Propriedades Espectrais dos Grafos do tipo Aranha

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1 September 4-8, 01 Propriedades Espectrais dos Grafos do tipo Aranha Renata R. Del-Vecchio Atila Areira Jones Institto de Matemática e Estatística Universidade Federal Flminense- UFF Ra Mário Santos Braga S/N Valonginho Niteroi, RJ Resmo Os grafos aranha vêm sendo estdados recentemente em problemas de coloração. Como o número cromático de m grafo está relacionado com se índice (maior atovalor da matriz de adjacência do grafo), investigaremos neste trabalho o espectro dos grafos aranha magra e aranha gorda e dos sbgrafos indzidos pela nião de C (conjnto dos vértices do corpo da aranha) e K (conjnto dos vértices da cabeça da aranha)com atenção especial para o índice destes grafos. Provamos qe nenhm destes grafos é m grafo integral. Estabelecemos ainda condições para qe o índice de cada m seja m número inteiro, gerando famílias infinitas de grafos-aranha não-integrais com índice inteiro. PALAVARAS CHAVE:grafo-aranha, join de grafos, índice de grafo, grafo integral. Área: TAG - Teoria e Algoritmos em Grafos Abstract The spider graphs have been stdied recently in coloring problems. Since the chromatic nmber of a graph is related to its index (the largest eigenvale of the adjacency matrix of the graph), the aim of this paper is to investigate the spectrm of the thin spider and the thick spider and the spectrm of the spider sbgraph indced by the nion of C (vertex set of the spiders body) and K (vertex set of the spiders head), with special emphasis on the index of these graphs.. We prove that all these graphs are non integral graphs. We have also established conditions for the index of each one to be an integer, generating infinite families of non-integral spider graphs with integer index. KEYWORDS: spider graph, join of graphs, index of a graph, integral graph. Area: TAG - Theory and Algorithms in Graphs

2 September 4-8, 01 1 Introdção Os grafos com pocos P 4 têm sido alvo de interesse em problemas de coloração. Em especial, os grafos aranha vêm sendo estdados neste contexto, [3]. No entanto, não são conhecidos resltados espectrais de tais grafos. Dentre as investigações em Teoria Espectral de Grafos, a bsca por grafos integrais, isto é, aqeles qe têm todos os atovalores inteiros, vem despertando grande interesse desde 1974, qando Harary and Schwenk colocaram a qestão Which graphs have integral spectra?, em [7]. A partir daí mitos otros artigos abordaram a qestão, tais como, [1], [8] e []. Observamos entretanto qe, em mitas aplicações, é relevante apenas qe o índice (maior atovalor) seja m número inteiro. Como o índice e o número cromático são invariantes relacionados por desigaldades, [9], [4], eles poderão coincidir apenas qando o índice for m número inteiro.. Isto nos motivo a bscar grafos não-integrais com índice inteiro. No presente trabalho obtemos o espectro dos grafos aranha gorda e aranha magra, no caso especial em qe a cabeça é m conjnto independente. Nestes dois casos constatamos qe o grafo nnca é integral. Obtemos então condições qe garantem qe o índice seja m número inteiro e, a partir daí, são geradas famílias infinitas de grafos nestas classes, com índice inteiro. Segindo nesta mesma linha de investigação, estdamos grafos formados por join de dois grafos reglares, m grafo correspondendo ao corpo e otro à cabeça, de acordo com a definição da aranha, mas considerando o conjnto das pernas vazio. São os grafos aqi denominados de aranhas sem pernas. Também nesta classe obtemos famílias infinitas de grafos não integrais com índice inteiro. Noções básicas Nesta seção estabeleceremos as definições, notações e resltados sobre grafos e matrizes, necessários para o desenvolvimento do trabalho. Seja G = (V,E) m grafo simples com n vértices e D(G) = diag(d 1,...,d n ) a matriz diagonal dos gras dos vértices. Seja A(G) = (a i j ), onde { 1, se vi v a i j = j 0, caso contrário. a matriz de adjacḙncia de G. O espectro de G é o espectro de A(G) e o índice de G é o maior atovalor de A(G), denotado por ind(g). Indicaremos por J a matriz com todas as entradas igais a m e por Θ a matriz nla. Ennciaremos m lema (ver [6]) sobre matrizes, essencial nas provas das das primeiras proposições. LEMA.1. Seja M ma matriz qadrada de ordem n. Sponhamos qe M seja da forma M 1,1 M 1,... M 1,k M,1 M,... M,k M =., M k,1 M k,... M k,k onde M i, j, 1 i, j k, é ma matriz de n i n j tal qe sas linhas tḙm somas constantes igais a c i j. Seja M = [c i j ] k k. Então, os atovalores de M são também atovalores de M. Lembramos agora a definição de join de dois grafos e m resltado sobre o polinômio característico do grafo resltante do join de grafos reglares. 4106

