CONJUNTOS INDEPENDENTES MAXIMAIS EM GRAFOS: AS CLASSES M(t) E I(t)

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1 CONJUNTOS INDEPENDENTES MAXIMAIS EM GRAFOS: AS CLASSES M(t) E I(t) Melissa Isernhagen Universidade Federal de Goiás Campus Samambaia Caixa Postal 131 CEP Goiânia - GO melissa@inf.ufg.br Rommel Melgaço Barbosa Universidade Federal de Goiás Campus Samambaia Caixa Postal 131 CEP Goiânia - GO rommel@inf.ufg.br RESUMO Neste trabalho apresentamos vários problemas relacionados a conjuntos independentes maximais em grafos. São estudadas propriedades e algumas caracterizações de grafos com exatamente t tamanhos diferentes de conjuntos independentes maximais (a classe M(t)), e propriedades para grafos pertencentes a M(t) em que os tamanhos dos conjuntos independentes maximais são números consecutivos (a classe I(t)). Obtivemos uma caracterização para grafos com cintura > 7, pertencentes a I(2). Também, dado o ciclo Cn, conseguimos obter o valor de t, para o qual Cn pertence a M(t) (Teorema 2). Por fim, formulamos várias conjecturas relacionadas às classes de grafos acima. PALAVRAS CHAVE. Grafos. Conjuntos independentes. Grafos bem-cobertos. M(t). I(t). Complexidade. NP-completude. Área de classificação principal: TG - Teoria de Grafos. ABSTRACT In this work we present several problems related to maximal independent sets in graphs. There are studied properties and some characterizations of graphs with exactly t different sizes of maximal independent sets (the M(t) class), and properties for graphs belonging to M(t) where the sizes of the maximal independent sets are consecutive numbers (the I(t) class). We obtained a characterization for graphs of girth 7, belonging to I(2). Also, given a cicle Cn, we were able to get the value of t, for wich Cn belongs to M(t) (Theorem 2). Finally, we formulated several conjectures related to the classes of grahps mentioned above. KEYWORDS. Graphs. Independent sets. Well-covered graphs. M(t). Complexity. NP-completeness. Main área: GT Graph Theory. I(t). [ 2432 ]

2 1. Introdução Neste trabalho é realizado um estudo sobre conjuntos independentes maximais em grafos, mais especificamente sobre as classes M(t) e I(t). Foi demonstrado por Karp [Karp 1972] que o problema para determinar o número de independência em grafos é, de um modo geral, NP-Completo. Sendo assim, é importante que sejam estudadas as classes de grafos em que a determinação deste parâmetro seja feita em tempo polinomial. Uma classe que permite o cálculo do número de independência com maior facilidade é a dos grafos bem-cobertos, pois ela contempla grafos em que todos os conjuntos independentes maximais têm a mesma cardinalidade. Desta forma, basta encontrarmos um conjunto independente maximal, que também será máximo. Esta constatação traz consigo a questão do reconhecimento de grafos bemcobertos. Em [Chvátal e Slater 1993] e [Sankaranarayana e Stewart 1992] é provado que reconhecer um grafo como não sendo bem-coberto é um problema NP-Completo. Para grafos livres de K1,4 o reconhecimento de grafos bem-cobertos continua a ser Co-NP-Completo, como demonstrado em [Caro, Sebo e Tarsi 1996]. Outros autores, no entanto, já obtiveram caracterizações que nos permitem reconhecer grafos bem-cobertos em tempo polinomial para algumas classes de grafos, como os grafos livres de K1,3. Se, para algumas classes de grafos, é possível o reconhecimento de grafos bem-cobertos (ou seja, com apenas 1 tamanho de conjunto independente maximal) em tempo polinomial, uma questão natural seria saber a complexidade de descobrirmos se um grafo G possui 2 ou mais tamanhos de conjuntos independentes maximais. Foi a partir desta questão que se iniciou o estudo das classes de grafos M(t) e I(t). Um grafo pertence a M(t) se possui exatamente t diferentes tamanhos de conjuntos independentes maximais, para algum t N, e pertence a I(t) se possui exatamente t tamanhos distintos de