Lista de Prioridades. Estrutura de Dados II Prof. Erinaldo

Transcrição

1 Lista de Prioridades Estrutura de Dados II Prof. Erinaldo

2 Heap Ou lista de prioridades, é composta por um conjunto finito de dados, cada qual com uma chave que determinará sua prioridade dentro da lista. É um vetor. Uma árvore binária completa Cada nó possui no máximo dois filhos Os nós que não possuem dois filhos estão no último ou no penúltimo nível.

3 Heap (cont.) A árvore que representa a estrutura heap é sempre preenchida da esquerda para a direita.

4 Heap (cont.) Dado um índice i do vetor, para se descobrir as posições em que se encontram o elemento pai, o filho esquerdo e o filho direito, realizam-se os cálculos: Pai(i) = i / 2 Filho Esquerdo(i) = 2 i Filho Direito(i) = 2 i+1

5 Heap (cont.) Existem dois tipos de heaps binários: heaps máximos: o maior elemento se encontra no raiz. X[Pai(i)] X[i] heaps mínimos: o menor elemento está na raiz. X[Pai(i)] X[i]

6 Heap (cont.) Exemplo de uso: processos pendentes usados por um sistema operacional, onde cada processo possui um valor associado que indica a prioridade do trabalho. Os processo são mantidos em uma lista de prioridades, onde os com prioridade mais alta serão executados antes de quaisquer trabalhos com necessidades menos urgentes.

7 Heap Máximo

8 Heap Mínimo

9 Heap Máximo e Mínimo

10 Heap Máximo e Mínimo a) O elemento raiz deve ocupar a posição 1 do vetor, o que facilita o cálculo dos endereços dos elementos filhos da direita e da esquerda. b) O vetor utilizado para armazenar n elementos tem a posição inicial zero e como esta não será utilizada o vetor deve ser declarado com n+1 posições.

11 Heap Máximo e Mínimo c) Se o heap for máximo, a propriedade de um elemento pai deve ser maior que a de seus filhos. Esta propriedade deve ser aplicada a cada elemento da lista. d) Se o heap for mínimo, a prioridade de um elemento pai deve ser menor que a de seus filhos. Esta propriedade deve ser aplicada a cada elemento da lista.

12 Heap Máximo e Mínimo Operações: inserir um elemento na estrutura heap. remover o elemento de maior prioridade em um heap máximo ou o de menor prioridade em um heap mínimo. consultar um elemento de maior prioridade em um heap máximo ou o de menor prioridade em um heap mínimo.

13 Inserção O elemento deve ser inserido na próxima posição livre, porém, antes, deve ser verificado se o pai atende a propriedade heap. Caso não atenda, o paí é copiado para a posição de inserção e a posição antiga do pai é avaliada para inserir o novo elemento. A regra deve ser aplicada sucessivamente até encontrar a posição correta do no elemento.

14 Remoção Retira o elemento de maior prioridade ou o de menor prioridade. A remoção coloca o último elemento no lugar do primeiro. O procedimento heap_fica é aplicado para que o conjunto de elementos volte a ser um heap.

15 Consultar Acessa o valor da raiz da árvore, que é o primeiro elemento do vetor.

16 Análise da Complexidade Heap máximo e mínimo operação de consulta do elemento de maior ou menor prioridade gasta tempo constante, O(1) acessa apenas o primeiro elemento da lista

17 Análise da complexidade Heap máximo e mínimo operação de remoção do elemento de maior ou menor prioridade (elemento raiz), gasta tempo O(log n) o último elemento da lista é colocado no lugar do removido, aplicação do procedimento heap_fica.

18 Análise de complexidade Heap máximo e mínimo operação de inserção tenta incluir o novo elemento no fim, verificando se na posição a ser inserida a propriedade heap será mantida. No pior caso o elemento será colocado na raiz (percorre da folha até à raiz), gastando tempo proporcional à altura da árvore, O(log n).

19 Heap max-min e heap min-max Aplicações de heap onde é necessário acessar o elemento que possui a maior e a menor prioridade. Implementa estrutura de vetores e podem ser vistas como árvores binárias completas.

20 Heap max-min e heap min-max Operações: consulta do elemento de maior ou de menor prioridade, inserção de um elemento e remoção do elemento de maior ou de menor prioridade.

21 Propriedades O elemento raiz deve ocupar a posição 1 do vetor. O vetor utilizado para armazenar n elementos tem a posição inicial zero. Em um heap max-min o elemento de maior prioridade ocupada sempre a posição 1 do vetor. Em um heap min-max o elemento de menor prioridade ocupa sempre a posição 1 do vetor.

22 Propriedades Cada elemento do vetor corresponde a um nó da árvore binária e encontra-se em um nível. Em um heap max-min os níveis ímpares são chamados níveis máximos e os pares níveis mínimos. Em um heap min-max os níveis ímpares são chamados níveis mínimos e os pares níveis máximos.

23 Propriedades Em um heap max-min, se o nível de um nó i é máximo (ímpar) a sua chave é superior à chave do seu pai e inferior à chave do seu avô. Em um heap min-max, se o nível de um nó i é mínimo (ímpar) a sua chave é inferior à chave do seu pai e superior à chave do seu avô.

24 Em um heap max-min e em um heap min-max a chave de um nó i é superior às chaves de seus descendentes quando i está situado em um nível máximo, e inferior às chaves de seus descendentes quando i é situado em um nível mínimo.