3-12 a. o grau de indeterminação estática da estrutura; b. os esforços axiais nas barras; c. o deslocamento vertical em. 14

15 22. treliça seguinte está sujeita a um aumento de temperatura de 40º na barra, a um assentamento de apoio vertical nos pontos, δ = 100, e a uma carga vertical de 20 kn actuante no ponto. etermine os correspondentes esforços normais nas barras, sabendo que todas elas têm módulo de elasticidade = 200 Ga e coeficiente de dilatação linear α = 12 x 10 6 /º. 20 kn Ω 2Ω Ω 2 T Ω Ω Figura dmite-se que os cabos da estrutura seguinte têm comportamento elasto-plástico perfeito, com = 200 Ga e σ c = 200 Ma. deformabilidade da barra pode ser desprezada face à das restantes barras. Nestas condições, determine:, Ω, Ω 3 m F 4 m 2 m 2 m Figura 3-14 a. a carga de cedência da estrutura; b. o deslocamento vertical no ponto F para = c ; c. a carga última e os esforços no instante do colapso. 15

16 24. Uma barra heterogénea é constituída por dois materiais e, ambos com 5 coeficiente de dilatação linear α = 0,6 10 /º. O material da barra pode considerar-se rígido-plástico e o da barra elasto-plástico com endurecimento linear, como representado na figura. 250 mm 250 mm σ [ Ma] Material Material 0,01 ε Figura 3-15 Trace os diagramas de variação de tensão e das deformações com a variação de temperatura em ambas as barras. espreze os efeitos tridimensionais admitindo ν = No poste representado na figura, os tirantes e são de aço macio com um diagrama σ-ε elasto-plástico perfeito. Ω F =210 Ga Ω=100 mm 2 3,0 σ [ Ma] Ω ε 3,0-235 Figura ,0 0,3 a. etermine a carga máxima que pode actuar na estrutura sem provocar deformações permanentes nos tirantes. b. etermine a carga que provoca o colapso plástico da estrutura. 16

17 26. onsidere a estrutura representada na figura, onde todas as barras biarticuladas têm igual rigidez Ω. deformabilidade por flexão e por esforço transverso da barra horizontal pode ser desprezada face à deformabilidade das barras biarticuladas, as quais têm comportamento elasto-plástico perfeito. l F 3 l 4 barra rígida l l σ σ c σ c l = 4 m σ c = 235 Ma = 210 Ga Ω = 300 mm 2 ε Figura 3-17 a. etermine os esforços nas barras em regime elástico e o deslocamento da barra rígida em função de. b. etermine a carga de cedência, c, e o deslocamento da barra rígida para essa situação. c. etermine a carga de colapso, u, e o deslocamento da barra rígida para essa situação. d. Na iminência do colapso, descarrega-se a estrutura. alcule o correspondente deslocamento residual da barra rígida. e. Tendo em conta as alíneas anteriores, trace o diagrama carga-deslocamento da barra rígida. f. Se a estrutura voltar a ser carregada, os valores das cargas de cedência e de colapso serão diferente dos valores determinados acima? Justifique. 17

18 27. onsidere a estrutura representada na figura, na qual a barra tem a secção indicada. p ( Ω ) 1 ( Ω) 1 ( Ω ) 2 ( Ω) 2 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 Material Material σ σ 348Ma a = 200Ga ε 3Ma ε b = 30Ga 348Ma 30Ma p = 10 kn / m ( ) ( ) Ω = kn 5 Ω = 10 kn Ω = 10cm a Secção da barra 2 Ω = 100cm b 2 Material Material Figura 3-18 a. etermine as tensões nos materiais que constituem a secção do tirante devidas à carga p. b. alcule o deslocamento vertical no ponto devido à carga p, utilizando: 1. princípio dos trabalhos virtuais; 2. compatibilidade de deformações. c. etermine a carga de colapso da estrutura, p u, associada à plastificação da barra, utilizando: 1. equilíbrio de forças; 2. princípio dos trabalhos virtuais. 18

