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1 A segir, ma demonstração do livro. Para adqirir a versão completa em papel, acesse:

2 CÁLCULO VOLUME ZERO - REGRAS E PROPRIEDADES INICIAIS DE DERIVAÇÃO f() k f( ) k k k 0 f'() lim lim 0 0 f'() 0 Veja qe o limite de 0 dividido por números cada vez menores será zero, pois 0 dividido por qalqer número diferente de 0 é 0. Geometricamente, a reta tangente a ma reta horizontal é a própria reta horizontal com coeficiente anglar igal a 0: k f() = k m = 0 Abordamos a fnção derivada até agora apenas em se caráter conceital. Se todas as aplicações de derivação se concentrassem em obter retas tangentes, não haveria necessidade de encontrar fnções derivadas mais rapidamente. Ocorre, porém, o contrário: normalmente, as fnções derivadas estão inseridas dentro de contetos maiores, sendo aplicações destes, e, portanto, desejável sa rápida obtenção. Por isso, foram desenvolvidas as regras de derivação RD qe, em combinação com as propriedades PD, aceleram a obtenção de ma infinidade de fnções reais. (RD) Fnção Constante f() k f'() 0 A derivada de ma fnção constante é igal a zero. A colna ao lado jstifica tal regra com base na definição de derivada. Eemplos: () 6 '() 0 v() v'() 0 0 w() e w'() 0 Observe qe todas as fnções do qadro anterior são fnções constantes, isto é, não dependem da variável. (RD) f() = n,n. Seja n m número natral. Assim: n f() n n n f( ) ( ) n p() n n p() f'() lim 0 n n p() n lim n p().0 0 n f'() n n n f() f'() n Apesar de epressarmos o epoente da variável com a letra n (e de também demonstrarmos inicialmente a regra considerando n m número natral), pode-se provar qe tal epoente n poderá ser mesmo qalqer número real (veja último eercício do capítlo). Eemplos de aplicações: Veja qe f(+) foi obtido através da (n+)- ésima linha do triânglo de Pascal: n 0 n n p(), onde os primeiros coeficientes são intitivos e o restante da linha epresso como ma fnção p() mltiplicada pelo fator, pois todos os termos, a partir do 3º, terão epoentes igais o maiores qe para a base. Colocando em evidência no nmerador, é possível cancelar com o denominador e calclar o valor do limite. Para maiores informações sobre o triânglo de Pascal, conslte o volme Zero desta coleção () '() 5 5 v() v'() w() w'() Note qe as fnções v() e w() tiveram qe ser preparadas antes de se aplicar a regra de derivação, isto é, epressas como elevado a algm número real. Por eemplo, v() teve qe ser epressa como elevado ao número real ; w() como elevado ao número real /. Depois de derivadas, retornamos com as notações originais com epoentes positivos o radicais. Perceba a economia de esforços se compararmos aos efetados nas seções anteriores com fnções similares e obtenção da fnção derivada através da definição como limite.

3 CÁLCULO VOLUME ZERO - 3 (PD) f() = k.g() f() k g() f( ) k g( ) kg( ) kg() f'() lim 0 kg( ) g() lim 0 (PL3) g( ) g() lim k lim0 0 f'() k g'() Veja como a constante k pôde ser colocada em evidência no nmerador e, em segida, aplicada a propriedade do limite do prodto igal ao prodto dos limites (PL3): limite de k qando vai para zero é k; o º limite é a derivada de g(). f() k g() f'() k g'() Assim, se ma fnção f() pder ser entendida como o prodto de ma constante k por otra fnção g(), então, a derivada de f será k vezes a derivada de g. Usamos as iniciais PD para designar propriedade de derivação, ao contrário de RD, regra de derivação. Eemplos: () 5 5 '() 5 0 k g() k g'() v() v'() g() 7 g'() 7 k k w() 4 4 w'() ( 4 ) 5 k g() k g'() f() a() b() f( ) a( ) b( ) a( ) a() b( ) b() f'() lim 0 a( ) a() b( ) b() = lim 0 (PL) a( ) a() b( ) b() = lim lim 0 0 f'() a'() b'() Consegimos separar a fração em partes. Como o limite da soma é igal à soma dos limites (PL) e tais limites são as próprias derivadas de a() e de b(), a demonstração da propriedade (PD) está completa. (PD) f() = a() + b() f() a() b() f'() a'() b'() Esta regra nos diz qe se ma fnção f pder ser entendida como a soma de otras das fnções a() e b(), então, a derivada de f será a soma das derivadas de a() e de b(). Eemplos: 0 () '() a() b() a'() b'() v() v'() 3 a() b() a'() b'() w() w'() 0 a() b() a'() b'() f( ) f(t) f'() lim 0 e e = lim 0 e = lim e 0 e = lim e lim 0 0 f'() e e (RD3) f() = e f() e f'() e Inicialmente, colocamos e em evidência no nmerador e, em segida, aplicamos a propriedade (PL3) dos limites. O segndo limite foi obtido nm eemplo do capítlo anterior, sendo igal a, o qe concli a nossa demonstração. e f() = f'() = e Na verdade, a forma de se definir o número de Eler foi feita para qe isto acontecesse para algm número real, isto é, imnidade de e à derivação. O valor e é o número de Eles definido no capítlo anterior e vale, aproimadamente,,788. O fato de a fnção f() = e não se alterar ao ser derivada é bastante srpreendente, e isso ocorre apenas com a fnção nla g() = 0 e também com a família de fnções h() = e +k, o qe poderá ser constatado com a regra da cadeia, a ser desenvolvida ainda neste capítlo.