3 September 4-8, 01 DEFINIÇÃO.1. [5] O join dos grafos G 1 e G, é o grafo G 1 G obtido de G 1 G inserindo todas as asrestas entre os vértices de G 1 e G PROPOSIÇÃO.1. [5] Para i = 1,, seja G i m grafo r i reglar com n i vértices. polinˆomio característico do grafo G 1 G é: Então o onde f(x) = x (r 1 + r )x+r 1 r n 1 n. Definiremos agora os grafos aranha. P(x) = P(G 1,x).P(G,x) (x r 1 )(x r ) f(x), DEFINIÇÃO.. [3] Um grafo G(V,E) é ma aranha se o conjnto V pode ser particionado em conjntos S,C e K tais qe S = {s 1,...,s k } é m conjnto independente, C = {c 1,...,c k } ma cliqe; existem todas as arestas entre os vértices de K e C e não há arestas entre os vértices de K e S. Por último temos qe s i é adjacente a c j se, e somente se, i = j (denominando aranha magra), o qando i j (aranha gorda). Os conjntos S,C e K = {r 1,...,r j } são chamados, pernas, corpo e cabeça da aranha, nesta ordem. Notação: Um grafo do tipo aranha magra será denotada por G m [k, j], onde sas pernas e se corpo possem, cada, k vértices e a cabeça possi j vértices. O grafo do tipo aranha gorda será denotado por G g [k, j] EXEMPLO.1. Exemplo de m grafo do tipo aranha magra cja cabeça forma m conjnto independente. Figra 1: G m [6,3] EXEMPLO.. Exemplo de m grafo do tipo aranha gorda cja cabeça forma m conjnto independente. Figra : G g [6,3]

4 September 4-8, 01 3 Propridades Espectrais das aranhas 3.1 Aranha Magra PROPOSIÇÃO 3.1. Seja G m [k, j] ma aranha magra, cja cabeça é formada por m conjnto independente, então o se espectro é: spect(g m [k, j]) = k 1 (k 1) +4k j k 1+ (k 1) +4k j+4 1 k 1 j k 1 1 Demonstração. Seja G m [k, j] m grafo do tipo aranha magra, cja cabeça é m conjnto independente. Afim de não sobrecarregar a notação, vamos escrever somente G m qando estivermos nos referindo ao grafo G m [k, j]. Podemos escrever a matriz de adjacência de tal grafo: Esta matriz pode ser reescrita como ma matriz em blocos: (J I) kxk I kxk J kx j A(G m ) = I kxk Θ kxk Θ kx j J jxk Θ jxk Θ jx j Note qe todas as matrizes blocos qe compõem a matriz A(G m ) somam, em sas linhas, o mesmo valor para cada matriz. Assim consideremos a matriz Ā 3x3 cjas entradas são tais somas, o melhor: k 1 1 j Ā = k 0 0 Então pelo Lema.1, garantimos qe os atovalores de Ā também são atovalores da matriz A(G m ), qe podem ser obtidos facilmente: k 1 x 1 j p(x) = 1 x 0 k 0 x = x( x + x(k 1)+k j+1) =

