Lista de Exercícios Teoria de Grafos

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1 Lista de Eercícios Teoria de Grafos Qais são as diferenças entre grafos simples e mltigrafos? 2. Constra m eemplo de grafo simples dirigido e m não dirigido. 3. Constra m eemplo de mltigrafo dirigido e m não dirigido. 4. Constra os grafos não-dirigidos a partir dos conjntos de értices e arestas dados a segir: a) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 4)}; b) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}; c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}; d) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}; e) V = {1, 2, 3, 4} e A = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}; f) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}. 5. Dados os grafos da qestão anterior, classifiqe-os como simples o mltigrafos. 6. Constra m grafo simples coneo, com as segintes seqências de gras: a) (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6) b) (3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5). 7. Para o grafo a segir, responda: a) é m grafo simples? b) é m grafo completo? c) é m grafo coneo? d) eistem dois caminhos entre os értices 3 e 6? e) o grafo possi algm ciclo? f) o grafo possi algm arco cja remoção o tornaria m grafo acíclico? g) o grafo possi algm arco cja remoção o tornaria desconeo? 4 c d 3 a b 2 e 5 f g 8. Esboce ma figra para cada m dos segintes grafos: a) Um grafo simples com 3 értices de gra 2. b) Um grafo de 4 értices, com ciclos de tamanho 1, 2, 3 e 4. c) Um grafo não completo com 4 értices, de gra 4.

2 9. Escrea a seqência de gras para os grafos a, b e c. 10. Dado o grafo abaio, qais afirmações estão corretas? ( ) Os értices e são adjacentes; ( ) Os értices e são adjacentes; ( ) A aresta 2 é incidente ao értice ; ( ) A aresta 5 é incidente ao értice 11. Constra todos os grafos completos com até 8 értices. Qantas arestas tem cada m desses grafo? E se tier n értices? 12. Constra todos os grafos ciclo com até 6 értices. 13. Constra os segintes grafos bipartidos completos: K 1,1, K 1,2, K 1,3, K 2,2, K 2,3, K 2,4, K 3,3, K 3,4, K 4, Encontre três grafos planares tais qe sa nião é o grafo completo com 10 értices. 15. Falso o erdadeiro? (Jstifiqe). a) Se G é m grafo desconeo, então se complemento G é coneo. b) Não eiste grafo 3-reglar com 7 értices. c) Se G é m grafo coneo, e f é ma aresta qe pertence a toda árore geradora de G, então f é ma ponte. d) Se G é m grafo com eatamente dois értices de gra ímpar, então eiste m caminho ligando estes értices em G. e) Um grafo pode ser desenhado no plano sem cramento de arestas se e somente se o grafo não contém m sb-grafo completo K 5, nem m sb-grafo bipartido K 3,3 f) Um grafo completo com n értices, o número de arestas seriam combinações de n arestas das a das: n!/2!(n-2)! 15. Constra o grafo complementar de :.

3 16. Encontre nos grafos abaio todas as cliqes. r y y r 17. Qantos értices m grafo simples precisa ter para poder ter 200 arestas? 18. Qal o grafo complementar do grafo qe tem das componentes coneas isomorfas a K 3 e K 7? 19. Mostre qe m grafo G é desconeo então G tem m sbgrafo bipartido completo. Mostre qe a recíproca não é erdadeira. 20. Epliqe porqe é qe a seqência ACEDBCA não é m circito Hamiltoniano para o grafo a segir. Este grafo admite m circito Hamiltoniano? A D C B E 21. Nenhm dos grafos segintes admite circitos de Hamilton. Será possíel, acrescentando ma única aresta a cada m desses grafos, obter grafos qe admitam circito Hamiltonianos? 22. Para os grafos, a segir: 22.a) Informe qais admitem caminho o m ciclo Hamiltoniano. 22.b) Eperimente apagar a aresta AB a m dos grafos do eercício anterior. Sem aresta, ainda admite circito Hamiltoniano? Se não admitirem, jstifiqe sa resposta.

4 23. Será qe os grafos segintes admitem circitos Hamiltonianos? Se não admitirem, tente proar qe não admitem. 24. O grafo seginte tem três circnferências concêntricas e qatro raios. Qe condições deem ser satisfeitas por m número de raios) para qe m grafo deste tipo admita m circito Hamiltoniano? (m >2, n >1) 25. O grafo a segir, é ma grelha 3 por 4. Qe condições deem ser satisfeitas por m e n para qe m grafo de grelha retanglar m por n admita m circito Hamiltoniano?

5 26. Para os grafos, a segir: 26.a) Informe qais admitem caminho o m ciclo Eleriano. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 27. Na figra abaio, qais dos grafos (a, b o c) são sbgrafos do grafo G?

6 28. Na figra abaio, qais dos grafos (a, b o c) são sbgrafos do grafo H? 29. Dado o Grafo G, os sbgrafos H1 e H2 são Sbgrafos Geradores de G? G H 1 H Informe qais os grafos abaio são coneos. Qais são fracamente coneos? Qais são fortemente coneos? a) b) c) d) e) f)

7 g) h) a b a c c e d e d 31. Os dois grafos abaio são isomorfos? Em caso afirmatio, encontre ma correspondência de m para m entre os értices do primeiro com os értices do segndo grafo. Caso contrário, epliqe porqe tal correspondência não eiste. a) a b y d c b) c) c) 1 a 5 2 e b 4 3 d c

8 d) e) f) g) h)

9 i) j) k) l) 32. Qal o grafo complementar do grafo qe tem das componentes coneas isomorfas a Kr e Ks? 33. Ache ma bijeção de értices qe defina m isomorfismo entre os grafos abaio:

10 s r t s y q r t 34. Nos pares de grafos abaio, mostre qal é bipartido. a) b) 35. Encontre m circito em cada m dos grafos abaio qe considere todas as arestas e tenha o menor número possíel de repetições. 36. Um grafo G representa ma rede de ras para serem percorridas por m carteiro qe tem de atraessar cada ra das ees, ma por cada lado da ra. Nesse grafo G, as arestas representam os passeios. Será qe qalqer grafo deste tipo admite m circito de Eler? Epliqe a sa resposta. 37. Sponha qe, para certo grafo, é possíel torná-lo desconeo retirando-lhe ma aresta. Mostre qe m grafo deste tipo tem pelo menos m értice de alência ímpar. (Mostre qe tal grafo não admite m circito de Eler).