MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

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1 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL MÉTODOS DE INTEGRÇÃO Nem todas as integrais são imediatas segndo o formlário dado, porém algns métodos simples ajdam a obter as primitivas das fnções qe não têm integração imediata. INTEGRÇÃO POR SUSTITUIÇÃO O processo consiste em sbstitir a variável da fnção integranda por otra tal qe se recaia com algm artifício e facilidade nma das integrais imediatas. Não há ma regra fia para isso. É necessário qe se faça bastante eercícios até saber optar pela melhor sbstitição. g f ) d. través da sbstitição f ) por f ) o d f ) o ainda, d d f ) d, vem: Seja a epressão [ f ) ] [ f ) ] f ) d g ) d h ) h [ f ) ] g admitindo qe se conhece g ) d. d, O método da sbstitição de variável eige a identificação de e o e d na integral dada. QUESTÕES RESOLVIDS Qestão 0 alcle as integrais indefinidas: a) ) d Fazendo o, temos: d d d d d d ) d d ) b) n d Fazendo n o n, temos: d d d d d d d d n n

2 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL 0 c) ) d Fazendo o, temos: d d d d d d ) ) d d d d d) ) Fazendo o, temos: d d d d d d d d d ) ) ) d d e) cos ) d Fazendo o, temos: d d d d d d cos ) d cos d sen c sen ) f) d Fazendo o, temos: d d d d d d d )

3 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL g) ) d Fazendo o, temos: d d d d d d ) ) d d d h) e tg sec d Fazendo tg o tg, temos: d sec d tg e sec d e d e e tg i) cos ) d Fazendo, temos: d d cos ) d cos d sen sen ) j) sen cos d Fazendo sen, temos: d cos d sen cos d sen ) cos d sen d k) tg sec d Fazendo tg, temos: d sec d tg sec d d tg

4 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL l) cos d Fazendo, temos: d d d d d d cos d cos d cos d sen sen m) cos d Note qe cos cos cos sen ) cos. ssim: cos d sen ) cos d cos d sen cos d cos d cos d sen cos d Resolvendo cada ma das integrais separadamente, temos: cos d cos d sen cos d I cos d sen II sen cos d d cos d I II, fazendo sen, vem: II sen cos d sen d Daí, temos: cos d I II sen cos d sen sen cos d sen o simplesmente sen cos d sen

5 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL INTEGRÇÃO POR DEOMPOSIÇÃO D FUNÇÃO INTEGRND EM FUNÇÕES MIS SIMPLES Integrais do tipo: d podem ser obtidas decompondo-se a fração forma:. na d d d d Temos então: d e d onde: arc tg Portanto: d arctg EXEMPLOS alclar as integrais: a) d Note qe essa não é ma integral imediata. Mas, podemos observar qe a fração pode ser escrita como soma de otras cjos denominadores são os fatores de º gra de, o seja, ) e ). ssim:, logo: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) omparando os termos, temos: e 0 Logo: Então: d d d d d d [ ] ) )

6 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL b) d 0 e 0 ) ) 0 a c b a ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) omparando os termos: 0 e Integrando os dois membros, temos: d d d d d d d d d d plicamos propriedade de logaritmos) d

7 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL c) d 0 e ) ) ) )] [ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) omparando os termos: e d d d d d d) d 0 ) ) ) 0 Resolvendo o sistema, encontramos:, e, logo: 0 d 0 d d d d 0

8 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL 8 e) d Temos qe: ) ) D Eliminando as frações, temos: ) ) ) ) D E qe resolvendo o sistema formado, temos:,, e D ssim, nossa decomposição em frações parciais, fica: Logo: d d d d d d d d d d d ) ) f) d ) ) ) D Organizando e resolvendo o sistema formado, temos:,, 0 e D Portanto, nossa decomposição em frações parciais é: Logo: d d d d tg arc d ) )

9 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL INTEGRÇÃO POR PRTES Para o cálclo de integrais da forma f ) ) d, vamos retornar, de início à regra de derivação do prodto de das fnções: f ) g )] f ) g ) f ) ) Daí, temos qe: f ) ) f ) g )] f ) g ), o qe integrando membro a membro, teremos: f ) ) d f ) g ) ] d f ) g ) d omo ma primitiva de f ) g ) ] é f ) g ), vem: f ) ) d f ) g ) f ) g ) d Percebe-se, então, qe, para o cálclo da integral do prodto de das fnções, o qe se coloca como fndamental é a escolha de qal das fnções será chamada de f) e qal será chamada de g ), já qe a esperança no so da fórmla acima é de qe a integral em qe cairemos seja mais simples do qe a integral pedida. Eemplo: Resolver cos d, onde d d Vamos considerar ed cos dv, onde cos d dv assim, se cos d dv, então sen v logo, pela fórmla f ) ) d f ) g ) f ) g ) d, temos cos d v v d cos d sen sen d cos d sen cos ) cos d sen cos 9

10 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL EXERÍIOS Qestão 0 alcle as segintes integrais indefinidas: a) sec d b) cot g d c) d d) a b d e) sen cos d f) d t e g) d h) dt t e sec tg i) d j) a d sec cos sen k) a e d l) d sen m) sec d n) tg d o) d p) cos d sen q) tg θ cot g θ) dθ r) d cos t sen e s) d t) cos dt t e t ) d v) d ) ) w) d ) d Qestão 0 alcle as integrais indefinidas: d a) a d c) e) d 9 cos d b) sen d) f) e d 9 g) e d h) d i) cos ) d j) d k) d d 0

11 ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL Qestão 0 Resolver: a) d b) 8 d 9 0 c) d d) d Qestão 0 alcle: a) sen d b) e d c) e ) d d) d e) d f) e cos d