Geração de todos os conjuntos independentes maximais de um grafo

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1 Geração de todos os conjuntos independentes maximais de um grafo André L. Korenchendler 1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Curso de Ciência da Computação Instituto de Matemática UFRJ Curso de Mestrado em Engenharia de Sistemas e Computação COPPE UFRJ andrekoren@gmail.com Márcia R. Cerioli Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e COPPE Sistemas UFRJ cerioli@cos.ufrj.br RESUMO A geração de objetos combinatórios consiste em listar sem repetições todos os objetos que possuem uma certa propriedade. Neste trabalho consideramos o problema da geração dos conjuntos independentes maximais de um grafo, um dos problemas fundamentais da ciência da computação. PALAVRAS CHAVE. Grafo. Enumeração. Conjunto Independente. Teoria de Grafos ABSTRACT The problem of generating combinatorial objects consists in listing without repetitions all the objects having a certain property. We consider the problem of generating the maximal independent sets in a graph, a fundamental problem in computer science. KEYWORDS. Graph. Enumeration. Indenpendent Set. Graph Theory 1 Este trabalho foi financiado pelo CNPq (bolsa PIBIC/CNPq de iniciação científica ao longo do ano de 2006) e orientado pela profa. Márcia R. Cerioli. [2803]

2 1 Introdução A geração de objetos combinatórios consiste em listar sem repetições todos os objetos que possuem uma determinada propriedade. Gerar objetos combinatórios é um tópico muito importante dentro da área de ciência da computação, tendo recebido a atenção de autores como Knuth [Knuth (2005)] Figura 1: Grafo G = (V,E) Um grafo G = (V,E) é definido pelo seu conjunto de vértices V = {v 1,...,v n } e pelo seu conjunto de arestas E = {e 1,...,e m }. Uma aresta e é um par não ordenado de vértices distintos {v i,v j }. Dizemos que v i e v j são os extremos da aresta e. Graficamente um grafo pode ser representado desenhando um círculo para cada vértice e um arco ligando dois vértices se eles forem adjacentes. Se as arestas de G forem orientadas, isto é, {u,v} for diferente de {v,u}, então dizemos que G é um digrafo (grafo direcionado) e, usualmente, denotamos o digrafo como sendo D = (V,E). Na figura 1 pode ser vista uma representação para o grafo G = (V,E), onde V = {1,2,3,4,5} e E = {{1,2}, {1,4}, {2,3}, {2, 4}, {3,5}}. Seja G = (V,E) um grafo. Dizemos que W = {v 1,...,v k } V, é um conjunto independente de G se {u,v} / E para todo par de vértices {u,v} de W. Se W não está propriamente contido em nenhum outro conjunto independente de G, então dizemos que W é um conjunto independente maximal, ou simplesmente um CIM, de G. De maneira análoga, temos que uma clique é um subconjunto dos vértices de G tal que os vértices desse subconjunto são dois a dois adjacentes. Uma clique é maximal se não estiver propriamente contida em nenhuma outra clique de G. O problema de gerar todos os CIMs de um grafo é um dos problemas fundamentais da ciência da computação, e possui aplicações como subrotinas de vários algoritmos, como, por exemplo, em algoritmos de predição da função de proteínas [Mohseni-Zadeh (2004)]. Além disso, o problema de encontrar o maior conjunto independente de um grafo é NP-Difícil, e muitas vezes a única maneira de encontrar o maior conjunto independente de um grafo é listando todos os seus CIMs. O principal problema de gerar todos os CIMs de um grafo é que o mesmo pode ter um número exponencial deles [Moon e Moser (1965)] e, em geral, não é possível saber quantos CIMs um grafo possui sem gerá-los um a um. Como consequência, o que desejamos em um algoritmo para geração de todos os CIMs de um grafo é que o mesmo possa, a partir de um CIM, gerar um próximo CIM no menor tempo possível. Um dos algoritmos mais eficientes para listagem de todos os CIMs de um grafo é o de Tsukiyama et al. [Tsukiyama (1977)], sendo este o algoritmo mais conhecido e um dos mais utilizados hoje em dia. Para grafos pertencentes a certas classes específicas, é possível obter algoritmos