2 Modelagem do problema em teoria dos grafos

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1 Introdção à Teoria dos Grafos Bacharelado em Ciência da Comptação UFMS, 005 ÁRVORE GERADORA DE CUSTO MÍNIMO Resmo No Capítlo Árores, estdamos mitas propriedades importantes sobre esses grafos especiais. Um problema qe aparece com freqüência na prática é o de encontrar ma árore geradora de csto mínimo. Em geral, temos m grafo coneo com cstos associados às sas arestas e qeremos encontrar m sbgrafo gerador deste grafo qe não contenha circitos e tenha csto mínimo. Este problema foi inicialmente proposto por Borůka [,] em 96, qando estaa trabalhando na constrção de ma rede de eletrificação rral da cidade de Moráia do Sl, na antiga Tchecosloáqia. Motiação Sponha qe m grpo de olntários tenha se prontificado a realizar trabalhos de assistência social aos habitantes de diersas cidades miseráeis do nordeste. Idealmente, linhas telefônicas deem ser constrídas ao longo de algmas estradas eistentes qe conectam essas ilas mas com as otras. Desejamos, na erdade, constrir linhas telefônicas de tal forma qe todo par de cidades possa se comnicar por telefone. Além disso, o total de qilômetros de linhas telefônicas dee ser minimizado. O seja, o problema é determinar ao longo de qais estradas estas linhas telefônicas deem ser constrídas para qe se obtenha o sistema de telecomnicações desejado. Modelagem do problema em teoria dos grafos A constrção de tal rede de telecomnicações tem ma representação gráfica óbia. Podemos associar m grafo a esta descrição, onde cada értice corresponde a ma cidade e ma aresta entre dois értices representa ma estrada entre as cidades correspondentes. O comprimento de tal estrada é indicado no grafo pela atribição de m csto à aresta correspondente. Assim, estaremos trabalhando com m grafo com cstos nas arestas G. Seja G m grafo com cstos nas arestas dado pela fnção c: E G R 0. Seja X E G e defina c(x) = e X c(e) o csto do conjnto de arestas X em G. O csto c(h) de m sbgrafo H de G é dado então por c(h) = c(e H ). A solção de nosso problema consiste em encontrar m sbgrafo gerador coneo T do grafo com cstos G, com o menor csto possíel. O sbgrafo gerador T é necessariamente ma árore, já qe sabemos qe T é coneo. Além disso, se T contém m circito, então a remoção de qalqer aresta deste circito reslta em m

2 sbgrafo coneo de menor csto. Assim, T não pode conter circito e portanto é ma árore. Dessa forma, ma rede de telecomnicações desejada contendo a qantidade mínima de qilômetros de linhas telefônicas corresponde a ma árore T de G com csto mínimo. Tal árore é chamada ma árore geradora de csto mínimo. Nos deparamos então com o seginte problema: Problema MST(G, c): dado m grafo G com cstos nas arestas atribídos por ma fnção csto c: E G R 0, encontrar ma árore geradora de csto mínimo T de G. O problema da árore geradora de csto mínimo, m dos mais bem conhecidos problemas em otimização combinatória, parece ter sido originalmente proposto por Borůka [,] em 96, qando consideraa a eletrificação rral da cidade de Moraia do Sl, antiga Tchecosloáqia. Graham e Hell [4] disctem este problema e sa história. Um número razoáel de solções algorítmicas para este problema tem sido proposto, com talez o mais famoso deles deido a Krskal [5]. Borůka [,] e Prim [6] também propseram bons algoritmos ligeiramente diferentes entre si e entre o algoritmo de Krskal. Uma descrição mais acessíel destes algoritmos pode ser encontrada em []. Algoritmo de Krskal O objetio do algoritmo de Krskal é selecionar scessiamente arestas de menor csto de m grafo coneo com cstos, sem gerar circitos e até qe ma árore tenha sido prodzida. O algoritmo de Krskal é m algoritmo gloso, já qe ele seleciona repetidamente ma aresta de menor csto das arestas de entrada restantes, sem qe m circito seja prodzido. KRUSKAL(G, c): recebe m grafo G e ma fnção csto c: E G R 0 e deole ma árore geradora de csto mínimo T de G. : {Inicialize o conjnto S, qe consistirá das arestas de ma árore geradora de csto mínimo.} S. : {O conjnto S é incrementado.} Seja e ma aresta de menor csto tal qe e S e sponha qe G[S {e}] não contém circitos. Faça S S {e}. : {Este passo determina se ma árore geradora mínima foi constrída.} Se S = p, então deola T = G[S]; caso contrário, á para o Passo. Podemos agora, como eemplo, aplicar o algoritmo de Krskal ao grafo com cstos G da figra. Obsere qe as arestas de G deem estar ordenadas em ordem não descrescente de ses cstos para qe o algoritmo fncione satisfatoriamente. É fácil realizar a análise deste algoritmo. Em m primeiro passo de pré-processamento, as arestas de m grafo de entrada G de ordem p e tamanho q deem ser ordenadas de tal forma