conjuntos independentes maximais com tamanhos r, r+1,..., r+(t-1), com t e r N [Barbosa 2001]. Caro [Caro, Ellingham e Ramey 1998] mostrou que o reconhecimento de grafos na classe M(t), mesmo para grafos livres de K1,4, é Co-NP-Completo. Nestas considerações reside a importância deste trabalho, pois ainda não foi descoberto nenhum algoritmo de tempo polinomial para um problema NP-Completo, nem foi provado que não pode existir algoritmo polinomial para qualquer deles. Se algum problema NP-Completo for resolvido em tempo polinomial, então todo problema NP-Completo também poderá ser resolvido através de um algoritmo polinomial. Encontrar uma solução polinomial para os problemas propostos por Karp e Caro e, portanto, resolver a questão formalizada como "P=NP?", seria desvendar um dos mais profundos e importantes problemas de pesquisa existentes na Ciência da Computação teórica.apresentamos aqui resultados relativos ao objeto de estudo deste trabalho de iniciação científica, as classes M(t) e I(t), além de considerar resultados sobre conjuntos independentes maximais de modo geral. Provamos um teorema (Teorema 1) que mostra uma nova maneira para construirmos grafos em I(t) e também um teorema no qual apresentamos uma fórmula para descobrir qual é o valor de t correspondente quando um ciclo Cn pertence a M(t) (Teorema 2). Elaboramos uma conjectura para descobrirmos qual é o primeiro ciclo Cn pertencente à classe M(t), com t e n N (Conjectura 1). De certa forma, os resultados mencionados acima discorrem sobre como são os grafos livres de K1,3 em I(t), problema proposto em [Barbosa e Hartnell 1998]. O artigo [Finbow, Hartnell e Whitehead 1995] contém uma caracterização dos grafos com cintura > 7 com exatamente dois tamanhos de conjuntos independentes maximais. Embasados por tal artigo, elaboramos um corolário (Corolário 1), caracterizando os grafos com cintura maior ou igual a 8 pertencentes a I(2). Este resultado foi apresentado no XXVIII Congresso de Matemática Aplicada e Computacional (CNMAC), realizado em São Paulo entre os dias 12 e 15 de setembro de Através da análise do mesmo teorema do artigo "A characterization of graphs of girth [ 2433 ]

3 eight or more with exactly two sizes of maximal independent sets" [Finbow, Hartnell e Whitehead 1995], foi desenvolvido, por fim, o Corolário 2. Este corolário apresenta todos os grafos pertencentes a M(2) que têm a seguinte propriedade: "Se for retirado qualquer de seus vértices, este grafo continuará a pertencer a M(2)". 2. Definições Segundo a definição de Douglas West [West 1996], um grafo G com n vértices e m arestas consiste em um conjunto de vértices V(G) = {v1,..., vn} e um conjunto de arestas E(G) = {e1,..., em}, onde cada aresta consiste de dois vértices, possivelmente iguais, chamados endpoints. Definição 2.1 Um conjunto independente em um grafo G é um subconjunto S G de vértices que não contém nenhuma aresta de G. Ou seja, N[S] não contém nenhuma aresta de G. Um conjunto independente máximo é aquele com maior tamanho possível, ao passo que um conjunto independente maximal é aquele que não está contido em nenhum outro conjunto independente de maior tamanho em um grafo G. Cardinalidade é a quantidade de vértices em um conjunto. Definição 2.2 O número de independência de um grafo é o tamanho do seu maior conjunto independente de vértices. Definição 2.3 Um grafo G é bem-coberto se todo conjunto independente maximal de vértices em G tem a mesma cardinalidade. Definição 2.4 Um grafo G pertence à classe M(t) se G tem exatamente t diferentes tamanhos de conjuntos independentes maximais, para algum t N. Um grafo G pertence à classe I(t) se G tem exatamente t tamanhos diferentes de conjuntos independentes maximais com tamanhos r, r+1,..., r+(t-1), com t e r N. 3. Resultados Em [Barbosa e Hartnell 1998], proposição 1, é mostrada uma maneira de se construir grafos pertencentes à classe I(t), onde são adicionadas 2 folhas