Teoria dos Grafos Aula 8

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1 Teoria dos Grafos Aula 8 Aula passada Grafos com pesos, caminhos e distâncias Ideia e implementação de alg. de Dijkstra Aula de hoje Corretude de Dijkstra Fila de prioridades e Heap Dijkstra eficiente Dijkstra o próprio (documentário)

2 Algoritmo de Dijkstra Ideias: Manter dois conjuntos de vértices (explorados e não-explorados) Manter comprimento do menor caminho conhecido até o momento para cada vértice Adicionar o vértice de menor caminho (explorar) Atualizar distâncias Como tornar a ideia em algoritmo?

3 Algoritmo de Dijkstra 1.Dijkstra(G, s) 2.Para cada vértice v 3. dist[v] = infinito 4.Define conjunto S = 0 // vazio 5.dist[s] = 0 6.Enquanto S!= V 7. Selecione u em V-S, tal que dist[u] é mínima 8. Adicione u em S 9. Para cada vizinho v de u faça 10. Se dist[v] > dist[u] + w((u,v)) então 11. dist[v] = dist[u] + w((u,v)) Como o algoritmo executa?

4 Executando o Algoritmo a 1 b 4 2 e 4 2 d 2 3 c 1 2 f 2 3 g Manter tabela com passos e distâncias Passo Conjunto S d(a) d(b) d(c) d(d) d(e) d(f) d(g) 0 {} 0 inf inf inf inf inf inf 1 {a} 1 inf 4 2 inf inf 2 {a,b} inf inf 3 {a,b,e} inf 4 {a,b,e,d} 4 5 inf 5 {a,b,e,d,c} {a,b,e,d,c,f} 6 7 {a,b,e,d,c,f,g}

5 Analisando o Algoritmo Provar que algoritmo sempre produz resultado correto caminho mínimo entre dois vértices Teorema: Considere um vértice u pertencente ao conjunto S em qualquer ponto do algoritmo. Temos que dist[u] é a distância entre s e u.

6 Prova Prova por indução no tamanho de S Caso base: S = 1 S = {s}, dist[s] = 0, devido inicialização Hipótese: S = k Para S = k, assuma que dist[u] é igual a distância entre s e u Caso geral: S = k + 1 k+1 adiciona v à S, dando origem a P v seja (u,v) última aresta no caminho P v Pela hipótese, P u é caminho mínimo s-u

7 Prova Considere outro caminho s-v, P, que não passa por u Precisamos provar que P é maior (ou igual) a P v P passa pela aresta (x,y), com x em S e y fora de S (para algum x e y qualquer) Situação: s S u x y v No passo k+1, algoritmo escolhe v para adicionar a S (e não y) Então, caminho s y é maior ou igual a P v Como dist(y,v) >=0, caminho P será maior ou igual a P v Logo, P v é caminho mínimo e dist[v] será distância até v

8 Complexidade Qual é a complexidade do algoritmo? 1.Dijkstra(G, s) 2.Para cada vértice v 3. dist[v] = infinito 4.Define conjunto S = 0 // vazio 5.dist[s] = 0 6.Enquanto S!= V 7. Selecione u em V-S, tal que dist[u] é mínima 8. Adicione u em S 9. Para cada vizinho v de u faça 10. Se dist[v] > dist[u] + w((u,v)) então 11. dist[v] = dist[u] + w((u,v)) Depende do tempo para selecionar u tal que dist[u] seja mínima!

9 Algoritmo simples Complexidade Percorre vértices e encontra dist[u] mínimo Complexidade? O(n 2 ) Outra ideia? Fila de prioridades muito usada em grafos! Chave: distâncias Extrair o mínimo (vértice com menor distância) Atualizar chaves (distâncias)

10 Fila de Prioridade Estrutura de dados poderosa (priority queue) Mantém um conjunto de elementos S Cada elemento possui uma chave (número de prioridade) Permite inserir, remover e modificar elementos de S através de sua chave Complexidade de pior caso para remoção, inserção e modificação: O(log n) caso médio para algumas operações pode ser O(1), dependendo da implementação

11 Heap Heap: Implementação de fila de prioridade Estrutura de dados em forma de árvore Armazena conjunto de elementos, todos associados a uma chave Chave dos elementos define árvore Heap order 1) Min-heap: chave(u) <= chave(v), quando u é pai de v (usado para remover menor chave primeiro) 2) Max-heap: chave(u) >= chave(v), quando u é pai de v (usado para remover maior chave primeiro)

12 Heap Binário Heap Binário: árvore binária cheia fácil implementação Operações básicas adicionar, remover, atualizar chave Não serve para fazer busca (não está ordenada) Max-heap ou Min-heap? Saindo da raiz, como chegar na chave 12?

13 Inserção e Remoção Inserção 1) adicionar elemento na última posição da árvore 2) trocar posição com pai até garantir heap-order (subir) Remoção 1) remover raiz e mover último elemento para raiz 2) trocar de posição com menor filho até garantir heap-order (descer) Exemplos Adicionar chave 5 Remover raiz Atualização Chave pode mudar de valor Subir ou descer, de acordo

14 Complexidade Usando um heap quantas operações? 1.Dijkstra(G, s) 2.Para cada vértice v 3. dist[v] = infinito 4.Define conjunto S = 0 // vazio 5.dist[s] = 0 6.Enquanto S!= V 7. Selecione u em V-S, tal que dist[u] é mínima 8. Adicione u em S 9. Para cada vizinho v de u faça 10. Se dist[v] > dist[u] + w((u,v)) então 11. dist[v] = dist[u] + w((u,v)) Cada operação no heap: O(log n) n operações de remoção m operações de atualização Complexidade: O((n+m)log n) = O(m log n)

15 Dijkstra, o Próprio Edsger Wybe Dijkstra Renomado professor e pesquisador em Computação Recebeu Turing Award 1972 mais renomado prêmio da Computação Contribuições fundamentais em ling. de programação e verificação formal Algoritmo de Dijkstra utilizado em vários sistemas (redes, GPS, etc) Documentário: Discipline in Thought 11/5/1930 6/8/2002