Teoria dos Grafos. Apresentação da disciplina. Profa. Sheila Morais de Almeida. março DAINF-UTFPR-PG

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1 Apresentação da disciplina Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março

2 Identificação da Disciplina Disciplina:. Docente: Sheila Morais de Almeida Página da disciplina: sheilaalmeida.pro.br Horário das aulas: quinta-feira, das 10h20 às 12h00. sexta-feira, das 8h20 às 10h00. Atendimento aos alunos: (não temos monitor) segunda-feira, das 12h00 às 12h50. quinta-feira, das 12h00 às 12h50. sexta-feira, das 12h00 às 12h50.

3 Frequência Aulas no semestre: 62. O acadêmico é aprovado se não tiver mais de 25% de faltas. Nessa disciplina: até 15 faltas. Abono de faltas: não são feitos pelo docente. Abono de Faltas Os pedidos devem ser entregues na DERAC e serão avaliados pelo Coordenador do Curso, Professor Erikson, que encaminha para o docente a ordem de que seja dado o abono, se for julgado justo.

4 Avaliação Serão duas provas (P 1 e P 2 ) e dois testes (T 1 e T 2 ). Média final = (2P 1 + 2P 2 + T 1 + T 2 )/6 Datas importantes: 07/04: primeiro teste (T 1 ). 05/05: primeira prova (P 1 ). 05/05: primeira prova substitutiva (S 1 ). 12/05: segundo teste (T 2 ). 24/06: segunda prova (P 2 ). 01/07: segunda prova substitutiva (S 2 ).

5 Avaliação Avaliações Substitutivas: Serão duas avaliações substitutivas, S 1 e S 2, para ajudar na recuperação de desempenho das provas P 1 e P 2, respectivamente. Cálculo da nova nota, usando S i Ao realizar a prova substitutiva de uma prova P i, a nova nota do acadêmico nessa avaliação será calculada da seguinte forma: Nova nota da prova P i = 0, 3P i + 0, 7S i

6 Avaliação Observações: 1. A nova nota substitui obrigatoriamente a nota anterior. 2. Não há avaliações substitutivas para os testes. 3. Em hipótese alguma haverá alteração da nota final para beneficiar qualquer aluno.

7 Exercícios Os exercícios serão retirados dos livros: GERSTING, J. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, ROSEN, K. H. Matemática Discreta e suas Aplicações. 6 ed. McGraw-Hill Brasil Os exercícios serão disponibilizados no site ou no xerox. Os exercícios são necessários para compreensão do conteúdo e não valem pontos extras.

8 Apresentação do conteúdo Nem sempre as aulas serão dadas com slides, nem sempre notas de aula serão disponibilizadas. Você é responsável por elaborar suas próprias notas de aula e ler o material bibliográfico que for indicado.

9 O que é Grafo? Definição formal Um grafo G = (V (G), E(G)) é uma estrutura matemática que consiste de dois conjuntos: V (G), um conjunto de elementos que são chamados de vértices, e E(G), um conjunto de pares de elementos de V (G), cada par é chamado de aresta.

10 O que é Grafo? Definição formal Um grafo G = (V (G), E(G)) é uma estrutura matemática que consiste de dois conjuntos: V (G), um conjunto de elementos que são chamados de vértices, e E(G), um conjunto de pares de elementos de V (G), cada par é chamado de aresta.

11 O que é Grafo? Definição formal Um grafo G = (V (G), E(G)) é uma estrutura matemática que consiste de dois conjuntos: V (G), um conjunto de elementos que são chamados de vértices, e E(G), um conjunto de pares de elementos de V (G), cada par é chamado de aresta.

12 O que é Grafo?

13 Plano de Ensino O que e Grafo?

14 O que é Grafo? O conjunto dos vértices pode ser infinito. Nesse caso o grafo é chamado de grafo infinito. Exemplo: G = (V (G), E(G)), onde V (G) = {ij : i, j Z} e E(G) = {(ij, i(j + 1)) : i, j Z} {(ij, (i + 1)j) : i, j Z}.

