BCC204 - Teoria dos Grafos
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- Luiz Eduardo Santos Castelo
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1 BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 27 de janeiro de 2016 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
2 Avisos Site da disciplina: Moodle: Lista de s: Para solicitar acesso: Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
3 Conteúdo 1 Sólidos Platônicos 2 Introdução 3 Grafos de Kuratowski 4 Região ou Face 5 Detecção de Planaridade 6 Homeomorfismo 7 O Teorema de Kuratowski 8 Grafo Planar Maximal 9 Dualidade 10 Complemento e Planaridade Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
4 Sólidos Platônicos Definição Os Sólidos Platônicos (em homenagem ao filósofo Platão) são figuras tridimensionais nas quais todas as faces são polígonos regulares congruentes, tal que cada vértice possui o mesmo número de faces incidentes. Existem somente 5 sólidos platônicos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
5 Sólidos Platônicos Histórico Platão associou cada sólido com um dos elementos que acreditava serem a composição de tudo no universo: ar (octaedro), água (icosaedro), fogo (tetraedro), terra (cubo) e (às vezes) éter (dodecaedro). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
6 Sólidos Platônicos A Fórmula de Euler Um Sólido Platônico é composto por vértices (V), arestas (E) e faces (F). A relação entre estes valores é dada pela Fórmula de Euler: V E + F = 2 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
7 Grafos Platônicos Correspondência Para cada Sólido Platônico, há um grafo platônico correspondente, que na verdade representam o esqueleto de cada sólido Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
8 Poliedros Duais Definição Todo poliedro possui um poliedro dual (ou poliedro polar), com vértices e faces invertidos. O dual de cada sólido Platônico é outro sólido Platônico. Um par dual: cubo e octaedro. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
9 Sólidos Platônicos e Planaridade A Correlação Veremos a seguir que o conceito de planaridade possui propriedades dos sólidos Platônicos, como a aplicação da fórmula de Euler e dualidade. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
10 Sprouts O Jogo Sprouts é um jogo do tipo lápis-e-papel com características matemáticas importantes e que pode ser jogado entre dois jogadores. O jogo se inicia com alguns pontos desenhados no papel. Alternadamente, os jogadores desenham linhas entre dois pontos quaisquer e adicionando um novo ponto sobre a linha desenhada, respeitando as seguintes restrições: A linha pode ser reta ou curva, mas não pode tocar ou cruzar com outra linha (ou consigo mesma); O novo ponto não pode ser colocado sobre outro ponto já existente (obrigatoriamente divide a nova linha em duas); Nenhum ponto pode estar conectado a mais do que 3 linhas. O jogador que realizar a última jogada é o vencedor. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
11 Oferta de Serviços Gás Luz Água A Aposta Podemos oferecer os demais serviços para todas as residências sem que as linhas se cruzem? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
12 Grafo Planar Definição Um grafo G é planar se existir uma representação gráfica de G no plano sem cruzamento de arestas. O grafo K 4 é planar? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
13 Grafos Planares - Aplicação de Exemplo Vértices: portas lógicas (ou gates); Arestas: fios entre as portas lógicas; Objetivo: encontrar um desenho do circuito sem cruzamento de fios. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
14 Grafos de Kuratowski K 5 grafo não planar com menor número de vértices. K 3,3 grafo não planar com menor número de arestas. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
15 Grafos de Kuratowski O que K 5 e K 3,3 têm em comum: Ambos são regulares; Ambos são não planares; A remoção de uma aresta ou um vértice torna o grafo planar; K 5 é o grafo não-planar com o menor número de vértices e o K 3,3 com o menor número de arestas. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
16 Planaridade Teorema: Qualquer grafo planar simples pode ter sua representação planar utilizando apenas linhas retas. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
17 Região ou Face Definição Seja G um grafo planar, uma face é uma região fechada de G limitada por algumas arestas de G. Exemplo No grafo abaixo temos 6 faces. A última face é o exterior do grafo que também é chamada de face infinita. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
18 Planaridade Teorema (Fórmula de Euler): Seja G um grafo conexo e planar com n vértices; m arestas; f faces. Temos que: n m + f = 2 Implicação: apesar das inúmeras maneiras de se desenhar um grafo no plano, o número de faces irá permanecer o mesmo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
19 Planaridade Teorema (Fórmula de Euler): Seja G um grafo conexo e planar com n vértices; m arestas; f faces. Temos que: n m + f = 2 Implicação: apesar das inúmeras maneiras de se desenhar um grafo no plano, o número de faces irá permanecer o mesmo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
20 n m + f = 2 Prova A fórmula de Euler é válida para G 1. É fácil mostrar que a fórmula de Euler é válida para qualquer árvore, ou seja, um grafo onde m = n 1 e f = 1. G 1 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
