ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS CES-11
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- Alana Beretta Almada
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1 ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS CES-11 Prof. Paulo André Castro pauloac@ita.br Sala 110 Prédio da Computação IECE - ITA
2 CAP. 5. TÉCNICAS DE ORDENAÇÃO 5.1. Introdução 5.2. Métodos simples de ordenação 5.3. O método Shell-Sort 5.4. O método Quick-Sort 2
3 5.1 INTRODUÇÃO Ordenação é uma atividade importantíssima em processamento automático de informações. Que tal procurar Um nome numa lista telefônica Um nome numa lista de contas bancárias Uma palavra em um dicionário lingüístico se as relações não estiverem em ordem alfabética? 3
4 O processo de ordenação se aplica a um conjunto de objetos em que se possa verificar entre eles a relação (menor ou igual), ou (maior ou igual). Os conjuntos mais comuns são vetores de Números Nomes ou cadeias de caracteres em geral 4
5 Vetores de estruturas também podem ser ordenados Exemplo: relação com diversas informações sobre os funcionários de uma empresa: 5
6 Este vetor pode ser ordenado por qualquer campo dessas estruturas: Ordem alfabética dos nomes ou dos setores Ordem crescente ou decrescente de salários ou de idade O campo de um vetor de estruturas usado para ordená-lo 6 é denominado chave da ordenação.
7 Existem vários algoritmos para fazer ordenação de vetores: Alguns mais simples, porém ineficientes Outros mais eficientes, porém mais complexos Alguns critérios para julgar a eficiência dos algoritmos de ordenação: Número de comparações de chaves Número de movimentações de elementos 7
8 O tempo de comparação depende da chave usada: Para números, basta um dos operadores ou ; Para cadeias de caracteres, usa-se funções para compará-las; exemplo: strcmp da linguagem C Há casos de chaves múltiplas, como a ordenação por idade, sendo dada a data de nascimento: Compara-se primeiramente o ano, depois o mês e finalmente o dia Nestes casos, a comparação é mais complexa e pode ser conveniente um subprograma específico 8
9 O tempo de movimentação depende do tipo e tamanho dos elementos do vetor a ser ordenado: Para números, a movimentação é pequena Para grandes estruturas, há grande movimentação de dados 9
10 No caso de grandes estruturas, usa-se um vetor de ponteiros, cada um para uma estrutura do vetor Pont Nome Data de Nascimento Setor Salário Dia Mês Ano Gilberto Almox 850 Antonio Admin 2300 Pedro Fabric 1050 Augusto Diret 8000 Claudio Ferr Marcos Recep 850 Nilton Proj 2300 Vicente Contr
11 Para a ordenação basta alterar os apontamentos, evitando-se a movimentação dessas estruturas Pont Nome Data de Nascimento Setor Salário Dia Mês Ano Gilberto Almox 850 Antonio Admin 2300 Pedro Fabric 1050 Augusto Diret 8000 Claudio Ferram Marcos Recep 850 Nilton Proj 2300 Vicente Contr
12 No restante deste capítulo, para maior simplicidade, os algoritmos irão atuar sobre vetores de inteiros. A seguinte declaração será usada por esses algoritmos: typedef int vetor [nmax] (nmax é o número máximo de elementos dos vetores) Para vetores de outros tipos, basta alterar as comparações e os movimentos de elementos. São apresentados a seguir três métodos simples de ordenação e, depois, quatro outros mais eficientes. 12
13 5.2 MÉTODOS SIMPLES DE ORDENAÇÃO Tais métodos são considerados lentos 0(n 2 ) no pior caso e no caso médio) São usados para ordenar vetores pequenos São apresentados aqui três desses métodos: Bubble-Sort Insertion-Sort Selection-Sort 13
14 5.2.1 Bubble-Sort O método consiste em: Percorrer o vetor várias vezes Durante cada percurso, efetuar troca de posição de elementos adjacentes, caso o elemento da esquerda seja maior que o da direita Se, durante um dos percursos, não houver trocas, considera-se que o vetor está ordenado Em cada percurso, um elemento atinge sua posição definitiva 14
15 Exemplo: seja o vetor abaixo e o método em seu início V i (cursor para percorrer o vetor várias vezes) p (limitante de i a cada percurso) trocou (semáforo que acende quando há troca) 15
16 Não trocar i V p trocou 16
