BCC204 - Teoria dos Grafos
|
|
- Sara Brunelli das Neves
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 11 de dezembro de 2017 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
2 Avisos Site da disciplina: I Lista de s: I bcc204@googlegroups.com Para solicitar acesso: I Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
3 Conteúdo 1 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos 2 Grafos Hamiltonianos e Semi-Hamiltonianos Caracterização 3 Caminhos e Ciclos Eulerianos 4 Grafos Euleriano e Semi-Euleriano Caracterização 5 Algoritmo de Hierholzer 6 Algoritmo de Fleury Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
4 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Histórico Em 1856, Thomas Penyngton Kirkman, listado entre os dez mais importantes matemáticos britânicos do séc. 19, escreveu um trabalho que examinava as condições de existência de ciclos que não repetissem vértices ou arestas, desenvolvidos sobre certos tipos de sólidos. Especificamente, seu trabalho se concentrava em poliedros simples e examinava um caso semelhante ao apresentado na figura. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
5 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Histórico Kirkman havia se deparado com o problema de encontrar um ciclo em um grafo que passasse por todos os vértices sem admitir vértices repetidos. Dentre os diversos tipos possíveis ciclos em grafos, este é um dos de maior importância, tanto sob o aspecto teórico quanto sob o aspecto da aplicação em problemas reais. Historicamente, estes ciclos são denominados Hamiltonianos, devido a William Rowan Hamilton (matemático, físico e astrônomo irlandês), que, em 1957 propôs um jogo que denominou Around the World. Ojogoerafeitosobreumdodecaedro,emquecadavérticeestavaassociadoa uma cidade importante na época. O desafio consistia em encontrar uma rota através dos vértices do dodecaedro que iniciasse e terminasse na mesma cidade, sem repetir uma cidade sequer. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
6 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Around the World. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
7 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Around the World. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
8 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Grafo que representa o jogo, uma solução e um ciclo hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
9 Grafos Hamiltoniano e Semi-Hamiltoniano Caminho Hamiltoniano Um caminho hamiltoniano é um caminho que passa por cada vértice de um grafo exatamente uma vez. Ciclo Hamiltoniano Um ciclo hamiltoniano é um caminho hamiltoniano que retorna ao vértice inicial. Grafo Hamiltoniano Um grafo é dito hamiltoniano se possui um ciclo hamiltoniano. Grafo Semi-Hamiltoniano Um grafo é dito semi-hamiltoniano se possui um caminho hamiltoniano. Claramente, um grafo hamiltoniano é também semi-hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
10 Grafos Hamiltoniano e Semi-Hamiltoniano Grafo hamiltoniano, grafo não hamiltoniano e caminho hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
11 Caracterização Insuficiente Não se conhece uma condição necessária e suficiente trivial para a existência de um ciclo hamiltoniano em um grafo. Teorema de Dirac, 1952 Um grafo G =(V, A) com n 3ed(x) n/2 paratodox 2 V éhamiltoniano. Teorema de Ore, 1961 Uma condição suficiente para que um grafo seja hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n. Teorema de Bondy & Chvátal, 1976 Se o Fecho Hamiltoniano de G for um grafo completo, então G será hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
12 O Fecho Hamiltoniano - (G) Construção O Fecho Hamiltoniano de um grafo G, (G), éografoobtidoapartirdeg do seguinte modo: sucessivamente são adicionadas arestas entre pares de vértice u e v não adjacentes cuja soma dos graus seja pelo menos n, atéqueemalgum momento tais pares não existam mais. Exercício Tente usar usar o teorema de Bondy & Chvátal para o grafo C 4. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
13 Ciclos Hamiltonianos: Uso dos Teoremas Indique quais grafos satisfazem Dirac, Ore e Bondy & Chvátal Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
14 Caracterização Karp, 1972 Oproblemadedecisãoassociadoàdeterminaçãodeciclosecaminhosemgrafos sem propriedades peculiares é NP-Completo. Mais Resultados Decidir de se um grafo é hamiltoniano é NP-Completo mesmo que o grafo: I Seja planar (Garey et al, 1976); I Possua um caminho hamiltoniano conhecido (Papadimitriou & Steiglitz, 1976). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
15 Ciclos Propriedade Todo grafo Hamiltoniano com n-vértices é constituído por um C n emaisalgumas arestas. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
16 Todo Grafo 2-conexo é Hamiltoniano? Cola Um grafo 2-conexo ou biconectado é um grafo em que a remoção de um único vértice qualquer não o torna desconectado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
17 Todo Grafo 2-conexo é Hamiltoniano? Cola Um grafo 2-conexo ou biconectado é um grafo em que a remoção de um único vértice qualquer não o torna desconectado. Propriedade Insuficiente Todo grafo hamiltoniano é 2-conexo, mas nem todo grafo 2-conexo é hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
