Derivando-se em função das coordenadas generalizadas, θ 1 e θ 2, tem-se o sistema de equações não-lineares de equilíbrio:

Transcrição

1 3 Anáise Estática 3.. Modeo de Agsti A anáise estática, apretada a segir, mostra a infência das diferentes variáveis qe governam o comportamento do modeo, com ênfase na infência da rigidez reativa das moas e nos efeitos das imperfeições geométricas iniciais Modeo Perfeito Partindo da expressão. e assmindo qe φ φ 0, tem-se a energia potencia tota para o modeo perfeito: V θ θ P θ θ 3. Derivando-se em fnção das coordenadas generaizadas, θ e θ, tem-se o sistema de eqações não-ineares de eqiíbrio: cosθθ θ P 0 3.a θ θ cosθ θ θ P 0 3.b θ θ O sistema homogêneo 3. admite sempre a soção trivia: θ θ 0, para todo P 3.3 qe corresponde ao estado indeformado soção fndamenta de eqiíbrio.

2 55 por: Existem também das soções desacopadas caminhos secndários, dadas θ 0, θ 0 θ Pθ 0 3.4a θ 0, θ 0 θ Pθ 0 3.4b qe descrevem os caminhos pós-críticos do sistema desacopado. Têm-se, ainda, as soções não-ineares acopadas qe são obtidas através das expressões 3. qando θ 0 e θ 0. A soção deste sistema de eqações fornece dois caminhos pós-críticos adicionais, do estes simétricos e instáveis. A partir das eqações de eqiíbrio inearizadas θ θ e cos θ e resovendo o probema de atovaor restante, têm-se as das cargas críticas, qe são: i i i Pcr 3.5a Pcr 3.5b Admitindo qe tem-se qe Pcr Pcr Pcr /. Neste caso, as das cargas críticas coincidem e todos os qatro caminhos pós-críticos emergem do mesmo ponto de bifrcação. Por fim, dividindo as expressões 3. por obtêm-se as eqações de eqiíbrio adimensionaizadas qe serão tiizadas a segir, a saber: cosθθ θ λ 0 3.6a θ θ cosθ θ θ λ 0 3.6b θ θ onde λ P Pcr.

3 Caminhos Pós-Críticos A Figra 3. mostra o caminho fndamenta de eqiíbrio θ θ 0, qe é estáve até a carga crítica estática λ. 0 e os qatro caminhos pós-críticos cr possíveis: dois caminhos instáveis ascendentes, correspondentes às soções desacopadas expressões 3.4, e dois caminhos instáveis descendentes, ocaizados a ± 45 do eixo θ, referentes às soções acopadas expressões 3.. Uma mehor compreensão das diversas soções é dada pea Figra 3., qe mostra os caminhos pós-críticos projetados em três panos ortogonais. Figra 3.: Caminhos pós-críticos. Modeo de Agsti perfeito. a Pano θ xλ b Pano θ xλ c Pano θ xθ Figra 3.: Projeções dos caminhos pós-críticos. Modeo de Agsti perfeito.

4 Sperfícies de Energia Apretam-se na Figra 3.3 as sperfícies de energia potencia tota, expressão 3., para λ 0. 9 e λ. 5. Verifica-se, na Figra 3.3a, qe, para níveis de carregamento inferiores a carga crítica estática λ. 0, a sperfície de energia exibe m ponto de mínimo PMi, correspondente à soção fndamenta de eqiíbrio, e qatro pontos de sea PS, correspondentes às soções acopadas instáveis. Em fnção do acopamento moda, para cargas inferiores à carga crítica existe a possibiidade de perda de estabiidade desde qe as pertrbações excedam os imites da região em torno da configração fndamenta imitada peos pontos de sea. Esta região, qe constiti a bacia de atração da soção fndamenta de eqiíbrio, decresce à medida qe o carregamento cresce e torna-se zero no ponto de bifrcação λ. 0. Se não hovesse o acopamento moda, a soção fndamenta seria estáve para qaqer carregamento abaixo do crítico, independente do níve de pertrbação, isto é, a bacia de atração seria todo espaço de condições iniciais. O acopamento redz sbstanciamente o conjnto de possíveis condições iniciais qe evam a estrtra a retornar, após ma pertrbação, à configração fndamenta de eqiíbrio cja estabiidade se deseja preservar. Para níveis de pertrbações qe trapassem a fronteira de estabiidade, tem-se qe a estrtra diverge para o infinito, do este fenômeno denominado escape, o qe caracteriza ma instabiidade dinâmica. Tem-se, portanto, qe o acopamento moda tem m efeito negativo sobre o gra de estabiidade da estrtra. Este exempo istra de maneira cara a importância de se estdar a possibiidade do acopamento moda e ses efeitos no comportamento estático e dinâmico de eementos estrtrais sscetíveis a fambagem. Observa-se para níveis de carga speriores à carga crítica estática, Figra 3.3b, a existência de m ponto de máximo PMa, qe corresponde à soção fndamenta de eqiíbrio - qe se torno instáve - e qatro pontos de sea PS reativos às soções desacopadas. Constata-se, ainda, qe, para estes níveis de carregamentos, não existe nenhma configração estáve. É interessante observar qe, ao considerar o prete modeo com apenas m gra de iberdade, perdendo a estabiidade em m pano qe contém a cona e ma das moas Thompson & cr cr

