Existem duas categorias de algoritmos de ordenação: Os algoritmos de ordenação são avaliados de acordo com os seguintes critérios:

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1 MÉTODOS DE ORDENAÇÃO E PESQUISA ORDENAÇÃO: consiste em arranjar um conjunto de informações semelhantes numa ordem crescente ou decrescente; PESQUISA: consiste em executar uma pesquisa sobre a estrutura de dados até que um valor armazenado seja igual a uma chave de busca. Ordenação: A linguagem C possui uma função de ordenação qsort() que é genérica para todos os tipos de dados. Esta função roda mais lentamente que uma ordenação semelhante que opere sobre um único tipo de dado. É importante o conhecimento dos métodos de ordenação e pesquisa pois possuem lógicas diferentes e suas velocidades de execução são diferentes. Existem duas categorias de algoritmos de ordenação: algoritmos que ordenam matrizes (tanto em memória como em arquivos de acesso aleatório); algoritmos que ordenam arquivos seqüenciais em disco e fita; São três os métodos gerais de ordenação: por troca; por seleção; por inserção. Os algoritmos de ordenação são avaliados de acordo com os seguintes critérios: a velocidade da ordenação das informações no caso médio; a velocidade do melhor e pior caso; o algoritmo apresenta um comportamento natural ou não-natural; o algoritmo rearranja elementos com chaves iguais. A velocidade da classificação está diretamente relacionada com o número de comparações e o número de trocas que ocorrem, com as trocas exigindo mais tempo. Uma comparação ocorre quando o elemento é comparado a outro; uma troca ocorre quando dois elementos ocupam um o lugar do outro. Algumas ordenações produzem variação de tempo de ordenação de um elemento de forma exponencial e outras de forma logarítmica. Diz-se que uma ordenação tem comportamento natural se ela trabalha o mínimo quando a lista já está ordenada, trabalha mais quanto mais desordenada estiver a lista e o maior tempo quando a lista está em ordem inversa. A determinação do quanto uma ordenação trabalha é baseada no número de comparações e trocas que ela deve executar. Para entender por que rearranjar elementos com chaves iguais pode ser importante, imagine um banco de dados como uma lista postal, que é ordenada de acordo com uma chave principal e uma subchave. A chave principal é o CEP e, dentro dos códigos de CEP, o sobrenome é a subchave. Quando um novo endereço for acrescentado à lista e esta for reordenada, as subchaves (isto é, os sobrenomes com o mesmo código de CEP) não devem ser rearranjadas. Para garantir que isso não aconteça, uma ordenação não deve trocar as chaves principais de mesmo valor.

2 ORDENAÇÃO DA BOLHA (BubleSort) Este é o método de ordenação mais conhecido e criticado, devido ao número de trocas e comparações que realiza. Esta ordenação utiliza o método de trocas. Envolve repetidas comparações e, se necessário, a troca de dois elementos adjacentes. Por exemplo: Desejo ordenar a seguinte seqüência: iteração 0 (arquivo original) iteração 1 (compara 30 e 10 e troca bolha é o 30) iteração 2 (compara 30 e 20 e troca bolha é o 30) iteração 3 (compara 30 e 50 nenhuma troca) iteração 4 (compara 50 e 40 e troca bolha é o 50) A idéia básica do algoritmo é percorrer a seqüência várias vezes. Cada passagem consiste em comparar cada elemento da seqüência com seu sucessor (x[i] com x[i + 1]) e trocar os dois elementos se eles não estiverem na ordem correta. O algoritmo para esta troca seria: inteiro vetor[], n; inteiro temp, j, pass; inteiro trocou = VERDADE; 1: para pass=0 até pass < n-1 E trocou = VERDADE passo 1 2: trocou = FALSE; 3: para j=0 até j <n-pass-1 passo 1 4: Se (x[j] > x[j+1]) Então 5: trocou = VERDADE; 6: temp = x[j]; 7: x[j] = x[j+1]; 8: x[j+1]= temp; 9: FimSe 10: FimPara