18 Caminhos e Ciclos Eulerianos Histórico Supostamente, a teoria dos grafos nasceu associada à solução e modelagem de um problema de ciclos. Diz-se que Euler, por ocasião de uma visita à cidade de Königsberg, durante o século XVIII, foi apresentado a um desafio não resolvido por ninguém. Durante a solução do problema, Euler teria lançado os fundamentos da teoria dos grafos. O problema tratava de um rio (Pregolya) que atravessava a cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), formando duas ilhas. As ilhas e as margens eram ligadas por sete pontes. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
19 Caminhos e Ciclos Eulerianos Plano de Königsberg, modelo e grafo associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
20 Caminhos e Ciclos Eulerianos Questão ApartirdealgumpontodacidadedeKönigsbergépossívelfazerumacaminhada que atravesse todas as pontes da cidade uma única vez e retorna ao ponto inicial? Euler Estudando este problema, Euler demonstrou, com o auxílio do grafo da figura anterior, que o percurso pretendido é impossível. Em virtude do resultado obtido por Euler, os percursos que passam por todas as arestas de um grafo, sem repetí-las, são denominados Eulerianos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
21 Caminhos e Ciclos Eulerianos Curiosidade Desde os tempos de Euler (portanto, há mais de três séculos), Königsberg passou por várias transformações, entre elas, duas modificações na disposição de suas sete pontes. Ainda assim, o percurso continua impossível. Plano de Kaliningrado (séc. XXI), modelo e grafo associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
22 Caminhos e Ciclos Eulerianos Curiosidade Temos uma Königsberg Brasileira! Euler não visitou o centro de Recife-PE, mas lá ocorre a mesma situação de impossibilidade de obter um ciclo euleriano. Centro de Recife com suas 8 pontes (séc. XXI) e grafo associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
23 Grafos Euleriano e Semi-Euleriano Caminho Euleriano Um caminho euleriano é um caminho que passa por cada aresta de um grafo exatamente uma vez. Ciclo Euleriano Um ciclo euleriano é um caminho euleriano que começa e termina no mesmo vértice. Grafo Euleriano Um grafo é dito euleriano se possui um ciclo euleriano. Grafo Semi-Euleriano Um grafo é dito semi-euleriano se possui um caminho euleriano. Claramente, um grafo euleriano é também semi-euleriano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
24 Caminhos e Ciclos Eulerianos Grafo semi-euleriano e caminho associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
25 Caracterização Suficiente Considerando G um grafo conectado, então: I (Teorema de Euler) G é euleriano se e somente se todos os seus vértices possuírem grau par; I G não é euleriano se e somente se existem dois ou mais vértices de grau ímpar; I G é semi-euleriano se e somente se existem exatamente dois vértices de grau ímpar. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
26 Algoritmos Hierholzer e Fleury Adeterminaçãodacomposiçãodecicloseulerianospodeserrealizadaemtempo determinístico polinomial. Estudaremos dois agoritmos, que partem do princípio que o grafo é euleriano, ou seja, obedecem ao Teorema de Euler. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
27 Algoritmo de Hierholzer Princípio OalgoritmodeHierholzer, propostoem1873,foiumdosprimeirosatratarciclos eulerianos. Aidéiaé,apartirdeumvérticequalquer,percorrerarestasatéretornaraovértice inicial. Porém, desta forma, pode ser obtido um ciclo que não inclua todas as arestas do grafo. Enquanto houver um vértice que possui arestas ainda não exploradas, comece um caminho neste vértice e tente voltar a ele, usando somente arestas ainda não percorridas. Utiliza o conceito de grafo reduzido, ou seja,remove arestas e vértices do grafo original à medida em que os insere na solução. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
28 Algoritmo de Hierholzer Terminologia I C: conjuntodasarestasquedefinemumcicloeulerianonografo; I A 1 :conjuntodearestasdografog ainda não percorridas; I K: graforeduzidocriadoapartirdeg, porém,k =(V, A 1 ); I H: conjuntodearestasquedefinemumciclonografok; I \: subtraçãodeconjuntos; I [: uniãodeconjuntos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
29 Algoritmo de Hierholzer Entrada: Grafo G =(V, A) 1 Escolha qualquer vértice v 2 V ; 2 Construa um ciclo C a partir do vértice v, percorrendo as arestas de G de maneira aleatória; 3 A 1 A \ C; 4 K (V, A 1 ); 5 enquanto A 1 6= ; faça 6 Escolha um vértice v tal que d(v)>0 e v 2 C; 7 Construa um ciclo H a partir do vértice v, percorrendo as arestas de K de maneira aleatória; 8 A 1 A 1 \ H; 9 C H [ C; 10 H ;; 11 fim Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
30 Algoritmo de Hierholzer Complexidade O algoritmo de Hierholzer pode ser implementado em O(m) caso sejam utilizadas listas duplamente encadeadas para: I Implementar a lista de adjacências de cada vértice; I Implementar os ciclos C e H; I Implementar uma lista L que contém os vértices de C com grau maior que zero no grafo reduzido. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
31 Exemplo Grafo G. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
32 Exemplo C = {c, f, g, i, h, a, b}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
33 Exemplo Grafo K na primeira iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
