Teoria dos Grafos Aula 11

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1 Toria dos Grafos Aula Aula passada Problma do labirinto (pathfinding) Busca informada Bst-first sarch A* Aula d hoj MST Algoritmos d Prim Kruskal Propridads da MST Corrtud

2 Projtando uma Rd $ $$ $$$ $$ $ $$$ $ $$ $$ $$$$ $$ $ Conjunto d localidads (x. cidads) Custo para conctá-los dirtamnt (x. construir stradas) Garantir conctividad d qualqur lugar, chgamos a qualqur outro Problma: Como conctar as localidads d forma a minimizar o custo total?

3 Projtando uma Rd Abstração via grafos Vértics: localidads Arstas com psos: custo d conxão dirta ntr localidads $ $$ $$$ $$ $ $$$ $ $$ $$ $$$$ $$ $ Qu tipo d rd (grafo) é o rsultado? Subgrafo d G, Árvor, Árvor gradora! Qualqur árvor? Não! Árvor Gradora d Custo Mínimo!

4 MST Minimum Spanning Tr (MST) árvor gradora d custo mínimo Exmplo 4 a b 3 5 c d MST? 4 a b 3 c d 5 f f MST é única? Custo dsta MST?

5 Dscobrindo a MST Problma: Obtr uma MST d um grafo Grafo com psos idênticos? BFS to th rscu! qualqur árvor gradora tm custo mínimo Grafo com psos difrnts? Idéias?

6 Dscobrindo a MST Idéias I Modificar BFS BFS constrói uma árvor gradora Dado vértic inicial s Construir árvor gradora mínima Expandir frontira na dirção corrta Qual é a dirção corrta? Dirção d mnor custo Adicionar vértic qu aumnta o custo total o mnos possívl

7 Dscobrindo a MST Idéias I Dado G=(V, E) Construir MST, T=(S, E') Inicialmnt S E' stão vazios Slcionar s, vértic inicial Adicionar vértics m T na ordm mais barata possívl próximo vértic aumnta custo total o mínimo possívl Algoritmo d Prim Muito parcido com qual algoritmo?

8 Algoritmo d Prim Idéia: crscr T d forma mais barata possívl Exmplo s b a f d c 4 b a f d c 4 b a f d c 4 b a s a

9 Algoritmo d Prim Como tornar a idéia m algoritmo (ficint)? adicionar o vértic qu aumnta o custo o mnos possívl Idéias: Mantr um conjunto d vértics da árvor Mantr custo para adicionar cada vértic até o momnto Adicionar o vértic d mnor custo Atualizar custos

10 Algoritmo d Prim.Prim(G, o).para cada vértic v 3. custo[v] = infinito 4.Dfin conjunto S = 0 // vazio 5.custo[o] = 0 6.Enquanto S!= V 7. Slcion u m V-S, tal qu custo[u] é mínimo 8. Adicion u m S 9. Para cada vizinho v d u faça 0. S custo[v] > w((u,v)) ntão. custo[v] = w((u,v)) Como o algoritmo xcuta?

11 Excutando o Algoritmo a b 4 4 d 3 c f 3 g Mantr tabla com passos custos Passo Conjunto S d(a) d(b) d(c) d(d) d() d(f) d(g) 0 {} 0 inf inf inf inf inf inf {a} inf 4 inf inf {a,b} 4 inf inf 3 {a,b,} 4 3 inf 4 {a,b,,d} inf 5 {a,b,,d,c} 6 {a,b,,d,c,f} 7 {a,b,,d,c,f,g}

12 Complxidad Qual é a complxidad do algoritmo? Complxidad idêntica a Dijkstra.Prim(G, o).para cada vértic v 3. custo[v] = infinito 4.Dfin conjunto S = 0 // vazio 5.custo[o] = 0 6.Enquanto S!= V 7. Slcion u m V-S, tal qu custo[u] é mínima 8. Adicion u m S 9. Para cada vizinho v d u faça 0. S custo[v] > w((u,v)) ntão. custo[v] = w((u,v)) Usando filas d prioridad basada m hap n opraçõs d rmoção, m d atualização O((m+n)log n) = O(m log n)

13 Dscobrindo a MST Idéias II Outra abordagm, difrnt d BFS mas também gulosa Arsta d mnor pso stá na MST? Arsta sgundo mnor pso stá na MST? Arsta d trciro mnor pso? Cuidado com ciclos!

14 Dscobrindo a MST Idéias II Dado G=(V, E) Construir MST, T=(V, E') Inicialmnt E' stá vazio Adicionar arstas d E m ordm crscnt S arsta grar um ciclo m T, ntão dscart-a continu Algoritmo d Kruskal

15 Algoritmo d Kruskal Idéia: construir T adicionado arstas d mnor pso Exmplo b a f d c b a f d c b f c b c

16 Analizando o Algoritmo Algoritmos d Prim Kruskal produzm smpr uma MST? Mas isto é óbvio? Como provar qu algoritmo smpr produz rsultado dsjado uma MST? Duas propridads d uma MST Propridad do cort (cut proprty) Propridad do ciclo (cycl proprty)

17 Propridad do Cort Considr um conjunto d vértics S a arsta =(u, v) d mnor pso com uma ponta m S outra m V-S. Então toda MST contém =(u,v). O qu isto stá dizndo? Figura! s S u x '' ' w y v S c() < c('), c('') Então stá m toda MST Como mostrar isto? Por contradição

18 Propridad do Cort Prova por contradição: assumir qu o oposto é vrdad, mostrar qu nova afirmação não é vrdadira Oposto: Exist MST qu não possui arsta Como provar qu isto não é vrdad? ) T' possui arsta ' possui algum pso ) Mostrar qu pod substituir ' m T' 3) Pso da árvor com é mnor, logo T' com ' não é mínima, não pod sr MST

19 Propridad do Cort s S u x ' '' w y v Assumir árvor T' sm Exist caminho P m T' ntr u v Sguir caminho P até ncontrar vértic x m S y m V-S, chamar '=(x,y) Trocar ' por cria nova árvor gradora T Nova T tm pso mnor qu T' Logo T' não é MST

20 Corrtud d Prim Kruskal Prim produz uma árvor gradora mínima ) a cada passo, adiciona arsta d mnor pso ntr S V-S (cort) ) pla propridad do cort, arsta faz part d qualqur MST Kruskal produz uma árvor gradora mínima ) considr arsta =(u,v) adicionada ) S = vértics alcançavis por u, v prtnc a V-S 3) é arsta d mnor pso no cort S 4) pla propridad do cort, prtnc Figuirdo a MST 04

21 Propridad do Ciclo Sja C um ciclo m G =(u,v) a arsta d maior custo no d C. Então =(u,v) não faz part d nnhuma MST. O qu isto stá dizndo? Figura! u x C ' y v w Considr ciclo C = x,y,w,v,u,x Consdr arsta =(u,v) d maior pso nst ciclo Então arsta não stá m nnuma MST Como mostrar isto? Por contradição