5 September 4-8, 01 x = 0 o x = k 1 ± (k 1) + 4k j+4 qe são os atovalores de Ā. 0 k Por otro lado, note qe para cada R j ortogonal à 1 j temos m vetor v = 0k R k+ j, onde [A(G m )].v = 0 = 0.v, daí temos qe 0 é atovalor da matriz A(G m ) correspondente ao atovetor v R k+ j. Como existem j 1 vetores, linearmente independentes, do R j perpendiclares a 1 j, então 0 é atovalor de G m com mltiplicidade pelo menos j 1. Daí e 3.1 já obtemos qe 0 é atovalor de G m com mltiplicade ao menos j. Provaremos agora qe 1± 5 é atovalor do grafo. Para isso, de forma análoga ao feito acima, para cada vetor R j ortogonal à 1 j considere o vetor w = R k+ j. Assim: [A(G m )].w = = = j (3.1) = 1+ 5.w. Conclímos qe 1+ 5 é atovalor do grafo com mltiplicidade k 1. Por procedimento semelhante podemos conclir qe 1+ 5 é atovalor com mltiplicidade k 1. Obtivemos exatamente j + k atovalores, completando o espectro do grafo aranha conforme desejado. Observação: Decorre do teorema acima qe, para k, a aranha magra com cabeça formada por conjnto independente G m [k, j] não é m grafo integral. PROPOSIÇÃO 3.. Seja G m [k, j] m grafo aranha magra cja cabeça é m conjnto independente. Se j N tal qe k = j( j 3)+1, então ind(g m [k, j]) N. Demonstração. Seja G m [k, j] m grafo aranha magra cja cabeça é m conjnto independente. Como j 3 e k = j( j 3)+1, pela Proposição 3.1 temos qe ind[g m [k, j]] = k 1+ (k 1) +4k j+4. Sbstitindo k por j( j 3) + 1 e simplificando, podemos verificar qe j( j 3)+ j( j 3)+( j ) ind(g m [k, j]) = = j j 1 N. 3. Aranha Gorda PROPOSIÇÃO 3.3. Seja G g [k, j] m grafo aranha gorda, cja cabeça é m conjnto independente. Então o espectro de tal grafo pode ser dado por: spect(g g [k, j]) = k 1 5(k 1) +4k j k 1+ 5(k 1) +4k j 1 k 1 j k 1 1 Demonstração. Seja G g [k, j] m grafo do tipo aranha gorda, cja cabeça é m conjnto independente. Novamente, escreveremos apenas G g qando estivermos nos referindo ao grafo G g [k, j]. Daí, obtemos a matriz de adjacência do grafo aranha gorda:

6 September 4-8, qe pode ser reescrita em blocos como: (J I) kxk (J I) kxk J kx j A(G g ) = (J I) kxk Θ kxk Θ kx j J jxk Θ jxk Θ jx j Ao sbstitir cada bloco pela soma de sas respectivas linhas, obtemos a matriz Ā = k 1 k 1 j k k 0 0 Novamente, pelo Lema.1, sabemos qe os atovalores de Ā também são valores do grafo aranha gorda G g e ainda, tais atovalores são x = 0 o x = k 1 ± 5(k 1) + 4k j Por otro lado, de forma completamente semelhante ao feito no caso da aranha magra, mostraremos os demais atovalores do grafo. Para isso, considere para cada R j tal qe 1 j, o vetor 0k v = 0 k R k+ j. 0k É fácil verificar qe A(G g ).v = 0 = 0. 0 k, donde sege qe 0 é atovalor de G g com mltiplicidade ao menos j 1. Daí e 3. garantimos qe 0 é atovalor da aranha gorda com mltiplici- dade ao menos j. Ainda de forma semelhante ao feito com a aranha magra, notemos qe para cada R k ; 1 k o vetor w = j satisfaz a igaldade A(G g ).w = j (3.) = 5+1.w, garantindo qe 5+1 é atovalor do grafo com mltiplicidade ao menos k 1. Pelo mesmo racionínio,