34 Exemplo H = {a, c, g, c, e, h, d}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
35 Exemplo C = {c, f, g, i, h, a, c, g, c, e, h, d, a, b}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
36 Exemplo Grafo K na segunda iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
37 Exemplo H = {d, b, e, f, i, e}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
38 Exemplo C = {c, f, g, i, h, a, c, g, c, e, h, d, b, e, f, i, e, d, a, b, c}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
39 Algoritmo de Fleury Princípio OalgoritmodeFleury, propostoem1883,tambémutilizaumgraforeduzido induzido pelas arestas ainda não marcadas pelo algoritmo. Inicialmente todas as arestas estão não marcadas, e, a partir de um vértice aleatório, uma aresta que obedeça a regra da ponte éescolhidaparaserpercorrida einseridanociclo. Regra da Ponte Se uma aresta {v, w} éumapontenograforeduzido,então{v, w} sódeveser escolhida pelo algoritmo de Fleury caso não haja outra opção. Terminologia I C: conjuntodasarestasquedefinemumcicloeulerianonografo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
40 Algoritmo de Fleury Entrada: Grafo G =(V, A) 1 Escolha qualquer vértice v 2 V ; 2 C {v}; 3 repita 4 Escolha uma aresta {v, w} não marcada usando a regra da ponte; 5 Atravessar {v, w}; 6 C C [{w}; 7 Marcar {v, w}; 8 v w; 9 até que todas as arestas estejam marcadas; 10 C C [{v}; Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
41 Algoritmo de Fleury Complexidade I O(m) remoções de arestas; I O(m) para detecção de pontes (usando um algoritmo ingênuo); I Resultando em complexidade O(m 2 ). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
42 Exemplo Grafo G. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
43 Exemplo (v, w) =(d, g). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
44 Exemplo (v, w) =(g, c). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
45 Exemplo Grafo reduzido na terceira iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
46 Exemplo (v, w) =(c, g). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
47 Exemplo Grafo reduzido na quarta iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
48 Exemplo (v, w) =(g, f ). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
49 Exemplo (v, w) =(f, c). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
50 Exemplo Grafo reduzido na sexta iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
51 Exemplo (v, w) =(c, b). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
52 Exercício Dado o grafo reduzido, termine a execução do algoritmo. Grafo reduzido. C = {d, g, c, g, f, c, b} Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
53 Exemplo C = {d, g, c, g, f, c, b, a, d, e, b, d}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
54 Exercício Quais dos grafos abaixo são semi-eulerianos? Encontre o caminho euleriano quando posssível. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
55 Euleriano? Hamiltoniano? (1/2) Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
56 Euleriano? Hamiltoniano? (2/2) Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
57 Exercícios 1 Mostre que um grafo Euleriano não possui uma ponte 1. 2 Mostre que os grafos correspondentes aos 5 sólidos platônicos são hamiltonianos. Quais são eulerianos? 1 Aresta que se removida desconecta o grafo Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
58 Exercício Épossívelarranjaraspeçasdeumdominóemumpercursofechado? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
59 Dúvidas? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de dezembro de / 58
GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira
Ciência da Computação GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira Um grafo é dito conexo se for possível visitar qualquer vértice, partindo de um outro qualquer, passando pelas suas arestas.
Leia maisPERCURSOS. André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré
PERCURSOS André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré Serra 2011 Índice 1...O que é caminho e circuito 1.1...Caminho 1.2...Circuito 1.3...Classificação 2...Caminhos Eulerianos 2.1...Definição
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal
Leia maisAlguns probleminhas...
Introdução Vários problemas da computação, com aplicações em diversos problemas importantes, nasceram de jogos ou brincadeiras. Hoje veremos uma pequana amostra deste fato. Alguns probleminhas... Problema
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal
Leia maisx y Grafo Euleriano Figura 1
Grafo Euleriano Um caminho simples ou um circuito simples é dito euleriano se ele contém todas as arestas de um grafo. Um grafo que contém um circuito euleriano é um grafo euleriano. Um grafo que não contém
Leia maisNoções da Teoria dos Grafos. André Arbex Hallack
Noções da Teoria dos Grafos André Arbex Hallack Junho/2015 Índice 1 Introdução e definições básicas. Passeios eulerianos 1 1.1 Introdução histórica..................................... 1 1.2 Passeios
Leia maisProblemas de Busca (a.k.a NP) - parte 2
Problemas de Busca (a.k.a NP) - parte 2 André Vignatti DINF- UFPR Euler e Rudrata No verão de 1735 Leonhard Euler, o famoso matemático suíço, estava andando nas pontes da cidade de Königsberg, na Prússia
Leia maisTeoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos Eulerianos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro.