17 Não trocar i V p trocou 17
18 Trocar i V p trocou 18
19 Trocar i V p trocou 19
20 Trocar i V p trocou 20
21 Não trocar i V p trocou 21
22 Trocar i V p trocou 22
23 Trocar i V p trocou 23
24 Trocar i V p trocou 24
25 95 em sua posição definitiva trocou acesa: começar novo percurso retroceder p V p trocou 25
26 Não trocar i V p trocou 26
27 Trocar i V p trocou 27
28 Trocar i V p trocou 28
29 Não trocar i V p trocou 29
30 Não trocar i V p trocou 30
31 Não trocar i V p trocou 31
32 Trocar i V p trocou 32
33 Não trocar i V p trocou 33
34 trocou acesa: iniciar novo percurso V p trocou 34
35 Trocar i V p trocou 35
36 Trocar i V p trocou 36
37 Não trocar i V p trocou 37
38 Não trocar i V p trocou 38
39 Não trocar i V p trocou 39
40 Trocar i V p trocou 40
41 Não trocar i V p trocou 41
42 trocou acesa: novo percurso V p trocou 42
43 Não trocar i V p trocou 43
44 Não trocar i V p trocou 44
45 Não trocar i V p trocou 45
46 Não trocar i V p trocou 46
47 Não trocar i V p trocou 47
48 Não trocar i V p trocou 48
49 trocou apagada: vetor ordenado V trocou 49
50 A função BubbleSort: void BubbleSort (int n, vetor V) { } int i, p; logic trocou; for (p = n-2, trocou = TRUE; p >= 0 && trocou; p--) for (trocou = FALSE, i = 0; i <= p; i++) if (V[i] > V[i+1]) { } Trocar (&V[i], &V[i+1]); trocou = TRUE; void Trocar (int *x, int *y) { } int temp; temp = *x; *x = *y; *y = temp; A cada vez que a condição do if se verificar, haverá movimentação de 3 elementos 50
51 5.2.2 Insertion-Sort O método considera o vetor sempre dividido em duas partes: a parte ordenada, do lado esquerdo, e a parte desordenada, do lado direito. Inicialmente, a parte ordenada contém apenas V[0]; depois, cada elemento da parte desordenada é inserido na parte ordenada, mantendo a ordenação A cada elemento a ser inserido, percorre-se a parte ordenada até encontrar a posição correta para inserção. 51
52 Exemplo: seja o vetor abaixo e o método no início da inserção de um elemento genérico V (cursor para percorrer a parte ordenada) j i (cursor para o elemento a ser inserido) Parte ordenada Parte desordenada aux 8 aux = V[i] 52
53 aux < V[j]: V[j+1] recebe V[j]; retroceder j i V j Parte ordenada Parte desordenada aux 8 aux = V[i] 53
54 aux < V[j]: V[j+1] recebe V[j]; retroceder j i V j Parte ordenada Parte desordenada aux 8 aux = V[i] 54
55 aux < V[j]: V[j+1] recebe V[j]; retroceder j i V j Parte ordenada Parte desordenada aux 8 aux = V[i] 55
56 aux >= V[j]: V[j+1] recebe aux; avançar a parte ordenada i V j Parte ordenada Parte desordenada aux 8 aux = V[i] 56
57 i V Parte ordenada aux 8 Parte desordenada O mesmo se repete até que tudo fique ordenado aux = V[i] 57
58 A função InsertionSort: void InsertionSort (int n, vetor V) { } int i, j, aux; int achou; for (i = 1; i < n; i++) { } aux = V[i]; achou = FALSE; j = i-1; while (j >= 0 &&!achou) if (aux < V[j]) { } V[j+1] = V[j]; j--; else achou = TRUE; if (j+1!= i) V[j+1] = aux; A cada vez que a condição do if se verificar, haverá movimentação de 1 elemento Antes e depois do while mais uma 58
59 5.2.3 Selection-Sort O método consiste em percorrer o vetor várias vezes Durante cada percurso, seleciona o menor elemento, colocando-o em sua posição definitiva. 59
60 Exemplo: seja o vetor abaixo e o método em seu início V i (cursor na posição de colocação do menor elemento do percurso) j (cursor para percorrer o vetor várias vezes, para encontrar o menor elemento do percurso) indmin (destinado a guardar o índice do menor elemento de um percurso) 60
61 Após o 1º percurso: indmin i: trocar V[i] com V[indmin] i V indmin 3 Avançar i 61
62 Após o 2º percurso: indmin i: trocar V[i] com V[indmin] i V indmin 4 Avançar i 62
63 Após o 3º percurso: indmin i: trocar V[i] com V[indmin] i V indmin 3 Avançar i 63
64 i V indmin E assim por diante, até que o vetor fique ordenado 64
65 A função SelectionSort: void SelectionSort (int n, vetor V) { } int i, j, indmin; for (i = 0; i < n-1; i++) { } indmin = i; for (j = i+1; j <= n-1; j++) if (V[j] < V[indmin]) if (indmin!= i) indmin = j; Trocar (&V[i], &V[indmin]); Só ocorre movimentação de elementos quando o índice do menor for encontrado 65
