OBSTRUÇÕES DE COGRAFOS-(K, L)

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1 OBSTRUÇÕES DE COGRAFOS-(K, L) Raquel de Souza Francisco COPPE/Sistemas, Universidade Federal do Rio de Janeiro, RJ, , Brasil Sulamita Klein IM e COPPE/Sistemas, Universidade Federal do Rio de Janeiro, RJ, , Brasil. sula@cos.ufrj.br Loana T. Nogueira COPPE/Sistemas, Universidade Federal do Rio de Janeiro, RJ, , Brasil. loana@cos.ufrj.br Resumo. Neste trabalho, consideramos o problema de particionar um grafo em k conjuntos independentes e l cliques, conhecido como o problema da (k, l)-partição, no qual foi introduzido por Brandstädt [2], e generalizado por Feder et al. em [3] como o problema da M-partição. Além disso, Brandstädt provou que, dado um grafo G, é NP-completo decider se G é um grafo-(k, l) para k 3 ou l 3. Neste trabalho, consideramos uma subclasse de grafos perfeitos: os cografos, em que consistem de grafos sem P 4 (caminho induzido com 4 vértices), e apresentamos uma caracterização em termos de subgrafos proibidos, i. e, obstruções. Palavras-Chave: Cografos, Grafos-(k, l), Problema da M-partição Abstract. In this work we consider the problem of partitioning a graph into k independent sets and l cliques, known as the (k, l)-partition problem, which was introduced by Brandstädt [2], and generalized by Feder et al. in [3] as the M-partition problem. Moreover, Brandstädt proved that, given a graph G, it is NP-complete to decide if G is a (k, l)-graph for k 3 or l 3. In this work, we consider a subclass of perfect graphs: the cographs, which consist of graphs P 4 -free, and we present a characterization in terms of forbidden subgraphs, i. e, obstructions. Keywords: Cographs, (k, l)-graphs, M-partition problem.

2 Introdução Muitos problemas em grafos podem ser vistos como um problema de partição, isto é, verificar se o conjunto de vértices de um dado grafo G = (V, E) pode ser particionado em k conjuntos: A 1, A 2,..., A k, tal que A i A j =, i j e A 1 A 2... A k = V. Algumas vezes, pode-se fazer algumas exigências sobre os conjuntos, por exemplo, exigir que estes sejam completamente adjacentes (induzem um subgrafo completo) ou completamente não adjacentes (induzem um conjunto independente). Um problema bastante estudado que se insere neste contexto é o problema da k- coloração, que corresponde a verificar se um dado grafo G pode ser particionado em k conjuntos independentes. Neste trabalho consideramos o problema de partição de grafos em conjuntos independentes e cliques. Tal problema foi introduzido por Brandstädt [2], o qual denominou de grafos-(k, l) os grafos que admitem tal partição. Brandstädt provou que o reconhecimento de grafos-(k, l) é um problema NPcompleto para k 3 ou l 3. Tal fato fez com que vários trabalhos tenham sido desenvolvidos para reconhecer grafos-(k, l) para certas subclasses de grafos. Em particular, em [7] foi apresentado um algoritmo de caracterização e reconhecimento de grafos cordais em k conjuntos independentes e l cliques; a caracterização de grafos cordais-(k, l) apresentada baseava-se numa caracterização por subgrafos proibidos. Seguindo a mesma linha, apresentamos neste trabalho uma caracterização de cografos que admitem uma partição-(k, l) (o qual chamaremos cografos-(k, l) ), que proíbe a existência de certas configurações. Algumas Definições Um cografo G é um grafo simples definido em [9] pelo seguinte critério de recursão: K 1 é um cografo; Se X é um cografo, então o grafo complementar de X também o é; Se X e Y são cografos, então X Y também o é. Mais simplesmente, dizemos que um cografo é um grafo sem P 4 (isto é, não possui um caminho induzido de tamanho 4). Denotamos por α (G) o tamanho do conjunto independente máximo de G e denotaremos por K p um subgrafo completo com p vértices. A razão de estudarmos cografos é que tais grafos possuem boas propriedades, como por exemplo, serem uma subclasse de grafos perfeitos e possuírem a propriedade de complementaridade, isto é, o grafo G é cografo se e somente se o complemento também o é, e tais propriedades são úteis para o reconhecimento de cografos-(k, l). Resultados Nesta seção apresentaremos uma caracterização para cografos-(k, l) em termos de obstruções, isto é estruturas proibidas. A seguir, apresentamos dois lemas que serão úteis para caracterizar cografos-(k, l). 2362

