CÓDIGO REDUZIDO DE PRÜFER PARA K-ÁRVORES ROTULADAS

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1 CÓDIGO REDUZIDO DE PRÜFER PARA K-ÁRVORES ROTULADAS Paulo Renato da Costa Pereira Instituto Militar de Engenharia Praça General Tibúrcio 0 Urca RJ prenato@click2.com.br Lilian Markenzon Núcleo de Computação Eletrônica UFRJ Cx. Postal 232 Rio de Janeiro RJ markenzon@nce.ufrj.br Oswaldo Vernet Núcleo de Computação Eletrônica UFRJ Cx. Postal 232 Rio de Janeiro RJ oswaldo@nce.ufrj.br Resumo A família das k-árvores é uma importante subfamília dos grafos cordais e possui uma definição indutiva que naturalmente estende a definição de árvore. Nesse artigo, propomos uma codificação compacta para as k-árvores rotuladas. Chamamos esta codificação de Código Reduzido de Prüfer. Também apresentamos algoritmos lineares para codificação e decodificação. Palavras-chave: Algoritmos em grafos, código de Prüfer e k-árvores. Abstract The family of k-trees is an important subfamily of chordal graphs and has an inductive definition which naturally extends the definition of a tree. In this paper, we present a new compact code for the labeled k-trees. We call it Reduced Prüfer Code. Linear-time algorithms for enconding and decoding are also provided. Keywords: Graph algorithms, Prüfer code and k-trees.. Introdução Introduzidas em 9 por Harary e Palmer [2], as k-árvores constituem uma importante subclasse dos grafos cordais, possuindo uma definição indutiva que se particulariza para árvores quando k =. Rose [7] propôs novas caracterizações para a família e Justel e Markenzon [3] elaboraram um algoritmo de reconhecimento utilizando propriedades da busca em largura lexicográfica. Outros resultados importantes são vistos em [,]. Uma codificação para uma família de grafos consiste em atribuir a cada grafo pertencente à família um código que o represente de forma unívoca, garantindo também que, a cada código viável, corresponde um único grafo. Quando é possível obter uma codificação para uma família, simplificam-se a geração aleatória e a contagem de seus membros. Chama-se codificação a obtenção do código a partir do grafo e decodificação a obtenção do grafo a partir do código. A codificação mais referenciada na literatura é a proposta por Prüfer [] em 9 para árvores rotuladas. No seu código, Prüfer prova uma correspondência biunívoca entre o conjunto de

2 n-2)-tuplas do conjunto {,..., n} e as árvores rotuladas com n vértices. Com base no código de Prüfer, demonstra-se alternativamente o teorema de Cayley, segundo o qual existem n n-2 árvores rotuladas. Em 970, Rényi e Rényi [] expandiram esta codificação para k-árvores rotuladas. Inicialmente, os autores definiram uma extensão imediata, o código primitivo de Prüfer, que representava k-árvores enraizadas na k-clique {n, n-,..., n-k-}. Em seguida, definiram o código redundante de Prüfer, que representa árvores sem raiz ou enraizadas em uma k-clique qualquer. Chen [] propôs uma codificação mais compacta, baseada em uma representação intermediária que utiliza árvores de rótulos duplos. Neste artigo, propomos um novo código para k-árvores rotuladas que chamamos de código reduzido de Prüfer. Em relação ao tamanho do código, nossa codificação é equivalente à de Chen, dispensando, no entanto, estruturas auxiliares para serem computadas. O código redundante de Prüfer para k-árvores é apresentado na Seção 2. Em seguida, na Seção 3, definimos o código reduzido de Prüfer, que provamos ser uma codificação para k-árvores rotuladas através de uma relação biunívoca com a codificação redundante de Prüfer. Na Seção, algoritmos lineares para codificação e decodificação são propostos. 