21 n m + f = 2 Prova A fórmula de Euler é válida para G 1. É fácil mostrar que a fórmula de Euler é válida para qualquer árvore, ou seja, um grafo onde m = n 1 e f = 1. G 1 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
22 n m + f = 2 Prova (cont.) x Se G é conexo, então a adição de uma nova aresta a cria um ciclo e, por consequência, uma nova face em G. Ou seja, adicionar arestas em uma árvore (onde a fórmula de Euler está correta), não modifica o valor obtido pela fórmula. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
23 A Fórmula de Euler Corolário (decorrência imediata de um teorema) Se G é um grafo planar conexo com m > 1, então Prova (p.1) m 3n 6 Definimos o grau de uma face como o número de arestas nos seus limites. Se uma aresta aparece duas vezes pelo limiar, então contamos duas vezes. Ex.: A região K tem grau 12. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
24 A Fórmula de Euler Corolário Se G é um grafo planar conexo com m > 1, então m 3n 6. Prova (p.2) Note que nenhuma face pode ter menor do que grau 3 (trabalhamos com grafos simples). Logo, 2m a 3f, ou seja, f 2 m. 3 Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 m 3 Multiplicando por 3 para eliminar a fração e isolando m temos: 6 + 3m 3n 2m m 3n 6 a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
25 A Fórmula de Euler Corolário Se G é um grafo planar conexo com m > 1, então m 3n 6. Prova (p.2) Note que nenhuma face pode ter menor do que grau 3 (trabalhamos com grafos simples). Logo, 2m a 3f, ou seja, f 2 m. 3 Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 m 3 Multiplicando por 3 para eliminar a fração e isolando m temos: 6 + 3m 3n 2m m 3n 6 a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
26 A Fórmula de Euler Corolário Se G é um grafo planar conexo com m > 1, então m 3n 6. Prova (p.2) Note que nenhuma face pode ter menor do que grau 3 (trabalhamos com grafos simples). Logo, 2m a 3f, ou seja, f 2 m. 3 Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 m 3 Multiplicando por 3 para eliminar a fração e isolando m temos: 6 + 3m 3n 2m m 3n 6 a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
27 A Fórmula de Euler Exercício Encontre um exemplo de grafo com m 3n 6 que não seja planar. Grafo de Petersen e K 3,3. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
28 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo bipartido completo K 3,3 possui todas as regiões de grau 4, logo: 2m a 4f, ou f 2 4 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 4 m Multiplicando por 2 para eliminar a fração e isolando m temos: 4 + 2m 2n m m 2n 4 Como o K 3,3 possui 6 vértices e 9 arestas, temos que 9 8, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
29 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo bipartido completo K 3,3 possui todas as regiões de grau 4, logo: 2m a 4f, ou f 2 4 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 4 m Multiplicando por 2 para eliminar a fração e isolando m temos: 4 + 2m 2n m m 2n 4 Como o K 3,3 possui 6 vértices e 9 arestas, temos que 9 8, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
30 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo bipartido completo K 3,3 possui todas as regiões de grau 4, logo: 2m a 4f, ou f 2 4 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 4 m Multiplicando por 2 para eliminar a fração e isolando m temos: 4 + 2m 2n m m 2n 4 Como o K 3,3 possui 6 vértices e 9 arestas, temos que 9 8, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
31 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo bipartido completo K 3,3 possui todas as regiões de grau 4, logo: 2m a 4f, ou f 2 4 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 4 m Multiplicando por 2 para eliminar a fração e isolando m temos: 4 + 2m 2n m m 2n 4 Como o K 3,3 possui 6 vértices e 9 arestas, temos que 9 8, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
32 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo de Petersen possui todas as regiões de grau 5, logo: 2m a 5f, ou f 2 5 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 5 m Multiplicando por 5 para eliminar a fração e isolando m temos: m 5n 2m 3m 5n 10 Como o grafo de Petersen possui 10 vértices e 15 arestas, temos que 45 40, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
33 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo de Petersen possui todas as regiões de grau 5, logo: 2m a 5f, ou f 2 5 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 5 m Multiplicando por 5 para eliminar a fração e isolando m temos: m 5n 2m 3m 5n 10 Como o grafo de Petersen possui 10 vértices e 15 arestas, temos que 45 40, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
34 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo de Petersen possui todas as regiões de grau 5, logo: 2m a 5f, ou f 2 5 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 5 m Multiplicando por 5 para eliminar a fração e isolando m temos: m 5n 2m 3m 5n 10 Como o grafo de Petersen possui 10 vértices e 15 arestas, temos que 45 40, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
35 A Fórmula de Euler Casos Especiais O grafo de Petersen possui todas as regiões de grau 5, logo: 2m a 5f, ou f 2 5 m Isolando f na fórmula de Euler, temos que f=2+m-n. Substituindo f na equação anterior, temos: 2 + m n 2 5 m Multiplicando por 5 para eliminar a fração e isolando m temos: m 5n 2m 3m 5n 10 Como o grafo de Petersen possui 10 vértices e 15 arestas, temos que 45 40, o que é uma contradição. a 2m: soma dos graus das faces Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