3 Lema 1: Um cografo G é um grafo-(1, l) se e somente se não contém a obstrução (l+1)*k 2. (Ver Figura1) Prova: ( ) Seja G um cografo-(1, l). Suponhamos, por absurdo que G contém a obstrução (l+1)*k 2. Pode-se verificar facilmente que G não pode ser particionado em 1 conjunto independente e l cliques, contradizendo a hipótese. ( ) Seja G um cografo. Suponhamos que G não contém a obstrução (l+1)*k 2. Suponha, por absurdo, que G não é um grafo-(1, l). Seja S* um conjunto independente máximo de G e S um conjunto independente máximo de G =G[V \ S*]. Temos que G = G[S* S ] é bipartido e S* também é um conjunto independente máximo de G. Logo, S é uma cobertura mínima de G[S* S ] ( observe que todos os vértices de S são adjacentes a algum vértice de S*, caso contrário, S* não seria um conjunto independente máximo; além disso, S* S ), logo pelo Teorema de König, que afirma que se G é bipartido então o tamanho do emparelhamento máximo é igual ao tamanho da cobertura mínima, temos que o emparelhamento máximo de G[S* S ] possui tamanho S. Como G não contém a obstrução (l+1)*k 2, temos que S l, e como S é um conjunto independente máximo de G[V \ S*] então α( G[V \ S*]) = α( G ) l. Observe que, o complemento de G[V \ S*] não possui K l+1, caso contrário G possuiria um conjunto independente de tamanho (l+1), contradizendo o fato de S l. Todo cografo é perfeito, então G = G[V \ S*] é perfeito. Como G não possui K l+1 então G pode ser particionado em l conjuntos independentes. Uma vez que o complemento de G[V \ S*] é l-partido então G pode ser particionado em l cliques, e portanto, G é (0, l)-particionado. Podemos, então, concluir que G é um grafo-(1,l). Abaixo, descrevemos a obstrução (configuração) que, uma vez contida num cografo G, proíbe que G seja um grafo-(1,l). A obstrução ( l +1)*K 2, mostrada na figura 1, corresponde a (l +1) cópias de um K 2. Cada cópia i do K 2 sendo formada por dois vértices: s i 1, s i 2, tal que (s i 1, s j 1) E(G), e (s i 2, s j 2) E (G) i j, i, j = 1,..., l+1. As demais arestas são opcionais, podendo ou não existir. Figura

4 De modo geral, descrevemos a obstrução p*k k como sendo aquela formada por p cópias de K k. Cada cópia i do K k sendo formada por k vértices: s i 1, s i 2,..., s i k tal que (s i 1, s j 1) E (G), (s i 2, s j 2) E(G),..., (s i k, s j k) E (G), i j, i, j = 1,..., p. As demais arestas são opcionais, podendo ou não existir. Como exemplo, mostramos as figuras 2 e 3: Figura 2 Figura

5 Lema 2: Sejam G um cografo e S* um conjunto independente máximo de G. Se G[V \ S*] contém um K k como subgrafo então G contém como subgrafo um K k+1. Prova: Sejam G um cografo e S* um conjunto independente máximo de G. Suponha que G[ V \ S*] possua um K k. Neste caso, S 1, S 2,..., S k V \ S* tal que S i é um conjunto independente de G[ V \ S*] e S i =1, com i = 1,..., k, como mostra a figura 4: Figura 4 A prova é feita por indução em k (onde k denota o tamanho do completo K k ) : Base: Vamos provar que o resultado é válido para cliques de tamanho 1. Se k=1, temos que S 1 V \ S* tal que S 1 =1. Além disso, o vértice s 1 é adjacente a algum vértice de S*, e isto ocorre pelo fato de S* ser o conjunto independente máximo. Logo, G[S* S 1 ] contém um K 2 como subgrafo implicando que G contém como subgrafo um K 2. Agora, suponhamos que o resultado seja válido para k-1, isto é, se G[V \ S*] contém K k -1 então G contém um K k como subgrafo. Seja G um cografo e S* o conjunto independente máximo de G. Suponhamos que G = G[V \ S*] contém um K k, como subgrafo e que G não contém como subgrafo um K k+1. Como G contém um K k, temos que S 1, S 2,..., S k V \ S* tal que S i =1 e S i é um conjunto independente, com i = 1,..., k. G [S 1... S k-1 ] possui um K k-1 e portanto, pela hipótese indutiva que G[S* S 1... S k -1 ] possui como subgrafo um K k. Suponhamos que G[S* S 1... S k ] não possui um K k+1 ( observe que, todos os vértices s i, i = 1,..., k-1 são adjacentes a algum vértice s 1 * de S*, formando assim um K k, mas s k não é adjacente ao vértice s 1 * como mostra a figura 5, caso contrário teríamos um K k