Leia maisTeoria dos grafos. Caminho euleriano e Hamiltoniano. Prof. Jesuliana N. Ulysses
1 7 Teoria dos grafos Caminho euleriano e Hamiltoniano Grafo Euleriano Grafo onde é possível achar um caminho fechado (ciclo), passando em cada aresta uma única vez Quais são os grafos de Euler? Teorema:
Leia maisPCC173 - Otimização em Redes
PCC173 - Otimização em Redes Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 27 de abril de 2016 Marco Antonio M. Carvalho
Leia maisAs Pontes de Königsberg
As Pontes de Königsberg Anderson Freitas Ferreira e Lívia Minami Borges 13 de junho de 2015 Resumo A teoria de grafos teve seu início em 1736, quando Euler utilizou uma estrutura para resolver o Problema
Leia maisPCC173 - Otimização em Redes
PCC173 - Otimização em Redes Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 10 de julho de 2017 Marco Antonio M. Carvalho
Leia maisMATEMÁTICA DISCRETA PARA ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
MATEMÁTICA DISCRETA PARA ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO Profa. Kathya Collazos Linares *As aulas baseiam-se no material do Professor Antonio Alfredo Ferreira Loureiro O problema das sete pontes de Königsberg
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal
Leia maisTeoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.
Teoria dos Grafos Valeriano A de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilceunespbr, socorro@ibilceunespbr Grafos Hamiltonianos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal
Leia maisGrafos Eulerianos e o Problema do Carteiro Chinês
Prof. Ademir A. Constantino DIN - UEM 1 Grafos Eulerianos e o Problema do Carteiro Chinês Prof. Ademir Constantino Departamento de Informática Universidade Estadual de Maringá Prof. Ademir A. Constantino
Leia maisOferta de Serviços. Grafo Planar. Notas. Teoria dos Grafos - BCC204, Planaridade. Notas
Teoria dos Grafos - BCC204 Planaridade Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 29 de maio de 2011 1 / 23 Oferta de Serviços Gás Luz Água Podemos oferecer os demais serviços para
Leia mais01 Grafos: parte 1 SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II
01 Grafos: parte 1 SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II Prof. Moacir Ponti Jr. www.icmc.usp.br/~moacir Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação USP 2011/1 Moacir Ponti Jr. (ICMCUSP) 01
Leia maisCiência da Computação Engenharia de Computação Mestrado em Informática. Teoria dos Grafos. Maria Claudia Silva Boeres.
Ciência da Computação Engenharia de Computação Mestrado em Informática Maria Claudia Silva Boeres boeres@inf.ufes.br Programa 1.Conceitos Básicos 2.Grafos Eulerianos e Hamiltonianos 3.Caminhos, Ciclos
Leia maisEuler e as Origens da Teoria dos Grafos
Euler e as Origens da Teoria dos Grafos Yoshiko Wakabayashi Universidade de São Paulo - USP Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Ciência da Computação 5 de dezembro de 2007 Euler 2007
Leia maisAPLICAÇÕES DE BUSCA EM GRAFOS
APLICAÇÕES DE BUSCA EM GRAFOS David Krenkel Rodrigues de Melo david.melo1992@gmail.com Prof. Leonardo Sommariva, Estrutura de Dados RESUMO: São inúmeras as aplicaçõe de grafos, bem como os problemas clássicos
Leia maisGRAFOS: UMA INTRODUÇÃO
GRAFOS: UMA INTRODUÇÃO Vilmar Trevisan -Instituto de Matemática - UFRGS Junho de 2006 Grafos: uma introdução Informalmente, um grafo é um conjunto de pontos no plano ligados entre por flechas ou por segmentos
Leia maisGRAFOS. Prof. André Backes. Como representar um conjunto de objetos e as suas relações?
8/0/06 GRAFOS Prof. André Backes Definição Como representar um conjunto de objetos e as suas relações? Diversos tipos de aplicações necessitam disso Um grafo é um modelo matemático que representa as relações
Leia mais04 Grafos: caminhos e coloração SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II
04 Grafos: caminhos e coloração SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II Prof. Moacir Ponti Jr. www.icmc.usp.br/~moacir Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação USP 2011/1 Moacir Ponti Jr.
Leia maisTeoria dos Grafos Aula 16
Teoria dos Grafos Aula 16 Aula passada Primeira prova Aula de hoje Pontes de Königsberg Ciclo Euleriano Ciclo Hamiltoniano Quem foi Turing? As 7 Pontes de Königsberg Königsberg, cidade na Prússia (atual
Leia maisAlgoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos
Algoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos Prof a. Laura Silva de Assis PPCIC - Programa de Pós-graduação em Ciência da Computação CEFET/RJ - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso
Leia maisTeoria dos Grafos. Profa. Alessandra Martins Coelho
Teoria dos Grafos Profa. Alessandra Martins Coelho fev/2014 Avaliação 2 Provas 30 pontos cada; 3 Implementações 10 pontos cada; 1 Seminário 10 pontos; Listas de exercícios Listas não valem nota, entretanto...
