Aula 08. Estruturas de dados Árvore e Grafo

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2 Aula 08 Estruturas de dados Árvore e Grafo 2

3 Árvore Estruturas estudadas até agora não são \ adequadas para representar dados que devem ser dispostos de maneira hierárquica Ex., hierarquia de pastas Árvore genealógica Árvores são estruturas adequadas para representação de hierarquias 3

4 Definição Recursiva de Árvore Um conjunto de nós tal que: existe um nó r, denominado raiz, com zero ou mais sub-árvores, cujas raízes estão ligadas a r; os nós raízes destas sub-árvores são os filhos de r; os nós internos da árvore são os nós com filhos; as folhas ou nós externos da árvore são os nós sem filhos. 4

5 Formas de Representação Representação por parênteses aninhados ( A (B) ( C (D (G) (H)) (E) (F (I)))) 5

6 Subárvore Seja a árvore acima T = {A, B,...} A árvore T possui duas subárvores: Tb e Tc onde Tb = { B } e Tc = {C, D,...} A subárvore Tc possui 3 subárvores: Td, Tf e Te onde Td = {D, G, H}, Tf = {F, I}, Te = {E} As subárvores Tb, Te, Tg, Th, Ti possuem apenas o nó raiz e nenhuma subárvore. 6

7 Exemplo (árvore de expressão) Representação da expressão aritmética: (a + (b * (c / d - e))) 7

8 Conceitos Básico Nós filhos, pais, tios, irmãos e avô Grau de saída (número de filhos de um nó) Nó folha (grau de saída nulo) e nó interior (grau de saída diferente de nulo) Grau de uma árvore (máximo grau de saída) Floresta (conjunto de zero ou mais árvores) 8

9 Conceitos Básico Caminho Uma sequência de nós distintos v1, v2,..., vk, tal que existe sempre entre nós consecutivos (isto é, entre v1 e v2, entre v2 e v3,..., v(k-1) e vk) a relação é filho de ou é pai de é denominada um caminho na árvore. Comprimento do Caminho Um caminho de vk vértices é obtido pela sequência de k-1 pares. O valor k-1 é o comprimento do caminho. Nível ou profundidade de um nó número de nós do caminho da raiz até o nó. 9

10 Conceitos Básico Nível da raiz (profundidade) é 0. Árvore Ordenada: é aquela na qual filhos de cada nó estão ordenados. Assume-se ordenação da esquerda para a direita. Esta árvore é ordenada? 10

11 Conceitos Básico Árvore Cheia: Uma árvore de grau d é uma árvore cheia se possui o número máximo de nós, isto é, todos os nós têm número máximo de filhos exceto as folhas, e todas as folhas estão na mesma altura. Árvore cheia de grau 2: implementação sequencial. Posição do nó Posição dos filho do nó 1 2,3 2 4,5 3 6,7 i (2i, 2i+1) 11

12 Exemplo Árvore binária representando expressões aritméticas binárias: Nós folhas representam os operando Nós internos representam os operadores (3+6)*(4-1)+5 12

13 Árvores Binárias Notação textual a árvore vazia é representada por <> árvores não vazias por <raiz sae sad> Exemplo: <a <b <> <d<><>> > <c <e<><>> <f<><>>> > 13

14 Árvores Binárias Uma árvore em que cada nó tem zero, um ou dois filhos Uma árvore binária é: uma árvore vazia; ou um nó raiz com duas sub-árvores: a subárvore da direita (sad) a subárvore da esquerda (sae) 14

15 Árvores Binárias Representação: ponteiro para o nó raiz Representação de um nó na árvore: Estrutura em C/C++ contendo A informação propriamente dita (exemplo: um caractere, ou inteiro) Dois ponteiros para as sub-árvores, à esquerda e à direita 15

16 Programa #include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct arv { char info; struct arv* esq; struct arv* dir; }; typedef struct arv Arv; 16

17 Programa Arv* arv_criavazia (void); Arv* arv_libera (Arv* a); int arv_vazia (Arv* a); int arv_pertence (Arv* a, char c); void arv_imprime (Arv* a); Arv* arv_criavazia (void){ return NULL; } void arv_imprime (Arv* a){ if (!arv_vazia(a)){ printf("%c ", a->info); arv_imprime(a->esq); arv_imprime(a->dir); } } 17

18 Programa Arv* arv_cria (char c, Arv* sae, Arv* sad){ Arv* p=(arv*)malloc(sizeof(arv)); p->info = c; p->esq = sae; p->dir = sad; return p; } int arv_vazia (Arv* a){ return a==null; } 18

