Exemplos. representado a seguir, temos que: são positivas. são negativas. i

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Exemplos. representado a seguir, temos que: são positivas. são negativas. i"

Transcrição

1 6 Prodto Vetoral Para defnrmos o prodto etoral entre dos etores é ndspensáel dstngrmos o qe são bases postas e bases negatas Para sso consderemos ma base do espaço { } e m obserador Este obserador dee estar com os pés em m plano qe contém representantes de e (os dos prmeros etores da base de modo qe O (o tercero etor da base estea drgdo para os ses olhos Neste plano seam O e O Consderemos agora a rotação de menor ânglo em torno de O qe torna o etor ( o prmero etor da base com mesmo sentdo do etor ( o segndo etor da base Se esta rotação for no sentdo contráro ao dos ponteros de m relógo demos qe a base é posta Caso contráro demos qe a base é negata ssm a base { } lstrada O ao lado é posta Obseremos qe as bases } { e } são negatas {

2 7 Chamamos atenção especal do letor para o fato de qe nem sempre o obserador está no mesmo sem-espaço qe nós Conseqentemente o sentdo da rotação qe ele erá é contráro ao qe nós emos Para lstrar este fato desenhe em ma folha de papel dos etores LI com a mesma orgem e consdere ma rotação qe torna m deles com mesmo sentdo do otro folha de papel pode ser consderada com m plano assm a folha de papel dde o espaço em dos sem-espaços Obseremos então qe em m desses sem-espaços emos esta rotação com m sentdo Se mdarmos de sem-espaço emos esta rotação com m sentdo contráro ao anteror obseração anteror é útl na dentfcação de bases postas e negatas qando o obserador não está no mesmo sem-espaço qe nós Por eemplo ao analarmos a base { } emos a rotação no sentdo horáro porém o obserador por estar no sem-espaço dstnto do qal nos encontramos ê esta rotação no sentdo ant-horáro e portanto esta base é posta - Eemplos Consderemos o sstema {O } representado a segr temos qe: s bases { } { } e { } são postas s bases { } { } e { } são negatas O

3 Defnção: Seam e etores não colneares O prodto etoral de por ndcado é m etor tal qe: sen( ; dreção de é ortogonal a m plano qe contém representantes dos etores e ; base { } é posta Se e são colneares então o 8 Eemplo Seam e etores com representantes no plano α onde e ( 0º Temos: sen 0º e 0 º α sen 0º ssm mas e são etores opostos como lstra a fgra Eemplo Dada a base ortonormal posta { } temos : o e e

4 9 Interpretação geométrca do prodto etoral Consderemos o paralelogramo CD abao D h C Sabemos qe a área S desse paralelogramo é: S base altra o sea θ M S h Do trânglo MD temos: h D sen θ Daí sege qe S D sen θ D Obseramos também qe a área T do trânglo D é: Eemplo 4: D T Consderemos o paralelogramo ao lado onde ( 0 ( 0 e C( 40 temos: ( 0 5 e D ( 40 5 cos( D D D D C 6 9 sen( D 5 5 Sege daí qe a área S do paralelogramo CD é: 5 S a 5

5 0 Propredades do prodto etoral ( - t ( (t (t w w ( Nas propredades acma w e são etores qasqer e t m número real s propredades e decorrem dretamente da defnção de prodto etoral e a proa da propredade será feta no parágrafo segnte Epressão cartesana do prodto etoral Fada ma base ortonormal posta } { e dados os etores ( e ( temos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Podemos então escreer: ( ( ( epressão acma pode ser dada sob a forma de m determnante smbólco :

6 Eemplo 5 Dados os etores ( ( e w (46 temos : (4 ( 9 ( 6 Daí (7 5 w ( (6 6 ( Daí w (000 o Eemplo 6 Consderemos na fgra a segr os paralelogramos CD e C C D C C Se S e S são as áreas dos paralelogramos CD e C C respectamente Temos: S D e S C Como C ( C C o D D podemos conclr qe: S D C S

7 Consderando T a área do trânglo C temos: C C C C T Eemplo 7: Consderando S a área o retânglo ao lado onde ( 0 C( e ( 00 temos: S C Como e C C ( temos qe pro C ( 00 D C Daí S ( ( 00 ( Prodto Msto Defnção: Seam e w etores qasqer O prodto msto dos etores e w ndcado por [ w] é o número real [ w] ( w Eemplo : Dados os etores (0 ( e w (0 temos: [ w] [(0 ( ] (0 ( 5 (0 7 [ w] [( (0] (0 (5 (0 7