5 58 Hnt, 984; De Prado, 999, tem-se, como em na cona de Eer, ma bifrcação simétrica estáve, o seja, o caminho desacopado aqi obtido é estáve. Entretanto, a existência do acopamento torna-o instáve. Isto mostra qe o desconhecimento do acopamento moda e sa não consideração na modeagem podem evar a restados errôneos e perigosos. a λ 0.9 b λ.5 Figra 3.3: Sperfícies de energia potencia tota. Modeo de Agsti perfeito Infência da Rigidez Reativa das Moas Para demonstrar a infência da rigidez reativa das moas no modeo, admite-se ma peqena diferença entre as constantes de rigidez das das moas, o seja,. Na anáise estática o qe mda em reação ao modeo perfeito é qe o sistema passa a apretar dois pontos de bifrcação distintos cjas cargas críticas são dadas em 3.5. Neste caso é necessária a introdção de m novo parâmetro, a saber: α. Dividindo as expressões 3. do modeo perfeito por, obtêm-se as eqações de eqiíbrio adimensionaizadas, a saber: cosθθ αθ λ 0 3.7a θ θ cosθ θ θ λ 0 3.7b θ θ

6 59 onde λ P Pcr Caminhos Pós-Críticos A Figra 3.4 mostra a soção fndamenta e os caminhos pós-críticos para α.05 e α. 50. O caminho fndamenta de eqiíbrio θ θ 0 para 0 P Pcr e o trecho inicia do caminho pós-crítico desacopado associado a são estáveis. Os demais caminhos pós-críticos são instáveis. a α.05 b α.50 Figra 3.4: Caminhos pós-críticos. Modeo de Agsti considerando a infência da rigidez reativa das moas. Observa-se, ainda, qe os caminhos acopados emergem de ma bifrcação secndária ao ongo do caminho pós-crítico e qe os mesmos se afastam da bifrcação primária à medida qe α amenta, tornando o trecho inicia do caminho pós-crítico desacopado associado a estáve até a interseção com tais caminhos. Essa interseção é ma bifrcação do tipo sbcrítica e, por isso, o sistema apreta ainda os qatro pontos de sea para carregamentos inferiores ao crítico, como no caso perfeito. Mantendo constante e amentando, α cresce e a carga de bifrcação associada a amenta, enqanto a carga crítica associada a mantém-se constante. Para m vaor de α sficientemente grande, grande, o sistema

7 60 comporta-se como m sistema de m gra de iberdade com bifrcação simétrica estáve. Mostram-se na Figra 3.5 as projeções em três panos ortogonais da soção fndamenta e dos caminhos pós-críticos para os casos em estdo. a. Pano θ xλ a. Pano θ xλ a.3 Pano θ xθ a α.05 b. Pano θ xλ b. Pano θ xλ b.3 Pano θ xθ b α.50 Figra 3.5: Projeções dos caminhos pós-críticos. Modeo de Agsti considerando a infência da rigidez reativa das moas Sperfícies de Energia As crvas de níve das sperfícies de energia potencia para α. 05 e α.50, considerando λ 0. 9, são apretadas na Figra 3.6. Verifica-se qe o amento de α faz a crvatra no pano θ crescer, o seja, qanto maior for à magnitde de α, menor é a ampitde de osciação na direção θ. Porém, a magnitde de α não interfere no pano θ, como mostram as Figras 3.7a e 3.7b, onde são apretadas diversas seções das sperfícies de energia potencia.

