O uso da Teoria dos Grafos no Jogo Icosiano

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1 O uso da Teoria dos Grafos no Jogo Icosiano Leandro Natal Coral 1, Rafael Spilere Marangoni 1, Kristian Madeira 2 1 Acadêmico do curso de Ciência da Computação Unidade Acadêmica de Ciências, Engenharias e Tecnologias - Universidade do Extremo Sul Catarinense (UNESC) Criciúma, SC - Brasil 2 Professor(a) do curso de Ciência da Computação - Unidade Acadêmica de Ciências, Engenharias e Tecnologias - Universidade do Extremo Sul Catarinense (UNESC) Criciúma, SC - Brasil {le_natal, rafaels_marangoni}@hotmail.com, kma@unesc.net Resumo. Este artigo refere-se à uma pesquisa sobre a utilização de Grafos no desenvolvimento de jogos, com base nas informações obtidas através da disciplina de Teoria dos Grafos no primeiro semestre de Para desenvolver este trabalho, foi escolhido como objeto de estudo o Jogo Icosiano, jogo de tabuleiro que possui ampla relação com Grafos e suas teorias. Palavras-chave: Grafos, Jogo Icosiano. 1. Introdução No 1º semestre letivo de 2008, foi proposto pelo professor da disciplina de Teoria dos Grafos um trabalho cujo objetivo era fazer uma pesquisa sobre a aplicação de grafos no desenvolvimento de jogos, de forma a esclacer os conceitos fundamentais aplicados no mesmo. Após uma ampla pesquisa sobre os jogos disponíveis atualmente, verificou-se a grande aplicabilidade teórica desta disciplina no Jogo Icosiano, o qual foi escolhido como principal objeto de estudo para o desenvolvimento deste artigo. Nas próximas sessões serão abordados alguns conceitos e definições de Teoria de grafos, assim como suas aplicações no jogo escolhido. 2. Teoria dos Grafos Segundo Netto (2003), o grafo é obtido associando-se a cada vértice um ponto ou uma pequena area delimitada por uma fronteira e a cada ligação um desenho capaz de representar a forma de associação dos vertices que a ligação envolve. Basicamente, um grafo é um conjunto de pontos (vértices ou nós), interligados por meio linhas (arestas ou arcos), podendo ser ou não direcionado. A Teoria dos Grafos é a parte da matemática que busca estudar essas relações entre esses objetos, tal como suas propriedades.

2 2.1. Mapa Icosiano O mapa Icosiano é basicamente uma projeção planar do dodecaedro regular. O dodecaedro é um poliedro formado por 12 faces pentegonais e 20 vértices, no qual todos os vertices possuem grau 3. O termo icosiano provem da presence de 20 vértices no grafo. Figura 1. Mapa Icosiano; projeção das arestas de um dodecaedro no plano Grafo Rotulado Grafos Rotulados são aqueles que possuem nomes de identificação, ou seja, rótulos. Este recurso, proveniente da Teoria dos Grafos, tem como intuito facilitar a utilização e compreensão visual de grafos, tornando praticamente imprescindível o seu uso. Para identificar as peças no Jogo Icosiano, faz-se necessário o uso de rótulos numerados de 1 a 20.

3 Figura 2. Tabuleiro Icosiano; Peças rotuladas com números de 1 a Caminho Hamiltoniano Inventado pelo famoso matemático ingles Sir William Rowan Hamilton ( ), o caminho Hamiltoniano consiste em encontrar um ciclo que contenha todos os nós de um grafo, sendo que cada nó só apareça uma vez no ciclo. Esta tarefa pode ser resolvida por tentativas de erro, e sua solução possui complexidade da classe NP-Completo, ou seja, não se conhece solução para o problema em tempo menor que exponencial. O grafo que possua um ciclo hamiltoniano é chamado de grafo hamiltoniano. 3. Jogo Icosiano Inventado em 1856 pelo mesmo criador do Caminho Hamiltoniano, Sir William Rowan Hamilton, o Jogo Icosiano é um jogo de tabuleiro que propõe diversos desafios, desde os fáceis até os impossíveis. O grafo utilizado como tabuleiro é o mapa Icosiano, no qual seus vertices representam as casas, locais onde deverão ser colocadas as peças rotuladas de 1 a 20. Estas são utilizadas para marcar a escolha de cada posição no jogo. As arestas do mapa representam os caminhos. O objetivo do jogo consiste basicamente nas definições do Caminho Hamiltoniano. Para vencer, o jogador deve descobrir um circuito ao longo das arestas do dodecaedro respeitando algumas regras: a casa inicial é um vértice qualquer; cada casa pode ser escolhida uma única vez; nenhum caminho pode ser percorrido mais de uma vez; o vértice final é o mesmo que o inicial, completando ao fim o ciclo Hamiltoniano.

4 Figura 3. Jogo Icosiano; Exemplos de desafios propostos pelo jogo. Figura 4. Jogo Icosiano; As peças são colocadas em ordem numérica crescente, seguindo os desafios propostos pelo jogo. 4. Cosiderações Finais O desenvolvimento deste artigo procura mostrar a aplicação dos conceitos e definições de Teoria dos Grafos nas atividades práticas, relacionadas à area de desenvolvimento de jogos. No decorrer do trabalho, pode-se perceber que o conhecimento dos recursos disponibilizados por esta disciplina é de extrema importância, tanto para a programação algorítmica, quanto para a compreensão do usuário final. Facilmente percebe-se também, que não só como no Jogo Icosiano, a Teoria dos Grafos pode contribuir de forma significativa na resolução de problemas em diversas áreas, inclusive nos ajuda a tomar decisões nos problemas cotidianos. 5. Referências LIPORACE, Frederico dos Santos. Planejadores para transportes em polidutos. Tese (doutorado em Informática). Programa de Pós-graduação em Informática, PUC, Rio de Janeiro, RJ, 2005.

5 SAMPAIO, João Carlos V. Quatro cores e matemática. II Bienal da SBM, UFSCar. São Carlos, SP, BOAVENTURA NETTO, Paulo Oswaldo. Grafos: teoria, modelos, algoritmos. 3. ed. rev. e ampl São Paulo: Edgard Blücher, 2003.Knuth, D. E. (1984), The TeXbook, Addison Wesley, 15 th edition. EPPSTEIN, David. Computational Complexity of Games and Puzzles. Computer Science Department, UCIrvine (University of California), Irvine, USA. DUNNE, Paul E. An Annotated List of Selected NP-complete Problems. Computer Science Department, University of Liverpool, United Kingdom, UK.