Método Guloso. Troco mínimo. Paulo Eustáquio Duarte Pinto (pauloedp arroba ime.uerj.br) junho/2012. Troco mínimo. Troco mínimo

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1 Notas de aula da disciplina IME - ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS II Paulo Eustáquio Duarte Pinto (pauloedp arroba ime.uerj.br) Troco mínimo Dados os tipos de moedas de um país, determinar o número mínimo de moedas para dar um troco de valor n. M = {,,,,, } n = O número mínimo de moedas é : T() = + T( - ) = + + T( - ) = + + T( - ) = + T() = junho/ Basta, a cada passo, usar a moeda maior valor possível. de Troco mínimo Mas... nem sempre essa estratégia funciona! M = {,,,,, } n = Usando a estratégia anterior: T() = + T( - ) = + + T( - ) = + + T( - ) = + + T( - ) = + T() = Troco mínimo Quando o método guloso funciona, o algoritmo é, em geral, eficiente. Figurativamente, a solução gulosa consiste em, a cada passo, escolher o melhor pedaço possível e não se arrepender. Para saber se o guloso funciona, é necessário PROVAR que o algoritmo resolve o problema. O resultado é ERRADO, pois é possível dar um troco usando moedas de. Porque o método funciona com as moedas brasileiras? M = {,,,,, }. A tabela abaixo mostra o máximo de moedas de cada tipo usado em um troco mínimo, pois, para cada aumento nesses valores, existe outra opção com menos moedas. Adicionalmente, não se pode usar simultâneamente moedas de e de. () () () () () (). O valor máximo conseguido com as moedas tipos a é. Logo, qualquer troco x > usa tantas moedas de quanto necessário, transformando o problema para um troco y = x - * x/ <.. O valor máximo conseguido com as moedas tipos a é. Logo, qualquer troco x, > x >, usa moeda de, transformando o problema para um troco y = x - <. Porque o método funciona com as moedas brasileiras? M = {,,,,, }. O valor máximo conseguido com as moedas tipos a é. Logo, qualquer troco x, > x >, usa moeda de, transformando o problema para um troco y = x - <.. O valor máximo conseguido com as moedas tipos e é. Logo, qualquer troco x, > x >, usa ou moedas de, transformando o problema para um troco y = x - * x/ <.. O valor máximo conseguido com as moedas do tipo é. Logo, todo valor x, > x > usa moeda de. Conclusão: o troco mínimo obtido pelas considerações anteriores é exatamente aquele obtifo vom o algoritmo guloso. Logo, o método guloso funciona corretamente para esse conjunto de moedas.

2 Troco mínimo - Conjunto Guloso de Moedas Teorema : (Cowen, Cowen & Steinberg) "Suponha que C = {a, a,...a k } seja um conjunto de moedas guloso e seja C ={a, a,...a k, a k+ } e m = a k+ /a k. Então C é guloso sse G(C,m.a k ) m". Obs: ) G(C,m) é o número mínimo de moedas para um troco n, usando C. ) O conjunto C = {} é guloso, pois só gera uma solução. ) Os demais conjuntos são gulosos, pois: C = {,} m = e G(C,) =. C = {,,} m = e G(C,) =. C = {,,,} m = e G(C,) =. C = {,,,,}, m = e G(C,) =. C = {,,,,,}, m = e G(C,) =. Troco mínimo No segundo exemplo, a solução é por PD: M = {,,,,, } n = T() = min(t(-), T(-), T(-))+ () O objetivo da compactação de dados é diminuir o tamanho de uma mensagem codificada. Normalmente os métodos de compactação de dados usam códigos de tamanho variável, para atribuir códigos pequenos para símbolos frequentes e códigos maiores para símbolos raros. A vantagem de um código prefixos é que não existe ambiguidade na decodificação de dados. O código de Huffman é um código ótimo de prefixos de tamanho variável, que utiliza uma árvore na criação do código e na decodificação. Ex: a = ; b = ; c = ; abcbbac é codificado como Árvore de Huffman a b c Cria um código de prefixos de tamanho variável, usando um algoritmo gulosocom complexidade O(n. log n). Árvores de Huffman: árvores estritamente binárias enraizadas, com as codificações nas folhas, usadas na compactação e na descompactação. Algoritmo de Huffman: inicia com uma floresta de folhas, correspondentes aos símbolos e aglutina, sucessivamente, subárvores com soma total de frequências mínima. {(a, ), (b, ), (c, ), (d, ), (e, ) } Símbolo/Freq. Codificação (a, ) (b, ) (c, ) (d, ) (e, ) Árvore de Huffman e d c a b Passo Passo a / b / c / d / e / a / b / c / d / e /