8 6 a α.05 b α.50 Figra 3.6: Sperfícies de energia potencia tota para λ 0.9. Modeo de Agsti considerando a infência da rigidez reativa das moas. a Corte - θ 0.0 b Corte - θ 0.0 Figra 3.7: Cortes nas sperfícies de energia potencia tota para λ 0.9. Modeo de Agsti considerando a infência da rigidez reativa das moas Modeo com Imperfeição Geométrica Derivando a energia potencia tota do modeo de Agsti com imperfeição geométrica inicia, expressão., em reação às coordenadas generaizadas θ e θ, obtém-se o sistema de eqações de eqiíbrio: cosθθ θ φ P 0 3.8a θ θ cosθ θ θ φ P 0 3.8b θ θ

9 6 Ao contrário do modeo perfeito, as eqações 3.8 não admitem soção trivia, θ θ 0, pois a cona descarregada já apreta ma incinação inicia. Com isso, os caminhos não-ineares de eqiíbrio obtidos da soção de 3.8 são em gera soções não-ineares acopadas. Têm-se somente dois casos particares de soções desacopadas, qe são: θ φ 0, θ φ θ φ Pθ 0 3.9a 0 θ φ 0, θ φ θ φ Pθ 0 3.9b 0 Admitindo qe e dividindo as expressões 3.8 por, obtêm-se as eqações de eqiíbrio adimensionaizadas, o seja: cosθθ θ φ λ 0 3.0a θ θ cosθθ θ φ λ 0 3.0b θ θ onde λ P Pcr, do Pcr a carga crítica do sistema perfeito Caminhos Não-Lineares de Eqiíbrio Iniciamente são apretados nas Figras 3.8 e 3.9 os caminhos nãoineares de eqiíbrio para φ e ψ 0. Com esses parâmetros verifica-se qe φ e φ 0, expressões., o seja, o sistema possi somente ma incinação inicia na direção de θ. Para esse caso o sistema apreta ma eqação desacopada no pano θ, expressão 3.9a, qe fornece m caminho nãoinear desacopado. O trecho inicia desse caminho, qe margeia a soção fndamenta do sistema perfeito, é estáve até a interseção com m dos caminhos não-ineares acopado. Os demais caminhos srgem devido ao acopamento moda e são todos instáveis.

10 63 Figra 3.8: Caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ e ψ 0. Modeo de Agsti com imperfeição geométrica. a Pano θ xλ b Pano θ xλ c Pano θ xθ Figra 3.9: Projeções dos caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ e ψ 0. Modeo de Agsti com imperfeição geométrica. Os caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ com vaores de ψ diferentes de zero com exceção de ψ 90,80, 70 pea simetria com ψ 0, a saber: ψ 5 e ψ 45, são apretados nas Figras 3.0 e 3.. Para vaores não-nos de ψ o sistema não apreta caminhos desacopados. O caminho qe srge próximo ao ponto de eqiíbrio estático do modeo perfeito corresponde à configração inicia descarregada, qe se sita próximo à soção fndamenta do sistema perfeito, é estáve até atingir m ponto de máximo correspondente à carga imite, λ im, qando se torna instáve. A carga imite, nesses casos, corresponde a ma bifrcação nó-sea.

11 64 a ψ 5 b ψ 45 Figra 3.0: Caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ. Modeo de Agsti com imperfeição geométrica. a. Pano θ xλ a. Pano θ xλ a.3 Pano θ xθ a ψ 5 b. Pano θ xλ b. Pano θ xλ b.3 Pano θ xθ b ψ 45 Figra 3.: Projeções dos caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ. Modeo de Agsti com imperfeição geométrica.