4 CÁLCULO VOLUME ZERO - 4 (RD4) f() =a,a e 0<a. A demonstração desta regra é bastante análoga à anterior e será cobrada em eercício avançado. O valor da base a deverá ser m número real positivo e diferente de. Esta regra, portanto, generaliza a anterior, já qe ln e =. No eemplo w(), aplicamos a fórmla do logaritmo da divisão qe é igal à sbtração dos logaritmos do nmerador e denominador. Porém, ln = 0 (0 é o epoente qe elevamos e para obter ), o qe torna o resltado final negativo. Eemplos: f() a f'() a lna () 7 '() 7 ln7 v() ( ) v'() ( ) ln w() w'() ln [ln ln0] [0 ln0] ln0 0 0 (RD5) f() = a().b() REGRA DO PRODUTO A demonstração deste resltado será incentivada em eercício avançado. Para memorizar mais facilmente, omita e verifiqe como a palavra "abelhinha" qase aparece no final da leitra de: a'b + ab'. Veja como () pôde ser entendida como o prodto de otras fnções, a() e b(). Assim, a derivada de () será dada pela regra do prodto. No final, colocamos e em evidência. f() a() b() f'() a'() b() a() b'() Assim, se ma fnção f() pder ser entendida como o prodto de das otras fnções a() e b(), então, a derivada de f() será igal à derivada de a() vezes b() mais a() vezes a derivada de b(). Eemplo: 3 () ( ) e a() b() 3 a a' 3 b e b' e '() a'b ab' 3 3 '() (3 ).e ( ).e ( 3 ).e Eemplo 6L Mostre qe, qando a() é ma fnção constante, (RD5) se degenera em (PD). Desta forma, a regra (RD5) pode ser compreendida como ma ampliação desta propriedade (PD). f() a() b() k b() f'() a'b ab' f'() 0 b() k b'() f'() k b'() Eemplo 6M Uma fnção g() é tal qe, g(5) = e g'(5) =. Se f() g(), encontre o valor de f'(5). Veja qe derivamos f() tilizando a regra do prodto, indicando g() e g (). Para calclar f (5), basta sbstitir os valores conhecidos nesta fórmla. f() g() a() b() f'() g() g'() a' b a b' f'(5) 5 g(5) 5 g'(5) f'(5) 60

5 CÁLCULO VOLUME ZERO - 5 A omissão do também provoca a palavra "abelhinha" no final da leitra do nmerador: (a'b ab')/b. Como na regra anterior, sa jstificativa também será desenvolvida em eercício avançado. Fnções racionais são aqelas epressas por A(), onde A() e B() são polinômios. B() a() (RD6) f() REGRA DO QUOCIENTE b() a() a'() b() a() b'() f() e b() 0 f'() b() b () Assim, se ma fnção f() pder ser entendida como a divisão de das otras fnções, a() e b(), então, sa derivada será dada pela fórmla deste qadro. Esta regra resolve o problema de calclar a derivada para todas as fnções racionais. 3 5 () 7 a 3 5 a' 3 b 7 b' a'b ab' 3( 7) (3 5). '() b ( 7) '() ( 7) ( 7) f( ) f(t) f'() lim 0 sin( ) sin = lim 0 sin cos sincos sin = lim 0 sin(cos ) sincos = lim 0 sin(cos ) sincos = lim lim 0 0 cos sin =sin lim cos lim 0 0 =sin 0+cos cos Derivadas de Fnções Trigonométricas (RD7) f() = sin f() sin f'() cos f'() = cos f() = sin Inicialmente, desenvolvemos o seno da soma e, em segida, colocamos sin em evidência. Aplicando (PL), o limite da soma é igal à soma dos limites e (PL3), o limite do prodto é igal ao prodto dos limites, notamos qe sin e cos são constantes em relação à variável e, desta forma, ses limites são igais a si mesmas. Finalmente, sando o resltado do eemplo 5M, conclímos. É mito interessante conclir qe a derivada de ma fnção trigonométrica é também ma otra fnção trigonométrica. Porém, tal resltado só é válido para em radianos, ma vez qe os limites tilizados na demonstração são válidos apenas para esta nidade de ânglo. Poderemos mostrar as derivadas para as demais fnções trigonométricas, cjas derivadas também dependerão de otras fnções trigonométricas. A demonstração deste resltado será pedida em eercício. (RD8) f() = cos f() cos f'() sin Em = 0, veja qe a reta tangente em f() = cos será paralela ao eio, o qe indica y =, o seja, coeficiente anglar m = 0, isto é, o mesmo qe sin 0. f() = cos f'() = - sin