15 Conceitos básicos Dois vértices conectados por uma aresta são chamados de adjacentes ou vizinhos. Uma aresta vw é dita incidente em v e em w. a d b c e Os vértices a e b são vizinhos (ou adjacentes) e a aresta ab é incidente nos vértices a e b.

16 Conceitos básicos Arestas múltiplas: mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices. Laço: aresta definida por um par de vértices não distintos. e1 e 5 v 1 e4 e2 e3 v 2 v 4 e6 e7 v 3 A aresta v 1 v 1 é um laço e entre os vértices v 3 e v 4 temos arestas múltiplas.

17 Conceitos básicos Um grafo é simples se não possui laços ou arestas múltiplas. a d b c e

18 Conceitos básicos O grau de um vértice é o número de arestas incidentes nele. e1 e 5 v 1 e4 e2 e3 v2 v 4 e6 e7 v 3 d(v 2 ) = 2 d(v 4 ) = 3 d(v 1 ) = 4

19 Conceitos básicos O grau máximo do grafo é o maior dos graus dos vértices. a d b c e (G) = 3.

20 Origem dos grafos Problema das Pontes de Königsberg: um dos problemas mais antigos que se sabe ter sido modelado como um problema em grafos. Königsberg localizava-se no Rio Pregel, na Prússia, e ocupava a ilha de Kneiphopf e as áreas à margem do rio. Essa região era ligada por sete pontes. A B C D

21 Origem dos grafos Uma lenda dizia que um cidadão poderia sair de sua casa, passar por todas as pontes sem repetir nenhuma e retornar para casa. A B C D Em 1736, Euler modelou o problema como um grafo. A B C D

22 Origem dos grafos Segundo Euler, o percurso não é possível: toda vez que se chega e sai de um dos pedaços de terra, são utilizadas duas pontes. E para sair do pedaço de terra onde está a casa e retornar ao mesmo, são necessárias duas pontes. A B C D Então, para que o percurso seja possível, cada pedaço de terra deve ser servido por um número par de pontes.

23 Problema dos Conhecidos em um Grupo É verdade que, em um grupo de seis pessoas, sempre existem três que se conhecem mutuamente ou então três que são estranhas entre si?

24 Problema dos Conhecidos em um Grupo O problema pode ser modelado como um grafo simples onde cada pessoa é representada por um vértice e existe uma aresta entre dois vértices se, e somente se, as pessoas que esses vértices representam se conhecem.

25 Problema dos Conhecidos em um Grupo Também é possível construir o grafo que modela a relação de serem estranhas entre si. Neste caso, existe uma aresta conectando dois vértices se, e somente se, as pessoas que os mesmos representam não se conhecem. v1 v2 v1 v2 v 6 v 3 v 6 v 3 v 5 v4 v 5 v4 (a) (b)

26 Problema dos Conhecidos em um Grupo Uma aresta existe no grafo (b) se, e somente se, a mesma aresta não existe no grafo representado em (a). v1 v2 v1 v2 v 6 v 3 v 6 v 3 v 5 v4 v 5 v4 (a) (b) O grafo em (b) é complemento do grafo em (a) e vice-versa.

27 Problema dos Conhecidos em um Grupo Definição Dado um grafo G = (V (G), E(G)), o complemento de G é o grafo G = (V (G), E(G)) onde V (G) = V (G) e E(G) = {uv : uv E(G)}.

28 Problema dos Conhecidos em um Grupo Considere uma pessoa qualquer no grupo de seis pessoas. Ou essa pessoa conhece outras três pessoas ou então existem três pessoas que ela não conhece. Primeiro caso: uma pessoa qualquer conhece outras três pessoas. a v b c

29 Problema dos Conhecidos em um Grupo O grafo G ilustra que, se a, b e c não se conhecem mutuamente, então é verdade que existem três pessoas que são estranhas entre si. a a v b v b G c G c

30 Problema dos Conhecidos em um Grupo Se não é verdade que a, b e c são mutuamente estranhas entre si, então ocorre em G um dos casos representados abaixo, indicando que existem três pessoas que se conhecem mutuamente. a a a v b v b v b G c G c G c