12 65 Para todos esses casos, verifica-se qe, se o sistema for carregado qase estaticamente a partir de zero, os caminhos não-ineares de eqiíbrio do sistema imperfeito margeiam o caminho fndamenta do sistema perfeito, apretando iniciamente peqenas defexões aterais. Porém, qando o vaor da carga estática se aproxima do vaor da carga crítica do sistema perfeito, passa-se a ter grandes defexões aterais. Ao se considerar ma imperfeição negativa, tem-se qe os restados nada mais são qe m espehamento das respostas aqi apretadas. Na Figra 3. apreta-se a variação da carga imite ponto de bifrcação com o amento da magnitde da imperfeição geométrica, φ, para diferentes vaores de ψ. Tomando-se como referência a magnitde da carga crítica do sistema perfeito, λ. 0, verifica-se qe o amento da imperfeição dimini a cr capacidade de carga da estrtra e qe esse efeito é maior qanto maior for ψ, do qe a máxima sibiidade a imperfeições ocorre para ψ 45, qando o acopamento moda é máximo. Figra 3.: Variação da carga imite ponto de bifrcação com as grandezas qe definem a imperfeição, φ e ψ. Modeo de Agsti com imperfeição geométrica Sperfícies de Energia Mostram-se na Figra 3.3 as crvas de níve das sperfícies de energia potencia dos diferentes casos em estdo, para λ Constata-se qe em todos os casos tem-se m ponto de mínimo e qatro pontos de sea.

13 66 Vae destacar qe, na anáise dinâmica, o sistema imperfeito não oscia em torno da posição de eqiíbrio fndamenta do modeo perfeito θ θ 0 e sim dos pontos de mínimos, qe correspondem às posições estáveis de eqiíbrio estático. a ψ 0 b ψ 5 c ψ 45 Figra 3.3: Sperfícies de energia potencia tota para λ 0.9 e φ. Modeo de Agsti com imperfeição geométrica. 3.. Modeo de Torre Estaiada Na anáise estática apretada a segir mostra-se a infência dos parâmetros do sistema e das imperfeições no comportamento da torre estaiada Modeo Perfeito Partindo da energia potencia tota., considerando 0, temse a energia potencia tota do modeo perfeito, a saber: 0 0 V 3 P 3.

14 67 Segindo Thompson & Gaspar 977, admite-se qe a rigidez da segnda e terceira moas são igais, o seja, K υ 3 onde υ é ma constante positiva, e qe a rigidez da primeira moa é dada por K υ. Assim, pode-se reescrever 3. como: P V 3. Derivando 3. em reação às coordenadas generaizadas e, obtêmse as eqações de eqiíbrio: 0 sin P 3.3a 0 cos P 3.3b

15 68 Essas eqações de eqiíbrio admitem a soção trivia: 0, para todo P 3.4 qe corresponde ao estado indeformado soção fndamenta de eqiíbrio. Existe também a soção desacopada caminho secndário: P cos 0, 0 cos 0 cos 3.5 qe descreve o caminho pós-crítico do sistema desacopado ao ongo da coordenada generaizada. O sistema não apreta m caminho pós-crítico desacopado ao ongo da coordenada generaizada. Há, ainda, as soções nãoineares acopadas qe são obtidas considerando-se 0 em 3.3. Derivando a energia potencia tota 3. pea segnda vez e sando a soção fndamenta, 0, chega-se às expressões: P 0 3.6a cos P 0 3.6b onde 3.6a é a expressão obtida derivando a energia potencia das vezes em reação à coordenada generaizada e 3.6b é a expressão obtida derivando a energia potencia das vezes em reação à coordenada generaizada. As otras derivadas segndas são nas. A partir das eqações 3.6, tem-se qe às cargas críticas são dadas por: Pcr 3.7a

16 69 Pcr cos 3.7b Para qe Pcr Pcr, considera-se υk e υ K, obtendo-se a partir de 3.7: 3.8a 4 υ K Pcr 3.8b 4 Como υ não pode ser ma qantidade negativa, deve-se respeitar a seginte restrição Thompson & Gaspar, 977: Homeocina 8 y Anticina 90 Monocina 3 64 x 45 Homeocina 0 a Vista sperior do modeo b Variação de Figra 3.4: Comportamento do modeo de torre estaiada em fnção do ângo Thompson & Gaspar, 977. Segndo Thompson & Gaspar 977 e Thompson & Hnt 984, este sistema exibe diferentes tipos de comportamento em fnção do ângo. Nesse contexto, através dos estdos das terceiras e qartas derivadas da energia

