TEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO. Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala
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- Pedro Lucas Caetano Van Der Vinne
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1 TEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO mmmoala@fafica.br
2 Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro de 78 (76 anos) Problema das Sete Pontes.76 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado) Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo sem passar pela mesma ponte mais de uma vez
3 Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro de 78 (76 anos) Problema das Sete Pontes.76 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado) Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo sem passar pela mesma ponte mais de uma vez
4 Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro de 78 (76 anos) Problema das Sete Pontes.76 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado) Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo sem passar pela mesma ponte mais de uma vez
5 Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro de 78 (76 anos) Problema das Sete Pontes.76 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado) Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo sem passar pela mesma ponte mais de uma vez Impossível!!! Pelo menos um vértice é de grau ímpar!!! (Todos deveriam ter grau par)
6 Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro de 78 (76 anos) Problema das Sete Pontes.76 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado) Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo sem passar pela mesma ponte mais de uma vez Todos os vértices tem grau par!!!
7 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Delta Air Lines Rotas nos Estados Unidos
8 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Azul
9 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Azul Rota: Brasília e seus destinos
10 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Azul Rota de Manaus para Fortaleza
11 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Gol Rotas no Brasil
12 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Gol Rota: Manaus - Fortaleza
13 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Alliance
14 Aplicações no Mundo - Logística Empresa aérea Alliance Rota: Manaus - Fortaleza
15 Aplicações no Mundo - Logística Mapa de Catanduva Acesso a Bairros Residencial Seb. Moraes Colina do Sol Stocco Jardim Esperança Centro Engrácia Industrial
16 Aplicações no Mundo - Logística Mapa de Catanduva Acesso a Bairros Residencial Seb. Moraes Colina do Sol Stocco Jardim Esperança Centro Engrácia Industrial
17 Aplicações no Mundo - Logística Rede de Computadores Conexões
18 Aplicações no Mundo - Logística Circuito Elétrico Placa e Componentes
19 Conceitos Básicos de Grafos Vértice ou Nó Arcodo vértice para o vértice Vértices e sãoadjacentes Vértice incidesobre ao vértice Vértice éincidido pelo vértice Vértice épredecessor do vértice Vértice ésucessor do vértice Arestado entre os vértice e Vértices e sãoadjacentes Vértice incide sobre ao vértice, e vice-versa Vértice é predecessor do vértice, e vice-versa Vértice ésucessor do vértice, e vice-versa Laço
20 Conceitos Básicos de Grafos Tipos de Grafos G: D: M: Grafo (Aresta) Dígrafo (Arcos) Grafo Misto (Arcos e Arestas) De um modo geral chamaremos todos de Grafos Utilizaremos Grafo ou Dígrafo para casos específicos
21 Grafos Isomorfos G: G: Grafo planar Grafo plano D: D: D: Dígrafo plano (Dí)Grafo Planar: Pode ser construído sem interseção (Dí)Grafo Plano: Não tem interseção Dígrafos planares
22 Sugrafos:Grafo G(A,V), subgrafo H(B A,U V) G: H G : D: H D :
23 Sugrafos: (Atividades) Construir um subgrafo com arestas(arcos)associado a cada grafo G: H G : D: H D :
24 Árvore: Grafo G(A,V) sem ciclo G: D: 6
25 Árvore: (Atividades) Construir uma árvore com os vértices dados: G: D:
26 Árvore Geradora:A árvore geradora [T] de um grafo G(A,V) é a árvore obtida de G e que contém todos os vértices d e G. G: [T G ]: D: [T D ]:
27 Árvore Geradora de Peso Mínimo: A árvore geradora [T G ] de peso mínimo de um grafo G(A,V) é a árvore geradora obtida de G cuja soma de todos os valores nas arestas (ou arcos) é o menor. G: 6 Poderíamos determinar todas as árvores gerados de G (Processo de contagem) e selecionar a de menor peso: [T G ]: [T G ]: [T G ]: 6 Peso = 6 Peso = 6 Peso = 9
28 Algoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo: º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso; º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se esta aresta (ou arco)formar um ciclo comas outras que jáestão na árvoregeradora descarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a da lista. º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vértices estejam ligados. Lista: e, e, e, e, e, e, e, e G: 6 [T G ]:
29 Algoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo: º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso; º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se esta aresta (ou arco)formar um ciclo comas outras que jáestão na árvoregeradora descarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a da lista. º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vértices estejam ligados. Lista: e, e, e, e, e, e, e, e G: 6 [T G ]:
30 Algoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo: º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso; º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se esta aresta (ou arco)formar um ciclo comas outras que jáestão na árvoregeradora descarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a da lista. º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vértices estejam ligados. Lista: e, e, e, e, e, e, e, e G: 6 [T G ]:
31 Algoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo: º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso; º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se esta aresta (ou arco)formar um ciclo comas outras que jáestão na árvoregeradora descarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a da lista. º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vértices estejam ligados. Lista: e, e, e, e, e, e, e, e Forma ciclo G: 6 [T G ]: 6
32 Algoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo: º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso; º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se esta aresta (ou arco)formar um ciclo comas outras que jáestão na árvoregeradora descarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a da lista. º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vértices estejam ligados. Lista: e, e, e, e, e, e, e, e G: 6 [T G ]:
33 Algoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo: º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso; º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se esta aresta (ou arco)formar um ciclo comas outras que jáestão na árvoregeradora descarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a da lista. º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vértices estejam ligados. Lista: e, e, e, e, e, e, e, e G: 6 [T G ]: Peso = Note que, qualquer uma dos demais arestas que foram adicionadas à árvore teremos a formação de um ciclo!