mais eficientes do que aqueles voltados para grafos em geral. Em particular, existem algoritmos para geração de CIMs para as seguintes classes de grafos: intervalo, arco-circular, cordal, cocomparabilidade e permutação. Todos esses algoritmos são apresentados, analisados e comparados, em detalhes, na versão completa deste trabalho. Neste resumo é feita uma breve descrição do algoritmo para geração de todos os CIMs de um grafo, proposto por Tsukiyama et al., bem como dos algoritmos propostos por Leung [Leung (1984)] e Cai e Kong [Cai e Kong (1992)], para grafos de intervalo, arco-circulares, cordais e de cocomparabilidade. [2804]

3 2 Grafos em geral Tsukiyama et al. [Tsukiyama (1977)] propuseram um algoritmo eficiente, e, até hoje, o mais utilizado, para geração de todos os CIMs de um grafo dado G, que é baseado na relação entre os CIMs de subgrafos obtidos a partir de subconjuntos dos vértices de G. A construção é feita da seguinte forma: Seja W i o subconjuntos dos vértices v 1,v 2,...,v i de G. O grafo G i é o grafo formado por todos os vértices de G e pelas arestas {u,v} E tais que u,v W i. Seja A i o conjunto formado pelos vértices de W i adjacentes a v i+1 em G i+1. Claramente, todo CIM de G i possui o vértice v i+1, e portanto podemos particionar o conjunto MIS i dos CIMs de G i em função de v i+1 e seus vizinhos como sendo MIS i = MIS i (v i+1,a i ) MIS i (v i+1,a i ), onde MIS i (v i+1,a i ) é o conjunto dos CIMs de G i que contém v i+1 e algum vértice de A i, enquanto MIS i (v i+1,a i ) é o conjunto dos CIMs de G i que não contém nenhum vértice de A i. É fácil verificar que todo CIM pertencente a MIS i (v i+1,a i ) também será um CIM de G i+1. Além disso, para cada CIM M de MIS i (v i+1,a i ), é possível obter até 2 novos CIMs em G i+1, que são os CIMs formados por M \ {v i+1 } e M \ A i, sendo que este último é um CIM apenas se os vértices de V \ M forem adjacentes a algum vértice de M \ A i. Com base nessas observações, Tsukiyama et al. propuseram um algoritmo para a geração de todos os CIMs de um grafo que pode ser visto, em linhas gerais, como um percurso em profundidade em um árvore binária onde cada nó da árvore na altura i da mesma é um CIM de W i e as folhas são os CIMs de G. Durante a execução do algoritmo, se estivermos em um nó correspondente a um CIM de G i pertencente a MIS i (v i+1,a i ), então este nó terá um único filho, que será uma cópia dele mesmo. Caso contrário, o nó terá um filho que será uma cópia dele mesmo sem o vértice v i+1, e o outro possível filho será uma cópia dele mesmo sem os vizinho de v i+1 em G i. Para verificar se este segundo filho deve ser gerado o algoritmo remove os vértices de A i que estão no CIM M em questão na ordem em que eles aparecem, isto é, se v r,v s M A i, então v r é removido de M antes v s se e somente se r < s. Se em algum momento durante a remoção destes vértices, algum vértice de V \ M puder ser adicionado a M, então o segundo filho não é gerado. 1,2,3,4 1 1,3,4 2,3, ,4 2,4 3,4 1,4 2,4 3 Figura 2: Um grafo e sua árvore de execução no algoritmo Na figura 2 pode ser visto um grafo e a árvore resultante da execução do algoritmo no mesmo. Note que os CIMs do grafo correspondem aos nós no último nível da árvore. Este algoritmo possui complexidade de tempo O(nm) por conjunto gerado, onde n e m são a quantidade de vértices e arestas do grafo, respectivamente. Se G possui α CIMs, então a complexidade de tempo total do algoritmo será O(nmα). 3 Grafos cordais Seja G = (V,E) um grafo e π = (v 1,...,v n ) uma permutação de seus vértices. Se para todo vértice v i V temos que o conjunto dos vértices adjacentes a v i, restrito aos vértices v j tais que i < j, forma uma clique em G, então π é um esquema de eliminação perfeita. Grafos cordais podem ser caracterizados da seguinte forma [Golumbic (1980)]: um grafo é cordal se e somente se possui um esquema de eliminação perfeita. A obtenção de um esquema de eliminação perfeita de um grafo cordal pode ser feita em tempo O(n + m) [Golumbic (1980)]. [2805]