2. Código Redundante de Prüfer para k-árvores Rotuladas Nessa seção, apresentamos o código redundante de Prüfer para uma k-árvore. Definição : Uma k-árvore, sendo k > 0, é assim definida: Um grafo completo com k vértices é uma k-árvore; Se G = V,E) é uma k-árvore, Q V é uma k-clique de G e v V, o grafo G = V {v}, E {{v,w} w Q}) é uma k-árvore; Nada mais são k-árvores. Diretamente da definição acima, obtém-se um esquema de construção destes grafos: inicia-se com um grafo completo com k vértices e adiciona-se sucessivamente um novo vértice adjacente a uma clique de tamanho k. Os k vértices do grafo completo utilizados no início formam uma k-clique da k-árvore, denominada clique base. Facilmente, prova-se por indução que uma k-árvore com pelo menos k+ vértices possui n-k cliques de tamanho k+ e todos os vértices simpliciais têm grau k. Em uma k-árvore enraizada, os vértices simpliciais que não pertencem à clique base são chamados de k-folhas. Definição 2[]: Sejam n > k > 0, V = {,..., n}, G = V,E) uma k-árvore e B a clique base de G. O código redundante de Prüfer de G é uma matriz a a2... an-k onde: B B2... Bn-k a,..., a n-k são vértices distintos de G; B,..., B n-k são k-cliques de G e, particularmente B n-k = B, ou seja, B n-k é a clique base; {a i } B i é uma k+)-clique de G, para i n-k; a é o menor inteiro não pertencente a B B 2... B n-k ; a i é o menor inteiro não pertencente a {a,..., a i- } B i... B n-k para < i n-k; Para < i < n-k, B i {a j } B j para algum j, tal que i < j n-k. A codificação de uma k-árvore, ou seja, obtenção do seu código, é feita pela sucessiva remoção da menor k-folha do grafo e de suas arestas adjacentes e pela adição desta k-folha e de seus k vizinhos ao código. Durante o processo de codificação de uma k-árvore, o vértice a i é simplicial no subgrafo obtido pela remoção dos vértices a,..., a i-. Deste modo, a seqüência a,..., a n-k faz parte de um esquema de eliminação perfeita. O próximo teorema mostra como obter um esquema de eliminação perfeita a partir do código redundante de uma k-árvore. 233

3 Teorema 3: Sejam V = {,..., n}, G = V,E) uma k-árvore e a a2... an-k seu código redundante B B2... Bn-k de Prüfer. A seqüência a,..., a n-k, B n-k é um esquema de eliminação perfeita. Prova: Pela Definição 2, todo vértice de V ocorre uma vez em a,..., a n-k, B n-k, logo estes n vértices são distintos entre si. Ainda devido à Definição 2, o vértice a i é simplicial no subgrafo obtido pela remoção dos vértices a,..., a i-, ou seja, o vértice a i é simplicial no subgrafo induzido pelos vértices a i,..., a n-k, B n-k. Como o subgrafo induzido por B n-k é um grafo completo, qualquer ordenação de seus vértices é um esquema de eliminação perfeita. A codificação redundante naturalmente define um esquema de construção da k-árvore. Inicia-se com a k-clique B n-k e adicionam-se sucessivamente os vértices a n-k,..., a adjacentes aos vértices das k-cliques B n-k,..., B, respectivamente. Assim, obtém-se trivialmente um algoritmo de decodificação de uma k-árvore com complexidade Om). 