Leia maisDOIS PROBLEMAS SOBRE GRAFOS Paulo Cezar Pinto Carvalho IMPA
Nível Intermediario. DOIS PROBLEMAS SOBRE GRAFOS Paulo Cezar Pinto Carvalho IMPA INTRODUÇÃO A figura abaixo mostra um mapa rodoviário de um país fictício. Neste artigo vamos examinar dois problemas relativos
Leia maisGrafos Hamiltonianos e o Problema do Caixeiro Viajante. Prof. Ademir Constantino Departamento de Informática Universidade Estadual de Maringá
Grafos Hamiltonianos e o Problema do Caixeiro Viajante Prof. Ademir Constantino Departamento de Informática Universidade Estadual de Maringá Grafo Hamiltoniano Definição: Um circuito hamiltoniano em um
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 14 de março de 2018 Marco Antonio M. Carvalho
Leia maisBCC402 Algoritmos e Programação Avançada. Prof. Marco Antonio M. Carvalho Prof. Túlio Toffolo 2012/1
BCC402 Algoritmos e Programação Avançada Prof. Marco Antonio M. Carvalho Prof. Túlio Toffolo 2012/1 Definições e Estruturas de Grafos Representações; Percursos Busca em Largura; Busca em Profundidade.
Leia maisTeoria dos Grafos Aula 6
Teoria dos Grafos Aula 6 Aula passada Busca em grafos Busca em largura (BFS Breadth First Search) Propriedades Aula de hoje BFS implementação Complexidade Busca em profundidade (DFS) Conectividade, componentes
Leia maisUma forma de classificação
Uma forma de classificação L. Não-RE ou f. nãocomputáveis LRE ou MT ou f. comput. L. Indecidíveis ou Procedimentos L. Recursivas ou Decidíveis ou Algoritmos Outra forma de classificação Problemas Indecidíveis
Leia maisSe retirarmos a última aresta a um ciclo hamiltoniano. logo todo o grafo hamiltoniano possui caminhos hamiltonianos. No entanto, o
Um caminho hamiltoniano num grafo é um caminho onde ocorrem todos os vértices do grafo exactamente uma vez. Análogamente, um ciclo hamiltoniano é um ciclo que contém todos os vértices do grafo exactamente
Leia maisGrafos representação e aplicações. Prof. Guilherme Tomaschewski Netto
Grafos representação e aplicações Prof. Guilherme Tomaschewski Netto guilherme.netto@gmail.com Roteiro! Contextualização! Apresentação, um pouco de história! Conceitos Grafos! Principais aplicacões! Estruturas
Leia maisGRAFOS Aula 08 Árvore Geradora Mínima: Algoritmos de Kruskal e Prim-Jarnik Max Pereira
Ciência da Computação GRAFOS Aula 08 Árvore Geradora Mínima: Algoritmos de Kruskal e Prim-Jarnik Max Pereira Árvore Geradora (spanning tree) É um subconjunto de um grafo G que possui todos os vértices
Leia maisTEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO. Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala
TEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO mmmoala@fafica.br Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro
Leia maisGrafos Planares. Grafos e Algoritmos Computacionais. Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes
Grafos Planares Grafos e Algoritmos Computacionais Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes fhcnunes@yahoo.com.br 1 Introdução Os exemplos mais naturais de grafos são os que se referem à representação de mapas
Leia maisÁrvores: Conceitos Básicos e Árvore Geradora
Árvores: Conceitos Básicos e Árvore Geradora Grafos e Algoritmos Computacionais Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes fhcnunes@yahoo.com.br 1 Introdução No dia a dia aparecem muitos problemas envolvendo árvores:
Leia maisPercursos em um grafo
Percursos em um grafo Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Árvores Sabemos que com um ou dois vértices apenas uma árvore pode ser formada. Entretanto com três vértices podemos formar três árvores. Com quatro vértices temos quatro estrelas e doze
Leia maisTeoria dos Grafos. Motivação
Teoria dos Grafos Aula 1 Primeiras Ideias Prof a. Alessandra Martins Coelho março/2013 Motivação Muitas aplicações em computação necessitam considerar conjunto de conexões entre pares de objetos: Existe
Leia maisMatemática Discreta. Aula nº 22 Francisco Restivo
Matemática Discreta Aula nº 22 Francisco Restivo 2006-05-26 Definição: Um grafo cujos vértices são pontos no plano e cujos lados são linhas no plano que só se encontram nos vértices do grafo são grafos
Leia maisTeoria dos Grafos Aula 2
Teoria dos Grafos Aula 2 Aula passada Logística, regras Objetivos Grafos, o que são? Formando pares Encontrando caminhos Aula de hoje Outro problema real Definições importantes Algumas propriedades Grafo
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Árvores Algoritmo de Kruskal O algoritmo de Kruskal permite determinar a spanning tree de custo mínimo. Este custo corresponde à soma dos pesos (distância, tempo, qualidade,...) associados
Leia maisÁlvaro Ostroski, Lucia Menoncini