19 4. Flexão em eças ineares 28. viga representada na figura encontra-se submetida a um estado de flexão pura no tramo. secção transversal da viga é um perfil IN 140 (I = cm 4 ). =10 kn IN Figura 4-1 etermine: a. a tensão normal máxima na viga; b. o raio de curvatura no troço central; c. a flecha na secção ; d. o ângulo entre as secções sob os apoios da viga deformada. 29. onsidere a estrutura seguinte. p=60 kn/m F a b a Figura 4-2 a. etermine a posição das rótulas de modo a tirar o máximo partido da secção transversal da viga F. b. imensione para a situação da alínea anterior a secção transversal a utilizar na viga F. Utilize um critério de tensões admissíveis ( σ = 210 Ma ). adm 19

20 30. Um arame com módulo de elasticidade, diâmetro t e comprimento é flectido por momentos M 0 originando um arco de circunferência cujo ângulo central é α. t M0 M 0 α Figura 4-3 a. Trace os diagramas de tensões e deformações longitudinais. b. Se o ângulo central aumentar, a tensão máxima irá aumentar ou diminuir? 31. viga esquematizada suporta uma força concentrada e tem a secção indicada na figura. Se a tensão admissível for 120 Ma, determine o máximo valor de ,5 1,5 Figura [mm] 32. onsidere uma viga de aço com secção em U, carregada como mostrado na figura. etermine as máximas tensões de tracção e compressão devidas à flexão. 20 kn/m 10 kn m Figura 4-5 [mm] 20

21 33. Uma viga de secção transversal circular tem a geometria indicada na figura e está sujeita a uma força vertical a meio vão. etermine a localização do ponto onde ocorre a máxima tensão de flexão e o valor dessa tensão. y d 2d x 2 2 Figura onsidere uma viga em consola com secção rectangular de largura b x e altura hx variáveis. viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída q. Se a largura variar linearmente em x de acordo com a expressão bx = bx, determine a expressão de h x para que a tensão máxima em todas as secções da consola seja a mesma. q h x h h x h x b x b Figura

22 35. viga representada na figura tem secção transversal em com as características geométricas indicadas. =5kN 200 x 20 G I x =I y =2880, 070 cm 4 xy = -1705,263 cm 4 57, ,0 m 57,368 y [mm] 200 Figura 4-8 etermine: a. o diagrama de tensões normais na secção de encastramento; b. a posição da linha neutra. 36. onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura. p=14 kn/m N N 5,0 10,0 Secção Transversal - 0,25 0,8 1,25 N 0,25 Figura

23 a. esenhe o núcleo central da secção -, indicando as coordenadas dos seus vértices. b. etermine a força N a aplicar ao nível da extremidade inferior do núcleo central para que não ocorram tensões de tracção na secção de momento flector máximo. c. Trace os diagramas de tensões normais na secção onsidere o pórtico triarticulado representado na figura, cuja secção transversal é constituída por um perfil H kn/m - 1,5 1,5 1, ,5 1,5 1,5 1,5 Y 260 H =118,40 cm 2 I x =14919 cm 4 X X I y =5135 cm ,5 Y [mm] Figura 4-10 a. ocalize o centro de pressões das secções -, - e -. b. esenhe o núcleo central da secção, indicando a posição de todos os vértices. c. Represente o diagrama de tensões normais na secção -, indicando os valores significativos e a posição da linha neutra. 23

