CIC 110 Análise e Projeto de Algoritmos I

Transcrição

1 CIC 110 Análise e Projeto de Algoritmos I Prof. Roberto Affonso da Costa Junior Universidade Federal de Itajubá

2 sort AULA 02

3 Ordenação A classificação é um problema de design de algoritmo fundamental. Muitos algoritmos eficientes usam a classificação como uma subrotina, porque geralmente é mais fácil processar dados se os elementos estiverem em uma ordem ordenada. Por exemplo, o problema uma matriz contém dois elementos iguais? É fácil de resolver usando a classificação. Se a matriz contiver dois elementos iguais, eles serão próximos uns dos outros após a classificação, por isso é fácil encontrá-los. Além disso, o problema qual é o elemento mais frequente em uma matriz? Pode ser resolvido da mesma forma.

4 Ordenação Existem muitos algoritmos para classificação, e também são bons exemplos de como aplicar diferentes técnicas de projeto de algoritmo. Os algoritmos de classificação gerais eficientes funcionam no tempo O(n log n) e muitos algoritmos que utilizam a classificação como uma sub-rotina também têm essa complexidade de tempo. Qual seria a ordem do sort no vector?

5 Ordenação O problema básico na classificação é o seguinte: Dada uma matriz que contém n elementos, sua tarefa é classificar os elementos em ordem crescente.

6 Por exemplo o vetor Ordenação Será o seguinte após a classificação:

7 Bubble sort O bubble sort, ou ordenação por flutuação (literalmente "por bolha"), é um algoritmo de ordenação dos mais simples. A ideia é percorrer o vector diversas vezes, e a cada passagem fazer flutuar para o topo o maior elemento da sequência. for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n-1; j++) if (v[j] > v[j+1]) swap(v[j],v[j+1]);

8 Programa com Bubble sort #include <bits/stdc++.h> #define pb push_back using namespace std; int main() vector <int> v; vector <int>:: iterator it; int n, x; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &x); v.pb(x); for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n-1; j++) if (v[j] > v[j+1]) swap(v[j],v[j+1]); for (it = v.begin(); it!= v.end(); ++it) printf("%d ", *it); printf("\n"); return 0;

9 Merge sort O merge sort, ou ordenação por mistura, é um exemplo de algoritmo de ordenação por comparação do tipo dividir-para-conquistar. Como o algoritmo Merge Sort usa a recursividade, há um alto consumo de memória e tempo de execução, tornando esta técnica não muito eficiente em alguns problemas.

10 Programa com Merge sort Programa com Merge sort void Juntar(int vetor[], int ini, int meio, int fim, int vetaux[]) int esq = ini; int dir = meio; for (int i = ini; i < fim; ++i) if ((esq < meio) and ((dir >= fim) or (vetor[esq] < vetor[dir]))) vetaux[i] = vetor[esq]; ++esq; else vetaux[i] = vetor[dir]; ++dir; for (int i = ini; i < fim; ++i) vetor[i] = vetaux[i];

11 Programa com Merge sort void MergeSort(int vetor[], int inicio, int fim, int vetoraux[]) if ((fim - inicio) < 2) return; int meio = ((inicio + fim)/2); MergeSort(vetor, inicio, meio, vetoraux); MergeSort(vetor, meio, fim, vetoraux); Juntar(vetor, inicio, meio, fim, vetoraux); void MergeSort(int vetor[], int tamanho) int vetoraux[tamanho]; MergeSort(vetor, 0, tamanho, vetoraux);

12 Programa com Merge sort int main() int n, v[1001]; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &v[i]); MergeSort(v, n); for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", v[i]); printf("\n"); return 0;

13 Programa com Merge sort Não esqueçam que tem que colocar o cabeçario. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; Será que tem jeito mais simples?

14 Counting sort É um algoritmo de ordenação estável cuja complexidade é O(n). As chaves podem tomar valores entre 0 e M-1. Se existirem k chaves com valor 0, então ocupam as primeiras k posições do vetor final: de 0 a k-1. A ideia básica do counting sort é determinar, para cada entrada x, o número de elementos menor que x. Essa informação pode ser usada para colocar o elemento x diretamente em sua posição no array de saída. Por exemplo, se há 17 elementos menor que x, então x pertence a posição 18. Esse esquema deve ser ligeiramente modificado quando houver vários elementos com o mesmo valor, uma vez que nós não queremos colocar eles na mesma posição.