APLICAÇÕES PRÁTICAS DA TEORIA DOS GRAFOS Álvaro Ostroski, Lucia Menoncini Acadêmico do curso de Matemática, professora do curso de Matemática RESUMO; A teoria dos grafos é um ramo da Matemática que vem
Leia maisAlg l ori r t i m t os e E str t u r tu t ra r s d e D ados I I Intr t o r duçã ç o ã a a Gr G a r f a o f s P of o a. M. C r C ist s ina n a /
Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos Profa. M. Cristina / Profa. Rosane (2012) Baseado no material de aula original: Profª. Josiane M. Bueno Divisão do arquivo 1ª parte: Motivação Definição:
Leia maisAlgoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos. Divisão do arquivo
Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Profa. M. Cristina / Profa. Rosane (2010/11) Baseado no material de aula original: Profª. Josiane M. Bueno Divisão do arquivo 1ª parte: Motivação Definição:
Leia maisAula 10: Tratabilidade
Teoria da Computação DAINF-UTFPR Aula 10: Tratabilidade Prof. Ricardo Dutra da Silva Na aula anterior discutimos problemas que podem e que não podem ser computados. Nesta aula vamos considerar apenas problemas
Leia maisTeoria dos Grafos. Apresentação da disciplina. Profa. Sheila Morais de Almeida. março DAINF-UTFPR-PG
Apresentação da disciplina Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março - 2016 Identificação da Disciplina Disciplina:. Docente: Sheila Morais de Almeida (sheilaalmeida@utfpr.edu.br) Página da
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Grafos Enumeração de Passeios/Caminhos O processo associado à enumeração de caminhos de um grafo/dígrafo é semelhante ao processo de contagem com a diferença de que usaremos uma matriz de
Leia maisMatemática Aplicada às Ciências Sociais- 11º ano (Versão: para o manual a partir de 2016/17)
Matemática Aplicada às Ciências Sociais- 11º ano (Versão: para o manual a partir de 2016/17) Professor: Pedro Nóia Livro adotado: Matemática Aplicada às Ciências Sociais- 11º ano Elisabete Longo e Isabel
Leia maisTópicos de Matemática Finita Data: I II-1 II-2 II-3 II-4 III-1 III-2 III-3 III-4 IV-1 IV-2 IV-3 Nota Final
Tópicos de Matemática Finita Data: 15-07-2002 2 a Época Correcção Código: 3C Nome: Número: Curso: O exame que vai realizar tem a duração de três horas. As respostas às perguntas do grupo I não necessitam
Leia maisTGR BCC Representação Computacional de Grafos. Prof. Ricardo José Pfitscher
TGR BCC Representação Computacional de Grafos Prof. Ricardo José Pfitscher Cronograma Representação Matriz de djacências Lista de djacências Matriz de Incidências Representação Como podemos representar
Leia maisO uso da Teoria dos Grafos no Jogo Icosiano
O uso da Teoria dos Grafos no Jogo Icosiano Leandro Natal Coral 1, Rafael Spilere Marangoni 1, Kristian Madeira 2 1 Acadêmico do curso de Ciência da Computação Unidade Acadêmica de Ciências, Engenharias
Leia maisCortes (cut sets) 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) CC/EC/UFES
Cortes (cut sets) (INF 5037/INF2781) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse
Leia maisCiclos hamiltonianos e o problema do caixeiro viajante
Ciclos hamiltonianos e o problema do caixeiro viajante Algoritmos em Grafos Marco A L Barbosa cba Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
Leia maisRedução polinomial. Permite comparar o grau de complexidade de problemas diferentes.
Redução polinomial Permite comparar o grau de complexidade de problemas diferentes. Uma redução de um problema Π a um problema Π é um algoritmo ALG que resolve Π usando uma subrotina hipotética ALG que
Leia maisColoração de Mapas. O Grafo. Notas. Teoria dos Grafos - BCC204, Coloração de Grafos. Notas
Teoria dos Grafos - BCC204 Coloração de Grafos Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 22 de maio de 2011 1 / 16 Coloração de Mapas Pergunta Considere um mapa político de qualquer
Leia maisEscola Básica e Secundária Mouzinho da Silveira. MACS 11.º Ano Problema do Caixeiro Viajante
Escola Básica e Secundária Mouzinho da Silveira MACS 11.º Ano Problema do Caixeiro Viajante Problema do Caixeiro Viajante Trata-se de um problema matemático que consiste, sendo dado um conjunto de cidades
Leia maisTeoria da Complexidade Computacional
Teoria da Complexidade Computacional Letícia Rodrigues Bueno UFABC Motivação Motivação I can t find an efficient algorithm, I guess I m just too dumb. Fonte: GAREY, M. R. e JOHNSON, D. S. Computers and
Leia maisEstrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II. Aula 10: Introdução aos Grafos
Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II Aula 10: Introdução aos Grafos História O assunto que se constitui no marco inicial da teoria de grafos é na realidade um problema algorítmico.