24 38. Uma viga de aço com secção em T é reforçada por duas vigas de madeira madeira = 12,5 Ga aço = 200 Ga [mm] Figura 4-11 Sabendo que a secção está sujeita a um momento flector de +50 knm, determine: a. a tensão máxima na madeira; b. a tensão máxima no aço. 39. Uma laje de betão armado ( betão = 30 Ga, aço = 210 Ga) tem 12,5 cm de espessura. Os varões de aço têm 16 mm de diâmetro, 125 mm de afastamento e estão colocados 25 mm acima da face inferior da laje. Sabendo que o betão não resiste à tracção e que na laje actua um momento flector por unidade de comprimento de +12 knm/m, determine: a. a tensão máxima no betão; b. a tensão no aço. 40. placa indicada está assente num solo com tensão normal admissível de 400 ka. 2 m 1 m 300 kn M Figura 4-12 a. ara M = 80 knm, trace os diagramas de tensões normais no solo. b. ara M = 120 knm, trace os diagramas de tensões normais no solo. c. etermine o maior momento M que pode ser aplicado à placa. 24

25 41. etermine a elástica das seguintes estruturas. H I = const. 50 kn I 2 I I 1,0 3,0 1,0 Figuras 4-13 e Numa viga simplesmente apoiada de vão e largura s acumula-se um líquido de peso específico γ. O consequente aumento da deformação da viga faz com que se acumule mais líquido. Suponha que a configuração da viga antes da aplicação do líquido é w 1 (x) = w 0 sen(πx/). p = sγ w x w 1 w 2 y Figura 4-15 a. etermine a elástica da viga. b. Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector. 25

26 43. Utilizando os teoremas de Mohr, determine a força e o momento M que é necessário aplicar na extremidade de uma viga em consola de comprimento para que a flecha na extremidade livre seja δ e a rotação seja nula. onsidere que a rigidez de flexão I é constante ao longo do eixo longitudinal da peça. 44. onsidere a estrutura seguinte. /2 arra I Ω= arra I /2 /2 Figura 4-10 a. etermine o diagrama de momentos flectores da estrutura. b. etermine o deslocamento vertical em devido ao carregamento indicado. 45. onsidere a estrutura seguinte. arra K I h=/10 /2 /2 Figura 4-11 a. Mostre que o momento flector na secção de encastramento pode variar entre e + 4, dependendo do valor da rigidez da mola. b. alcule o deslocamento vertical no ponto. c. etermine os esforços na estrutura devidos apenas a uma variação diferencial de temperatura na barra igual a + T e T nas faces inferior e superior da viga, respectivamente. 26

27 46. Quando descarregada, a face inferior da viga metálica (I = 8400 kn m 2 ) representada na figura, está a uma distância d=0.3 cm do apoio central. p=6 kn/m 0,3 cm 3 m 3 m Figura 4-12 etermine: a. a reacção vertical no apoio ; b. a rotação no apoio. 47. onsidere a estrutura hiperstática representada na figura. O tirante tem módulo de elasticidade igual a 200 Ga e a área da sua secção transversal é igual a 10 cm 2. O módulo de elasticidade da barra é 30 Ga. 10 kn Secção S 1,0 x 1 50 S x 2 30 [cm] 45º 4,0 Figura 4-13 etermine: a. o deslocamento vertical do ponto (considere a deformabilidade axial e de flexão); b. o diagrama de tensões normais na secção S; c. as coordenadas do centro de pressões na secção S. 27

28 48. Um projéctil, com 20 g de massa e velocidade de 300 m/s, atinge o ponto da viga esquematizada, a qual tem secção quadrada. Sabendo que o material da viga tem um módulo de elasticidade de 210 Ga e uma tensão admissível de 160 Ma, dimensione a secção transversal da viga. 0,5 1,5 Figura O arco semicircular representado na figura tem secção rectangular de 0,6 x 1,0 m. 90 kn =10 Ga 0,6 3,6 3,6 0,6 Figura 4-16 etermine: a. as tensões normais na secção ; b. a flecha no ponto (despreze a deformabilidade por esforço axial). 50. O anel representado na figura tem um diâmetro médio de 500 mm e uma secção transversal circular com um diâmetro de 80 mm. ara uma tensão admissível de 40 Ma à tracção e à compressão, calcule a carga máxima admissível. Figura