4 Algoritmo 1 CIMS: GRAFOS CORDAIS(G, S) Entrada: Grafo cordal G = (V, E), cujos vértices estão ordenados por um esquema de eliminação perfeita π = (v 1,...,v n ), listas de adjacências Adj(v) e S(v) para cada vértice de G Saída: Todos os CIMs do grafo cordal G 1: para i = 1 até n faça 2: Marcado(v i ) = 0 3: k = 0 4: Fim = falso 5: enquanto F im verdadeiro faça 6: para i = 1 até n faça 7: se Marcado(v i ) == 0 então 8: k = k + 1 9: Ponteiro(k) = Tamanho(k) = 1 10: L k (1) = v i 11: Marcado(v i ) = k 12: para cada v j S(v i ) faça 13: se Marcado(v j ) == 0 então 14: Marcado(v j ) = k 15: Tamanho(k) = Tamanho(k) : L k (Tamanho(k)) = v j 17: para i = 1 até T amanho(k) faça 18: Liste o CIM dado por {L 1 (Ponteiro(1)),...,L k 1 (Ponteiro(k 1)),L k (i)} 19: Marcado(L k (i)) = 0 20: k = k 1 21: Backtrack = verdadeiro 22: enquanto Backtrack == verdadeiro faça 23: para cada v j Adj(L k (Ponteiro(k))) faça 24: se Marcado(v j ) == k então 25: Marcado(v j ) = 0 26: Ponteiro(k) = Ponteiro(k) : se P onteiro(k) > T amanho(k) então 28: para i = 1 até T amanho(k) faça 29: Marcado(L k (i)) = 0 30: k = k 1 31: se k == 0 então 32: Backtrack = f also 33: F im = verdadeiro 34: senão 35: para cada v j Adj(L k (Ponteiro(k))) faça 36: se Marcado(v j ) == 0 então 37: Marcado(v j ) = k 38: se Marcado(v i ) == 0 para algum 1 i n então 39: Backtrack = f also 40: senão 41: Liste o CIM dado por {L 1 (Ponteiro(1)),...,L k (Ponteiro(k))} [2806]

5 O algoritmo de Leung para geração de todos os CIMs em grafos cordais tem como entrada o grafo cordal G, cujos vértices estão indexados de acordo com um de seus esquemas de eliminação perfeita, e o conjunto S(v i ), que é o conjunto dos vértices v j adjacentes a v i tais que j > i. O algoritmo proposto por Leung em [Leung (1984)] funciona de maneira análoga ao seguinte algoritmo, proposto por Gavril [Gavril (1972)], e que encontra um conjunto independente máximo em um grafo cordal, cujos vértices estão indexados de acordo com um esquema de eliminação perfeita. Inicialmente todos os vértices estão desmarcados. Então encontramos o menor inteiro j tal que v j está desmarcado, e adicionamos v j ao conjunto independente. Em seguida marcamos v j e todos os vértices pertencentes a S(v j ) que ainda estão desmarcados. Prosseguimos para o próximo j, enquanto existir vértice não marcado. No final, um conjunto independente de tamanho máximo terá sido encontrado [Gavril (1972)]. Para gerar todos os CIMs de um grafo cordal o algoritmo de Leung também inicia com todos os vértices desmarcados. Em seguida marcamos e colocamos v 1 seguido de todos os vértices de S(v 1 ) numa lista L 1. Procuramos então o menor j tal que v j está desmarcado, o inserimos, seguido pelos os vértices não marcados de S(v j ), numa lista L 2 e os marcamos com o valor 2. Assim sucessivamente até marcarmos todos os vértices. Suponha que ao final do processo tenhamos encontrado s listas. Assim, é interessante observar que os vértices de cada lista L j formam uma clique no grafo e que os primeiros vértices de cada lista são, entre si, dois a dois não adjacentes, e portanto podemos obter os primeiros L s conjuntos independentes maximais pegando o primeiro elemento de cada lista L j, 1 j s 1, e algum elemento de L s. Em seguida, desmarcamos e removemos todos os elementos de L s. O próximo passo consiste em listar todos os CIMs contendo o primeiro elemento de cada uma das s 2 primeiras listas e o segundo elemento v de L s 1. Em seguida, cada vértice v i não marcado e adjacente a v é marcado com o valor (s 1) (No caso geral, antes de avançarmos para o i-ésimo elemento da lista L k, devemos desmarcar todos os vértices marcados com o valor k). Note que neste ponto todos os vértices não marcados não são adjacentes a v nem aos vértices nas s 2 primeiras listas. Logo, se não existirem vértices desmarcados, o conjunto obtido pegando o primeiro vértice de cada uma das s 2 primeiras listas mais v é o único CIM que contem estes vértices. Caso contrário, procedemos como anteriormente: procuramos o menor j tal que v j não está marcado e o colocamos junto com os vértices não marcados de S(v j ) na