3 11:FimPara Podemos então, utilizar a lista seqüencial (L3Seq.cpp) que desenvolvemos na aula anterior para implementar este método de ordenação para a lista. A análise da eficiência do método da bolha, em sua implementação mais simples, é bastante trivial. O número de passagens é igual a n-1, onde n é o número de elementos da lista que iremos ordenar. Assim, em uma lista com 10 elementos serão necessárias 9 passagens. Para cada passagem seriam necessárias n-1 comparações (equivaleria a percorrer e comparar toda a lista em cada passagem). Sendo assim, o número total de comparações seria igual a (n-1)*(n-1)=n 2 2n + 1. No caso da lista com 10 elementos o número de comparações seria igual = (100) 2 2(100) + 1 = 81 comparações. O número de trocas, que ocorre dentro da estrutura de comparação SE do algoritmo de ordenação, depende da seqüência inicial do arquivo. Entretanto, o número de trocas não pode ser maior que o número de comparações. Provavelmente, o número de trocas, em vez do número de comparações ocupará a maior parte do tempo na execução do programa. No algoritmo que apresentamos acima foram feitos alguns melhoramentos que possibilitam uma melhor eficiência. Primeiro, como todos os elementos acima de n-i já estão na ordem correta depois de uma iteração i, eles não precisam ser considerados nas iterações posteriores. Sendo assim, se existirem k iterações, o número total de iterações será igual a (n-1) + (n-2) + (n-3) (n-k) que é igual a (2kn - k 2 k)/2. Uma sobrecarga adicional ocorre ao testar a variável condicional trocou (uma vez por passagem) e ao definí-la como VERDADE (uma vez para cada troca). Quando analisamos qualquer ordenação, devemos avaliar o número de comparações para o menor, médio e pior casos. Concluímos que o número de comparações para o método da bolha é sempre o mesmo, porque os dois laços for se repetem o número especificado de vezes, estando a lista inicialmente ordenada ou não. O que irá variar nestes casos é o número de trocas. O tempo de execução do método da bolha é um múltiplo do quadrado do número de elementos. Por isto, é dita ser uma ordenação n-quadrado. Quando aplicado à um grande número de elementos, o algoritmo da bolha é muito ineficiente. Isto ocorre porque o tempo de execução está relacionado com o número de comparações e trocas. Por exemplo: se em uma máquina cada comparação leva um milésimo de segundo (0,001 s), então para ordenar 10 elementos serão gastos 0,05 segundos, para ordenar 100 elementos serão necessários 5 segundos e para ordenar 1000 elementos 500 segundos. Uma pequena lista telefônica com elementos levaria em torno de de segundos ou 1400 horas ou dois meses para ser ordenada. A figura abaixo mostra o gráfico que demonstra a relação entre o número de elementos e o tempo de execução de ordenação do método da bolha.

4 ORDENAÇÃO POR SELEÇÃO A ordenação por seleção seleciona o elemento de menor valor e troca-o pelo primeiro elemento. Então, para os n-1 elementos restantes, é encontrado o elemento de menor chave, trocado pelo segundo elemento e assim por diante. As trocas continuam até os dois últimos elementos. Por exemplo: para a seqüência inicial: passo 0 (seqüência inicial) passo 1 (trocou o menor (10) que estava na posição 3 com a posição 1 (20)) passo 2 (trocou o menor que estava na posição 3 com o que estava na posição 2) passo 3 (trocou o menor que estava na posição 4 com o que estava na posição 3)

5 O algoritmo para este método seria: inteiro a, b, c, t; int trocou; para a=0 até a < tam 1 passo 1 Fim para trocou = FALSO; c = a; t= vetor[a]; para b=a+1 até b<tam passo 1 FimSe fim para Se vetor[b]<t Então Se trocou Então Fim Se c = b; t = vetor[b]; trocou = VERDADE; vetor[c] = vetor[a] vetor[a]=t; A lista linear L3Seq.cpp implementa este algoritmo. Assim como no algoritmo da bolha, este algoritmo possui um laço externo que é executado n-1 vezes e o laço interno ½ n vezes. Como conseqüência, a ordenação por seleção requer ½ (n 2 n) comparações, tornando-a muito lenta para um número de comparações para um grande número de itens. O número de trocas para o melhor e pior casos são: melhor: 3 (n-1); pior : n 2 /4 + 3(n-1). Para o melhor caso, quando a lista está inicialmente ordenada, apenas n-1 elementos precisam ser movimentados e cada movimento requer três trocas. O pior caso aproxima-se do número de comparações. O caso médio é dado pela fórmula n(log n+y), onde y é a constante de Euler, aproximadamente 0, Embora o número de comparações para a ordenação da bolha e para a ordenação por seleção seja o mesmo, o número de trocas, no caso médio, é muito menor para a ordenação por seleção. Contudo, existem ordenações ainda melhores.