3 {(a, ), (b, ), (c, ), (d, ), (e, ) } {(a, ), (b, ), (c, ), (d, ), (e, ) } Passo a / b / c / d / e / Passo Final a / Passo a / b / c / d / e / b / c / d / e / Tamanho médio do codificação: = Σ d i f i / Σf i = (x+x+x+x+x)/ =. Criar a árvore de Huffman para a seguinte situação: (a, ) (b, ) (c, ) (d, ) (e, ) (f, ) Calcular o tamanho médio da codificação. Idéia do algoritmo: criar a árvore com o auxílio de um Heap Algoritmo: CriaFolhas; CriaHeap (H); Para i de a n-: p H[].arv; Troca(, n-i+); DesceHeap(, n-i); q H[].arv; Aloca(r); r.le p; r.ld q; r.f p.f + q.f; H[].arv r; DesceHeap(, n-i); T H[].arv; Complexidade: O(n.log n) Correção do Algoritmo Lema: Para qualquer árvore de Huffman ótima existe outra árvore equivalente onde os símbolos de menor frequência são irmãos. Teorema: O algoritmo de Huffman é correto. Correção do Algoritmo Teorema: O algoritmo de Huffman é correto. Prova: Indução em n (número de símbolos). Seja T H uma árvore de Huffman e T O uma árvore ótima. Em T H, os símbolos de menor frequência, f e f são irmãos. Caso em T O esses símbolos não sejam irmãos, podemos remanejar para que sejam. Consideremos, respectivamente, as árvores T H ' e T O para n- símbolos onde os dois símbolos de menor frequência foram fundidos. Por hipótese, T O e T O são ótimas. Seria absurdo termos c(t O ) > c(t O ) + f + f, pois poderíamos construir, a partir de T O, uma árvore para n símbolos com custo menor que o de T O. De forma análoga, seria absurdo c(t O ) < c(t O ) + f +f, pois agora T O é que não seria ótima. Portanto, c(t O ) = c(t O )+f +f. Mas c(t H ) = c(t H )+f +f, por construção. Segue-se que c(t H ) = c(t O ) e, portanto, T H também é ótima. Logo, o algoritmo é correto.

4 Situação do heap na execução de Huffman {(a, ), (b, ), (c, ), (d, ), (e, ) } Situação do heap na execução de Huffman b) Passos para fusão das subárvores: b.) Primeira fusão: retira o menor: a) Criação do Heap, usando DesceHeap: b.) Primeira fusão: substitui o segundo menor pela soma + : Situação do heap na execução de Huffman b.) Segunda fusão: retira o menor: b.) Segunda fusão: substitui o segundo menor pela soma +: Situação do heap na execução de Huffman b.) Terceira fusão: retira o menor: b.) Terceira fusão: substitui o segundo menor pela soma + : b.) Última fusão: retira o menor: b.) Última fusão: substitui o segundo menor pela soma +: Outro algoritmo, quando os dados já estão ordenados Usa duas filas Q e Q: Algoritmo: Esvazia filas; Cria raízes para símbolos e enfila em Q; Enquanto (filas não vazias); Se Q vazia e Q só tem um elemento, termina. Senão Obtem subárvores a e a de Q e Q com menores frequências. Desenfila a e a. Junta a = a + a; Enfila a em Q; Fe; A raiz da árvore está no começo de Q. Merge ótimo Dados n arquivos com tamanhos t, t... t n, determinar a sequência ótima (menor número de operações) de merge dos mesmos, para transformar em único arquivo. {,,,, } Fazendo merges da esquerda para a direita: T(n) =(+)+(+)+(+)+(+)= Fazendo merges da direita para a esquerda: T(n) =(+)+(+)+(+)+(+)= A solução ótima requer operações apenas!