8 Interpretação geométrca do prodto msto Sea o paralelepípedo de arestas D e E Sabemos qe o olme V desse paralelepípedo é: V área da base altra Consderando a altra h desse paralelepípedo em relação à base CD e aplcando nossos conhecmentos do cálclo etoral podemos escreer: V D h h θ E D C Por otro lado essa altra pode ser calclada como o módlo da proeção do etor E na dreção do etor D pos a dreção deste etor é ortogonal ao plano C ssm podemos escreer: h pro ( D onde θ é o ânglo entre os etores E e E E ( D E cos θ E cos θ D Daí V D E cos θ ( D E [ D E] o sea V [ D E] Consderemos agora o tetraedro de arestas D e E Sea V T o olme desse tetraedro assm V T área da base altra Consderando a base D desse tetraedro obseremos qe a altra relata a essa base concde com a altra do paralelepípedo anteror h θ E D

9 4 Daí podemos escreer: V T ( D E cos θ ( D E [ D E] 6 6 Eemplo : Consderemos o paralelepípedo de arestas O O e OC onde O (0 O ( e OC (0 O olme V deste paralelepípedo pode ser calclado como: V [O O OC] (O O OC ( (0 E a altra do mesmo em relação à base OD será: 5 h pro OC (0 c O O Obseração: Consderemos ma base { } do espaço Pela defnção do prodto etoral a base { } é posta ssm se ester no mesmo sem-espaço qe em θ relação a m plano qe conter representantes de e a base { } será também posta á qe o obserador não mda de posção Caso O contráro a base { } será negata Podemos erfcar se está o não no mesmo sem-espaço qe em relação a m plano qe conter representantes de e atraés do

10 ânglo entre estes etores O sea se este ânglo for agdo então está no mesmo sem-espaço qe caso contráro não Por otro lado para determnarmos se o ânglo entre dos etores é agdo o obtso basta calclarmos o prodto escalar entre eles ssm ( > 0 temos qe o ânglo entre estes etores é agdo logo a base { } será posta caso contráro a base será negata Podemos então conclr qe ma base { } é posta se o prodto msto ] 0 e será negata se ] 0 [ > [ < 5 Propredades do prodto msto [ w] 0 e w são coplanares [ w] [ w ] [w ] [ w] [ w] 4 ( w ( w 5 w] [ w] [ w] [ 6 t [ w] [t w] [ t w] [ t w] Nas propredades acma e w são etores qasqer e t é m número real Faremos a segr sas proas: Se [ w] 0 então o olme do paralelepípedo cas arestas são representantes de e w é ero ssm esse paralelepípedo é degenerado e portanto e w são coplanares É medata Temos qe [ w] [ w ] [w ] como olme de m mesmo paralelepípedo Se e w são L D então [ w] [ w ] [w ] 0

11 Se e w são L I então as bases { w}{ w } e {w } pertencem a mesma classe Logo [ w] [ w ] [w ] 6 Nas proas das propredades segntes saremos as propredades dos prodtos escalar e etoral á stas [ w] ( w ( w [( w] [ w] ( w ( w ( w Usaremos agora as propredades acma para demonstrar a dstrbtdade do prodto etoral em relação à adção de etores o sea: ( w w Mostraremos qe : ( w ( ( w o Consderando a ( w ( ( w temos: Portanto a o a a a { ( w ( ( w} a [ ( w] a ( a ( w (a ( w (a (a w (a ( w (a ( w o 5 [ w] {( } w { } w ( w ( w [ w] ( w] 6[t w] (t w ( t w [ t w] nalogamente podemos obter as otras galdades

12 7 Epressão cartesana do prodto msto Fada ma base ortornomal posta { } e dados os etores ( ( e w ( temos: [ w] ( w ( ( ( ( ssm podemos escreer: [ w] ( - ( - ( ( - epressão acma pode ser dada sob a forma do determnante: [ w] Eemplo : Do tetraedro de arestas O O e OC sabemos qe : O (4 O (04 e OC ( Calcle o alor de para qe o olme desse tetraedro sea gal a Sabemos qe o olme V T do tetraedro é dado por: V T [O O OC] 6 ssm 4 V T Como V T temos: -0 6 Logo o O C

Determinante Introdução. Algumas Propriedades Definição Algébrica Equivalências Propriedades Fórmula Matriz

Determinante Introdução. Algumas Propriedades Definição Algébrica Equivalências Propriedades Fórmula Matriz ao erminante Área e em R 2 O qe é? Qais são sas propriedades? Como se calcla (Qal é a fórmla o algoritmo para o cálclo)? Para qe sere? A = matriz. P paralelogramo com arestas e. + A é a área (com sinal)

Leia mais

Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 3-3º semestre de 2012 Profa Gisele A.A. Sanchez

Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 3-3º semestre de 2012 Profa Gisele A.A. Sanchez Engenhara Cvl/Mecânca Cálclo - º semestre de 01 Proa Gsele A.A. Sanchez 4ª ala: Dervadas Dreconas e Gradente Gradentes e dervadas dreconas de nções com das varáves As dervadas parcas de ma nção nos dão

Leia mais

Texto 03: Campos Escalares e Vetoriais. Gradiente. Rotacional. Divergência. Campos Conservativos.