7 September 4-8, 01 para cada R k ; 1 k temos qe A(G g ) j = é atovalor do grafo aranha gorda com mltiplicidade k 1. Exibimos assim todo o espectro do grafo G g j, garantindo qe Observação: Decorre do teorema acima qe, também neste caso, para k, a aranha gorda com cabeça formada por conjnto independente G g [k, j] não é m grafo integral. PROPOSIÇÃO 3.4. Seja G g [k, j] m grafo aranha gorda com a cabeça formando m conjnto independente. Se j for m qadrado perfeito e k = j ±3 j+1 então ind(g g ) é m número inteiro. Demonstração. Seja G g m grafo aranha gorda cja cabeça é m conjnto independente. Proposição 3.3 sabemos qe ind(g g ) = k 1+ 5(k 1) +4k j. Consideremos qe j é m qadrado perfeito. Sponha o caso em qe k = j 3 j+1, ao sbstitir no índice do grafo, encontramos ind(g g )= j 3 j+ (3 j 7) j = j 5 j qe é m número inteiro, ma vez qe j é m qadrado perfeito. Por otro lado, se k = j + 3 j + 1, por raciocínio análogo ao caso anterior, obtemos qe ind(g g ) = j+5 j qe também é m número inteiro, conclindo assim a prova. 3.3 Aranha Sem Pernas Introdziremos agora ma nova definição, qe pode ser vista como ma variação dos grafos do tipo aranha. DEFINIÇÃO 3.1. Seja G[k, j] m grafo aranha. O sbgrafo indzido por K C é chamado grafo do tipo Aranha Sem Pernas. Observação: Note qe m grafo do tipo Aranha Sem Pernas é o grafo K k G, onde K k é o grafo completo de k vértices qe representa o corpo e G a cabeça da aranha, com j vértices. Assim, a aranha sem pernas será denotada por K k G j. Da Proposiçao.1 sege qe, se G j for m grafo reglar não-integral então a aranha sem pernas K k G j é não integral. Ainda como decorrência da Proposição.1, obtemos o próximo corolário, qe estabelece condições para obtenção de grafos deste tipo não-integrais mas com índice inteiro. COROLÁRIO 3.1. Seja K k G j m grafo aranha sem pernas com k, j 3. Se G j é -reglar tal qe (k 3) + 4k j é m qadrado perfeito então ind(k k G j ) N Demonstração. Seja H = K k G j com k, j 3 onde G j é -reglar. Considere ainda qe m Z tal qe (k 3) + 4k j = m. Pela Proposição.1, como o gra de G j é e de K k é k 1, sege qe o polinômio característico de H é: com f(x) = x (k+1)x+(k 1) k j. p s (x) = P(K k,x).p(g j,x) (x (k 1))(x ) f(x), Sabemos qe a maior raíz de f(x) é p = k+1+ (k 3) +4k j Vamos mostrar qe p é o índice de H. Sabemos qe o ind(k k ) = k 1 e ind(g j ) = já qe são grafos (k 1)-reglar e -reglar nesta ordem. Por otro lado, sabemos qe os atovalores de 7 Da 4111

