Algoritmos de Ordenação. Profº Carlos Alberto T. Batista

Transcrição

1 Algoritmos de Ordenação Profº Carlos Alberto T. Batista

2 Por que ordenar os dados? Encontrar elementos em uma lista torna-se algo simples e fica facilitado quando esses dados estão ordenados; algo como procurar um nome em uma lista em ordem alfabética. (PUGA; RISSETTI, 2009, p.133). A aplicação de técnicas específicas para a classificação de dados garante os mecanismos de manutenção da ordem dos arquivos e a melhora no desempenho das aplicações. (OLIVEIRA; TAVEIRA; BOTINI, 1999, p.50).

3 Como ordenar os dados? Existem diversas técnicas, entre elas: Ordenação por trocas (bubble sort); Ordenação por seleção (selection sort); Ordenação por inserção (insertion sort); Ordenação por intercalação (merge sort); Ordenação quick sort; Ordenação heap sort;

4 Ordenação por trocas Talvez a estratégia mais simples para ordenar um vetor seja comparar pares de itens consecutivos e permutá-los, caso estejam fora de ordem. Em cada fase desse método, um item de maior valor é deslocado para sua posição definitiva no vetor ordenado.

5 Ordenação por trocas Ordenação completa de um vetor pelo método da bolha

6 Ordenação por trocas Então, se um vetor tem n itens, após a primeira fase haverá n - 1 itens a ordenar. Usando a mesma estratégia, após a segunda fase, teremos n - 2 itens, depois n - 3 e assim sucessivamente até que reste um único item. É possível constatar que para ordenar n itens bastam apenas n - 1 fases e que, numa determinada fase i, são realizadas n - i comparações.

7 Ordenação por trocas Análisando a ordenação por trocas (bubble sort), verifica-se que o número total de comparações realizadas é: (n - 1)+(n - 2)+(n - 3) = ½(n 2 - n) Como a cada comparação corresponde uma troca em potencial, no pior caso serão realizadas no máximo ½(n 2 - n) trocas Sua complexidade é, portanto, O(n 2 )

8 Ordenação por troca Resumindo... Efetua sucessivas comparações de elementos dois a dois, com a conseqüente troca desses elementos; Bublle sort Mais conhecida dentre as técnicas Fácil de compreender e de implementar; Baixo desempenho em comparação às outras.

9 Ordenação por seleção O passo básico do selection sort consiste em selecionar o maior valor do vetor e permutá-lo com o último; Repete-se o processo, supondo que o vetor tem um item a menos; Passo Pos. atual Pos. selecionada V[1] V[2] V[3] V[4] V[5] 1º º º º

10 Ordenação por seleção Análisando a ordenação por trocas (selection sort), verifica-se que o número total de comparações realizadas é: (n - 1)+(n - 2)+(n - 3) = ½(n 2 - n) Sua complexidade é, portanto, O(n 2 ) A vantagem é que o número de trocas é sempre O(n), visto que o procedimento de troca é chamado n - 1 vezes.

11 Ordenação por seleção Resumindo... Selection sort Simples e de fácil entendimento; Baixo desempenho para ordenar grandes quantidades de informações.

12 Ordenação por inserção Supõe que um prefixo do vetor jé está ordenado e que o resto está desordenado; Em cada fase, o primeiro item do resto do vetor é removido e inserido em sua posição correta dentro do prefixo ordenado; À medida que a ordenação avança, o prefixo aumenta e o resto diminui, até que todos estejam ordenados;

13 Ordenação por inserção Simulação da ordenação por inserção V[1] V[2] V[3] V[4] V[5]

14 Ordenação por inserção Analisando a ordenação por inserção vemos que o número de comparações no pior caso é ½(n 2 - n), portanto sua complexidade e O(n 2 ). O número de comparações varia de n - 1, quando os itens estão inicialmente em ordem crescente, a ½(n 2 - n) quando os itens estão inicialmente em ordem decrescente. Nos métodos baseados em troca e seleção, esse número é fixo. Ou seja, em geral o método de inserção pode ser um pouco mais eficiente que os outros dois.

15 Ordenação por inserção Resumindo... Ordena um vetor pela inserção de cada elemento em sua posição correta; Insertion sort Implementação simples e fácil de compreender; Divide o vetor em duas partições; Baixa eficiência para ordenar muitos elementos; Pode ser mais eficiente que a ordenação por troca e por seleção.