36 Exercícios 1 Prove matematicamente que o grafo K 5 não é planar. 2 Encontre o número de arestas de um grafo no qual toda região é limitada por exatamente k arestas. 3 Mostre que se um grafo simples G tem pelo menos 11 vértices, ambos G e seu complemento não podem ser simultaneamente planares. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
37 Detecção de Planaridade Redução Elementar Em um grafo G podemos, com segurança, contrair todos os vértices de grau 2 sem afetar sua planaridade. Esse processo é chamado de redução elementar. Depois dessa operação, o grafo resultante H é: 1 Uma única aresta; 2 Um grafo completo com 4 vértices; ou 3 Um grafo com n 5 e m 7. Se H estiver nas condições 1 ou 2 ele é planar, senão, continua-se a investigação. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
38 Detecção de Planaridade Redução Elementar Em um grafo G podemos, com segurança, contrair todos os vértices de grau 2 sem afetar sua planaridade. Esse processo é chamado de redução elementar. Depois dessa operação, o grafo resultante H é: 1 Uma única aresta; 2 Um grafo completo com 4 vértices; ou 3 Um grafo com n 5 e m 7. Se H estiver nas condições 1 ou 2 ele é planar, senão, continua-se a investigação. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
39 Detecção de Planaridade Redução Elementar Em um grafo G podemos, com segurança, contrair todos os vértices de grau 2 sem afetar sua planaridade. Esse processo é chamado de redução elementar. Depois dessa operação, o grafo resultante H é: 1 Uma única aresta; 2 Um grafo completo com 4 vértices; ou 3 Um grafo com n 5 e m 7. Se H estiver nas condições 1 ou 2 ele é planar, senão, continua-se a investigação. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
40 Detecção de Planaridade Redução Elementar Em um grafo G podemos, com segurança, contrair todos os vértices de grau 2 sem afetar sua planaridade. Esse processo é chamado de redução elementar. Depois dessa operação, o grafo resultante H é: 1 Uma única aresta; 2 Um grafo completo com 4 vértices; ou 3 Um grafo com n 5 e m 7. Se H estiver nas condições 1 ou 2 ele é planar, senão, continua-se a investigação. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
41 Detecção de Planaridade Redução Elementar Em um grafo G podemos, com segurança, contrair todos os vértices de grau 2 sem afetar sua planaridade. Esse processo é chamado de redução elementar. Depois dessa operação, o grafo resultante H é: 1 Uma única aresta; 2 Um grafo completo com 4 vértices; ou 3 Um grafo com n 5 e m 7. Se H estiver nas condições 1 ou 2 ele é planar, senão, continua-se a investigação. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
42 Homeomorfismo Definição Dizemos que um grafo H é homeomorfo a G se H puder ser obtido de G pela inserção de vértices de grau 2 em pontos intermediários de suas arestas. De outro modo: dois grafos G 1 e G 2 são homeomorfos se os grafos H 1 e H 2 obtidos a partir da redução elementar de G 1 e G 2, respectivamente, forem isomorfos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
43 Detecção de Planaridade Teorema de Kuratowski, 1930 Um grafo é planar se e somente se nenhum de seus subgrafos for homeomorfo a K 5 ou a K 3,3. G, subgrafo de G e contração do subgrafo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
44 Planar Maximal Definição Um grafo planar G é chamado planar maximal se a adição de uma aresta entre quaisquer pares (i, j) de vértices não adjacentes o torna não planar. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
45 Dualidade Dado um grafo G planar, o grafo G chamado dual de G, é construído da seguinte forma: Para cada face f de G, G tem um vértice; Una os dois vértices de G da seguinte forma: Se 2 regiões f i e f j são adjacentes (possuem alguma aresta em comum) coloque uma aresta entre v i e v j interceptando a aresta em comum; Se existir mais de uma aresta em comum entre fi e f j coloque uma aresta entre v i e v j para cada aresta em comum; Se uma aresta está inteiramente em uma região, fk, coloque um loop no vértice v k. O termo dual se justifica pois G = G. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
46 Dualidade Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
47 Dualidade Todo dual G é isomorfo a G? a b c d e f Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
48 Exercícios 1 Qual o dual de um ciclo C n? 2 Qual o dual de uma roda R n? 3 Qual o dual de um cubo? 4 Mostre que o dual do K 4 é o próprio K 4. Dê outro exemplo de um grafo que é igual ao seu dual. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
49 Complemento e Planaridade Seja G um grafo não dirigido com n vértices e C(G) o seu complemento. Se n < 8, então G ou C(G) é planar; Se n > 8, então G ou C(G) é não planar; Se n = 8, nada pode ser dito. Exemplos: G = K 4,4 G é...? C(G) é...? G = K 3,3 + aresta{x, y} G é...? C(G) é...? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
50 Na Internet Site com Jogo sobre planaridade em Grafos: Site com o jogo Sprouts Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
51 Dúvidas? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC de janeiro de / 37
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