6 Figura 5 Temos que, como s k não é adjacente ao vértice s 1 * então s k é adjacente a algum outro vértice de S*, por exemplo, s 2 *. Se considerarmos o grafo induzido de G[S* S 1... S k ] formado pelos vértices s 1 *, s k-1, s k e s 2 *, vemos que tais vértices induzem um P 4, mas como G é um cografo, G possui pelo menos uma das arestas (s 1 *,s k ) ou (s 2 *, s k -1 ). Como, por hipótese, (s 1 *,s k ) E(G) então (s 2 *, s k -1 ) E(G). Repetindo o mesmo procedimento acima para todos os subgrafos induzidos de G[S* S 1... S k ], formados pelos vértices s 1 *, s i, s k e s 2 *, i = 1,..., k-2; concluímos que (s 2 *, s i ) E(G), i = 1,..., k- 2. Logo, G contém um K k +1 como subgrafo. O seguinte lema, provado em [10] será útil para demonstrar a caracterização de cografos-(k, l). Lema 3: [10] Seja G = (V, E) um grafo, G[V ] o subgrafo induzido de G e S* um conjunto independente máximo de G[V ]. G é um cografo se e somente se para todo V V, temos que se G[V ] possui uma partição (k, l), com k 1 então G[V \ S*] possui uma partição (k-1, l). Teorema 4: Um cografo G é um grafo-(k,l) se e somente se não contém a obstrução (l+1)*k k+1. (Veja Figura 2) 2366

7 Prova: ( ) A prova será feita por indução em k: Base: Se k = 1, pelo lema 1 G não contém a obstrução ( l +1)*K 2, logo o resultado é válido. Suponhamos que o resultado seja válido para k = i, vamos provar que o resultado é válido para k = i+1. Sejam G um cografo-( i +1, l) e S* o conjunto independente máximo de G. Segue, pelo lema 3, que G[V \ S*], é um cografo-(i, l), e por hipótese indutiva, G[V \ S*] não contém (l +1)*K i-1. Logo, G não contém (l +1)*K i+2. ( ) A prova será feita por indução na soma k + l. Como base, considere o caso (1, l). Neste caso, o resultado já foi demonstrado no Lema 1, e pela propriedade de complementaridade (válida para cografos) temos que o resultado também é válido para (l, 1). Suponhamos então que o resultado seja válido para todos os grafos com k+ l -1 conjuntos (isto é, com o número de conjuntos independentes e cliques totalizando k+ l -1). Vamos provar que o resultado é válido para grafos com k+ l conjuntos. Seja G um cografo que não é um grafo-(k, l). Seja S* um conjunto independente máximo de G. Pelo lema 3, G = G[V \ S*] não é um grafo-(k-1, l). Pela hipótese indutiva, temos que G possui a obstrução (l+1)*k k. Portanto, S 1, S 2,..., S k-1, S k V \ S* tal que S 1, S 2,..., S k-1, S k são conjuntos independentes e S 1 =...= S k = l +1, como mostra a figura 6. Figura

8 Logo, S* é um conjunto independente máximo de G[S* S 1... S k ]. Pelo lema 2, temos que G[S* S 1... S k ] contém a obstrução (l +1)*K k+1. Conclusão Neste trabalho estendemos o resultado apresentado em [10] que caracterizava cografos-(2,1) e (2,2) através de obstruções. Mais especificamente, apresentamos a seguinte caracterização de cografos-(k, l): um cografo é grafo-(k, l) se e somente se não contém a obstrução (l+1)*k k

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