66 5.3 O MÉTODO SHELL-SORT O método Shell-Sort é uma generalização do Insertion- Sort. No Insertion-Sort, a maioria dos deslocamentos de elementos é de apenas uma casa. Se o menor elemento estiver no final do vetor, são necessários n deslocamentos para colocá-lo ordenadamente. Shell-Sort faz movimentos de passos maiores 66
67 O vetor V pode ser assim visualizado: h-1 h h+1 h+2 h h-1 2h 2h+1 2h+2 2h+3 3h-1 3h 3h+1 3h+2 3h+1.. n-1 V O valor de h < n é empírico 67
68 Pode-se dividir V em h sub-vetores intercalados: h-1 h h+1 h+2 h h-1 2h 2h+1 2h+2 2h+3 3h-1 3h 3h+1 3h+2 3h+1.. n-1 V 0 h 2h 3h 1 h+1 2h+1 3h+1 2 h+2 2h+2 3h+2 3 h+3 2h+3 3h+3 h-1 2h-1 3h-1 68
69 O valor de h é inicialmente grande, mas vai caindo até 1 Para cada valor de h, ordena-se cada um desses subvetores pelo Insertion-Sort 0 h 2h 3h 1 h+1 2h+1 3h+1 2 h+2 2h+2 3h+2 3 h+3 2h+3 3h+3 h-1 2h-1 3h-1 69
70 Quando h = 1, tem-se o Insertion-Sort original: Então boa porção do vetor já estará ordenada pelos passos anteriores (maiores valores de h) 0 h 2h 3h 1 h+1 2h+1 3h+1 2 h+2 2h+2 3h+2 3 h+3 2h+3 3h+3 h-1 2h-1 3h-1 70
71 O valor inicial de h e a razão de seu decréscimo é escolhida empiricamente; para cada escolha, um comportamento diferente. 0 h 2h 3h 1 h+1 2h+1 3h+1 2 h+2 2h+2 3h+2 3 h+3 2h+3 3h+3 h-1 2h-1 3h-1 71
72 O algoritmo a seguir escolhe a seguinte seqüência de valores de h, que tem dado bons valores de desempenho:..., 1093, 364, 121, 40, 13, 4, 1 O valor inicial é obtido pela fórmula h(novo) = 3*h(antigo) + 1 até encontrar o maior valor de h < n Os valores seguintes de h são obtidos pela fórmula h(novo) = h(antigo) / 3 72
73 void ShellSort (int n, vetor V) { } int i, j, h, aux; int achou; h = 1; do h = 3*h + 1; while (h < n); do { h = h/3; for (i = h; i <= n-1; i++) { } } while (h > 1); aux = V[i]; j = i; achou = FALSE; while (!achou && j >= h) if (aux < V[j-h]) { } V[j] = V[j-h]; j = j - h; else achou = TRUE; if (j!= i) V[j] = aux; Insertion-Sort de passo h, intercalado 73
74 Comparação entre o número de movimentos de elementos no Insertion-Sort e Shell-Sort, usando vetor de caracteres: a) Insertion-Sort: A S O R T I N G E X A M P L E n o movtos 1 aux n o acumulado movtos 1 Sempre há um movimento para aux S -> aux 74
75 a) Insertion-Sort: A S O R T I N G E X A M P L E n o movtos 3 aux n o acumulado movtos 4 O -> aux; S -> 2 aux -> 1 75
76 a) Insertion-Sort: A O S R T I N G E X A M P L E n o movtos 3 aux n o acumulado movtos 7 R -> aux; S -> 3 aux -> 2 76
77 a) Insertion-Sort: A O R S T I N G E X A M P L E aux T -> aux; n o movtos 1 n o acumulado movtos 8 77
78 a) Insertion-Sort: A O R S T I N G E X A M P L E aux n o movtos 6 n o acumulado movtos 14 78
79 a) Insertion-Sort: A I O R S T N G E X A M P L E aux n o movtos 6 n o acumulado movtos 20 79
80 a) Insertion-Sort: A I N O R S T G E X A M P L E aux n o movtos 8 n o acumulado movtos 28 80
81 a) Insertion-Sort: A G I N O R S T E X A M P L E aux n o movtos 9 n o acumulado movtos 37 81
82 a) Insertion-Sort: A E G I N O R S T X A M P L E aux n o movtos 1 n o acumulado movtos 38 82
83 a) Insertion-Sort: A E G I N O R S T X A M P L E aux n o movtos 11 n o acumulado movtos 49 83
84 a) Insertion-Sort: A A E G I N O R S T X M P L E aux n o movtos 8 n o acumulado movtos 57 84
85 a) Insertion-Sort: A A E G I M N O R S T X P L E aux n o movtos 6 n o acumulado movtos 63 85
86 a) Insertion-Sort: A A E G I M N O P R S T X L E aux n o movtos 10 n o acumulado movtos 73 86
87 a) Insertion-Sort: A A E G I L M N O P R S T X E aux n o movtos 13 n o acumulado movtos 86 87
88 a) Insertion-Sort: A A E E G I L M N O P R S T X aux n o movtos n o acumulado movtos 86 88
89 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A S O R T I N G E X A M P L E aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
90 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A S O R T I N G E X A M P L E aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
91 b) Shell-Sort: Fim da ordenação para h = A E O R T I N G E X A M P L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