17 70 potencia tota, apretados naqees trabahos, pode-se concir qe o modeo possi três comportamentos distintos, como istra a Figra 3.4. Para < e < 35 8, tem-se eqações diferenciais parciais hiperbóicas caso homeocina, para < < 90 64, tem-se eqações diferenciais parciais hiperbóicas caso monocina e para < < 8 90, tem-se eqações diferenciais parciais eípticas caso anticina. Dividindo as eqações 3.3 por Pcr e tiizando as expressões 3.8a, υk e K υ, obtêm-se as eqações de eqiíbrio adimensionais: 0 λ 3.0a 0 4 cos λ 3.0b onde Pcr P / λ Caminhos Pós-Críticos Com base na formação anterior, obtém-se a soção fndamenta e os caminhos pós-críticos do segndo modeo para os três casos destacados monocina, homeocina e anticina.

18 Comportamento Monocina O comportamento monocina é istrado nas Figras 3.5 e 3.6 considerando 75. Verifica-se qe a soção fndamenta de eqiíbrio é estáve até a carga crítica estática λ. 0, e qe o caminho pós-crítico cr desacopado ao ongo da coordenada generaizada é instáve. Neste caso o sistema não apreta as soções pós-críticas acopadas. Figra 3.5: Caminhos pós-críticos para 75 - caso monocina. Modeo de torre estaiada perfeito. a Pano xλ b Pano xλ c Pano x Figra 3.6: Projeções dos caminhos pós-críticos para 75 - caso monocina. Modeo de torre estaiada perfeito.

19 Comportamento Homeocina As Figras 3.7 e 3.8 mostram o comportamento do sistema considerando o caso homeocina 50. Para essa configração, o sistema apreta a soção fndamenta estáve no trecho 0 P Pcr. A soção pós-crítica desacopada é estáve entre o ponto de bifrcação correspondente à carga crítica e a bifrcação nó-sea qe corresponde a m ponto imite de carregamento, do os otros trechos instáveis. As das soções pós-críticas acopadas são simétricas e instáveis. Figra 3.7: Caminhos pós-críticos para 50 - caso homeocina. Modeo de torre estaiada perfeito. a Pano xλ b Pano xλ c Pano x Figra 3.8: Projeções dos caminhos pós-críticos para 50 - caso homeocina. Modeo de torre estaiada perfeito.

20 Comportamento Anticina Na Figra 3.9 apretam-se os caminhos pós-críticos para o caso anticina, adota-se 0. O caminho fndamenta de eqiíbrio é estáve no trecho 0 P Pcr e, devido ao acopamento moda, todos os caminhos póscríticos são instáveis. A Figra 3.0 mostra os caminhos pós-críticos projetados em três panos ortogonais. Figra 3.9: Caminhos pós-críticos para 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada perfeito. a Pano xλ b Pano xλ c Pano x Figra 3.0: Projeções dos caminhos pós-críticos para 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada perfeito.

21 Sperfícies de Energia As sperfícies de energia apretadas a segir são obtidas diretamente do fnciona de energia potencia tota do modeo, eqação 3. e estão de acordo com aqeas apretadas por E Naschie 990 para estas sperfícies de catástrofe Comportamento Monocina Apretam-se na Figras 3. as sperfícies de energia potencia para o caso monocina com 75, considerando λ 0. 7 e λ. 5. a λ 0.7 b λ.5 Figra 3.: Sperfícies de energia potencia tota para 75 - caso monocina. Modeo de torre estaiada perfeito. Observa-se na Figra 3.a qe, para níveis de carregamento inferiores à carga crítica estática, a sperfície de energia apreta m ponto de mínimo, qe é correspondente a soção fndamenta PMi, e m ponto de sea correspondente à soção desacopada PS. Verifica-se, como no primeiro modeo, qe, em virtde das soções pós-críticas instáveis para λ < λcr, existe a possibiidade de perda de estabiidade para cargas inferiores à carga crítica qando as pertrbações excedem os imites do vae potencia pré-crítico. Para cargas estáticas speriores à carga crítica, Figra 3.b, nota-se a existência de m ponto de máximo, dado pea soção fndamenta de eqiíbrio PMa e m ponto de sea PS.