a cada vértice de um grafo com número de independência igual a t-1. Os grafos das figuras abaixo são exemplos de grafos pertencentes à classe I(t) onde pelo menos 1 vértice não tenha folhas. Estes grafos pertencem, mais precisamente, a I(2). No Teorema 1 obtivemos uma maneira diferente da obtida em [Barbosa e Hartnell 1998] para construirmos grafos em I(t). Teorema 1 Sendo n e t N, todo ciclo Cn que pertence a M(t) também pertence a I(t). Prova Dado um ciclo Cn qualquer, exitem 3 maneiras possíveis de selecionarmos vértices para formar conjuntos independentes maximais, já que todos os vértices são de grau 2: (i) Tomando vértices de maneira alternada, de dois em dois. Deste modo, cada vértice que não pertence ao conjunto independente será coberto por 2 [ 2434 ]

4 (ii) (iii) vértices do conjunto, caso o ciclo seja de tamanho par. Caso o ciclo seja de tamanho ímpar, 2 vértices serão cobertos por apenas 1 vértice do conjunto independente. Neste caso, o conjunto independente maximal será máximo, de tamanho n / 2. Tomando vértices de três em três. Caso o ciclo seja divisível por 3, cada vértice que não pertence ao conjunto independente será coberto por apenas 1 vértice. Caso contrário, 1 ou 2 destes vértices serão cobertos por 2 vértices. Sendo assim, formaremos um conjunto independente maximal de tamanho n / 3. Mesclando os métodos i e ii, conseguindo, assim, conjuntos independentes intermediários, com tamanhos que variam de n / 3 a n / 2. Observando o comportamento dos ciclos e analisando o Teorema 1, provamos o Teorema 2. Teorema 2 É possível descobrirmos a qual classe M(t) um ciclo Cn pertence, sendo que n e t N, utilizando a seguinte fórmula: n / 2 - n / = t. Prova Segundo o Teorema 1, não existem n e t N, tais que Cn M(t)/I(t). Ou seja, todo ciclo que pertence a M(t) deve também pertencer a I(t). No mesmo teorema é dito que o tamanho máximo para conjuntos independentes maximais é n / 2 e o tamanho mínimo é n / 3. Manipulando a fórmula obtida no Teorema 2 da maneira mostrada a seguir e observando as tabelas que contemplam os ciclos de C3 a C50, foi elaborada a Conjectura 1. n / 2 - n / = t n / 2 - n / 3 = t - 1 (3n - 2n) / 6 = t - 1 n = 6 (t - 1) Conjectura 1 Para descobrirmos qual é o primeiro ciclo Cn pertencente classe M(t), com t e n N, é suficiente aplicarmos a fórmula n = 6 (t - 1). Os dois teoremas e a conjectura apresentados até então respondem, de certa forma, parte do problema abaixo, proposto por Barbosa e Hartnell em [Barbosa e Hartnell 1998]. Problema 1 [Barbosa e Hartnell 1998] Como são os grafos livres de K1,3 em I(t)? Tratar sobre a pertinência dos grafos livres de K1,3 a I(t) inclui, certamente, tratar a pertinência de caminhos e ciclos a I(t). O Teorema 2 caracteriza os ciclos em M(t) e foi provado no Teorema 1 que todo ciclo pertencente a M(t) pertence também a I(t), para qualquer t N. Sendo assim, estão caracterizados os ciclos em I(t). Os grafos abaixo são livres de K1,3. Eles exemplificam ciclos que não podem pertencer a I(t), pois são bem-cobertos. O C3 apresenta apenas conjuntos independentes de tamanho 1 e no C4 os conjuntos independentes têm tamanho 2. [ 2435 ]

5 O grafo da figura apresentada abaixo (C8) é um ciclo que, diferente dos casos anteriores, possui conjuntos independentes maximais de tamanhos consecutivos: 3 e 4. Poderíamos descobrir que C8 M(2) por meio da utilização do Teorema 2. Bastaria utilizarmos a fórmula n / 2 - n / = t. Teríamos, portanto, t = 8 / 2-8 / = 4-2, = = 2. E concluiríamos que C8 M(2). Apresentamos agora uma caracterização dos grafos com cintura maior ou igual a 8 pertencentes a I(2), que foi obtida como um corolário do teorema apresentado em [Finbow, Hartnell e Whitehead 1995] (Corolário 1). Este resultado foi apresentado no XXVIII Congresso de Matemática Aplicada e Computacional, realizado em São Paulo entre os dias 12 e 15 de setembro de Corolário 1 Seja G um grafo conexo de cintura 8 ou mais. G