6 CÁLCULO VOLUME ZERO - 6 (RD9) f() = tan Resltado a ser eplorado em eercício. f() tan f'() sec Observe como a fnção tangente (linhas cheias) é sempre crescente, o qe implica em retas tangentes inclinadas sempre para cima, o com coeficientes anglares sempre positivos. Sempre positiva, portanto, deverá ser sa derivada, o qe se confirma pois qalqer fnção elevada ao qadrado reslta em imagens positivas, como percebemos o gráfico de f'() = sec (linhas pontilhadas) sempre acima do eio. f'() = sec f() = tan Para maiores considerações sobre todas estas fnções trigonométricas, conslte o capítlo 4 (do volme Zero). (RD0) f() = cot Este resltado pode ser facilmente demonstrado sando-se a regra do qociente (RD6): cos f() cot sin (cos)'sin cos(sin )' f'() sin sinsin cos cos = sin (sin cos ) sin = csc sin De fato, partindo do conhecimento de qe a cotangente é o cosseno dividido pelo seno, aplicamos (RD6) e obtemos a identidade trigonométrica fndamental no nmerador. Como /sin, por definição, é igal a csc, a demonstração se completa. f() cot f'() c sc f() = cot f'() = -csc Ao contrário da fnção tangente, a cotangente será sempre decrescente em todo o se domínio; assim as sas retas tangentes terão inclinações sempre para baio, o qe implica em derivadas pontais sempre negativas. Isso é confirmado pelo fato de sa fnção derivada f'() ser sempre negativa (linhas pontilhadas). (RD) f() = sec f() sec f'() tan sec Veja qe, para os pontos onde a secante é decrescente, sa derivada (linha pontilhada) está negativa (abaio do eio ) e vice-versa. Veja qe qando a secante tem reta tangente paralela ao eio (coeficiente anglar zero), sa derivada pontal é zero. f() = sec f'() = tan.sec É sempre importante lembrar qe a secante, por definição, é a fnção cos, enqanto qe a cossecante é. Partindo deste fato e também sin da regra do qociente (RD6), fica mito fácil demonstrar esta regra (RD) e também a (RD) qe se segirá.

7 CÁLCULO VOLUME ZERO - 7 (RD) f() = csc A demonstração desta regra também será pedida em eercício. f() csc f'() cot csc Veja qe o º ramo da cossecante é crescente e depois decrescente e sa derivada (linha pontilhada) acompanha esta variação, sendo positiva e depois negativa. Comportamentos invertidos ocorrerão para o º ramo e sa derivada. f() = csc f'() = -cot.csc Estas regras combinadas com as propriedades facilitam a obtenção de mitas fnções derivadas. Usaremos os eemplos a segir para mostrar como tal combinação poderá ser feita. A fnção f() pode ser entendida como o prodto de otras das, a() = e e b() = sin. Assim, aplicamos a regra do prodto (RD5). Mas para derivar a() e b(), necessitamos de (RD3) e (RD7). Finalmente, colocamos e em evidência. Eemplo 6N Obtenha a fnção derivada de f() e sin. f() e sin a e a' e b sin b' cos f'() a'b ab' e sin e cos f'() e (sin cos ) Aqi, a fnção f() pode ser entendida como a divisão de otras das fnções de derivadas conhecidas, o qe nos inclina a aplicar a regra do qociente (RD6). Para obter a', samos (RD8) e para obter b', samos (RD) combinada a (PD), pois b() = + = +. Como todos os termos do nmerador eram negativos, colocamos o sinal em evidência (mltiplicação por ) e mdamos para todos positivos no nmerador. Eemplo 6O cos Obtenha a fnção derivada de f(). cos f() a cos a' sin b b' a'b ab' sin ( ) cos f'() b ( ) sin sin cos f'() ( ) Observe os gráficos de f() e f'() em linhas cheias e pontilhadas respectivamente. Note como se relacionam o comportamento de f() (crescente o decrescente) com os sinais de sa derivada f'(). Veja qe ambas fnções não estão definidas para =. - f() f'()