22 Comportamento Homeocina As sperfícies de energia potencia tota para o caso homeocina, 50, considerando λ 0. 7 e λ. 5, são apretadas na Figra 3.. a λ 0.7 b λ.5 Figra 3.: Sperfícies de energia potencia tota para 50 - caso homeocina. Modeo de torre estaiada perfeito. Verifica-se qe, para carga inferiores à carga crítica, a sperfície de energia exibe m ponto de mínimo correspondente à soção fndamenta de eqiíbrio PMi, m ponto de máximo referente a soção desacopada PMa e dois pontos de sea correspondentes às soções acopadas PS. Para cargas inferiores à carga crítica existe a possibiidade de perda de estabiidade desde qe as pertrbações excedam os imites do vae potencia pré-crítico, cja fronteira é imitada peos dois pontos de sea. Para carregamentos speriores à carga crítica o sistema apreta m ponto de máximo, correspondente à soção fndamenta de eqiíbrio PMa, m ponto de mínimo referente à soção desacopada PMi e três pontos de sea, m reativo à soção desacopada e dois reativos às soções acopadas PS.

23 Comportamento Anticina A Figra 3.3 mostra as sperfícies de energia potencia para o caso anticina com 0, considerando λ 0. 7 e λ. 5. a λ 0.7 b λ.5 Figra 3.3: Sperfícies de energia potencia tota para 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada perfeito. Constata-se na Figra 3.3a qe, para níveis de carregamentos inferiores ao crítico, a sperfície de energia exibe m ponto de mínimo correspondente à soção fndamenta de eqiíbrio PMi e três pontos de sea, m corresponde a soção desacopada e dois reativos às soções acopadas PS. Nota-se qe, novamente, para as cargas inferiores à carga crítica existe a possibiidade de perda de estabiidade desde qe as pertrbações excedam os imites da região em torno da configração fndamenta imitada peos três pontos de sea. A Figra 3.3b mostra a sperfície da energia potencia tota considerando λ. 5, portanto para ma carga sperior à carga crítica. Nota-se neste caso a existência de m ponto de máximo PMa, correspondente à soção fndamenta de eqiíbrio - qe se torno instáve - e três pontos de sea PS Infência da Rigidez Reativa das Moas Admite-se neste caso ma peqena diferença entre as constantes de rigidez e, o seja, Pcr Pcr, para demonstrar a infência da rigidez

24 77 reativa das moas. Na anáise estática o qe mda em reação ao modeo perfeito é qe o sistema passa a apretar dois pontos de bifrcação. Essa sitação somente é vaida para 0. Assim é necessária a introdção de m novo parâmetro, α, para expressar a diferença entre as constantes das moas, e considera-se 3. Esse parâmetro é introdzido no sistema através da grandeza: α 3. 4 υ a saber: Assim, pode-se obter as cargas críticas associadas ao sistema com 0, Pcr K Pcr α 3.a 4 K 3.b α 4 Por fim, tem-se qe as eqações de eqiíbrio adimensionaizadas em fnção da carga crítica do modeo perfeito tomam a forma: α λ 0 3.3a

25 cos λ α α 3.3b 3... Caminhos Pós-Críticos As Figras 3.4 e 3.5 mostram o caminho fndamenta e os caminhos póscríticos para α e 4. α, considerando 0. Para < α, tem-se qe o caminho fndamenta é estáve para 0 Pcr P e qe os caminhos póscríticos são todos instáveis, Figra 3.4a. Para > α, verifica-se qe a soção fndamenta no trecho 0 Pcr P e o caminho pós-crítico associado a soção desacopada, até a interseção com m dos caminhos acopados, são estáveis, Figra 3.4b. Sendo qe as soções pós-críticas acopadas são instáveis. a α 0.76 b α.4 Figra 3.4: Caminhos pós-críticos para 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada considerando a infência da rigidez reativa das moas.