lista L s e, então, os marcamos com o valor s. Note que agora todos os vértices estão marcados, visto que pelo resultado de Gavril, s é um limite superior para a cardinalidade de qualquer CIM de G. Listamos então todos os CIMs contendo o primeiro vértice de cada uma das s 2 primeiras listas, v e algum vértice de L s. Este procedimento se repete sucessivamente e, ao final todos os CIMs de G terão sido listados. Para implementarmos eficientemente o algoritmo descrito acima, faz-se necessário o uso de algumas estruturas extras. Um vetor M arcado de tamanho n indica o valor atribuído a cada vértice do grafo. Marcado(v j ) tem valor 0 quando o vértice v j está desmarcado e l 0, caso contrário. O i-ésimo elemento da lista L j é denotado por L j (i). Ponteiro(j) indica qual elemento da lista L j pertence ao próximo conjunto independente maximal a ser gerado pelo algoritmo e T amanho(j) guarda o tamanho da lista L j. Além disso, temos também Adj(v j ) que é a lista de adjacência dos vértices v j e S(v j ) que é a lista dos vértices v i adjacentes a v j tais que i > j no esquema de eliminação perfeita. A descrição formal do algoritmo pode ser vista no algoritmo 1. O algoritmo descrito nesta seção possui complexidade de tempo O((n + m)α). 4 Grafos de intervalo Um grafo G = (V,E) é de intervalo se existe I, uma família de intervalos na reta real, e uma correspondência um-a-um entre V (G) e I de maneira que dois vértices de G são adjacentes se e somente se seus intervalos correspondentes se interceptam. Dizemos que I = {I 1,...,I n } é um modelo de intervalo de G. Todo grafo de intervalo é cordal. Seja G = (V,E) um grafo de intervalo e I = {I 1,...,I n } um de seus modelos de intervalo. Cada intervalo I i I é representado por seus extremos esquerdo e direito, l i e r i, respectivamente. Dizemos que o intervalo I j está à direita do intervalo I i se l j > r i. Além disso, para cada intervalo I i, definimos Proximo(I i ) como sendo o intervalo I j, se existir, tal que I j está à direita de I i e, para todo I k à direita de I i, k j, r k > r j, isto é, o intervalo à direita de I i que tem o menor [2807]

6 extremo direito. Quando tal j não existe, definimos Proximo(I i ) = λ, onde λ é reservado para este propósito. Adicionalmente, definimos Grupo(I i ) como sendo o conjunto de intervalos à direita de I i que não estão à direita de Proximo(I i ). Quando Proximo(I i ) = λ, definimos Grupo(I i ) =. Leung [Leung (1984)], propôs um algoritmo para geração de todos os CIMs em grafos de intervalo cuja complexidade de tempo é O(n 2 + β), onde β é o somatório das cardinalidades dos CIMs de G. Leung partiu da observação que Grupo(I i ) forma uma clique no grafo G, e com isso, temos: seja C = (I 1,...,I j ) uma sequência de intervalos correspondente a um conjunto independente do grafo de intervalo G tal que, para todo I p,i q C, temos que I q está à direita de I p se e somente se p < q; seja I j o último intervalo desta sequência; cada intervalo pertencente a Grupo(I j ) corresponde a um vértice não adjacente aos vértices do conjunto independente representado por C, logo, para cada intervalo em Grupo(I j ), podemos obter um novo conjunto independente, bastando para isso adicionar o vértice correspondente a um intervalo I k Grupo(I j ) ao conjunto independente representado por C. Como os vértices correspondentes aos intervalos de Grupo(I j ) formam uma clique em G, podemos gerar Grupo(I j ) conjuntos independentes diferentes. Para gerar todos os CIMs, o algoritmo de Leung começa com uma lista contendo todos os intervalos que interceptam o intervalo que possui o extremo l i de menor valor. Para cada um desses intervalos a idéia descrita acima é aplicada, e com isso foi obtido um algoritmo que gera todos os CIMs de um grafo de intervalo, que está descrito formalmente no algoritmo 2. Leung, em [Leung (1984)], mostra como obter Proximo e Grupo em tempo O(n 2 ), no entanto, se observarmos que todo intervalo I j tal que l j > r i e l j < r k, onde Proximo(I i ) = I k, irá satisfazer r j r k, e portanto podemos obter Proximo e Grupo da seguinte forma: ordene os intervalos em ordem crescente de acordo com o extremo esquerdo de cada um. Em seguida, para cada intervalo I i, faça uma busca binária para achar o primeiro intervalo I j tal que l j > r i. Adicione ao conjunto Grupo(I i ), em ordem, os intervalos I j tais que l j < r, onde r é o menor valor de r j dentre todos os intervalos já adicionados. Com isto a complexidade de tempo total do algoritmo diminui para O(n log n + min{ n, m} + β), onde e m são o valor do maior grau de um vértice de G e o número de arestas do complemento de G, respectivamente. 