5 Merge ótimo Merge ótimo: algoritmo e prova análogos a Huffman {,,,, } Merge ótimo {,,,, } Passo Passo Passo Passo Merge ótimo {,,,, } Merge ótimo Passo Custo do merge ótimo: = (+)+(+)+(+)+(+) = Calcular a melhor e a pior maneira de fazer o merge dos arquivos de tamanho: Calcular o número de operações em cada caso. Seleção de s Dadas n tarefas com datas de início e fim (c, f ), (c, f ),... (c n, f n ), determinar o máximo de tarefas que podem ser executadas por processador. { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Seleção de s Algoritmo: ordenar as tarefas por data de fim e selecionar, gulosamente, tal que cada tarefa em avaliação não conflite com o conjunto já escolhido { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A solução ótima é selecionar tarefas! Uma solução ótima é: (, ), (, ), (, ) e (, )

6 Seleção de s Algoritmo: Ordenar tarefas por data fim; S T[]; r T[].f; Para i de a n: Se (T[i].c > r) Então S S + T[i]; r T[i].f; Complexidade: O(n.log n) Correção do Algoritmo Teorema: O algoritmo de Seleção de s é correto. Prova: Seja S o conjunto encontrado pelo algoritmo e So um conjunto ótimo, ambos ordenados por data de fim. Seja j o primeiro índice tal que as tarefas dos conjuntos sejam diferentes. Então podemos substituir a tarefa to j de So pela t j de S. Podemos fazer isso sucessivamente. Ao final não poderá sobrar nenhuma tarefa em So, pois o algoritmo teria selecionado essa tarefa. Logo, os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos e, portanto, S também é ótimo. Dados dois pontos a e b e n segmentos com extremos (c, f ), (c, f ),... (c n, f n ), determinar o número mínimo de segmentos que cobre o intervalo (a, b). a =, b = { (, ), (,), (, ), (, ), (, ), (, ), (,), (, )} Escrever um algoritmo para determinar se o conjunto de n segmentos S = {(c, f ),...(c n,f n )} cobre ou não o intervalo (a, b). A cobertura mínima é de segmentos! Solução: VerificaCobertura; Ordenar S por c i ; p a; cobre V; Para i de a n: Se (p < b) Então Se (c i > p) Então cobre F Senão Se (f i > p) Então p f i ; Se (p < b) Então cobre F Retornar cobre; a=, b= (S = {(,), (,), (,), (,), (,),(,), (,), (,),(,),(,),(,)} Ordenando: (S'= {(,),(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,),(,)} i c i f i p cobre

7 Determinação da cobertura, supondo-se que o conjunto de segmentos cobre o intervalo dado. Idéia do Algoritmo: Supõe-se que o conjunto de segmentos S cobre o intervalo (a, b) dado (ver exercício). Ordena-se S pelos começos dos segmentos e, para pontos de referência, definidos em ordem crescente, seleciona-se os segmentos que cobrem esses pontos e têm o maior extremo direito. Inicialmente o ponto de referência é a. Cada vez que se escolhe um segmento e acrescenta-se ao conjunto solução R, muda-se o ponto de referência para o final do segmento escolhido. O algoritmo pára quando o ponto de referência é b. Determinação da cobertura, supondo-se que o conjunto de segmentos cobre o intervalo dado. CoberturaMinima; Ordenar S por c i ; R Ø; c -; f -; c n+ ; f n+ ; p a; q ; Para i de a n+: Se (c i > p) Então R R + (c q,f q ); p f q ; q i; Se (p b) Então Sair do loop; Senão Se (f i > f q ) Então q i; Imprimir R; Preencher a tabela de atribuição de valores às variáveis do algoritmo de Cobertura Mínima para os segmentos: (S = {(,), (,), (,), (,), (,),(,), (,), (,),(,),(,),(,)} a=, b= i. c i - f i p - q R Demonstrar a corretude do algoritmo de cobertura mínima de segmentos.. Sequenciamento de s com receita máxima Dadas n tarefas unitárias com datas limite de fim e receitas dadas, (l, r ), (l, r ),... (l n, r n ), determinar a receita máxima que se pode ter, sabendo-se que a receita de uma tarefa só é considerada se ela for realizada dentro do tempo limite. A receita ótima é! T T T T T T l i r i Sequenciamento de s com receita máxima Algoritmo: ordenar as tarefas, de forma decrescente por receita e selecionar, gulosamente, tal que cada tarefa em avaliação não conflite com o conjunto já escolhido. Seleciona T T T T T T T l i r i T l i r i

