Estruturas de Dados Algoritmos de Ordenação

Transcrição

1 Estruturas de Dados Prof. Eduardo Alchieri

2 (introdução) Considere uma sequência arbitrária S = {s1, s2, s3,...sn} composta por n 0 elementos retirados do conjunto universo U O objetivo da ordenação é arrumar os elementos de S para produzir uma nova sequência S' na qual os elementos de S estão em ordem O que significa os elementos estarem em ordem? Para qualquer dois elementos i, j extraídos de U i < j; i = j; i > j A relação < é transitiva Ordenar os elementos de S é definir uma permutação dos elementos de S para produzir S' de acordo com o operador < Em outras palavras, ordenar é o processo de organizar um conjunto de elementos em uma ordem

3 (introdução) Exemplos: lista telefônica, com os nomes das pessoas em ordem alfabética bancos, com os atendimentos por ordem de chegada hospitais, com os atendimentos em ordem de prioridade times, com os jogadores em ordem de técnica etc.

4 (introdução) A ordenação visa facilitar a recuperação de um item do conjunto Busca binária: sabendo que o objeto está em um intervalo e com uma função de teste que diz se o objeto está antes, em ou depois de uma determinada posição, a busca binária divide a quantidade de números que precisam ser vericados pela metade a cada iteração O(log n)

5 (introdução) Algoritmos de ordenação trabalham sobre a chave de ordenação de um registro (claro, podem existir outros dados no registro) Nome Matrícula Id Código Etc Chave de ordenação é qualquer tipo de chave sobre a qual exista uma regra de ordenação bem definida

6 (introdução) Os métodos de ordenação podem ser de dois tipos: Estáveis: as chaves duplicadas mantém suas posições relativas na sequência ordenada Instáveis: as chaves duplicadas não mantém suas posições relativas na sequência ordenada Alguns métodos de ordenação mais eficientes são instáveis, mas estabilidade pode ser forçada

7 (métodos de ordenação) Método Ineficiente Bogosort: O ( ) Métodos elementares: Inserção: O(n 2 ) Bubblesort: O(n 2 ) Seleção: O(n 2 ) Métodos Eficientes Quicksort: O(n log n) (no pior caso é O(n 2 )) Heapsort: O(n log n) Mergesort: O(n log n) Counting Sort: O(n)

8 (métodos de ordenação) Uma outra classificação: Ordenação por inserção Inserção Ordenação por troca Bubblesort Quicksort Ordenação por seleção Seleção Heapsort Ordenação por fusão Mergesort Ordenação por distribuição Counting Sort

9 (Bogosort) Algoritmo é probabilístico Pode nunca terminar

10 (inserção) A ideia é separar a lista em duas: a primeira ordenada e a segunda aleatoria 1. Para o segundo item em diante, selecione o i-esimo item. 2. Coloque-o no na parte ordenada, na posição correta.

11 (inserção) Algoritmo Exemplo de funcionamento

12 (inserção) O número mínimo de comparações e movimentos ocorre quando os itens estão originalmente em ordem Melhor caso: O(n) O número máximo ocorre quando os itens estão originalmente na ordem reversa Pior caso: O(n 2 ) Deve ser utilizado quando a lista esta quase" ordenada Caso medio : O(n 2 ) (com função de custo menor que o pior caso) E um bom método quando se deseja adicionar uns poucos itens a uma lista ordenada, pois o custo e linear O algoritmo de ordenação por inserção é estável

13 (bubblesort) A ideia principal do algoritmo é percorrer a lista n 1 vezes, a cada passagem fazendo flutuar para o final o maior elemento da sequência (pode ser o contrário). O bubblesort é estável Algoritmo bubble(int[] v, int n){ for(int i = n; i > 1; --i){ for(int j = 0; j < i 1; ++j){ if(v[ j ] > v [ j + 1]){ troca(j, j + 1) } } } }

14 (bubblesort) Exemplo i= i= i= i= i= i= i= i= i=

15 (bubblesort) Otimização (código em java) public static void bubblesort (int [] vetor){ boolean houvetroca = true; while (houvetroca) { houvetroca = false; for (int i = 0; i < (vetor.length)-1; i++){ if (vetor[i] > vetor[i+1]){ int variavelauxiliar = vetor[i+1]; vetor[i+1] = vetor[i]; vetor[i] = variavelauxiliar; houvetroca = true; } } } }

16 (seleção) A ideia é encontrar o menor elemento do vetor e posicioná-lo corretamente Algoritmo

17 (seleção) Exemplo Animação

18 (seleção)

19 (quicksort) Proposto por Charles Hoare em É o algoritmo de ordenação mais rápido que se conhece para uma ampla variedade de situações Provavelmente é o mais utilizado Não é estável A ideia básica é dividir o problema de ordenar um conjunto com n itens em dois problemas menores (dividir para conquistar) Os problemas menores são ordenados independentemente Os resultados são combinados para produzir a solução final

20 (quicksort) Passos do algoritmo 1. Escolher o elemento pivô Ponto fundamental do algoritmo 2. Reordenar a lista de acordo com o pivô Neste ponto, o pivô estará na sua posição final (ordenado) 3. Reaodenar recursivamente as sub-listas com elementos menores/maiores que o pivô

21 (quicksort)

22 (quicksort) A escolha do pivô é um ponto fundamental do algoritmo Pior caso: o pivô escolhido é sempre um extremo do arquivo Caso médio: ocorre quando cada partição divide o arquivo em duas partes iguais Várias formas de escolher o pivô: Pegar o primeiro elemento Pegar o último elemento Média entre o primeiro e último elemento Média entre três elementos

23 (heapsort) Possui o mesmo princípio de funcionamento da ordenação por seleção e também não é estável Utiliza uma estrutura de dados chamada heap para ordenar os elementos a medida que os insere na estrutura Ao final das inserções, os elementos podem ser sucessivamente removidos da raiz da heap, na ordem desejada A heap pode ser representada como uma árvore ou como um vetor O custo para inserir ou remover um elemento da heap é O(log n)

24 (heapsort)

25 (mergesort) Usa a estratégia de dividir para conquistar É mais rápido ordenar vetores menores que maiores É mais rápido unir dois vetores ordenados do que dois não ordenados Passos do algoritmo 1.Se o tamanho da lista for 0 ou 1, já está ordenada 2.Dividir a lista em duas partes (de mesmo tamanho) 3. Ordenar cada sub-lista recursivamente 4. Combinar as sub-listas (em ordem)

26 (mergesort)

27 (mergesort)

28 (counting sort) Assume-se que as chaves que serão ordenadas estão uniformemente distribuídas em um intervalo conhecido(por exemplo, de 1 a m). É um algoritmo estável. Passos do algoritmo Inicialize um vetor de contadores, inicialmente em zero Percorra o vetor original, incrementando os contadores dos elementos encontrados Coloque os elementos no vetor original, de acordo com os contadores

29 (counting sort) Algoritmo bucketsort(int[] v){ for(int i = 0; i < m; ++i){ //m é o número de contadores contador[i] = 0; } for(int j = 0; j < n; ++i){ //n é o tamanho de v contador[v[j]]++; } j = 0; for(int i = 0; i < m; ++i){ while(contador[i] > 0){ contador[i]--; v[j++] = i; } } }

30 (bucketsort) O tempo total de processamento é O(m+n) Se n = m, então o custo fica O(n) Porém, consome mais memória É necessário um espaço de O(m) para o vetor de contadores

31 (demonstrações)