Texto 03: Campos Escalares e Vetoriais. Gradiente. Rotacional. Divergência. Campos Conservativos. 1 Unversdade Salvador UNIFACS Crsos de Engenhara Cálclo IV Profa: Ila Reboças Frere Cálclo Vetoral Teto 03: Campos Escalares e Vetoras. Gradente. Rotaconal. Dvergênca. Campos Conservatvos. Campos Escalares

Leia mais

PROF. GILBERTO SANTOS JR VETORES

PROF. GILBERTO SANTOS JR VETORES . Introdção Listas de números Sponha qe os pesos de oito estdantes estão listados abaio: 6,, 4, 4, 78, 4, 6, 9 Podemos denotar todos os alores dessa lista sando apenas m símbolo, por eemplo w, com diferentes

Leia mais

F-128 Física Geral I. Aula Exploratória Cap. 3.

F-128 Física Geral I. Aula Exploratória Cap. 3. F-128 Físca Geral I ula Eploratóra Cap. 3 username@f.uncamp.br Soma de vetores usando componentes cartesanas Se, o vetor C será dado em componentes cartesanas por: C ( î ĵ)( î ĵ) ( )î ( )ĵ C C î C ĵ onde:

Leia mais

2 - Derivadas parciais

2 - Derivadas parciais 8 - ervadas parcas Sea por eemplo: Estma-se qe a prodção semanal de ma ábrca sea dada pela nção Q 00 500 ndades onde representa o número de operáros qalcados e representa o número dos não-qalcados. Atalmente

Leia mais

Derivada Direcional e gradiente no plano

Derivada Direcional e gradiente no plano Dervada Dreconal e gradente no plano Sea m campo escalar no plano descrto por ma nção derencável a das varáves. Assm se =(,, então é o valor do campo escalar no ponto P=(,.Sea L ma reta no plano. Qando

Leia mais

Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D

Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D Físca Módulo 1 Vetores, escalares e movmento em 2-D Vetores, Escalares... O que são? Para que servem? Por que aprender? Escalar Defnção: Escalar Grandea sem dreção assocada. Eemplos: Massa de uma bola,

Leia mais

Redes de Petri. Definições:

Redes de Petri. Definições: Redes de Petr Defnções: Uma Rede de Petr (PN) é m grafo dreto bpartdo o qal tem dos tpos de nós denomnados lgares (qe representam estados) e transções (qe representam eventos). O estado é alterado pelo

Leia mais

Vetores. Definição geométrica de vetores

Vetores. Definição geométrica de vetores Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

Cálculo Vetorial / Ilka Rebouças Freire / DMAT UFBA

Cálculo Vetorial / Ilka Rebouças Freire / DMAT UFBA Cálclo Vetoral / Ila Reboças Frere / DMAT UFBA. Campos Escalares e Vetoras. Gradente. Rotaconal. Dvergênca. Campos Conservatvos..1 Campos Escalares e Vetoras Dada ma regão D do espaço podemos asocar a

Leia mais

Deformações na Notação Indicial

Deformações na Notação Indicial SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO Pós-gradação em Engenhara de Transportes Deformações na Notação Indcal MAJ MONIZ DE ARAGÃO Campo de deslocamentos; Componentes de deformação;

Leia mais

Capítulo 9 Rotação de corpos rígidos

Capítulo 9 Rotação de corpos rígidos Capítulo 9 Rotação de corpos rígdos Defnção de corpo rígdo (CR): um sstema de partículas especal, cuja estrutura é rígda, sto é, cuja forma não muda, para o qual duas partes sempre estão gualmente dstantes

Leia mais

AULA 4. Produto escalar. Produto escalar definição algébrica. , chamamos de produto. escalar o número real: Notação: u v ou u, v e se lê: u escalar v.

AULA 4. Produto escalar. Produto escalar definição algébrica. , chamamos de produto. escalar o número real: Notação: u v ou u, v e se lê: u escalar v. AULA 4 Prodto escalar Prodto escalar definição algébrica Sejam,, e,, escalar o número real:, chamamos de prodto Notação: o, e se lê: escalar. Eemplos: ) Dados os etores,,3 e 3,4,, calclar: a) =. (-3) +.