6 ORDENAÇÃO POR INSERÇÃO Dentre os algoritmos mais simples de ordenação, este é o último que apresentaremos. Consiste em dividir a seqüência em duas: uma que será a ordenada e a outra onde estão os itens não ordenados que serão escolhidos e inseridos de forma ordenada na primeira seqüência. Exemplo: passo 0: seqüência inicial (40 faz parte da seqüência ordenada e 30, 10 e 20 da seqüência não ordenada) passo 1: 30, que estava na seqüência não ordenada é inserido na seqüência ordenada que passa a ser agora 30 e 40) passo 2: 10, que estava na seqüência não ordenada é inserido na seqüência ordenada que passa a ser agora 10, 30 e 40) passo 3: 20, que estava na seqüência não ordenada é inserido na seqüência ordenada que passa a ser agora 10,20,30 e 40) O algoritmo para a ordenação por inserção: inteiro a, b, t; para a=1 até a < tam passo 1 t = vetor[a]; para b=a-1 até b>=0 E t < item[b] passo -1 item[b+1] = item[b] fim para item[b+1] = t; fim para Este algoritmo é implementado no código da lista linear seqüencial L3Seq.cpp. Ao contrário da ordenação bolha e da ordenação por seleção, o número de comparações que ocorrem durante a ordenação por inserção depende de como a lista está inicialmente ordenada. Se a lista estiver em ordem, o número de comparações será n-1. Se estiver fora de ordem, o número de comparações será ½ (n 2 + n). O número de troca para cada passo será melhor 2(n 1) médio ¼ (n 2 n) pior ½ (n 2 + n) Para o pior caso, a ordenação por inserção é tão ruim quanto a ordenação pelo método da bolha e a ordenação por seleção e, para o caso médio, é somente um pouco melhor. No entanto a inserção tem duas vantagens: ela se comporta naturalmente, isto é, trabalha menos quando o vetor já está ordenado e o máximo quando o vetor está ordenado no sentido inverso. A ordenação por

7 inserção é excelente para listas que estão quase em ordem. A segunda vantagem é que ela não rearranja elementos de mesma chave. Isso significa que uma lista que é ordenada por duas chaves permanece ordenada para ambas as chaves após uma ordenação por inserção. ORDENAÇÕES MAIS EFICIENTES SHELL E QUICKSORT ORDENAÇÃO SHELL Esta ordenação é assim chamada em referência ao seu criador, Donald L. Shell. No entanto, shell em inglês, significa concha, e o algoritmo pode ser associado à idéia de conchas empilhadas. O método geral é derivado da ordenação por inserção e é baseado na diminuição dos incrementos. Considere a figura a seguir extraída do livro C Completo e Total de Herbert Schildt. Nela, inicialmente, todos os elementos que estão três posições afastados um do outro são ordenados. Em seguida, todos os elementos que estão duas posições afastados são ordenados. Finalmente, todos os elementos adjacentes são ordenados. A ordenação shell é eficiente e cada passo aumenta a ordenação dos dados.

8 Algoritmo Ordenação Shell inteiro i, j, gap, x, k; Para k=0 até 5 passo 1 Faça gap=vetor[k] Para i=gap até i<tam Passo 1 Faça x=vetor[i] Para j=i-gap até x<vetor[i] E J>=0 Passo j=j-gap Faça vetor[j+gap] = vetor[j] FimPara vetor[j+gap]=x; FimPara FimPara Fim O laço for mais interno tem duas condições de teste: a comparação x<vetor[j] e o teste j>=0 que evita que os limites da matriz sejam ultrapassados. Essas verificações extras degenerarão até certo ponto o desempenho da ordenação Shell. Outras implementações da ordenação Shell são possíveis. Poderia ter sido utilizada uma implementação com Sentinelas que são variáveis que não fazem parte da matriz que será ordenada, mas que são utilizadas para indicar o menor ou maior valor possível de um elemento. No entanto, usar sentinelas requer um conhecimento específico dos dados, o que limita a generalização da função de ordenação. O estudo do desempenho deste método de ordenação demonstra que o tempo de execução é proporcional a n 1.2, onde n é o número de elementos que serão ordenados. Esta ordenação é bem mais eficiente que as ordenações vistas anteriormente que possuem um comportamento n 2. A próxima figura mostra o comportamento dos métodos de ordenação n 2 e n 1.2.