3. Código Reduzido de Prüfer para k-árvores Rotuladas Na realidade, a codificação de Prüfer é uma matriz de n-k) k+) inteiros e não oferece nenhuma vantagem especial em relação à representação tradicional dos grafos por listas de adjacência. Nessa seção, mostramos como este código pode ser simplificado com o intuito de obter um código mais compacto para k-árvores. O Teorema e o Corolário, vistos a seguir, são primordiais para a definição do código reduzido, cuja definição será apresentada em seguida. Teorema : Sejam V = {,..., n}, G = V,E) uma k-árvore e a a2... an-k seu código redundante B B2... Bn-k de Prüfer. Para cada uma das n-k- cliques B,..., B n-k-, se B i B n-k, existe um único inteiro j, i < j n-k, tal que a j B i e B i - {a j } B j. Prova: Seja y o maior inteiro tal que B i = B y. Pela Definição 2, B y B j {a j } para y < j n-k. Como B i B n-k, tem-se y n-k. Pela definição de y, B y B j. Logo, a j B y e B y - {a j } B j. A prova da unicidade é por contradição. Sem perda de generalidade, suponha que existe outro inteiro j j, tal que a j B i e B i - {a j } B j. Como a j a j, infere-se que a j B j e a j B j. Isso é um absurdo porque, pela Definição 2, a j B j se j < j e a j B j se j < j. Logo j é único. O corolário a seguir mostra que, além de o índice j ser único, o vértice a j é o primeiro vértice da k-clique B i a aparecer em a i+,..., a n-k. Corolário : Sejam i e j dois índices inteiros que satisfazem as condições do Teorema. Então j = min{t i < t n-k a t B i }. Prova: Pela definição do código redundante, verifica-se que os vértices a i+,..., a j B j. Como B i - {a j } B j, tem-se que a i+,..., a j- B i. Já que a j B i, j é o mínimo indicado no corolário. Definição : O código reduzido de Prüfer para uma k-árvore G é composto pela k-clique base B n-k e pela seqüência α, β ),..., α n-k-, β n-k- ). Esta seqüência é unicamente obtida a partir do código redundante de Prüfer de G do seguinte modo: Para i =,..., n-k-: Se B i = B n-k, então α i, β i ) = a n-k, a n-k ); Se B i B n-k, então α i, β i ) = B i B j, B j B i ) tal que j = min{t i < t n-k a t B i }. O Teorema e seu Corolário permitem determinar inequivocamente os pares α i,β i ) do código reduzido a partir do código redundante. A Figura 2 mostra como obter o código reduzido,,),,7),,),,3) ) para a 3-árvore com vértices vista na Figura. 2337

4 2 3 ) 7 Figura : 3-árvore e seu código redundante de Prüfer. α,β ) = B -B 2,B 2 -B ) =,) α 2,β 2 ) = B 2 -B,B -B 2 ) =,7) α 3,β 3 ) = a,a ) =,) ) ) ) ) α,β ) = B -B,B -B ) =,3) Figura 2: Obtenção, passo a passo, do código reduzido de Prüfer da 3-árvore da Figura. Por definição, existe um único código reduzido correspondendo a um código redundante. O Teorema prova a recíproca. O Lema 7 visto a seguir é utilizado para auxiliar na prova do Teorema. Lema 7: Sejam a a2... an-k o código redundante e B B B2... B n-k, α,β ),..., α n-k-,β n-k- ) ) o código n-k reduzido de uma k-árvore. Para i < n-k, B i... B n-k {a n-k } = {α i }... {α n-k- } B n-k. Prova: É feita por indução no índice i. Quando i = n-k-, se B n-k- = B n-k, α n-k- = a n-k pela Definição. Desse modo obtém-se B n-k- B n-k {a n-k } = {α n-k- } B n-k e o lema é valido. Se B n-k- B n-k, i < j n-k pela Definição. Assim, j = n-k, pois n-k- < j n-k. Desse modo, {α n-k- } = B n-k- - B n-k e α n-k- = a n-k. Então, verifica-se que {α n-k- } B n-k = {α n-k- } B n-k {α n-k- } = B n-k- - B n-k ) B n-k {a n-k } = B n-k- B n-k {a n-k }. Logo o lema vale para i = n-k-. Suponha que o resultado vale para um i+ tal que i < n-k-. Desse modo, tem-se que: B i+... B n-k {a n-k } = {α i+ }... {α n-k- } B n-k. Pela Definição, se B i B n-k, {α i } = B i - B j. Logo, {α i } B j = B i - B j ) B j = B i B j. Assim, tem-se que B i... B n-k {a n-k } = {α i } B i+... B n-k {a n-k }. Se B i = B n-k, obtém-se a mesma expressão, pois α i = a n-k. Utilizando a hipótese de indução nesta expressão, obtém-se B i... B n-k {a n-k } = {α i } {α i+ }... {α n-k- } B n-k. 233