Leia mais

CAPÍTULO IV PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL

CAPÍTULO IV PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL CPÍTULO IV PROPRIEDDES GEOMÉTRICS D SEÇÃO TRNSVERSL Propredades Geométrcas da Seção Transversal 4. Propredades Geométrcas da Seção Transversal 4.. Introdução O presente trabalho é desenvolvdo paralelamente

Leia mais

PRODUTOS DE VETORES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

PRODUTOS DE VETORES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga PRODUTOS DE VETORES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga 3.1 PRODUTO ESCALAR Chama-se prodto escalar (o prodto interno sal) de dois vetores =x 1 i + y 1 j+z 1 k e v= x 2 i + y 2 j+z

Leia mais

Física Geral I F Aula 3 Escalares e Vetores. Segundo semestre de 2009

Física Geral I F Aula 3 Escalares e Vetores. Segundo semestre de 2009 Físca Geral I F -128 ula 3 Escalares e Vetores Segundo semestre de 2009 Grandeas Escalares e Vetoras Uma grandea físca é um escalar quando pode ser caracterada apenas por um número, sem necessdade de assocar-lhe

Leia mais

Aula 2: Vetores tratamento algébrico

Aula 2: Vetores tratamento algébrico Ala : Vetores tratamento algébrico Vetores no R e no R Decomposição de etores no plano ( R ) Dados dois etores e não colineares então qalqer etor pode ser decomposto nas direções de e. O problema é determinar

Leia mais

2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho

2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho rof.: nastáco nto Gonçalves lho Introdução Nem sempre é possível tratar um corpo como uma únca partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplcação específcos de cada uma das forças que nele

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR Matéra / Dscplna: Introdução à Informátca Sstema de Numeração Defnção Um sstema de numeração pode ser defndo como o conjunto dos dígtos utlzados para representar quantdades e as regras que defnem a forma

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Espaços Vetoriais Euclidianos, Produto Interno. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Espaços Vetoriais Euclidianos, Produto Interno. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Espaços Vetoriais Eclidianos, Prodto Interno Prof. Ssie C. Keller Prodto Interno Prodto interno no espaço etorial V é ma fnção de V V em IR qe a todo par de etores (, ) V V associa m número

Leia mais

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL I 1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Só relembrando a primeira aula de Geometria Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para abordagem geral de uma questão de geometria:

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema

Leia mais

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 7. Resolução Numérca de Equações Dferencas Ordnáras Fenômenos físcos em dversas áreas, tas como: mecânca dos fludos, fluo de calor, vbrações, crcutos elétrcos, reações químcas, dentre váras outras, podem

Leia mais

Trabalho e Energia. Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma partícula como o produto escalar da força pelo deslocamento.

Trabalho e Energia. Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma partícula como o produto escalar da força pelo deslocamento. Trabalho e Energa Podemos denr trabalho como a capacdade de produzr energa. Se uma orça eecutou um trabalho sobre um corpo ele aumentou a energa desse corpo de. 1 OBS: Quando estudamos vetores vmos que

Leia mais

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância

Leia mais

NÚMEROS COMPLEXOS (C)

NÚMEROS COMPLEXOS (C) Professor: Casso Kechalosk Mello Dscplna: Matemátca Aluno: N Turma: Data: NÚMEROS COMPLEXOS (C) Quando resolvemos a equação de º grau x² - 6x + = 0 procedemos da segunte forma: b b ± 4ac 6 ± 6 4 6 ± 6

Leia mais

1 Princípios da entropia e da energia

1 Princípios da entropia e da energia 1 Prncípos da entropa e da energa Das dscussões anterores vmos como o conceto de entropa fo dervado do conceto de temperatura. E esta últma uma conseqüênca da le zero da termodnâmca. Dentro da nossa descrção

Leia mais

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS ESPELHOS E LENTES 1 Embora para os povos prmtvos os espelhos tvessem propredades mágcas, orgem de lendas e crendces que estão presentes até hoje, para a físca são apenas superfíces poldas que produzem

Leia mais

AULA Exercícios. ORTOGONALIDADE EM R N. , o vector u tem norma. O produto interno entre os vector u e v, é

AULA Exercícios. ORTOGONALIDADE EM R N. , o vector u tem norma. O produto interno entre os vector u e v, é Note bem: a letra destes apontamentos não dspensa de modo algm a letra atenta da bblografa prncpal da cadera Chama-se a atenção para a mportânca do trabalho pessoal a realzar pelo alno resolvendo os problemas