16 Ordenação por intercalação A operação de intercalação considera que um vetor v[p..r] está dividido em duas partes v[p..q] e v[q+1,r] ordenadas, mas, no todo, ele ainda não está ordenado; A ideia é intercalar os itens dessas duas partes, de modo a garantir que o vetor inteiro fique ordenado. p O vetor como um todo não está ordenado q r 1ª parte ordenada 2ª parte ordenada

17 Ordenação por intercalação O algoritmo de ordenação por intercalação (Merge Sort) utiliza o paradigma dividir e conquistar: Dividir o problema em um determinado número de subproblemas; Conquistar os subproblemas, resolvendo-os recursivamente. Porém, se os tamanhos dos subproblemas forem pequenos o bastante, basta resolver os subproblemas de maneira direta; Combinar as soluções dadas aos subproblemas, a fim de formar a solução para o problema original.

18 Ordenação por intercalação Intuitivamente, o merge sort usa o paradigma de dividir e conquistar da seguinte maneira: Dividir: divide a sequência de n elementos a serem ordenados em duas subsequências de n/2 elementos cada uma. Conquistar: classifica as duas subsequências recursivamente, utilizando a ordenação por intercalação. Combinar: faz a intercalação das duas sequências ordenadas, de modo a produzir a resposta ordenada.

19 Ordenação por intercalação Exemplo da ordenação por intercalação

20 Ordenação por intercalação

21 Ordenação por intercalação Analisando a complexidade O tempo de execução do procedimento merge sort pode ser representado pela seguinte relação de recorrência:

22 Ordenação por intercalação

23 Ordenação por intercalação

24 Ordenação por intercalação

25 Ordenação por intercalação Resumindo... Divide o vetor ao meio, recursivamente, até que o vetor fique com um elemento e estes sejam ordenados e intercalados; Utiliza a técnica da divisão e conquista; É a menor complexidade para algoritmos de ordenação baseado em comparação de itens. O método pode ser considerado ótimo. Merge sort

26 Ordenação quick sort O algoritmo de ordenação rápida, quick sort, faz uso da técnica da divisão e conquista da seguinte forma: Dividir: o vetor v[p..r] é particionado em dois subvetores não vazios v[p..q] e v[q+1..r], tais que cada elemento de v[p..q] é menor ou igual a cada elemento de v[q+1..r]. O índice q (pivô) é calculado como parte do processo de particionamento. Conquistar: os dois subvetores são ordenados por chamadas recursivas ao quick sort. Combinar: durante o processo recursivo, os elementos vão sendo ordenados no próprio vetor.

27 Ordenação quick sort

28 Ordenação quick sort Analisando a complexidade O procedimento partição compara todo os elementos do vetor com o pivô, logo realizará O(n) comparações; O tempo de execução do quick sort depende se o particionamento é ou não balanceado. Se for balanceado é tão rápido quanto o merge sort, caso contrário é tão lento quanto o insertion sort.

29 Ordenação quick sort Analisando a complexidade No pior caso T(n) = T(n-1) + n No melhor caso T(n) = 2T(n/2) + n

30 Ordenação quick sort Analisando a complexidade do pior caso T(n) = T(n-1) + n T(n) = (T(n-1-1)+n) + n = T(n-2)+2n T(n) = ((T(n-1-1-1)+n) + n)+n = T(n-3)+3n... T(n) = T(n-i)+in A recursão termina quando se atinge um vetor de tamanho 1, assim temos T(n-i) = T(1), então: n - i = 1 i = n - 1

31 Ordenação quick sort Analisando a complexidade do pior caso Substituindo i por n -1, temos: T(n) = T(n-i) + in =T(n-(n-1)) + (n-1)n = T(1) + (n-1)n = 1 + n 2 - n n - i = 1 i = n - 1 Portanto, no pior caso a complexidade do quick sort é: O(n 2 )

32 Ordenação quick sort

33 Ordenação quick sort Resumindo... Assim como o merge sort, o quick sort se baseia no paradigma de dividir e conquistar; Escolhe-se um pivô e separam-se os elementos em 2 partes: os elementos menores que o pivô ficam à esquerda e os maiores à direita; O processo é repetido recursivamente.

34 Ordenação heap sort Baseado na estrutura de dados heap; Inicialmente transforma o vetor a ser ordenado em um heap; O primeiro elemento (maior) será trocado com o último, ocupando sua posição definitiva; Repete-se o processo até ordenar todos os elementos.

35 Qual o algoritmo mais eficiente? Adaptado de Ascencio e Araújo, 2010

36 Qual o algoritmo mais eficiente?

37 Qual o algoritmo mais eficiente? Adaptado de Ascencio e Araújo, 2010

38 Qual o algoritmo mais eficiente?

39 Qual o algoritmo mais eficiente?

40 Referências OLIVEIRA, Ricardo de Souza; TAVEIRA, Gilda Aché; BOTINI, Joana. Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Ed. Senac Nacional, PUGA, Sandra; RISSETTI, Gerson. Lógica de programação e estruturas de dados, com aplicações em Java. São Paulo: Pearson, 2009.