5 Teorema : O código redundante de Prüfer de uma k-árvore é unicamente determinado pelo seu código reduzido de Prüfer do seguinte modo: ) a é o menor inteiro não pertencente a {α } {α 2 }... {α n-k- } B n-k ; 2) a j é o menor inteiro não pertencente a {a,..., a j- } {α j }... {α n-k- } B n-k, para < j < n-k; 3) a n-k = α n-k- ; ) Para n-k > i, B i = {α i } B j - {β i } onde o índice j é tal que a j = α i. Prova: Do lema anterior, B... B n-k {a n-k } = {α }... {α n-k- } B n-k. Da Definição 2, tem-se que a é o menor inteiro não pertencente a B B 2... B n-k. Como a a n-k, obtém-se o item. Para < j < n-k, sabe-se do lema anterior que B j... B n-k {a n-k } = {α j }... {α n-k- } B n-k e da Definição 2 que a j é o menor inteiro não pertencente a {a,..., a j- } B j... B n-k. Como a j a n-k, obtém-se o item 2. Quando i = n-k-, pela Definição, se B n-k- = B n-k, então α n-k- = a n-k. Se B n-k- B n-k, então i < j n-k pela Definição. Assim, j = n-k, pois n-k < j n-k. Desse modo, {α n-k- } = B n-k- - B n-k e α n-k- = a n-k. Logo, o item 3 é válido. Pela Definição de código reduzido, se B i B n-k, então {α i } = B i - B j e {β i } = B j - B i. Assim, B i B j = B i - {α i } = B j - {β i }. Logo, B i = {α i } B j - {β i }. Se B i = B n-k, então α i = β i = a n-k e obtém-se B i = {α i } B n-k - {β i }. Logo, o item é válido. A Figura 3 mostra como obter passo a passo o código redundante de Prüfer a partir do código reduzido,,),,7),,),,3) ) da 3-árvore com oito vértices codificada na Figura 2. a {} {} {} {}, logo a =. a 2 {} {} {} {}, logo a 2 =. a 3 {,} {} {}, logo a 3 =. a {,,} {}, logo a =. a = α, logo a =. ) ) B = α B β = {} {3} = ) B 3 = α 3 B β 3 = {} {} = ) B 2 = α 2 B β 2 = {} {7} = ) B = α B 2 β = {} {} = Figura 3: Obtenção, passo a passo, de uma 3-árvore a partir de seu código reduzido de Prüfer. 2339

6 . Algoritmos de Codificação e Decodificação Nessa seção, propomos algoritmos de codificação e decodificação para o código reduzido de Prüfer e provamos que estes algoritmos têm complexidade Om). O algoritmo que obtém o código reduzido é visto na Figura. São fornecidas a k-árvore rotulada, através de suas listas de adjacência, e a clique base B n-k. O passo constitui-se de inicializações. No passo 2 do algoritmo, obtém-se o código redundante de Prüfer de acordo com a Definição 2 e, no passo 3, determina-se o código reduzido, utilizando o Corolário para calcular o índice j associado aos pares α i,β i ). No passo 2, utiliza-se a lista Simpl, que contém os vértices candidatos a k-folhas. Inicialmente esta lista contém todos os vértices do grafo em ordem crescente exceto aqueles pertencentes à clique base, que não podem ser k-folhas. Para k-árvores enraizadas, a remoção de uma k-folha gera no máximo uma nova k-folha na k-árvore obtida. Assim, após remover uma k-folha, insere-se a nova k-folha no início da lista Simpl caso ela seja menor que o vértice do início da lista. Utilizando este procedimento, reduz-se a complexidade da busca da menor k-folha de On log n) para On). Cada uma das k-cliques B i é obtida a partir dos k vértices adjacentes a a i que ainda pertencem a k-árvore após a remoção dos vértices a,..., a i-. No passo 