Leia mais

AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA CAPÍTULO 5 A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA 5. INTODUÇÃO O emprego das componentes smétrcas nstantâneas permte a obtenção de modelos mas smples que aqueles obtdos com a transformação

Leia mais

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2 Capítulo O plano compleo Introdução Os números compleos começaram por ser ntrodudos para dar sentdo à resolução de equações polnomas do tpo Como os quadrados de números reas são sempre maores ou guas a

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisores. Prof. Samuel Feitosa

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisores. Prof. Samuel Feitosa Polos Olímpcos de Trenamento Curso de Teora dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Fetosa Aula 10 Dvsores Suponha que n = p α 1 2...pα é a fatoração em prmos do ntero n. Todos os dvsores de n são da forma

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 03 DA UNICAMP-FASE. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 37 A fgura abaxo exbe, em porcentagem, a prevsão da oferta de energa no Brasl em 030, segundo o Plano Naconal

Leia mais

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas.

Leia mais

Cálculo 1 4ª Lista de Exercícios Derivadas

Cálculo 1 4ª Lista de Exercícios Derivadas www.matematiqes.com.br Cálclo 4ª Lista de Eercícios Derivadas ) Calclar as derivadas das epressões abaio, sando as fórmlas de derivação: a) y 4 4 d 4 b) f f c) y d d) y R : d df e) 6 f R : 6 d f) 5 y 4

Leia mais

( AB ) é o segmento orientado com origem em A e extremidade em B.

( AB ) é o segmento orientado com origem em A e extremidade em B. FUNDÇÃO EDUIONL UNIFID MPOGRNDENSE (FEU) FULDDES INTEGRDS MPO-GRNDENSES (FI) OORDENÇÃO DE MTEMÁTI Estrada da aroba, 685, ampo-grande/rj - Tel: 3408-8450 Sites: www.fec.br, www.sites.google.com/site/feumat

Leia mais

Matemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t

Matemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t Matemátca 0 Dos veículos, A e B, partem de um ponto de uma estrada, em sentdos opostos e com velocdades constantes de 50km/h e 70km/h, respectvamente Após uma hora, o veículo B retorna e, medatamente,

Leia mais

Covariância e Correlação Linear

Covariância e Correlação Linear TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento

Leia mais

TE210 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

TE210 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS TE0 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Números Complexos Introdução hstórca. Os números naturas, nteros, raconas, rraconas e reas. A necessdade dos números complexos. Sua relação com o mundo

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBUAR a Fase RESOUÇÃO: Proa Mara Antôna Gouvea Questão Um quadrado mágco é uma matr quadrada de ordem maor ou gual a cujas somas dos termos de cada lnha de cada coluna da

Leia mais

Vetores Forças Cap. 2

Vetores Forças Cap. 2 Objetios MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2 Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes sando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sa localização na forma etorial cartesiana

Leia mais

01) (Insper) A equação x 5 = 8x 2 possui duas raízes imaginárias, cuja soma é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1. e) 2.

01) (Insper) A equação x 5 = 8x 2 possui duas raízes imaginárias, cuja soma é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1. e) 2. Lsta 8 Números complexos Resoluções Prof Ewerton Números Complexos (concetos báscos, adção, subtração, multplcação, gualdade e conjugado) 0) (Insper) A equação x 5 = 8x possu duas raíes magnáras, cuja

Leia mais

Lista de Exercícios de Recuperação do 2 Bimestre. Lista de exercícios de Recuperação de Matemática 3º E.M.

Lista de Exercícios de Recuperação do 2 Bimestre. Lista de exercícios de Recuperação de Matemática 3º E.M. Lsta de Exercícos de Recuperação do Bmestre Instruções geras: Resolver os exercícos à caneta e em folha de papel almaço ou monobloco (folha de fcháro). Copar os enuncados das questões. Entregar a lsta

Leia mais

Produto Vetorial e Produto misto

Produto Vetorial e Produto misto Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Prodto Vetoril e Prodto misto Introdção Mtries e Determinntes Prodto Vetoril Definição Proprieddes Interpretção Geométric Prodto Misto André Lis Lpolli

Leia mais

C são matrizes que satisfazem

C são matrizes que satisfazem Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Construa as guntes matrzes: a) tal que por a b) tal que < > a a a. () Consdere a rede de telecomuncações com nós e coneões reprentada abao: a) Escreva

Leia mais

Exercícios de Física. Prof. Panosso. Fontes de campo magnético

Exercícios de Física. Prof. Panosso. Fontes de campo magnético 1) A fgura mostra um prego de ferro envolto por um fo fno de cobre esmaltado, enrolado mutas vezes ao seu redor. O conjunto pode ser consderado um eletroímã quando as extremdades do fo são conectadas aos

