Algoritmos e Estrutura de dados II. Fila de Prioridade e Heaps

Transcrição

1 Algoritmos e Estrutura de dados II Fila de Prioridade e Heaps 1

2 Heap Sort...mas antes Agenda Implementação de uma Fila de Prioridade usando um HEAP Propriedade do Heap e exemplos adcionar min/max Remover 2

3 Implementado uma fila de prioridade usando um heap 3

4 Um Heap heap: Estrutura de dados, representada graficamente conforme figura abaixo, que apresenta as seguintes propriedades: 1. completude: todos os níveis são cheios excessão feita ao nível mais baixo, que deve ser preenchido da esquerda para a direita. Forma do Heap: 4

5 Um heap...propriedade 2. ordem do heap: Os elementos no heap apresentam uma relação entre si. Em heaps, os valores dos elementos pai são sempre menores(maiores) que de seus descendentes Implica que o menor(maior) elemento é sempre a raiz 5

6 Quais são Heaps? Errado! Errado! 20Errado! Errado!

7 E Heap de? Errado! Errado!

8 Adcionando ao heap Ao adicionar um elemento ao heap ele deve ser colocado na posição mais a direita; Completude; A segunda propriedade foi violada!

9 Adcionando um... Para restaurar a propriedade de ordenação, o novo elemento deve ser empurado para cima até que se alcançe a posição correta Empura-se os elementos realizando trocas com o pai; Quantas empuradas serão necessárias, no máximo?

10 Adcinando em um heap máx Mesmas operações, mas os maiores elementos vão para o topo

11 Exercício Mostre o estado do heap de mínima após adição dos seguintes elementos: 6, 50, 11, 25, 42, 20, 104, 76, 19, 55, 88, 2 11

12 A operação min/max min/max em um heap é trivial; Basta acessar o topo do heap min/max tem custo O(1) (Constante)

13 Remoção heaps só permitem a remoção do menor(maior) elemento, também chamada de raiz) Deve remover a raiz e manter as propriedades de completude e ordenação; intuitivamente, o último elemento deve desaparecer Abordagem: trocar a raiz pela última folha(não é suficiente)

14 Removendo... Deve arrumar a propriedade da ordenação; raiz fora da ordem Empurar a raiz para baixo até a sua posição Trocar com o menor dos dois filhos O que acontece se a troca não for realizada sempre?

15 Exercício Considere o heap com os seguintes elementos: 6, 50, 11, 25, 42, 20, 104, 76, 19, 55, 88, 2 Mostre o estado do heap após a remoção de três elementos. Lembre-se que: Remoção só pode ocorrer na raiz do heap. 15

16 Construindo um heap O algoritmo heapifica Execute a operação de "empurar" elementos que não sejam folha; Iniciar do nó interno mais a direita e seguindo em direção a raiz Por que a operação heapifica funciona? Quanto custa a operação?

17 Implementação Pode-se implementar um heap usando um vetor i Item Esq filho 2*i dir filho 1 Pam Joe Sue Bob Mike Sam Tom Ann Jane Mary Pam Joe Sue Bob Mike Sam Tom Ann Jane Mary FilhoEsq(i) = 2*i FilhoDir(i) = 2*i

18 Implementação... Quem é o pai? i Item Pai i / 2 1 Pam Joe Sue Bob Mike Sam Tom Ann Jane Mary 5 5 Pam Joe Sue Bob Mike Sam Tom Ann Jane Mary pai(i) = i / 2 18

19 Implementando...resumo Use um vetor Índice da raiz deve ser igual a 1(um); Para cada elemento n de índice i, Descendente a esquerda tem índice = 2i Descendente a direita tem índice = 2i

20 Vantagens da representação As operações são rápidas Adcionar um novo elemento (O(1)) Determinar o pai de um elemento (O(1)) Trocar pai e filho (O(1)) Soluções derivadas são em geral bem elegantes construirheap(vetor v) { para (i = v.tam() / 2; i > 0; i--) { heapifica(v, i); } } 20

21 Exercícios Implemente o algoritmo heapifica; Em um heap de max e min; Implemente o algoritmo de remoção; Em um heap de max e min; Implemente o algoritmo de determinação do top; 21

22 Heap sort 22

23 Heap sort heap sort: Ordena um vetor de N elementos transformando o vetor em um heap, e então executa a operação remove N vezes Os elementos serão removidos ordenadamente! É possível então ordená-los em um novo vetor Qual o tempo de execução? 23

24 Uma heap de máxima O heap mostrado anteriormente é um heao de mínima uma vez que os elementos são recuparados em um ordem ascendente Em um heap de máxima os elementos saem em um ordem descendente 24

25 Melhorando a... O heap sort mostrado requer um segundo vetor; Com o um heap de máxima o heap sort não irá precisar de um vetor auxiliar O(n log n); Sem demanda extra por espaço! Adequado para equipamento com pouca memória elegância 25

26 Melhorando o heap sort Use um vetor para construir o heap, com o índice 0 guardando a raiz; Após a operação de construção do heap: 26

27 Melhorando... Estado após a operação de remoção: Ao remover o elemento coloque-o no final do vetor 27

28 Melhorando... O estado após duas remoções: Note que os maiores elementos estão no final do vetor 28

29 Algoritmos de ordenação Melhor Caso Pior Caso Seleção n 2 n 2 Bolha n n 2 Inserção n n 2 Heapsort n log 2 n n log 2 n Mergesort n log 2 n n log 2 n Quicksort n log 2 n n 2 29