3, utiliza-se o vetor auxiliar Clique[v]. Na iteração i, um elemento do vetor Clique[v] assume valor i se v B i e assume outro valor caso contrário. A cada iteração procura-se dentre os vértices de B i um vértice v que pertença a {a i+,..., a n-k } e possua índice mínimo j. Caso nenhum vértice de B i pertença a {a i+,..., a n-k }, tem-se que B i = B n-k e α i = β i = a n-k. Caso exista tal vértice, o vértice β i = B j - B i é um vértice de B j que não ocorre em B i, ou seja, é aquele que tem valor diferente de i no vetor Clique. As verificações de pertinência de vértices a conjuntos são feitas com a utilização de vetores auxiliares. Algoritmo Codificação_Reduzida_de_Prüfer; Entrada: n, k, Adjv) v {,..., n}, Clique Base B n-k ; Saída: Código Reduzido B n-k, α,β ),..., α n-k-,β n-k- ) ); Início Passo: Criar lista Simpl em ordem crescente com {,..., n} - B n-k ; Calcular o vetor d[] com os graus dos vértices de V; Para v de até n faça Clique[v] -; Passo2: Para i de até n-k- faça Procurar u seqüencialmente em Simpl tal que d[u] = k; a i u; B i {v Adja i ) v {a,..., a i- }; Para v B i - B n-k ) faça d[v] d[v] -; Se d[v] = k) v < primeiro elemento de Simpl) então Inserir v no início da lista Simpl; a n-k único elemento de Simpl; Passo3: Para i de até n-k- faça j mínimon-k, u a u B i ); α i β i a j ; Para v B i faça Clique[v] i; Para v B j faça Se Clique[v] i então β i v; Fim Figura : Algoritmo de obtenção do código reduzido de Prüfer. Teorema 9: O algoritmo de obtenção do código reduzido de Prüfer de uma k-árvore tem complexidade Om). Prova: A inicialização da lista e do vetor auxiliar é feita em On) e o cálculo dos graus dos vértices é feito em Om). No passo 2, a procura da menor k-folha é feita em On) e a montagem das k-cliques em Om). Finalmente, o cálculo dos pares α i,β i ) é feito em On.k) passos. Desse modo, o algoritmo tem complexidade On.k) = Om). 230

7 O algoritmo que obtém a k-árvore a partir de seu código reduzido é visto na Figura. Este algoritmo obtém o código redundante de Prüfer utilizando o Teorema e insere as arestas a partir dos vértices a i e das k-cliques B i. Os valores de n e k não precisam ser explicitamente mencionados na entrada, pois podem ser deduzidos a partir das cardinalidades das duas seqüências No passo, computa-se o vetor auxiliar último[v] que armazena o maior índice i tal que v = α i ou 0 caso v {α }... {α n-k- }. Desse modo, v {α i }... {α n-k- } quando último[v] < i. Obtém-se os vértices a i no passo 2 com base nos itens, 2 e 3 e as k-cliques no passo 3 com base no item do Teorema. Ainda no passo 3, são inseridas as k arestas adjacentes a a i e aos vértices de B i. No passo 2, a lista Simpl contém os vértices candidatos a k-folhas. Inicialmente esta lista contém todos os vértices do grafo em ordem crescente exceto aqueles pertencentes à clique base, que não podem ser k-folhas. Como a lista Simpl não contém os vértices de B n-k, a verificação realizada nos itens e 2 do Teorema depende apenas das seqüências de a i e α i, ou seja, o vértice a é o menor vértice da lista Simpl que não pertence a {α }... {α n-k- } e o vértice a i é o menor vértice da lista Simpl que não pertence a {a,..., a j- } {α j }... {α n-k- } para < j < n-k. Como, na iteração i do passo 2, os vértices a,..., a i- já foram removidos da lista Simpl, a i é o primeiro da lista Simpl que não pertence a {α i }... {α n-k- }. Na iteração i, após computar o vértice a i, o vértice α i passa a ser uma k-folha quando