Leia maisAlgoritmos de aproximação - Problema do caixeiro viajante
Algoritmos de aproximação - Problema do caixeiro viajante Marina Andretta ICMC-USP 30 de setembro de 2015 Baseado no livro Uma introdução sucinta a Algoritmos de Aproximação, de M. H. Carvalho, M. R. Cerioli,
Leia maisTeoria dos Grafos AULA 1
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br, saraujo@ibilce.unesp.br AULA 1 Introdução,
Leia maisEstudo e Implementação de Algoritmos de Roteamento sobre Grafos em um Sistema de Informações Geográficas
Estudo e Implementação de Algoritmos de Roteamento sobre Grafos em um Sistema de Informações Geográficas RUDINI MENEZES SAMPAIO 1 HORÁCIO HIDEKI YANASSE 2 1 UFLA Universidade Federal de Lavras DCC Departamento
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA Grafos no Ensino Médio Uma Inserção Possível PRODUTO DA DISSERTAÇÃO SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Leia maisTeoria dos Grafos Aula 2
Teoria dos Grafos Aula 2 Aula passada Logística Objetivos Grafos, o que são? Formando pares Aula de hoje Mais problemas reais Definições importantes Algumas propriedades Objetivos da Disciplina Grafos
Leia maisTeoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro. Teoria do Grafos,
Leia maisAs pontes de Königsberg
As pontes de Königsberg Adérito Araújo Centro de Matemática da Universidade de Coimbra A cidade de Königsberg Era uma vez uma cidade chamada Königsberg ( montanha do rei ) na antiga Prússia. Fundada em
Leia maisIntrodução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo
Doutorado em Ciência da Computação lgoritmos e Grafos Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UF Introdução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo Definição Estrutura que consiste em dois conjuntos: um conjunto de vértices
Leia maisGrafos: aplicações. Grafos: árvore geradora mínima
árvore geradora mínima caminhos mínimos problemas tipo 1 desejase conectar todos os computadores em um prédio usando a menor quantidade possível de cabos uma companhia aérea deseja voar para algumas cidades
Leia maisTeoria dos Grafos Introdu c ao
Teoria dos Grafos Introdução Referências P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos, São Paulo, E. Blucher 001; R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New York, Dover Publications,
Leia maisMODELAGEM MATEMÁTICA E A CONTEXTUALIZAÇÃO DO ESTUDO DE GRAFOS E MATRIZES NO ENSINO MÉDIO
MODELAGEM MATEMÁTICA E A CONTEXTUALIZAÇÃO DO ESTUDO DE GRAFOS E MATRIZES NO ENSINO MÉDIO RESUMO Maria Eliana Barreto Druzian Dr. MarcioViolante Ferreira Este trabalho aborda a teoria de grafos e pretende
Leia maisTeoria dos Grafos Conceitos Básicos
Teoria dos Grafos Conceitos Básicos Profª. Alessandra Martins Coelho fev/2014 Grafos com apelidos diamante Grafos com apelidos Grafos com apelidos diamante casinha Grafos com apelidos diamante casinha
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: Torre de Hanói e Triângulo de Sierpinski AUTOR: André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR: Dr. Professor
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Existem três companhias que devem abastecer com gás, eletricidade e água três prédios diferentes através de tubulações subterrâneas. Estas tubulações podem estar à mesma profundidade? Isto
Leia maisGrafos I. Figura 1: Mapa de Königsberg
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível Prof. Bruno Holanda Aula 0 Grafos I O que é um grafo? Se você nunca ouviu falar nisso antes, esta é certamente uma pergunta que você deve
Leia maisGrafos: caminhos mínimos
quando o grafo é sem pesos, a determinação de um caminho mais curto pode ser feita através de uma busca em largura caminho mais curto é aquele que apresenta o menor número de arestas quando o grafo tem
Leia mais5COP096 TeoriadaComputação
Sylvio 1 Barbon Jr barbon@uel.br 5COP096 TeoriadaComputação Aula 13 Prof. Dr. Sylvio Barbon Junior Sumário - Problemas NP-Completo Algoritmos Não-deterministas; Classes NP-Completo e NP-Dificil; Teorema
Leia maisIntrodução à Teoria dos Grafos. Isomorfismo
Isomorfismo Um isomorfismo entre dois grafos G e H é uma bijeção f : V (G) V (H) tal que dois vértices v e w são adjacentes em G, se e somente se, f (v) e f (w) são adjacentes em H. Os grafos G e H são
Leia maisTópicos de Matemática Finita Data: I II-1 II-2 II-3 II-4 III-1 III-2 III-3 III-4 IV-1 IV-2 IV-3 IV-4 Nota Final