8 September 4-8, 01 H = K k G j são os atovalores do grafo K k, do grafo G e as raízes de f(x), exceto os atovalores (k 1) e (por simplificação da fração). Então p é índice de H se p > k 1 e p >. De fato,como k, j 3 temos qe p > k+1+ (k 3) = k 1 e como k 1, também sege qe p >, garantindo qe p é o índice do grafo H. Observando qe k e m têm a mesma paridade, temos qe p = k+1+m é m inteiro. O próximo corolário, conseqência imediata do anterior, nos permite gerar infinitos grafos com índice inteiro. COROLÁRIO 3.. Seja K k G j m grafo aranha sem pernas onde G j é m grafo -reglar. Para t,k N com k 3, seja j = (t t)k+3t. Então ind(k k G j ) é inteiro. Observação: Para t,k N com t 1 e k 3, com j = (t t)k + 3t, temos qe K k C j é não-integral e tem índice inteiro. O espectro do ciclo é conhecido e sabemos qe C j é integral se, e somente se, j = 3,4 o 6. A condição t 1 implica qe C j C 3 e os casos j = 4 e j = 6 não satisfazem as condições para nenhm t e k. EXEMPLO 3.1. Considere o grafo aranha K 4 C 5. Neste caso como a cabeça é m sbgrafo ciclo C 5, pelo Corolário 3.1 temos ind(k 4 C 5 ) = = 7. Figra 3: K 4 C 5 COROLÁRIO 3.3. Seja K k G j, j k m grafo aranha sem pernas onde G j é m grafo (k 1)- reglar. Se k j é m qadrado perfeito, então ind(k k G j ) é inteiro. Demonstração. Seja H = K k G j tal qe G é m grafo (k 1)-reglar com j vértices. Considere ainda k j qadrado perfeito. De forma semelhante à demonstração do Corolário 3.1 temos pela Proposição.1 qe o polinômio característico de H é p H (x) = P(K k,x).p(g j,x) (x (k 1))(x (k 1)) g(x), com g(x) = x (k 1)x + (k 1) k j. Temos qe a maior raiz de g(x), q = k + 4k j = k 1+ k j, é o índice do grafo aranha sem pernas. Pois de fato, k 1 é o maior dos atovalores de K k e G, e temos q > k 1. E como k j é qadrado perfeito, temos qe ind(h) = k 1+ k j Z EXEMPLO 3.. Da mesma forma qe o último exemplo, considere o grafo aranha K 5 4K 5. Então como K 5 e 4K 5 possem gra 4 = k 1 e este último tem 0 = j vértices sege pelo pelo Corolário 3.3 qe ind(k 5 4K 5 ) = =

9 September 4-8, 01 Figra 4: K 5 4K 5 Observação: Em geral, os corolários acima, não valem mais qando acrescentamos as pernas nos grafos K k G j, transformando-os nm grafo do tipo aranha magra (S m [k, j]) o gorda (S g [k, j]), cja cabeça é o grafo G, isto é, qando S (pernas) deixa de ser m conjnto vazio, conforme nos casos abaixo: Consideremos os grafos G m [4,5] e G g [4,5] cja cabeça é o ciclo C 5. Constatamos com axílio do software newgraph qe ind(g m [4,5]) = 7,07903 e ind(g g [4,5]) = 7,7058 Ainda, considerando o grafo aranha magra o gorda, cja cabeça é 4K 5, constatamos com axílio do software newgraph qe: ind(g m [5,0]) = 14,03569 e ind(g g [5,50]) = 14,56436 Observação: Pesqisa realizada com apoio do CNPq e FAPERJ. Referências [1] Balinñska, K., Cvetkovic, D., Radosavljevie, Z., et al., A srvey on integral graphs, Univ. Beograd. Pbl. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., v. 13, 4-65, 00. [] Brower, A.E., Del-Vecchio, R. R., Jacobs, D.P., Trevisan, V., Vinagre, C. T. M. Integral trees homeomorphic to a doble star. Blletin of the ICA, v. 61, 77-80, 011. [3] Campos, V., Sales, C. L., Maia, A. e Sampaio, R. b-coloração de grafos com pocos P 4 s. In Simpósio Brasileiro de Pesqisa Operacional, XLII., 010. Bento Gonçalves. [4] Cao, D.S. Bonds on eigenvales and chromatic nmber, Linear Algebra Appl , [5] Cvetkovic, D. Doob, M.,Sachs, H. Spectra of graphs-theory and aplication. Detscher Verlag der Wissenschaften-Academic Press, Berlin - New York, 1980; second edition 198. third edition, Johann Ambrosis Barth Verlag, Heidelberg-Leipzig, [6] Cvetković, D., Rowlinson, P., Simić,S. Signless Laplacian of finite graphs, Linear Algebra and its Applications 43, , 007. [7] Harary, F., Schwenk, A.J., Which graphs have integral spectra?, in Bari, R., Harary, F.(Eds), Graphs and Combinatorics, Springer, Berlim, 45-51,

10 September 4-8, 01 [8] Stevanovic, D., Abre, N., Freitas, M., Del-Vecchio, R., Walks and reglar integral graphs. Linear Algebra and its Applications, v. 43, , 007. [9] Wilf, H.S., The eigenvales of a graph and its chromatic nmber, J. London Math. Soc. 4, ,