não pertence a {α i+ }... {α n-k- } e deve ser inserido no início da lista Simpl caso seja menor que o primeiro vértice da lista. O vértice a n-k é computado utilizando o item 3 do Teorema. A utilização da lista Simpl possibilita o cálculo dos vértices a,..., a n-k em On). No passo 3, inicialmente calcula-se o vetor auxiliar posição[v], que armazena i se v = a i e 0 caso v {a }... {a n-k }. Assim, um índice j tal que v = a j é obtido através de posição[v]. Inicia-se o conjunto de arestas com as arestas relativas à k+)-clique B n-k {a n-k }. Em seguida, com base no item do Teorema, obtém-se j tal que α i = a j e calculam-se as k-cliques B i. Finalmente, inserem-se as k arestas adjacentes a a i e aos vértices da k-clique B i. Cabe ressaltar que, na iteração i do passo 3, a k-clique B i já estava na k-árvore e, portanto, as arestas relativas a B i já foram incluídas. Teorema 0: O algoritmo de obtenção da k-árvore a partir de seu código reduzido de Prüfer tem complexidade Om). Prova: A inicialização da lista e do vetor auxiliar é feita em On). No passo 2, a procura da menor k-folha é feita em On). Finalmente, a montagem das k-cliques e inserção de arestas são feitas em On.k) passos. Desse modo, o algoritmo tem complexidade On.k) = Om). Algoritmo Decodificação_Reduzida_de_Prüfer; Entrada: Código Reduzido B n-k, S = α,β ),..., α n-k-,β n-k- ) ); Saída: Conjunto de arestas de uma k-árvore; Início Passo: k B n-k ; n k + S + ; Para v de até n faça ultimo[ v ] 0; Para i de até n-k- faça ultimo[ α i ] i; Criar lista Simpl em ordem crescente com {,..., n} - B n-k ; Passo2: Para i de até n-k- faça Procurar u seqüencialmente em Simpl tal que ultimo[u] < i; a i u; Se ultimo[α i ] = i) α i < primeiro elemento de Simpl) então Inserir α i no início da lista Simpl; a n-k α n-k- ; Passo3: Para v de até n faça posição[ v ] 0; Para i de até n-k faça posição[ a i ] i; E arestas da clique B n-k {a n-k }; Para i de n-k- até faça j posição[α i ]; B i {α i } B j - {β i }; Para v B i faça E E {{a i,v}}; Fim Figura : Algoritmo de obtenção da k-árvore a partir de seu código reduzido de Prüfer. 23

8 . Conclusões O código reduzido proposto reduz a complexidade de armazenamento de uma k-árvore de On.k) para On). Os algoritmos de codificação e decodificação obtidos são lineares e dispensam estruturas de dados auxiliares complexas, como é o caso do código de Chen []. Além disso, o algoritmo de codificação apresentado pode ser utilizado para obter o código redundante de Prüfer com complexidade linear. Referências [] W. Y. C. Chen, A coding algorithm for Rényi trees, Journal of Combinatorial Theory, series A, vol. 3, pp. 2, 993. [2] F. Harary, E. M. Palmer, On Acyclic Complexes, Mathematika, vol., pp. 22, 9. [3] C. M. Justel, L. Markenzon, Lexicographic Breadth First Search and k-trees, Proceedings of JIM Secondes Journées de l Informatique Messine, pp. 23 2, Metz, France, [] A. Proskurowski, K-Trees: Representations and Distances, Congressus Numerantium, vol. 29, pp. 7 79, 90. [] A. Proskurowski, Separating Subgraphs in k-trees: Cables and Caterpillars, Discrete Mathematics, vol. 9, pp. 27 2, 9. [] A. Prüfer, Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen, Archiv der Mathematik und Physik, vol. 27, pp. 2, 9. [7] D. J. Rose, On Simple Characterizations of k-trees, Discrete Mathematics, vol.7, pp , 97. [] C. Rényi, A. Rényi, Prüfer Code for k-trees, In P.Erdös et al., editor, Combinatorial Theory and its Applications, pp. 9 97,