Teoria dos Grafos Conceitos Básicos

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Conceitos Básicos Profª. Alessandra Martins Coelho fev/2014

2 Grafos com apelidos

3 diamante Grafos com apelidos

4 Grafos com apelidos diamante casinha

5 Grafos com apelidos diamante casinha touro

6 Grafos com apelidos diamante casinha touro pegada

7 Grafos com apelidos diamante casinha touro pegada Guarda-chuva

8 Grafos com apelidos diamante casinha touro pegada Guarda-chuva cadeira

9 Grafos com apelidos diamante casinha touro pegada Guarda-chuva cadeira gema

10 Grafos com apelidos diamante casinha touro pegada Guarda-chuva cadeira gema dominó

11 Grafos com apelidos

12 antena Grafos com apelidos

13 Grafos com apelidos antena balão

14 Grafos com apelidos antena balão leque

15 Grafos com apelidos antena balão leque bandeira

16 Grafos com apelidos antena balão leque bandeira grilo

17 Grafos com apelidos antena balão leque bandeira grilo borboleta

18 Grafos com apelidos antena balão leque bandeira grilo borboleta garra

19 Grafos com apelidos antena balão leque bandeira grilo borboleta garra Torre Eiffel

20 Grafos com apelidos

21 Gêmeos Grafos com apelidos

22 Grafos com apelidos Gêmeos Sunlet

23 Grafos com apelidos Gêmeos Sunlet Peixe

24 Grafos com apelidos Grafo Pirâmide Grafo pirâmide forte Grafo pirâmide dupla

25 Grafos com apelidos Grafo Escorpião possui 4 tipos de vértice: Um vértice de grau 1 ferrão. Um vértice de grau 2 calda. Um vértice de grau n-1 corpo n-3 vértices restantes - pés

26 Grafo Linha É denotado por L(G) e representa a adjacência entre as arestas do grafo G. Cada vértice de L(G) representa uma aresta em G Dois vértices de L(G) são adjacentes se e somente suas arestas correspondentes compartilham um mesmo vértice em G, ou seja, são adjacentes em G.

27 Grafo Linha Grafo G Vértices associados às arestas Ligação das arestas vizinhas Grafo Linha L(G)

28 Fecho Transitivo de um vértice O conjunto de vértices alcançáveis a partir de x.

29 Fecho Transitivo de um vértice O conjunto de vértices alcançáveis a partir de x. Fecho transitivo direto do vértice 1 {2,3,4,5,7,9,10,13}

30 Fecho Transitivo de um vértice

31 Fecho Transitivo de um grafo O grafo G construído a partir de G, incluindo-se um arco (x,y) para todo y alcançável a partir de x.

32 Fecho Transitivo de um grafo Grafo de alcançabilidade de G ou grafo fecho transitivo

33 Exercício1 - Exemplo

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35 Exercício 1 você percebeu alguma relação entre os números obtidos? O que você observou? O que você observou é válido para TODOS os grafos? Construa um grafo (com pelo menos 6 vértices) e faça a tabela. A sua observação continua valendo? Escreva um argumento que explique a sua observação.

36 Grau grau (ou valência) de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes para com o vértice, com os laços contados duas vezes. Lema do Aperto de Mão [Euler (1735)] Se os convidados de uma festa apertarem as mãos quando se encontrarem pela primeira vez, o número de convidados que apertam a mão um número ímpar de vezes é par. A soma total dos graus de todos os vértices de um grafo é 2x o número de arestas.

37 Exercício 2 Quantas arestas tem um grafo com vértices de graus 5; 2; 2; 2; 2; 1? Desenhe um possível grafo.

38 Resolução O grafo possui seis vértices e tem um grau total de = 14. Isso significa que existem sete arestas.

39 Exercício 3 Existe um grafo simples com cinco vértices dos seguintes graus? Se existir, desenhe um possível grafo. (a) 3; 3; 3; 3; 2 (b) 1; 2; 3; 4; 5 (c) 1; 2; 3; 4; 4 (d) 3; 4; 3; 4; 3 (e) 0; 1; 2; 2; 3

40 Resolução O grafo tem um grau total de = 14. Isso significa que existem 7 arestas.

41 Resolução O grafo tem um grau total de = 15. Isso não é possível.

42 Resolução O grafo tem um grau total de = 14. No entanto, como existem dois vértices com grau 4, todos os vértices devem ter pelo menos grau 2, como mostrado na figura abaixo. Como supostamente existe um vértice com grau 1, não é possível existir tal grafo.

43 Resolução O grafo tem um grau total de = 17. Isso não é possível.

44 Resolução O grafo tem um grau total de = 8. Isso significa que existem quatro arestas.

45 Exercício 4 Pode haver um grafo simples com 15 vértices, cada um com grau 5?

46 Resolução Não. O grau desse suposto grafo seria 15x5 = 75, que é um número ímpar. Sabese que o grau de qualquer grafo deve ser um número par.

47 Subgrafo um subgrafo de um grafo G é um grafo cujo conjunto de vértices é um subconjunto do conjunto de vértices G e o conjunto de arestas é um subconjunto do conjunto de arestas de G, ou seja, cuja relação de adjacência é um subconjunto de G restrita a esse subconjunto.

48 Subgrafo

49 Subgrafo Grafo exemplo Subgrafo próprio Subgrafo parcial próprio Subgrafo parcial próprio Um grafo é subgrafo parcial dele mesmo

50 Subgrafo induzido por Arestas Um subgrafo G pode ser obtido por um subconjunto e arestas e seus respectivos vértices. Neste caso será denominado induzido por arestas.

51 Exemplo Subgrafo por indução de arestas Grafo de referência Arestas removidas Subgrafo formado

52 Subgrafo induzido por Vértices Um subgrafo G pode ser obtido por um subconjunto de vértices e suas respectivas arestas. Neste caso será denominado induzido por vértices.

53 Exemplo Subgrafo por indução de vértices Grafo de referência vértice removido Subgrafo formado

54 Supergrafo Se G é um subgrafo de G, então G também pode ser denominado um supergrafo de G.

55 Exemplo Supergrafo Se G é um subgrafo de G, então G também pode ser denominado um supergrafo de G. Grafo de referência Acréscimo de vértices Supergrafo formado

56 Exercício 5 Quantos subgrafos com pelo menos um vértice tem K 3?

57 Resolução Quantos subgrafos com pelo menos um vértice tem K 3? São os subgrafos com um, dois e três vértices: Existem três subgrafos com um vértice e nenhuma aresta; Existem C(3; 2) = 3 possibilidades de escolher subgrafos com dois vértices. Para cada possibilidade, podemos incluir ou não a aresta, i.e., 3x2 = 6 subgrafos com dois vértices; Com três vértices, temos 2 3 = 8 possibilidades de incluir ou não cada aresta. Assim, a quantidade total de subgrafos com pelo menos um vértice é a soma de = 17.

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59 Exercício 6 Desenhe todos os subgrafos do grafo abaixo.

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61 Exercício 8 Para o grafo da figura abaixo, determine um subgrafo próprio, um subgrafo parcial, um subgrafo induzido por vértices, um subgrafo induzido por arestas e um supergrafo.