Leia mais

Números Complexos. Conceito, formas algébrica e trigonométrica e operações. Autor: Gilmar Bornatto

Números Complexos. Conceito, formas algébrica e trigonométrica e operações. Autor: Gilmar Bornatto Números Complexos Conceto, formas algébrca e trgonométrca e operações. Autor: Glmar Bornatto Conceto (parte I) Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos:

Leia mais

FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Modelo Cinemático de Robôs Manipuladores

FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Modelo Cinemático de Robôs Manipuladores FUNDMENTOS DE ROBÓTIC Modelo Cnemátco de Robôs Manpuladores Modelo Cnemátco de Robôs Manpuladores Introdução Modelo Cnemátco Dreto Modelo Cnemátco de um Robô de GDL Representação de Denavt-Hartenberg Exemplos

Leia mais

Sistemas Equivalentes de Forças

Sistemas Equivalentes de Forças Nona E 3 Corpos CÍTULO ECÂNIC VETORIL R ENGENHEIROS: ESTÁTIC Ferdnand. Beer E. Russell Johnston, Jr. Notas de ula: J. Walt Oler Teas Tech Unverst Rígdos: Sstemas Equvalentes de Forças 2010 The cgraw-hll

Leia mais

AULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO

AULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO Note bem: a leitra destes apontamentos não dispensa de modo algm a leitra atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo alno resolvendo

Leia mais

5 Equacionando os problemas

5 Equacionando os problemas A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES O Danel Slvera pedu para eu resolver mas questões do concurso da CEF. Vou usar como base a numeração do caderno foxtrot Vamos lá: 9) Se, ao descontar uma promssóra com valor de face de R$ 5.000,00, seu

Leia mais

φ = 2,0 3,0 10 2 1 φ = 6,0 10 2 Wb 2 Uma espira quadrada de 20 cm de lado está totalmente imersa

φ = 2,0 3,0 10 2 1 φ = 6,0 10 2 Wb 2 Uma espira quadrada de 20 cm de lado está totalmente imersa 238 PTE III ELETOMGETIMO Tópco 4 1 E.. Uma espra retangular de 1 cm de largura por 3 cm de comprmento é colocada, totalmente mersa, em um campo de ndução magnétca unforme e constante, de módulo gual a

Leia mais

a) 3 c) 5 d) 6 b) i d) i

a) 3 c) 5 d) 6 b) i d) i Colégo Marsta Docesano de Uberaba ª Lsta de eercícos de Compleos Prof. Maluf Se é a undade magnára, para que a b seja um número real, a relação c d entre a, b, c e d deve satsfaer: 0 - (UNESP SP/00) a)

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

Cálculo Vetorial. Geometria Analítica e Álgebra Linear - MA Aula 04 - Vetores. Profa Dra Emília Marques Depto de Matemática

Cálculo Vetorial. Geometria Analítica e Álgebra Linear - MA Aula 04 - Vetores. Profa Dra Emília Marques Depto de Matemática Cálclo Vetorial Estdaremos neste tópico as grandezas etoriais, sas operações, propriedades e aplicações. Este estdo se jstifica pelo fato de, na natreza, se apresentarem 2 tipo de grandezas, as escalares

Leia mais

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem.

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. TRIDIMENSIONALIDADE O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. As formas tridimensionais são aquelas que têm

Leia mais

Introdução e Organização de Dados Estatísticos

Introdução e Organização de Dados Estatísticos II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar

Leia mais

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis

Leia mais

Variável discreta: X = número de divórcios por indivíduo

Variável discreta: X = número de divórcios por indivíduo 5. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO ÁLULO DIFERENIL E INTEGRL MÉTODOS DE INTEGRÇÃO Nem todas as integrais são imediatas segndo o formlário dado, porém algns métodos simples ajdam a obter as primitivas das fnções qe não têm integração imediata.

Leia mais

SC de Física I Nota Q Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1

SC de Física I Nota Q Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1 SC de Físca I - 2017-2 Nota Q1 88888 Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1 Assnatura: Questão 1 - [3,5 pontos] Uma partícula de massa m se move sobre uma calha horzontal lsa com velocdade constante de módulo

Leia mais

Representação de vetores

Representação de vetores UL PSSD Representação de vetores Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido qe o vetor considerado e cjo comprimento é proporcional à magnitde do mesmo. Modo escrito: Letras

Leia mais

Lista de exercícios Micro III 03/09/2008. Externalidades e Bens Públicos

Lista de exercícios Micro III 03/09/2008. Externalidades e Bens Públicos Lsta de exercícos Mcro III 03/09/008 Prof. Afonso A. de Mello Franco Neto Externaldades e Bens Públcos Exercícos Mas-Colell:.B a.b.5,.c.,.c.,.d. a.d.5,.d.7. QUESTÃO Nma economa exstem ma frma e dos consmdores.