pertence a I(2) se e somente se obedece a um dos seguintes itens: 1. G não tem folhas. Então G é C8, C9, C10, C11 ou C G tem exatamente dois talos, digamos s1 e s2, com mais de uma folha anexada, digamos L1 e L2, respectivamente. Então L1 = L2 = 2, s1 e s2 são adjacentes e todos os outros vértices são uma folha ou um talo com apenas uma folha anexada. Na figura da esquerda, dentre as expostas acima, temos L1 = {a, b} e L2 = {c, d}. Como L1 = L2 = 2, obtemos conjuntos independentes maximais com tamanhos consecutivos. Note que todos os vértices do grafo, exceto s1, s2, L1 e L2, são ou uma folha ou um talo com uma folha anexada. Sendo assim, ao formar um conjunto independente maximal qualquer, sempre teremos que inserir ou o talo ou a folha que está anexada a ele ao conjunto. Teremos, portanto, n-2 elementos. Como figura da direita os tamanhos de L1 e L2 são maiores do que 2, não obtemos conjuntos independentes maximais com tamanhos consecutivos. 3. G tem exatamente um talo, digamos s1, com mais de uma folha, digamos L1, anexada. Um dos três subcasos deve ocorrer. i. G - N[SL] é apenas um componente, isto é, s1 e suas folhas, L1, tal que L1 = 2. Na figura a seguir é mostrado um exemplo no qual não é possível obter tamanhos de conjuntos independentes maximais consecutivos, pois o tamanho de L1 não é 2. [ 2436 ]

6 Já na próxima figura, onde esta condição é obedecida, temos conjuntos independentes maximais com tamanhos sucessivos. ii. G - N[SL] consiste em dois componentes, digamos H1 e H2. H2 é s1 e suas folhas L1, onde L1 = 2 e H1 K2 = [ab], onde ou a ou b é de grau 2 e é adjacente a um talo adjacente a s1. iii. G - N[SL] consiste em três componentes, digamos H1, H1 e H2. H2 é como em (ii) e H1 = [a1b1] e H1 = [a1 b1 ]. Similar a (ii), a1 e a1 são cada um de grau 2 e adjacente a um talo distinto, que é adjacente a s1. Além disso, b1 e b1 são cada um de grau 2 e adjacentes a um talo, digamos s3 e s4, respectivamente, onde s3 e s4 são adjacentes. 4. Não há talos com mais de uma folha anexada e G - N[SL] tem exatamente um [ 2437 ]

7 componente. Então, este componente é K1, P2, P3, P4, P6, P8, C8, C9 ou C Não há talos com mais de uma folha anexada e G - N[SL] tem vários componentes. Se quaisquer dois destes componentes são chamados H1 e H2, então ou {H1, H2} {P2, P4} ou {H1, H2} {P2, P2}. Além disso, se P4 = [abcd] e P2 = [ef], então, em G, a, b, c, d, e e f são todos de grau 2 e fazem parte do 10-ciclo (s1abcds2s4efs3), onde s1, s2, s3 e s4 são talos em G. Se H1 P2 = [ab] e H2 P2 = [cd], então, por alguma escolha de x {a, b} e y {c, d}, x e y são ambos de grau 2 e tem, cada um, exatamente um talo como vizinho e estes talos são adjacentes. G ou é um dos grafos indicados no artigo ou pode ser derivado de um deles segundo a seguinte operação (repetida tão freqüentemente quanto necessário): Adicione um novo talo que tem uma única folha a qualquer subconjunto dos vértices pretos desde que a restrição de cintura seja mantida. Este novo talo é preto no grafo resultante. Através da análise do Teorema 2.14, do artigo "A characterization of graphs of girth eight or more with exactly two sizes of maximal independent sets"[finbow, Hartnell e Whitehead 1995], foi desenvolvido o corolário abaixo. Este corolário apresenta todos os grafos pertencentes am(2) que têm a seguinte propriedade: "Se for retirado qualquer de seus vértices, este grafo continuará a pertencer a M(2)". Para identificarmos tal propriedade, foram realizadas construções, de modo a identificar os grafos descritos no teorema 2.14 que ainda obedecem ao teorema se retirarmos qualquer de seus vértices. Corolário 2 Seja G um grafo conexo com cintura 8 ou mais. G e G\v M(2), v V(G) se, e somente se, obedece a algum dos seguintes itens: 1. G não tem folhas. Então G é C8, C9, C11 ou C13. No teorema 2.14 [Finbow, Hartnell e Whitehead 1995] estavam inclusos no item 1 os grafos C8, C9, C10, C11 e C13. A seguir, verificamos