34 Árvore Geradora de Peso Mínimo: ATIVIDADES Construir a árvore geradora de custo mínimo para cada grafo que se segue: 6 G: 7 7 [T G ]: 8 D: 6 [T G ]:
35 Percurso em Grafos Cadeia: Sequência de vértices adjacentes,,,,,,,
36 Percurso em Grafos Caminho: Sequência de vértices adjacentes, acessados no sentido do arco, quando se percorre arcos.,,,,,,
37 Percurso em Grafos Ciclo: Sequência de vértices adjacentes, onde o vértice inicial é igual a o vértice final,,,,,
38 Percurso em Grafos Circuito: Caminho, onde o vértice inicial é igual a o vértice final,,,,,
39 Percurso em Grafos- ATIVIDADES ) Caminho Euleriano-Determinar um caminho euleriano, ou seja, um caminho quepasse portodas as arestas umaúnicavez: 6
40 Percurso em Grafos- ATIVIDADES ) Circuito Euleriano-Determinar um circuito euleriano, ou seja, um caminho de extremos iguais, que passe por todas as arestas uma única vez e retorna ao vértice inicial: 6
41 Percurso em Grafos- ATIVIDADES ) Caminho Hamiltoniano-Determinar um caminho hamiltoniano, ou seja, um caminhoque passe por todas os vérticesuma únicavez: e d 8 i j 9 a 7 h f g 6 c b
42 MatrizdeAdjacência ou deincidênciavértice-vérticem(a ij ) a ij =, se existir uma ligação entre os nós ie j, caso contrário Matriz simétrica Informações guardadas em dobro Ineficiente computacionalmente
43 MatrizdeAdjacência ou deincidênciavértice-vérticem(a ij ) ATIVIDADE: Determinar a matriz de adjacência do grafos dado: a ij =, se existir uma ligação entre os nós ie j, caso contrário
44 MatrizdeAdjacência ou deincidênciavértice-vérticem(a ij ) ATIVIDADE: Determinar a matriz de Incidência Vértice-Vértice do grafos dado: a ij =, se existir uma ligação entre os nós ie j, caso contrário
45 MatrizdeIncidênciaVértice-ArestaM(a ij ) K=(i,j) A(G) = a ik = a jk =, caso contrário Não pode conter laços
46 MatrizdeIncidênciaVértice-ArestaM(a ij ) a ik = K=(i,j) A(G) = a jk =, caso contrário Enumeração das arestas Arestas Vértices
47 MatrizdeIncidênciaVértice-ArestaM(a ij ) a ik = K=(i,j) A(G) = a jk =, caso contrário Enumeração das arestas Arestas Vértices
48 MatrizdeIncidênciaVértice-ArestaM(a ij ) ATIVIDADE: Determinar a matriz de incidência vértice-aresta K=(i,j) A(G) = a ik = a jk =, caso contrário Arestas Vértices 9
49 MatrizdeIncidênciaVértice-ArcoM(a ij ) K=(i,j) A(G) = a ik = (saída) a jk =-(chegada), caso contrário Não pode conter laços
50 MatrizdeIncidênciaVértice-ArcoM(a ij ) a ik = (saída) K=(i,j) A(G) = a jk =-(chegada), caso contrário Arestas Vértices
51 MatrizdeIncidênciaVértice-ArcoM(a ij ) ATIVIDADE: Determinar a matriz de incidência vértice-arco K=(i,j) A(G) = a ik = (saída) a jk =-(chegada), caso contrário Arestas Vértices
52 Percurso em Grafos Seja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com nvértices. A matriz A n representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j, com n- vértices intermediários. A =
53 Percurso em Grafos Seja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com nvértices. A matriz A n representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j, com n- vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário. Existemcaminhosdovérticeaocomarcos º caminho A =
54 Percurso em Grafos Seja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com nvértices. A matriz A n representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j, com n- vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário. Existemcaminhosdovérticeaocomarcos º caminho A =
55 Percurso em Grafos Seja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com nvértices. A matriz A n representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j, com n- vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário. Existemcaminhosdovérticeaocomarcos º caminho A =
56 Percurso em Grafos Seja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com nvértices. A matriz A n representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j, com n- vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário. Existemcaminhosdovérticeaocomarcos º caminho A =
57 Faça o que deve ser feito não apenas o que lhe pedem... OBRIGADO! FIM
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