Leia mais

Profª Cristiane Guedes VETORES. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes VETORES. Cristianeguedes.pro.br/cefet VETORES Cristinegedesprobr/cefet Espço R 3 Exercício: Sej P m prlelepípedo com fces prlels os plnos coordendos Sbendo qe A = () e B = (345) são dois dos ses értices determine os otros értices 3 Distânci

Leia mais

Atividade de Recuperação- Física

Atividade de Recuperação- Física Atividade de Recuperação- Física 3º Ano- 1º Trimestre Prof. Sérgio Faro Orientação: Refazer os exemplos seguintes e resolver os demais exercícios no caderno e anotar eventuais dúvidas para esclarecimento

Leia mais

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Unversdade Estadual do Sudoeste da Baha Departamento de Cêncas Exatas e Naturas 5 - Rotações, Centro de Massa, Momento, Colsões, Impulso e Torque Físca I Ferrera Índce 1. Movmento Crcular Unformemente

Leia mais

Projeção e Anaglifos

Projeção e Anaglifos Projeção e Anaglifos Renato Paes Leme Nosso problema básico é o seguinte: temos uma coleção de pontos (x i, y i, z i ) em um conjunto de vértices, e um conjunto de polígonos. Queremos representar esses

Leia mais

CIRCUITOS RESISTIVOS

CIRCUITOS RESISTIVOS Temátca Crctos Eléctrcos Capítlo nálse de Crctos Lneares CICITOS ESISTIVOS INTODÇÃO Nesta secção apresentamse dversas metodologas para resolção de crctos lneares tas como o método geral, a smplfcação do

Leia mais

e represente as no plano Argand-Gauss.

e represente as no plano Argand-Gauss. PROFESSOR: Cládo Das BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA ª SÉRIE ENSINO MÉDIO ============================================================================================== - Determe o módlo dos segtes úmeros

Leia mais

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x

Leia mais

f R e P o D. Vimos que (Po x

f R e P o D. Vimos que (Po x Universidade Salvador UNIFACS Crsos de Engenharia Cálclo IV Proa: Ilka Reboças Freire Cálclo Vetorial Teto 0: Derivada Direcional e Gradiente. A Derivada Direcional Consideremos a nção escalar : D R R

Leia mais

MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS ANÁLISE NODAL

MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS ANÁLISE NODAL CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Dscplna: CIRCUITOS ELÉTRICOS Professor: Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS ANÁLISE NODAL Referênca bbloráfca básca:

Leia mais

POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS

POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS http://apostilas.netsaber.com.br/ver_apostila.php?c=622 ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA 97003133 - BM3 01-011 POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA

Leia mais

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000) Internet: http://rolvera.pt.to ou http://sm.page.vu Escola Secundára Dr. Ângelo Augusto da Slva Matemátca.º ano Números Complexos - Exercícos saídos em (Exames Naconas 000). Seja C o conjunto dos números

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

2 Principio do Trabalho Virtual (PTV)

2 Principio do Trabalho Virtual (PTV) Prncpo do Trabalho rtual (PT)..Contnuo com mcroestrutura Na teora que leva em consderação a mcroestrutura do materal, cada partícula anda é representada por um ponto P, conforme Fgura. Porém suas propredades

Leia mais

LISTA DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 3º ANO 2º TRIMESTRE PROF. JADIEL

LISTA DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 3º ANO 2º TRIMESTRE PROF. JADIEL LISTA DE REVISÃO DE MATEMÁTICA º ANO 2º TRIMESTRE PROF. JADIEL 1) O valor de z sabendo que 6 z é: z A) 6 B) 6 C) 8 + D) 8 E) 8 2) Qual o valor de z para que z z 2? A) z 2 B) z 1 2 C) z D) z E) z 1 ) Consdere

Leia mais

2003/2004. então o momento total das forças exercidas sobre o sistema é dado por. F ij = r i F (e)

2003/2004. então o momento total das forças exercidas sobre o sistema é dado por. F ij = r i F (e) Resolução da Frequênca de Mecânca Clássca I/Mecânca Clássca 2003/2004 I Consdere um sstema de N partículas de massas m, =,..., N. a Demonstre que, se a força nterna exercda sobre a partícula pela partícula

Leia mais

DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO PARA RECONS- TRUÇÃO DE IMAGENS UTILIZANDO A TÉCNICA DE TOMO- GRAFIA POR IMPEDÂNCIA ELÉTRICA

DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO PARA RECONS- TRUÇÃO DE IMAGENS UTILIZANDO A TÉCNICA DE TOMO- GRAFIA POR IMPEDÂNCIA ELÉTRICA PUCRS PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA E TECNO- LOGIA DE MATERIAIS Facldade de Engenhara Facldade de

Leia mais

Capítulo 9. Colisões. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:

Capítulo 9. Colisões. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação: Capítulo 9 Colsões Recursos com copyrght ncluídos nesta apresentação: http://phet.colorado.edu Denremos colsão como uma nteração com duração lmtada entre dos corpos. Em uma colsão, a orça externa resultante

Leia mais

Engenharia Informática. Física II. 1º Ano 2º Semestre. Instituto politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e de Gestão

Engenharia Informática. Física II. 1º Ano 2º Semestre. Instituto politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e de Gestão 1º no º Semestre 1. Cálculo vectorial 1.1. Introdução análise vectorial é um assunto do âmbito da matemática e não propriamente da Engenharia. No entanto, é quase impossível estudar Electrostática e Magnetismo

Leia mais

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia CCSA - Centro de Cêncas Socas e Aplcadas Curso de Economa ECONOMIA REGIONAL E URBANA Prof. ladmr Fernandes Macel LISTA DE ESTUDO. Explque a lógca da teora da base econômca. A déa que sustenta a teora da

Leia mais

Geometria Elementar gênese e desenvolvimento. Roberto Ribeiro Paterlini

Geometria Elementar gênese e desenvolvimento. Roberto Ribeiro Paterlini Geometria Elementar gênese e desenvolvimento Roberto Ribeiro Paterlini Copyright março de 2010 by Roberto Ribeiro Paterlini Departamento de Matemática, UFSCar A presente versão está disponível na página

Leia mais

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,

Leia mais

[T ] Subespaços Invariantes

[T ] Subespaços Invariantes Subespaços Inarantes Sea um R-espaço etoral n dmensonal e T : um operador lnear O subespaço etoral S é denomnado subespaço etoral narante pelo operador T ou subespaço etoral T-narante quando T ( S S, sendo

Leia mais

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Defnções RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos

Leia mais

Isostática 2. Noções Básicas da Estática

Isostática 2. Noções Básicas da Estática Isostátca. Noções Báscas da Estátca Rogéro de Olvera Rodrgues .1. Força Força desgna um agente capa de modfcar o estado de repouso ou de movmento de um determnado corpo. É uma grandea vetoral e, como tal,

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

Física E Extensivo V. 6

Física E Extensivo V. 6 GAARITO ísca E Extenso V. 6 Exercícos ) I. also. Depende da permeabldade do meo. II. Verdadero. III. Verdadero. ~ R µ. µ. π. d R π π. R R ) R cm 6 A 5) 5 6 A µ. R 4 π. -7. 6., π. 6,π. 5 T 8 A 3) A A regra

Leia mais

Inicia-se este capítulo com algumas definições e propriedades para uma seqüência de funções tal como

Inicia-se este capítulo com algumas definições e propriedades para uma seqüência de funções tal como . Métodos de Resídos Ponderados. Defnções áscas Inca-se este capítlo com algmas defnções e propredades para ma seqüênca de fnções tal como x ( x ( x ( x ( (. ( 3 4 n x Tas fnções são assmdas satsfazerem

Leia mais

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, 514 - GOIABEIRAS 29075-910 VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: 4009.7820 FAX: 4009.2823

Leia mais

AV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x

AV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x Questão 1. figura abaixo mostra uma sequência de circunferências de centros 1,,..., n com raios r 1, r,..., r n, respectivamente, todas tangentes às retas s e t, e cada circunferência, a partir da segunda,

Leia mais

06) (PUC-MG) O número complexo z tal que 5z + z = i é igual a: a) 2 + 2i b) 2 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 3 + i

06) (PUC-MG) O número complexo z tal que 5z + z = i é igual a: a) 2 + 2i b) 2 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 3 + i concetos báscos, adção, subtração, multplcação, gualdade e conjugado 0) (Insper) A equação x 5 = 8x possu duas raíes magnáras, cuja soma é:. b). c) 0.. e). 0) (Mack) O conjunto solução da equação + 3 =

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Conhecimentos Específicos

Conhecimentos Específicos PROCESSO SELETIVO 010 13/1/009 INSTRUÇÕES 1. Confra, abaxo, o seu número de nscrção, turma e nome. Assne no local ndcado. Conhecmentos Específcos. Aguarde autorzação para abrr o caderno de prova. Antes

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais