Exemplos. representado a seguir, temos que: são positivas. são negativas. i

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1 6 Prodto Vetoral Para defnrmos o prodto etoral entre dos etores é ndspensáel dstngrmos o qe são bases postas e bases negatas Para sso consderemos ma base do espaço { } e m obserador Este obserador dee estar com os pés em m plano qe contém representantes de e (os dos prmeros etores da base de modo qe O (o tercero etor da base estea drgdo para os ses olhos Neste plano seam O e O Consderemos agora a rotação de menor ânglo em torno de O qe torna o etor ( o prmero etor da base com mesmo sentdo do etor ( o segndo etor da base Se esta rotação for no sentdo contráro ao dos ponteros de m relógo demos qe a base é posta Caso contráro demos qe a base é negata ssm a base { } lstrada O ao lado é posta Obseremos qe as bases } { e } são negatas {

2 7 Chamamos atenção especal do letor para o fato de qe nem sempre o obserador está no mesmo sem-espaço qe nós Conseqentemente o sentdo da rotação qe ele erá é contráro ao qe nós emos Para lstrar este fato desenhe em ma folha de papel dos etores LI com a mesma orgem e consdere ma rotação qe torna m deles com mesmo sentdo do otro folha de papel pode ser consderada com m plano assm a folha de papel dde o espaço em dos sem-espaços Obseremos então qe em m desses sem-espaços emos esta rotação com m sentdo Se mdarmos de sem-espaço emos esta rotação com m sentdo contráro ao anteror obseração anteror é útl na dentfcação de bases postas e negatas qando o obserador não está no mesmo sem-espaço qe nós Por eemplo ao analarmos a base { } emos a rotação no sentdo horáro porém o obserador por estar no sem-espaço dstnto do qal nos encontramos ê esta rotação no sentdo ant-horáro e portanto esta base é posta - Eemplos Consderemos o sstema {O } representado a segr temos qe: s bases { } { } e { } são postas s bases { } { } e { } são negatas O

3 Defnção: Seam e etores não colneares O prodto etoral de por ndcado é m etor tal qe: sen( ; dreção de é ortogonal a m plano qe contém representantes dos etores e ; base { } é posta Se e são colneares então o 8 Eemplo Seam e etores com representantes no plano α onde e ( 0º Temos: sen 0º e 0 º α sen 0º ssm mas e são etores opostos como lstra a fgra Eemplo Dada a base ortonormal posta { } temos : o e e

4 9 Interpretação geométrca do prodto etoral Consderemos o paralelogramo CD abao D h C Sabemos qe a área S desse paralelogramo é: S base altra o sea θ M S h Do trânglo MD temos: h D sen θ Daí sege qe S D sen θ D Obseramos também qe a área T do trânglo D é: Eemplo 4: D T Consderemos o paralelogramo ao lado onde ( 0 ( 0 e C( 40 temos: ( 0 5 e D ( 40 5 cos( D D D D C 6 9 sen( D 5 5 Sege daí qe a área S do paralelogramo CD é: 5 S a 5

5 0 Propredades do prodto etoral ( - t ( (t (t w w ( Nas propredades acma w e são etores qasqer e t m número real s propredades e decorrem dretamente da defnção de prodto etoral e a proa da propredade será feta no parágrafo segnte Epressão cartesana do prodto etoral Fada ma base ortonormal posta } { e dados os etores ( e ( temos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Podemos então escreer: ( ( ( epressão acma pode ser dada sob a forma de m determnante smbólco :

6 Eemplo 5 Dados os etores ( ( e w (46 temos : (4 ( 9 ( 6 Daí (7 5 w ( (6 6 ( Daí w (000 o Eemplo 6 Consderemos na fgra a segr os paralelogramos CD e C C D C C Se S e S são as áreas dos paralelogramos CD e C C respectamente Temos: S D e S C Como C ( C C o D D podemos conclr qe: S D C S

7 Consderando T a área do trânglo C temos: C C C C T Eemplo 7: Consderando S a área o retânglo ao lado onde ( 0 C( e ( 00 temos: S C Como e C C ( temos qe pro C ( 00 D C Daí S ( ( 00 ( Prodto Msto Defnção: Seam e w etores qasqer O prodto msto dos etores e w ndcado por [ w] é o número real [ w] ( w Eemplo : Dados os etores (0 ( e w (0 temos: [ w] [(0 ( ] (0 ( 5 (0 7 [ w] [( (0] (0 (5 (0 7

8 Interpretação geométrca do prodto msto Sea o paralelepípedo de arestas D e E Sabemos qe o olme V desse paralelepípedo é: V área da base altra Consderando a altra h desse paralelepípedo em relação à base CD e aplcando nossos conhecmentos do cálclo etoral podemos escreer: V D h h θ E D C Por otro lado essa altra pode ser calclada como o módlo da proeção do etor E na dreção do etor D pos a dreção deste etor é ortogonal ao plano C ssm podemos escreer: h pro ( D onde θ é o ânglo entre os etores E e E E ( D E cos θ E cos θ D Daí V D E cos θ ( D E [ D E] o sea V [ D E] Consderemos agora o tetraedro de arestas D e E Sea V T o olme desse tetraedro assm V T área da base altra Consderando a base D desse tetraedro obseremos qe a altra relata a essa base concde com a altra do paralelepípedo anteror h θ E D

9 4 Daí podemos escreer: V T ( D E cos θ ( D E [ D E] 6 6 Eemplo : Consderemos o paralelepípedo de arestas O O e OC onde O (0 O ( e OC (0 O olme V deste paralelepípedo pode ser calclado como: V [O O OC] (O O OC ( (0 E a altra do mesmo em relação à base OD será: 5 h pro OC (0 c O O Obseração: Consderemos ma base { } do espaço Pela defnção do prodto etoral a base { } é posta ssm se ester no mesmo sem-espaço qe em θ relação a m plano qe conter representantes de e a base { } será também posta á qe o obserador não mda de posção Caso O contráro a base { } será negata Podemos erfcar se está o não no mesmo sem-espaço qe em relação a m plano qe conter representantes de e atraés do

10 ânglo entre estes etores O sea se este ânglo for agdo então está no mesmo sem-espaço qe caso contráro não Por otro lado para determnarmos se o ânglo entre dos etores é agdo o obtso basta calclarmos o prodto escalar entre eles ssm ( > 0 temos qe o ânglo entre estes etores é agdo logo a base { } será posta caso contráro a base será negata Podemos então conclr qe ma base { } é posta se o prodto msto ] 0 e será negata se ] 0 [ > [ < 5 Propredades do prodto msto [ w] 0 e w são coplanares [ w] [ w ] [w ] [ w] [ w] 4 ( w ( w 5 w] [ w] [ w] [ 6 t [ w] [t w] [ t w] [ t w] Nas propredades acma e w são etores qasqer e t é m número real Faremos a segr sas proas: Se [ w] 0 então o olme do paralelepípedo cas arestas são representantes de e w é ero ssm esse paralelepípedo é degenerado e portanto e w são coplanares É medata Temos qe [ w] [ w ] [w ] como olme de m mesmo paralelepípedo Se e w são L D então [ w] [ w ] [w ] 0

11 Se e w são L I então as bases { w}{ w } e {w } pertencem a mesma classe Logo [ w] [ w ] [w ] 6 Nas proas das propredades segntes saremos as propredades dos prodtos escalar e etoral á stas [ w] ( w ( w [( w] [ w] ( w ( w ( w Usaremos agora as propredades acma para demonstrar a dstrbtdade do prodto etoral em relação à adção de etores o sea: ( w w Mostraremos qe : ( w ( ( w o Consderando a ( w ( ( w temos: Portanto a o a a a { ( w ( ( w} a [ ( w] a ( a ( w (a ( w (a (a w (a ( w (a ( w o 5 [ w] {( } w { } w ( w ( w [ w] ( w] 6[t w] (t w ( t w [ t w] nalogamente podemos obter as otras galdades

12 7 Epressão cartesana do prodto msto Fada ma base ortornomal posta { } e dados os etores ( ( e w ( temos: [ w] ( w ( ( ( ( ssm podemos escreer: [ w] ( - ( - ( ( - epressão acma pode ser dada sob a forma do determnante: [ w] Eemplo : Do tetraedro de arestas O O e OC sabemos qe : O (4 O (04 e OC ( Calcle o alor de para qe o olme desse tetraedro sea gal a Sabemos qe o olme V T do tetraedro é dado por: V T [O O OC] 6 ssm 4 V T Como V T temos: -0 6 Logo o O C

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