5 Grafos arco-circulares Um grafo G = (V,E) é arco-circular se existe C, uma família de arcos na circunferência, e uma correspondência um-a-um entre V (G) e C de maneira que dois vértices são adjacentes se e somente se seus arcos correspondentes se interceptam. Dizemos que C = {C 1,...,C n } é um modelo de arcos de G. O algoritmo de Leung [Leung (1984)] para gerar todos os CIMs em grafos arco-circulares parte da observação de que todo grafo de intervalo é arco-circular. Para obter os CIMs, primeiro escolha um arco (x,y) da circunferência que não contenha nenhum extremo de arcos de C. Remova de C todos os arcos C que contém (x,y), obtendo assim um grafo de intervalo que é subgrafo de G. Use o algoritmo para grafos de intervalo para gerar todos os CIMs deste grafo, e aceite apenas aqueles que também forem CIM de G. Resta então gerar os CIMs que contém os vértices representados por C. Para isso use novamento o algoritmo para grafos de intervalo, considerando que a primeira lista de arcos é formada por C, e tomando o cuidado de verificar se o último intervalo adicionado ao seu conjunto independente não completa uma volta inteira na circunferência. Ao final todos os CIMs de G terão sido gerados. Este algoritmo, assim como o de grafos de intervalo, possui complexidade de tempo O(n 2 + β). 6 Grafos de co-comparabilidade Um grafo G = (V, E) é de comparabilidade se possui uma orientação transitiva, onde uma orientação transitiva é uma atribuição de direção às arestas de G de tal forma que, se atribuirmos às arestas {i,k} e {k,j} de E(G) as direções (i,k) e (k,j), então existe aresta {i,j} E e a [2808]

7 Algoritmo 2 CIMS - INTERVALO(I) Entrada: Modelo de intervalo I. Saída: Todos os CIMs do grafo de intervalo definido por I. 1: Calcule Proximo(I i ) e Grupo(I i ) para cada intervalo I i I. 2: Seja I e o intervalo com o menor extremo direito r e dentre todos os intervalos de I. Coloque todos os intervalos contendo r e na lista L 1 3: k = 1 4: I = I e 5: Fim = falso 6: enquanto F im verdadeiro faça 7: enquanto Grupo(I ) faça 8: k = k + 1 9: coloque Grupo(I ) na lista L k com Proximo(I ) sendo o primeiro elemento da lista. 10: I = Proximo(I ) 11: Liste os CIMs dado por um vértice correspondente a algum intervalo de L k mais os vértices que correspondem ao primeiro intervalo de cada uma das listas L j, 1 j k 1 12: k = k 1 13: Backtrack = verdadeiro 14: enquanto Backtrack == verdadeiro faça 15: enquanto L k == 1 e k 1 faça 16: k = k 1 17: se k 0 então 18: Remova o primeiro elemento de L k. 19: I = primeiro elemento de L k. 20: se Grupo(I ) então 21: Backtrack = f also 22: senão 23: Liste um CIM formado pelos vértices que correspondem ao primeiro intervalo de cada uma das listas L j, 1 j k 24: Backtrack = verdadeiro 25: senão 26: Backtrack = f also 27: F im = verdadeiro orientação da mesma deverá ser (i,j). Ao longo do texto o digrafo D = (V,E ), obtido ao aplicarmos a orientação transitiva às arestas E(G), será chamado simplesmente de orientação transitiva de G. Quando o complemento G do grafo G = (V,E) é de comparabilidade, então dizemos que G é um grafo de co-comparabilidade. Seja D = (V,E ) uma orientação transitiva de G = (V,E). Dizemos que uma aresta (u,v) E é transitiva se existirem arestas (u,s),(s,v) E. Analogamente uma aresta (u,v) E é direta se não é transitiva. O digrafo de cobertura D = (V,E ) de D é o grafo formado pelos vértices de D e as arestas são apenas aquelas que são diretas em D. O algoritmo proposto por Cai e Kong [Cai e Kong (1992)] para geração de todas as cliques maximais em grafos de comparabilidade é o seguinte: primeiramente obtenha o digrafo de cobertura D de D; em seguida, a partir dos vértices que possuem grau de entrada igual a 0, faça um percurso em profundidade D. Cada caminho de uma raiz até um vértice terminal é listado como sendo uma clique. Como cliques correspondem a CIMs no complemento do grafo, este algoritmo serve para gerar todos os CIMs de grafos de co-comparabilidade, bastando para isso aplicarmos o algoritmo no [2809]