92 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E O R T I N G E X A M P L S aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
93 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E O R T I N G E X A M P L S aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
94 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E O R T I N G E X A M P L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
95 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E N R T I O G E X A M P L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
96 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E N G T I O R E X A M P L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
97 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E N G E I O R T X A M P L S aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
98 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E N G E I O R T X A M P L S aux n o movtos 4 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
99 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E A G E I N R T X O M P L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
100 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E A G E I N M T X O R P L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
101 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E A G E I N M P X O R T L S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
102 b) Shell-Sort: Ordenação para h = A E A G E I N M P L O R T X S aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
103 b) Shell-Sort: Fim da ordenação para h = A E A G E I N M P L O R T X S aux n o movtos n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
104 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A E A G E I N M P L O R T X S aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
105 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A E A G E I N M P L O R T X S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
106 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E G E I N M P L O R T X S aux n o movtos 1 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
107 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E G E I N M P L O R T X S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
108 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E E G I N M P L O R T X S aux n o movtos 5 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
109 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E E G I M N P L O R T X S aux n o movtos 6 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
110 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E E G I L M N P O R T X S aux n o movtos 3 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
111 b) Shell-Sort: Ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E E G I L M N O P R T X S aux n o movtos 7 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
112 b) Shell-Sort: Fim da ordenação para h = 1 (Insertion-Sort) A A E E G I L M N O P R S T X aux n o movtos n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total
113 Insertion-Sort: Shell-Sort: n o acumulado de movtos 86 n o acumulado de movtos h = 13 h = 4 h = 1 total No Shell-Sort, o número de movimentos para h = 1 é 29 (86-29=57) 57 movimentos do Insertion-Sort foram compensados com (59-29=30) 30 movimentos do Shell-Sort com h >
114 Observações: Para vetor inicialmente já ordenado, Shell-Sort é pior que Insertion-Sort, devido ao número de comparações Outros métodos simples de ordenação poderiam ser usados para cada valor de h, mas o mais usado é o Insertion-Sort. Há quem use um método para h > 1 e outro para h = 1 114
115 Observações: Referências bibliográficas indicam que o algoritmo anterior é O(n (log n) 2 ) e também O(n 1.5 ). Donald Knuth prova que, mesmo usando apenas 2 valores de h, a saber, (16 n / ϖ) 1/3 e 1 O método resultante é O(n 5/3 ), o que é melhor que o pior caso do Insertion-Sort, que é O(n 2 ). O tempo de execução do algoritmo apresentado não é muito sensível ao estado inicial do vetor, ao contrário do Insertion-Sort que é O(n) para vetor já ordenado e O(n 2 ) para vetor ordenado inversamente. 115
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