9 Implementação alternativa em C: void shellsort( int * vetor, int size ){ int i, j, valor; int gap = 1; do {gap = 3*gap+1;} while ( gap < size ); do { gap /= 3; for ( i = gap; i < size; i++ ){ valor = vetor[i]; j = i - gap; while ( j >= 0 && value < vetor[j] ){ vetor [j + gap] = vetor[j]; j - = gap; } vetor [j + gap] = valor; } } while ( gap > 1); }

10 ORDENAÇÃO QUICKSORT Este método de ordenação foi criado por C.A.R. Hoare. De todas as ordenações vistas até agora é a mais eficiente. Ela utiliza o princípio dividir para conquistar como estratégia de ordenação. Baseia-se no método de ordenação por trocas. Esta ordenação baseia-se na idéia de partições ( dividir para conquistar ). O procedimento geral é selecionar um valor, chamado de comparando, e, então, fazer a divisão do vetor em duas seções, com todos os elementos maiores ou iguais ao valor da partição de um lado e os menores do outro. O processo de divisão e comparação é repetido de forma recursiva até que o vetor esteja ordenado. Por exemplo: Estado inicial Passo 1 partição em 40 e rearranjo Passo 2 particionamento das seções e rearranjo (30,20,10 ponto médio = 20 e 40,50,60 ponto médio 50) Estudos mostram que este método de ordenação possui um número médio de comparações igual a n log n e o número médio de trocas í igual a n/6 log n. Estes números são menores em relação aos números dos outros métodos de ordenação que vimos até agora. Por isto este é o método de ordenação mais eficiente. A desvantagem do quicksort é que se o valor do comparando, para cada partição, for o maior valor, então a função quicksort se degenerará em uma ordenação com um tempo de processamento. Geralmente, porém, isto não acontece. PESQUISA Bancos de dados, tabelas ou listas, contém valores armazenados. Para acharmos um valor armazenado devemos fazer uma pesquisa. O valor que iremos buscar na lista chamamos de chave de busca ou chave de pesquisa. Os dois métodos de pesquisa utilizados para fazer uma busca em uma lista linear, tabela ou vetor, são a pesquisa seqüencial e a pesquisa binária.

11 PESQUISA SEQÜENCIAL Este é o método mais simples de busca. Consiste em percorrer a lista a partir do primeiro elemento até que seja encontrado o valor correspondente à chave de busca. Algoritmo para a pesquisa seqüencial: inteiro t Para t=0 até tam Passo 1 Faça Se Chave == vetor[t] Então ENCONTROU Senão NÃO ENCONTROU FimPara A implementação deste algoritmo e que está implementada no programa L3Seq.cpp é a seguinte: int pesqseq(int *vetor, int chave) { register int t; for(t=0; t<tam; ++t) if (chave==vetor[t]) return t; } return -1; /* não encontrou */ A pesquisa seqüencial testará em média ½ n elementos. No melhor caso, testará somente um elemento e, no pior caso, n elementos. Se a informação está armazenada em disco, o tempo de busca poderá ser muito grande. Se os dados estiverem desordenados, a pesquisa seqüencial é o único método possível de busca. PESQUISA BINÁRIA Este método de pesquisa é muito eficiente. No entanto, os dados devem estar ordenados para que a pesquisa binária sobre a estrutura de dados seja realizada. A pesquisa binária utiliza a abordagem dividir para conquistar. O algoritmo primeiro verifica o elemento central. Se esse elemento é maior que a chave de busca, ele testa o elemento central da primeira metade. Este procedimento é repetido de forma recursiva até que o elemento seja encontrado ou que não haja mais elementos para testar.

12 Exemplo: Para encontrar o nr 3: Seqüência inicial lista ordenada O algoritmo deve encontrar inicialmente o ponto médio da seqüência Ponto Medio= 8/2 = A chave de busca (nr 3) é comparado com o Ponto Médio (nr 4). Como 3 é menor que 4, então o número 3 está na seqüência à esquerda de De forma recursiva é encontrado o Ponto Médio da Seção onde está o nr 3. Ponto Medio = 4/2 = 2. Como 3 é maior que dois, ele está à direita de De forma recursiva é encontrado o Ponto Médio da Seção onde está o nr 3. Ponto Medio = 2/2 = 1. O Ponto Médio é igual a 3. Valor encontrado. Algoritmo Pesquisa Binária inteiro inferior, superior, medio; inferior = 0; superior = tamanho -1; Enquanto (inferior <= superior)/2 Faça medio = (superior + inferior)/2; Se (chave <vetor[medio]) Então superior = medio 1 Senao Se (chave > vetor[medio]) inferior = medio + 1 Senao Retorna ENCONTROU (mid) FimSe Fim Enquanto Retorna NAO ENCONTROU Fim

13 Este algoritmo foi implementado no programa L3Seq.cpp int binaria(int *vetor, int chave) { int low, high, mid; low=0; high=tam-1; } while(low<=high) { mid=(low+high)/2; if(chave < vetor[mid]) high = mid - 1; else if(chave>vetor[mid]) low = mid + 1; else return mid; /* encontrou */ } return -1; Em uma pesquisa binária, o número de comparações, no pior caso, é igual a log 2 n No caso médio, o número é um pouco menor e, no melhor caso, o número de comparações é igual a 1.