8 complemento do mesmo. Para calcular o digrafo de cobertura de D, Cai e Kong propuseram dois algoritmos, o primeiro com complexidade M(n), e o segundo com complexidade O(n 2 +min{ m, m }), onde M(n), e m correspondem a complexidade do problema de multiplicação de duas matrizes quadradas de ordem n, maior grau de saída de um vértice em D e número de arestas de D, respectivamente. Além disso, é dado um algoritmo O(n + m) para calcular o digrafo de cobertura de grafos de permutação, que são grafos ao mesmo tempo de comparabilidade e co-comparabilidade. 7 Conclusão Os algoritmos foram todos implementados em C++ com o objetivo de compararmos os seus desempenhos. No geral, os algoritmos para grafos de intervalo e de grafos de co-comparabilidade obtiveram um melhor desempenho, o que era esperado devido a sua menor complexidade de tempo. Além disso, o algoritmo de Tsukiyama et al. apresentou um desempenho pior que os demais, o que evidencia a vantagem de considerar o problema restrito a classes de grafos, desenvolvendo algoritmos específicos. A modificação feita por nós no algoritmo para grafos de intervalo fez com que, de fato, o algoritmo apresentasse um desempenho superior ao obtido originalmente. Um ponto importante de ser observado é que em seu trabalho original, Leung não fornece provas formais para a corretude de seus algoritmos, apenas a idéia geral de porque os mesmos estariam corretos. No entanto, no texto completo ao qual este resumo se refere, foi provado que os algoritmos de fato estão corretos, assim como foram feitas as análises das suas complexidades. Além disso, foi sugerida uma mudança no algoritmo para grafos de intervalo de forma que sua complexidade de tempo diminui para O(n log n + min{m, n} + β). Vale ressaltar que o algoritmo de Tsukiyama et al. [Tsukiyama (1977)] pode ser usado para gerar todas as cliques maximais de um grafo, bastando, para isso, aplicá-lo ao seu complemento. Além destas cinco classes de grafos apresentadas, a única para a qual foi encontrada na literatura um algoritmo específico para gerar CIMs é a de grafos de trapézios [Hota (1999)]. No entanto, o algoritmo tem complexidade superior a dos grafos grafos de co-comparabilidade, o que não se aplica, dado que todo grafo de trapézio é de co-comparabilidade. Referências Cai, Y. e Kong, M. C. (1992), Generating all maximal cliques and related problems for certain perfect graphs, Congressus Numerantium, 90: Gavril, F. (1972), Algorithms for minimum coloring, maximum clique, minimum covering by cliques, and maximum independent set of a chordal graph. SIAM Journal on Computing, 1: Golumbic, M. C., Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs. Academic Press, Hota, M et al. (1999), An efficient algorithm to generate all maximal independent sets on trapezoid graphs, International Journal of Computer Mathematics, 70: Knuth, D., The Art of Computer Programming: Combinatorial Algorithms - generating all tuples and permutations. Addison-Wesley, Reading, Leung, J.-T. (1984), Fast algorithms for generating all maximal independent sets in interval graphs, circular-arc graphs and chordal graphs. Journal of Algorithms, 5: Mohseni-Zadeh, S. et al. (2004), Cluster-C, an algorithm for the large-scale clustering of protein sequences based on the extraction of maximal cliques. Computational Biology and Chemistry, 28: Moon, J. e Moser, L. (1965), On cliques in graphs. Israel J. Math, 3: Tsukiyama, S. et al. (1977), A new algorithm for generating all maximal independet sets. SIAM Journal on Computing, 6(3): [2810]