26 79 a. Pano xλ a. Pano xλ a.3 Pano x a α 0.76 b. Pano xλ b. Pano xλ b.3 Pano x b α.4 Figra 3.5: Projeções dos caminhos pós-críticos para 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada considerando a infência da rigidez reativa das moas Sperfícies de Energia Apretam-se na Figra 3.6 as crvas de níve das sperfícies de energia potencia para α e α. 4, considera-se λ 0. 7 e 0. Observa-se qe em ambos os casos o sistema apreta, como no modeo perfeito, m ponto de mínimo, referente à soção fndamenta, e três pontos de sea, referentes à soção desacopada e às soções acopadas. Qando a rigidez reativa das moas, α, dimini gradativamente, as osciações vão se restringindo à direção de eixo pano d / dt, pois a rigidez da moa qe está ocaizada no eixo pano d / dt amenta. Verifica-se exatamente o contrário qando a rigidez reativa das moas amenta, o seja, as osciações se restringem ao eixo, pois dimini, e e 3 amentam.

27 80 a α 0.76 b α.4 Figra 3.6: Sperfícies de energia potencia tota para λ 0.7 e 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada considerando a infência da rigidez reativa das moas Modeo com Imperfeição Geométrica Partindo da expressão., qe repreta a energia potencia tota da torre estaiada com imperfeição geométrica, e derivando em fnção das coordenadas generaizadas, e, obtém-se o seginte sistema de eqações de eqiíbrio: } } P 3.4a

28 8 } } 0 cos P 3.4b As eqações 3.4 não mais admitem soção trivia 0. As soções não-ineares são samente acopadas, com exceção do seginte caso particar: 0 0, cos cos cos cos 0 0 P 3.5 Por fim, podem-se obter as eqações de eqiíbrio adimensionais, qe são tiizadas no decorrer da anáise estática. Lembrando qe K υ e K υ, tem-se:

29 8 } } λ 3.6a } } 0 4 cos λ 3.6b onde Pcr P λ e Pcr repreta a carga crítica do sistema perfeito Caminhos Não-Lineares de Eqiíbrio São apretados nas Figras 3.7 e 3.8 os caminhos não-ineares de eqiíbrio considerando φ com 0 ψ e 90 ψ 0.

30 83 a ψ 0 b ψ 90 Figra 3.7: Caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ e 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada com imperfeição geométrica. a. Pano xλ a. Pano xλ a.3 Pano x a ψ 0 b. Pano xλ b. Pano xλ b.3 Pano x b ψ 90 Figra 3.8: Projeções dos caminhos não-ineares de eqiíbrio para φ e 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada com imperfeição geométrica.

31 84 Nos caminhos não-ineares para ψ 0 observa-se qe o trecho inicia do caminho não-inear acopado mais próximo a soção fndamenta do sistema perfeito é estáve até atingir ma carga imite, λ im ponto de máximo correspondente à carga imite - bifrcação nó-sea. Os demais caminhos nãoineares acopados são todos instáveis. Sitação simiar é encontrada para todos os vaores ψ, com exceção de dois casos, a saber: ψ 90 e ψ 80. Para ψ 90, o sistema apreta ma eqação desacopada ao ongo do eixo, expressão 3.5, qe fornece m caminho não-inear desacopado. O trecho inicia desse caminho, qe margeia a soção fndamenta do sistema perfeito, é estáve até a interseção com m dos caminhos acopados bifrcação sbcrítica. Os caminhos acopados são todos instáveis. Na Figra 3.9 apreta-se a variação da carga imite λ im com o amento da magnitde da imperfeição geométrica, para diferentes vaores de ψ. Tomando-se como referência a carga crítica do sistema perfeito, λ. 0, verifica-se qe o amento da imperfeição eva a ma perda da capacidade de carga e qe a maior sibiidade a imperfeições ocorre para ψ 45. cr Figra 3.9: Variação da carga imite ponto de bifrcação com as grandezas qe definem a imperfeição, φ e ψ, para 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada com imperfeição geométrica.

32 Sperfícies de Energia A Figra 3.30 mostra as crvas de níve das sperfícies de energia potencia para φ com ψ 0 e ψ 90, considerando λ 0. 7 e 0. Verificase qe em todos os casos tem-se m ponto de mínimo e três pontos de sea. a ψ 0 b ψ 90 Figra 3.30: Sperfícies de energia potencia tota para φ, λ 0.7 e 0 - caso anticina. Modeo de torre estaiada com imperfeição geométrica.