15 Programa com Counting sort #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define TAM 1000 //Tamanho máximo do maior elemento do vetor void countsort(int vetor[], int n) int ordenado[n + 1]; int VetorInd[TAM + 1], i; memset(vetorind, 0, sizeof(vetorind)); for(i = 0; i < n; ++i) ++VetorInd[vetor[i]]; for (i = 1; i <= TAM; ++i) VetorInd[i] += VetorInd[i-1];

16 Programa com Counting sort for (i = 0; i < n; ++i) ordenado[vetorind[vetor[i]]-1] = vetor[i]; --VetorInd[vetor[i]]; for (i = 0; i < n; ++i) vetor[i] = ordenado[i];

17 Programa com Counting sort int main() int n, v[tam + 1]; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &v[i]); countsort(v, n); for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", v[i]); printf("\n"); return 0;

18 Sorting in C++ Em todas as linguagens de programação atuais, já existe excelente ordenadores. Na linguagem de programação a biblioteca padrão C ++ contém o tipo de função que pode ser facilmente usado para classificar arrays e outras estruturas de dados. Há muitos benefícios em usar uma função da biblioteca. Primeiro, economiza tempo porque não há necessidade de implementar a função. Em segundo lugar, a implementação da biblioteca é certamente correta e eficiente: não é provável que uma função de classificação feita na hora seja melhor.

19 Sorting in C++ O código a seguir classifica um vetor em ordem crescente: vector<int> v = 4, 2, 5, 3, 5, 8, 3; sort(v.begin(),v.end()); Para classificar em ordem decrescente basta usar o código: sort(v.rbegin(),v.rend()); Classificar somente alguma parte do vetor sort(v.begin()+2,v.end()-2);

20 Estrutura definida pelo usuário As estruturas definidas pelo usuário não possuem um operador de comparação automaticamente. O operador deve ser definido dentro da estrutura como um operador de função <, cujo parâmetro é outro elemento do mesmo tipo. O operador deve retornar verdadeiro se o elemento for menor do que o parâmetro e falso de outra forma. Por exemplo, a seguinte estrutura P contém as coordenadas x e y de um ponto. O operador de comparação é definido para que os pontos sejam ordenados principalmente pela coordenada x e secundariamente pela coordenada y.

21 Estrutura definida pelo usuário struct P int x, y; bool operator<(const P &p) if (x!= p.x) return x < p.x; else return y < p.y; ;

22 Função comparação Também é possível fornecer uma função de comparação externa à função de classificação como uma função de retorno de chamada. Por exemplo, a seguinte função de comparação comp classifica strings principalmente por comprimento e secundariamente por ordem alfabética: bool comp(string a, string b) if (a.size()!= b.size()) return a.size() < b.size(); return a < b; Agora, um vetor de strings pode ser classificado da seguinte forma: sort(v.begin(), v.end(), comp);

23 Pesquisa binária Um método geral para procurar um elemento em uma array é usar um loop for que itere através dos elementos do array. Por exemplo, o código a seguir busca um elemento x em um array: for (int i = 0; i < n; i++) if (array[i] == x) // x encontrado no índice i

24 Pesquisa binária A complexidade do tempo dessa abordagem é O(n), porque no pior caso, é necessário verificar todos os elementos do vetor. Se a ordem dos elementos for arbitrária, esta também é a melhor abordagem possível, porque não há informações adicionais disponíveis em que na matriz devemos procurar o elemento x. No entanto, se o vetor estiver ordenado, a situação é diferente. Neste caso, é possível realizar a busca muito mais rápido, porque a ordem dos elementos no vetor orienta a pesquisa. O algoritmo de pesquisa binário a seguir procura de forma eficiente um elemento no vetor ordenado no tempo O(log n).

25 Método 1 A maneira usual de implementar a busca binária se assemelha a procurar uma palavra em um dicionário. A pesquisa mantém uma região ativa no vetor, que inicialmente contém todos os elementos do vetor. Então, uma série de etapas é executada, cada uma das quais metade do tamanho da região. Em cada etapa, a pesquisa verifica o elemento intermediário da região ativa. Se o elemento do meio for o elemento alvo, a busca será encerrada. Caso contrário, a pesquisa recursivamente continua na metade esquerda ou direita da região, dependendo do valor do elemento médio. A ideia acima pode ser implementada da seguinte forma:

26 Método 1 int a = 0, b = n-1; while (a <= b) int k = (a+b)/2; if (array[k] == x) // x encontrado no índice i if (array[k] > x) b = k-1; else a = k+1; Nesta implementação, a região ativa é a... b, e inicialmente a região é 0... N - 1. O algoritmo faz a metade do tamanho da região em cada passo, de modo que a complexidade do tempo é O(log n).

27 Método 2 Um método alternativo para implementar pesquisa binária é baseado em uma maneira eficiente de iterar através dos elementos do vetor. A ideia é fazer saltos e diminuir a velocidade quando nos aproximamos do elemento alvo. A pesquisa passa pelo vetor da esquerda para a direita, e o comprimento de salto inicial é n/2. Em cada passo, o comprimento do salto será dividido pela metade: primeiro n/4, então n/8, n/16, etc., até que finalmente o comprimento seja 1. Após os saltos, o elemento alvo foi encontrado ou sabemos que não existe no vetor. A ideia acima pode ser implementada da seguinte forma:

28 Método 2 int k = 0; for (int b = n/2; b >= 1; b /= 2) while (k+b < n && array[k+b] <= x) k += b; if (array[k] == x) // x encontrado no índice k Nesta implementação, a região ativa é a... b, e inicialmente a região é 0... N - 1. O algoritmo faz a metade do tamanho da região em cada passo, de modo que a complexidade do tempo é O(log n).

29 Função da C++ A biblioteca padrão C ++ contém as seguintes funções baseadas na pesquisa binária e funcionam em tempo logarítmico: lower_bound: retorna um ponteiro para o primeiro elemento da matriz cujo valor é pelo menos x. upper_bound: retorna um ponteiro para o primeiro elemento de matriz cujo valor é maior do que x. equal_range: retorna os dois ponteiros acima.

30 Função da C++ As funções assumem que o vetor está ordenado. Se não existe tal elemento, o ponteiro aponta para o elemento após o último elemento da matriz. Por exemplo, o código a seguir descobre se uma matriz contém um elemento com valor x: auto k = lower_bound(array, array+n, x) - array; if (k < n && array[k] == x) // x encontrado no índice k Então, o código a seguir conta o número de elementos cujo valor é x: auto a = lower_bound(array, array+n, x); auto b = upper_bound(array, array+n, x); printf("%d\n", b - a);

31 Função da C++ Usando equal_range, o código fica mais curto: auto r = equal_range(array, array+n, x); printf("%d\n", r.second - r.first);

32 Encontrando a menor solução Um uso importante para pesquisa binária é encontrar a posição onde o valor de uma função muda. Suponha que desejamos encontrar o menor valor k que seja uma solução válida para um problema. Recebemos uma função ok(x) que retorna true se x for uma solução válida e false caso contrário. Além disso, sabemos que ok(x) é falso quando x < k e verdadeiro quando x k. A situação é a seguinte: x 0 1 k 1 k k + 1 ok(x) false false false true true

33 Encontrando a menor solução Agora, o valor de k pode ser encontrado usando a pesquisa binária: int x = -1; for (int b = z; b >= 1; b /= 2) while (!ok(x+b)) x += b; int k = x+1;

34 Encontrando a menor solução A pesquisa encontra o maior valor de x para o qual ok(x) é falso. Assim, o próximo valor k = x + 1 é o menor valor possível para o qual ok(k) é verdadeiro. O comprimento de salto inicial z deve ser grande o suficiente, por exemplo, algum valor pelo qual sabemos de antemão que ok(z) é verdade. O algoritmo chama a função ok tem tempo O(log z), então a complexidade do tempo total depende da função ok. Por exemplo, se a função funciona no tempo O(n), a complexidade do tempo total é O(n log z).

35 Encontrando o valor máximo A busca em binário também pode ser usada para encontrar o valor máximo para uma função que está aumentando primeiro e depois diminuindo. Nossa tarefa é encontrar uma posição k tal que f(x) < f(x + 1) quando x <k, e f(x) > f(x + 1) quando x k. A ideia é usar a pesquisa binária para encontrar o maior valor de x para o qual f(x) < f(x + 1). Isso implica que k = x + 1 porque f(x + 1) > f(x + 2). O código a seguir implementa a pesquisa:

36 Encontrando o valor máximo int x = -1; for (int b = z; b >= 1; b /= 2) while (f(x+b) < f(x+b+1)) x += b; int k = x+1; Observe que, ao contrário da pesquisa binária ordinária, aqui não é permitido que os valores consecutivos da função sejam iguais. Nesse caso, não seria possível saber como continuar a pesquisa.

37 Exercício UVA 299 UVA 612 UVA UVA UVA UVA UVA Timus 1280 Timus 1546 Timus 1568 Timus 1446 Codeforces 451B Codeforces 362C Codeforces 340D Em Breve no codepit.io