8 Sequenciamento de s com receita máxima Seleciona T Descarta T Seleciona T Seleciona T Descarta T T T T T T T l i r i T T l i r i T T T l i r i T T T T l i r i Receita máxima = +++= Sequenciamento de s com receita máxima Algoritmo: Complexidade: O(n ) Ordenar tarefas por receita; S ; Para i de a n: Se (ViavelIncluir (S, T[i]) Então Incluir (S, T[i]); Incluir (S, T): inclui ordenadamente por l. ViavelIncluir (S, T): verdadeiro se, à direita do ponto de inclusão nenhuma tarefa T i está em posição j = l i. Correção do Algoritmo Sequenciamento de s com receita máxima Teorema: O algoritmo de Sequenciamento... é correto. Prova: Seja S o conjunto encontrado pelo algoritmo e So um conjunto ótimo, ambos ordenados por data limite. Podemos remanejar as tarefas comuns tal que fiquem em mesma posição nos dois conjuntos. Seja t i a tarefa de receita máxima de S que não está em So. Podemos substituir to i por t i, em So. Ao final do processo, S So. Mas não podemos ter S So nem So S. Portanto S = So, ou seja, S é ótimo. Logo, o algoritmo é correto. Sequenciamento de s com receita máxima Indicar o sequenciamento e a receita ótima para as tarefas: T T T T T l i r i T T T T T Sequenciamento de s com receita máxima Indicar o sequenciamento e a receita ótima para as tarefas: Solução: T T T T T l i r i T Receita máxima = +++++= Sequenciamento de s c/ penalidade mínima Dadas n tarefas unitárias com datas limite de fim e penalidades dadas, (l, p ), (l, p ),... (l n, p n ), determinar a penalidade mínima para realizar todas as tarefas, sabendo-se que a penalidade se aplica quando a tarefa é realizada após o tempo limite. T T T T T T l i p i

9 Sequenciamento de s c/ receita máxima () Dadas n tarefas unitárias com datas limite de fim, receitas e penalidades dadas, (l, r, p ), (l, r, p ),... (l n, r n, p n ), determinar a receita máxima para realizar todas as tarefas, sabendo-se que a penalidade se aplica quando a tarefa é realizada após o tempo limite. l i r i p i T T T T T T Sequenciamento de s c/ penalidade mínima () Dadas n tarefas unitárias com datas limite de fim e penalidades dadas, (l, p ), (l, p ),... (l n, p n ), determinar a penalidade mínima para realizar todas as tarefas, sabendo-se que a penalidade se aplica quando a tarefa é realizada após o tempo limite, diariamente. T T T T T T l i p i Escrever algoritmos para os seguintes problemas Problema : Travessia Tem-se n pessoas para atravessar uma ponte, numa noite escura, e uma única lanterna. No máximo duas pessoas podem atravessar de cada vez. São dados os tempos de travessia de cada um. Qual o tempo mínimo total de travessia? Ex: n= tempos:,,, tempo mínimo =. FIM Problema : Cortes quadrados Tem-se uma chapa retangular de dimensões inteiras p x q e quer-se transformar esse retângulo no mínimo de quadrados, fazendo-se sempre cortes em toda a extensão da chapa. Qual o mínimo de quadrados? Ex: corte de uma chapa x :