3 (c) (d) (a) (b) PSfrag replacements G Figra : Constrindo ma árore geradora de csto mínimo com o algoritmo de Krskal.

4 qe c(e ) c(e )... c(e q ). O pré-processamento pode então ser eectado em tempo O(q log q). Os Passos, e do algoritmo podem ser eectados em tempo constante. No entanto, os Passos e são eectados sobre cada aresta de G, e portanto, o tempo de eecção nestes dois passos é O(q). Logo, o tempo de eecção total do algoritmo de Krskal é, na erdade, eqialente ao tempo gasto em se pré-processamento, o seja, O(q log q). Podemos demonstrar qe o grafo G[S] obtido pelo algoritmo de Krskal, a partir de m grafo não triial, coneo e com cstos G, é de fato ma árore geradora de csto mínimo. Este resltado é apresentado a segir e sa demonstração pode ser encontrada em []. TEOREMA. O algoritmo de Krskal prodz ma árore geradora de csto mínimo de m grafo não triial, coneo e com cstos nas arestas. PROVA. Seja G m grafo coneo não triial com cstos nas arestas dados pela fnção csto c, de ordem p, e seja T m sbgrafo prodzido pelo algoritmo de Krskal. Certamente, T é ma árore geradora de G com tamanho p e E T = {e, e,..., e p }, onde c(e ) c(e )... c(e p ). Portanto, o csto de T é p c(t ) = c(e i ). i= Sponha, pelo contrário, qe T não é ma árore geradora de csto mínimo de G. Então, escolha ma árore T entre as árores geradoras de G qe tem número máimo de arestas em comm com T. Como as árores T e T não são idênticas eiste pelo menos ma aresta de T qe não pertence a T. Seja e i, com i p, a primeira aresta de T qe não está em T e defina G 0 = T + e i. Então, G 0 tem eatamente m circito C. Como T não tem circitos, eiste ma aresta e 0 de C qe não está em T. O grafo T 0 = G 0 e 0 é também ma árore geradora de G e c(t 0 ) = c(t ) + c(e i ) c(e 0 ). Como c(t ) c(t 0 ), sege qe c(e 0 ) c(e i ). Pelo algoritmo de Krskal, e i é ma aresta de csto mínimo tal qe o sbgrafo G[{e, e,..., e i } {e i }] não contém circitos. Portanto, G[{e, e,..., e i, e 0 }] é m sbgrafo de T qe não contém circitos e c(e i ) = c(e 0 ). Assim, c(t 0 ) = c(t ) o qe implica qe T 0 é também ma árore geradora de csto mínimo de G. Mas T 0 tem mais arestas em comm com T qe T com T, o qe contradiz a nossa sposição inicial. 4

5 Referências Este teto foi prodzido com a conslta à referência []. Os artigos originais qe propõem os algoritmos para encontrar ma árore geradora de csto mínimo de Borůka, Krskal e Prim estão listado a segir em [,], [5] e [6], respectiamente. Uma história sobre o problema da árore geradora de csto mínimo é descrita em [4]. [] O. Borůka, O jistém problém minimálním, (Czech), Acta Societ. Scient. Natr. Moraicae,, pp. 7-58, 96. [] O. Borůka, Príspeek k reseníotázk ekonomické stab elektroodnich sítí, (Czech), Elecktrotechnik obzor, 5, pp. 5-54, 96. [] G. Chartrand and O. R. Oellermann, Applied and Algorithmic Graph Theor, McGra-Hill, Inc., 99. [4] R. L. Graham and P. Hell, On the histor of the minimm spanning tree problem, Ann. Histor Compt., pp. 4-57, 985. [5] J. B. Krskal, On the shortest spanning tree of a graph and the traeling salesman problem, Proc. Amer. Math. Soc., 7, pp , 956. [6] R. C. Prim, Shortest connection netorks and some generalizations, Bell Sst. Tech. J., 6, pp ,