Tópicos de Matemática Finita Data: 20-06-2003 1 a Época Correcção Código: 1B Nome: Número: Curso: O exame que vai realizar tem a duração de três horas. As respostas às perguntas do grupo I não necessitam
Leia maisIntrodução à Teoria dos Grafos
Capítulo 1 Introdução à Teoria dos Grafos 1.1 História O primeiro problema cuja solução envolveu conceitos do que viria a ser teoria dos grafos, denominado "problema das pontes de Königsberg", foi resolvido
Leia maisPCC173 - Otimização em Redes
PCC173 - Otimização em Redes Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 31 de maio de 2017 Marco Antonio M. Carvalho
Leia maisAlgoritmos em Grafos
Algoritmos em Grafos Baseado em: The Algorithm Design Manual Steven S. Skiena IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computação Prof. João Alberto Fabro - Slide 1/42 Introdução (1) Um grafo G=(V,E)
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
PLANO DE ENSINO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n Dois Irmãos 52171-900 Recife-PE Fone: 0xx-81-332060-40 proreitor@preg.ufrpe.br
Leia maisTeoria dos Grafos. Componentes, Conj. Indep., Cliques
Teoria dos Grafos Componentes, Conj. Indep., Cliques Grafo Conexo/Desconexo Um grafo é conexo se existe um caminho entre qualquer par de nós, caso contrário ele é chamado desconexo. Basta que não exista
Leia maisEstruturas de Dados II. Caixeiro Viajante
Estruturas de Dados II Prof. a Mariella Berger Caixeiro Viajante 1. Objetivo O objetivo deste trabalho é implementar diferentes soluções para o problema clássico do Caixeiro Viajante. 2. Introdução O Problema
Leia maisRoteamentos AULA ... META. Introduzir alguns problemas de roteamento. OBJETIVOS. Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:
Roteamentos AULA META Introduzir alguns problemas de roteamento. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Distinguir circuito euleriano e ciclo hamiltoniano; Obter um circuito euleriano
Leia maisPrograma. 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações. 1 Conjuntos. 4 Indução Matemática e Divisibilidade. 5 Congruências Lineares
Programa Matemática Discreta 2008/09 Jorge Manuel L. André FCT/UNL 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações 1 Conjuntos 2 Relações Binárias 3 Aplicações 4 Indução Matemática e Divisibilidade 5 Congruências Lineares
Leia maisCaixeiro Viajante. Estruturas de Dados II. Prof. a Mariella Berger. 1. Objetivo
Estruturas de Dados II Prof. a Mariella Berger Caixeiro Viajante 1. Objetivo O objetivo deste trabalho é implementar diferentes soluções para o problema clássico do Caixeiro Viajante. 2. Introdução O Problema
Leia maisGrafos AULA META. Introduzir noções elementares da teoria dos grafos. OBJETIVOS. Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:
Grafos META Introduzir noções elementares da teoria dos grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Representar grafos por meio de matrizes e diagramas; Caracterizar uma árvore; Identificar
Leia maisPlanaridade AULA. ... META Introduzir o problema da planaridade de grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:
Planaridade AULA META Introduzir o problema da planaridade de grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Distinguir grafo planar e plano; Determinar o dual de um grafo; Caracterizar
Leia maisProf. Marco Antonio M. Carvalho
Prof. Marco Antonio M. Carvalho Lembretes Lista de discussão Endereço: programaacao@googlegroups.com Solicitem acesso: http://groups.google.com/group/programaacao Página com material dos treinamentos http://www.decom.ufop.br/marco/extensao/obi/
Leia maisMatemática Discreta - Exercícios de Grafos
UALG - 0/0 1. Seja G o grafo cuja matriz de adjacência é: 1 8 9 1 8 9 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Referências P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos, São Paulo, E. Blucher 2001; R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New York, Dover Publications, 1993; Kaufmann,
Leia maisÁRVORES E ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA
ÁRVORES E ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA Prof. André Backes Definição 2 Diversas aplicações necessitam que se represente um conjunto de objetos e as suas relações hierárquicas Uma árvore é uma abstração matemática
Leia maisBusca em Largura Letícia Rodrigues Bueno
Busca em Largura Letícia Rodrigues Bueno UFABC Número de Erdõs - Equivalente Nerd do Número de Bacon :) Paul Erdõs: famoso matemático hungáro; Trabalhou com centenas de colaboradores; Publicou mais de
Leia mais