8 CÁLCULO VOLUME ZERO - 8 EXERCÍCIOS IMEDIATOS Dica : para todas estas fnções, tente sar somente as regras e as propriedades citadas. Em h(), escreva a raiz cúbica como epoente fracionário e, em segida, a raiz qarta também, obtendo potência de potência, qe pode ser resolvida mltiplicando-se os epoentes (propriedade (P3) da potenciação de números reais). Em k(), tilize a propriedade (P) e separe os epoentes para das bases. Em m(), escreva o radical como epoente e depois apliqe a propriedade distribtiva. Dica : em b(), apliqe a propriedade do logaritmo (PLOG). Em e(), faça 0 = 0.0. Em g(), distriba o radical para o nmerador e o denominador e tire da raiz qadrada. Obtenha a derivada de e separadamente antes de aplicar a regra do qociente (RD6). Dica 3: em c(), sbstita cosec por /sin e derive. Em d(), sbstita tan por sin/cos. Em i(), desenvolva o binômio e identifiqe a identidade fndamental, simplificando. Em j(), faça o mesmo, identifiqe a identidade fndamental da trigonometria e a sbstita por. r() s() ) Utilizando as regras de (RD) a (RD4) e as propriedades (PD) e (PD) de derivação, obtenha as fnções derivadas de: 5 3 a() 3 e b() c() 6 d() 4e e 4e e() f() g() h() 3 5 i() j() ( ) 4 k() e l() 3 m() o() n() 9 p() 5 e ) Utilizando as regras de (RD) a (RD6) e as propriedades (PD) e (PD) de derivação, obtenha as fnções derivadas de: a() e ( ) b() 5 e c() e 5 d() e() 0 f() ( ) (3 ) g() 4 4 e 3 4 h() 3 3) Usando todas as regras e propriedades vistas até então, obtenha as fnções derivadas de: a() 0sin cos b() tan 00 c() sin cs c d() sin tan e() cos f() tan g() sin e h() sin sin i() (sin cos ) j() cos 4) A fnção r() é conhecida como bra de Maria de Agnesi e é mostrada no gráfico ao lado. Encontre: a) a fnção derivada de r(). b) a eqação da reta tangente no ponto de =. c) o ponto em qe a reta tangente tem coeficiente anglar igal a 0. 5) A fnção s() é conhecida como serpentina e é mostrada no gráfico ao lado. Encontre: a) a fnção derivada de s(). b) a eqação da reta tangente no ponto de = 0. c) os pontos em qe a reta tangente tem coeficiente anglar igal a 0. d) os pontos em qe a reta tangente tem coeficiente anglar igal a /5.

9 CÁLCULO VOLUME ZERO - 9 EXERCÍCIOS INTERMEDIÁRIOS 4 3 6) Considere a fnção f() Identifiqe todos os ses pontos qe têm retas tangentes com coeficiente anglar igal a zero. y 7) A ilstração ao lado mostra ma fnção f() e sa derivada f'(). Identifiqe-as. 8) Identifiqe o ponto no intervalo (0, /) da fnção cos f() sin qe apresenta reta tangente com coeficiente anglar igal a /3. 9) Considere a fnção f() e e 57. Obtenha o ponto cja derivada vale 3. EXERCÍCIOS AVANÇADOS 0) Obtenha a eqação de ma reta qe seja tangente aos gráficos das fnções f() e g() /. ) Utilizando o resltado demonstre a regra (RD4). a lim 0 lna, obtido no capítlo 5, ) Regra do Prodto (RD5). a) Partindo de f() a() b(), escreva f'() como limite e some e sbtraia a() b( t) no nmerador. b) Coloqe b(+t) e a() em evidência, dividindo o limite em dois conforme a propriedade (PL). c) Usando (PL3) por das vezes, concla o resltado. 3) Regra do Qociente (RD6). a) Partindo de f() a() / b(), escreva f'() como limite e some e sbtraia a() b() no nmerador. b) Coloqe b() e a() em evidência, dividindo o limite em dois conforme a propriedade (PL). c) Usando (PL3) por das vezes, concla o resltado. 4) Regra da fnção seno (RD7). a) Se sin(a B) sina cosb sinbcos A e sin(a B) sina cosb sinbcos A, então mostre qe sin(a B) sin(a B) sinbcos A. b) Se f() sin, escreva f'() como limite e fatore a diferença no nmerador conforme o resltado do item (a), obtendo os valores para A e B. c) Apliqe (PL3) e o limite fndamental trigonométrico para conclir qe f'() cos. Dica 6: escreva as fnções em termos de seno e cosseno e tilize a (RD6) para obter as sas derivadas. 5) Demonstre a regra de derivação (RD8) tilizando a definição de f'() cos como limite, o limite fndamental trigonométrico e lim ) Demonstre as regras de derivação (RD9), (RD) e (RD).

10 CÁLCULO VOLUME ZERO - 0 Visite o site e conheça melhor estes e otros livros didáticos.