cada um deles: C8\v P7, v V(C8), sendo que P7 obedece ao item 4 do teorema. C9\v P8, v V(C9). P8 também atende ao item 4 do teorema. C10\v P9, v V(C10). No entanto, P9 não se enquadra em nenhum dos itens do teorema e, portanto, não pertence a M(2). De fato, sabemos que P9 pertence a M(3), com conjuntos independentes maximais de tamanhos 3, 4 e 5. C11\v P10, v V(C11). O grafo P10 também obedece ao item 4 do teorema em questão. Por fim, C13\v P12, v V(C13), e P12 está entre os grafos contemplados pelo item 4 do teorema Não há talos com mais de uma folha anexada e G-N[SL] tem exatamente um componente. Então, este componente é P4 e as possíveis adjacências a talos (cada um com uma única folha), são como indicado pelas figuras 2 e 3 do artigo 2.14 [Finbow, Hartnell e Whitehead 1995]. Este item corresponde ao item 4 do teorema 2.14 [Finbow, Hartnell e Whitehead 1995]. O item 4 contempla os componentes K1, P2, P4, P3, P6, P8, C8, C9 e C11. No entanto, os únicos grafos que possuem a característica de continuar pertencendo a M(2) quando um vértice qualquer é retirado são aqueles que têm como componente o P4. Todos os demais itens do teorema 2.14 não apresentam a característica em questão. [ 2438 ]

8 4. Conclusões Ao longo deste trabalho, pode-se notar que sua importância não consiste nas possíveis aplicações que poderiam ser decorrentes dos resultados que ele apresenta. A pesquisa científica é, em geral, mais relevante do que a confecção de aplicações que na maioria das vezes são utilizadas em cenários restritos e não representam, portanto, uma grande contribuição para a resolução da grande gama de problemas existentes atualmente. Mesmo que não seja possível descobrir um algoritmo polinomial para um problema NP- Completo relacionado às classes M(t) e I(t), estudar problemas teóricos como os objetos de estudo deste trabalho é importante, pois os processos/metodologias utilizados para resolver um problema que, aparentemente, não possui aplicação prática pode ser utilizado na resolução de inúmeros outros problemas em diversas áreas de pesquisa, tais como a matemática computacional e aplicada e a teoria da computação. Referências Barbosa, R. M. e Hartnell, B (1998), Some problems based on the relative sizes of the maximal independent sets in a graph. Congressus Numerantium, v. 131, p Barbosa, R. M. (2001), Grafos bem-cobertos e algumas generalizações. Cadernos de Matemática, CM01, n. I-05, p Barbosa, R. M. e Cardoso, D. (2002), Produtos lexicográficos e cartesianos de grafos: algumas propriedades. Investigação Operacional 2002, p Caro, Y. (1997), Subdivisions, parity and well-covered graphs. Journal of Graph Theory, v. 25, p Caro, Y.; Ellingham, M.; Ramey, J. E. (1998), Local structure when all maximail independent sets have equal weight. Discrete Math, v. 11, p Caro, Y.; Sebo, A.; Tarsi, M. (1996), A characterization of Zm-well-covered graphs of girth 6 or more. Journal of Algorithms, v. 20, p Chvátal, V.; Slater, P. J. (1993), A note on well-covered graphs. Ann. Discrete Math., v. 55, p Cormen, T. H. et al (2002), Algoritmos. 2a. ed. [S.l.]: Editora Campus. Delahaye, J. P. (2006), Sorte ou inteligência? Scientific American Brasil, v. 4, n. 44, p Finbow, A. e Hartnell, B. e Whitehead, C. (1995), A characterization of graphs of girth eight or more with exactly two sizes of maximal independent sets. Discret Mathematics, v. 125, p Karp, R. M. (1972), Reducibility among combinatorial problems. Plenum Press, p Plummer, M. D. (1970), Some covering concepts in graphs. Journal Combin. Theory, v. 8, p Sankaranarayana, R. S. e Stewart, L. K. (1992), Complexity results for well-covered graphs. Networks, v. 22, p Szwarcfiter, J. L. (1984), Grafos e Algoritmos Computacionais. [S.l.]: Editora Campus Ltda. Tankus, D. e Tarsi, M. (1996), Well-covered claw-free graphs. J. Combin. Theory, B, n. 66, p West, D. (1996), Introduction to Graph Theory. [S.l.]: Prentice Hall. [ 2439 ]