19 Programa Arv* arv_libera (Arv* a){ if (!arv_vazia(a)){ arv_libera(a->esq); arv_libera(a->dir); free(a); } return NULL; } int arv_pertence (Arv* a, char c){ if (arv_vazia(a)) return 0; else return a->info==c arv_pertence(a->esq,c) arv_pertence(a->dir,c); } 19

20 Programa int main() { Arv* a1= arv_cria('d',arv_criavazia(),arv_criavazia()); Arv* a2= arv_cria('b',arv_criavazia(),a1); Arv* a3= arv_cria('e',arv_criavazia(),arv_criavazia()); Arv* a4= arv_cria('f',arv_criavazia(),arv_criavazia()); Arv* a5= arv_cria('c',a3,a4); Arv* a = arv_cria('a',a2,a5 ); arv_imprime(a); printf("\n"); return 0; } 20

21 Programa Saída: a b d c e f 21

22 Programa Acrescentar o pedaço de programa antes do return 0; a->esq->esq = arv_cria('x', arv_cria('y', arv_criavazia(), arv_criavazia()), arv_cria('z', arv_criavazia(), arv_criavazia())); arv_imprime(a); printf("\n"); a->dir->esq = arv_libera(a->dir->esq); arv_imprime(a); printf("\n"); 22

23 Programa Saída: a b d c e f a b x y z d c e f a b x y z d c f 23

24 Ordem do Percurso (Travessia) Pré-ordem: trata raiz, percorre sae, percorre sad exemplo: a b d c e f Ordem simétrica (ou In-Ordem): percorre sae, trata raiz, percorre sad exemplo: b d a e c f Pós-ordem: percorre sae, percorre sad, trata raiz exemplo: d b e f c a 24

25 Programa - Pré-Ordem void arv_preordem (Arv* a); void arv_preordem (Arv* a) { if (!arv_vazia(a)) { processa(a); arv_preordem(a->esq); arv_preordem(a->dir); } } arv_preordem(a); printf("\n"); 25

26 Programa Saída: a b d c e f 26

27 Programa - Pré-Ordem void arv_inordem (Arv* a); void arv_inordem (Arv* a) { if (!arv_vazia(a)) { arv_inordem (a->esq); printf("%c ", a->info); arv_inordem (a->dir); } } arv_inordem(a); printf("\n"); 27

28 Programa Saída: b d a e c f 28

29 Programa - Pré-Ordem void arv_posordem (Arv* a); void arv_posordem (Arv* a) { if (!arv_vazia(a)) { arv_posordem (a->esq); arv_posordem (a->dir); printf("%c ", a->info); } } arv_posordem(a); printf("\n"); 29

30 Programa Saída: d b e f c a 30

31 Programa - Pré-Ordem void arv_inordem (Arv* a); void arv_inordem (Arv* a) { if (!arv_vazia(a)) { arv_inordem (a->esq); printf("%c ", a->info); arv_inordem (a->dir); } } arv_inordem(a); printf("\n"); 31

32 Programa Saída: b d a e c f 32

33 Conceito Propriedade das árvores Existe apenas um caminho da raiz para qualquer nó Altura de uma árvore comprimento do caminho mais longo da raiz até uma das folhas a altura de uma árvore com um único nó raiz é zero a altura de uma árvore vazia é -1 Esforço computacional necessário para alcançar qualquer nó da árvore é proporcional à altura da árvore Exemplo h = 2 33

34 Conceito Árvore Cheia todos os seus nós internos têm duas subárvores associadas número n de nós de uma árvore cheia de altura h n = 2 h

35 Conceito Árvore Degenerada Nós internos têm uma única subárvore associada Vira uma estrutura linear Árvore de altura h tem n = h+1 Altura de uma árvore Importante medida de eficiência (visitação do nó) Árvore com n nós: Altura mínima proporcional a log n (árvore binária cheia) Altura máxima proporcional a n (árvore degenerada) 35

36 Programa Altura da Árvore int max2 (int a, int b); int arv_altura (Arv* a); int max2 (int a, int b) { return (a > b)? a : b; } int arv_altura (Arv* a) { if (arv_vazia(a)) return -1; else return 1 + max2 (arv_altura (a->esq), arv_altura (a->dir)); } 36

37 Exercícios URI 1110, Faça os exercícios de Estruturas do URI. 37

38 Grafo Muitos problemas de programação podem ser resolvidos modelando o problema como um problema de grafo e usando um algoritmo de grafo apropriado. Um exemplo típico de grafo é uma rede de estradas e cidades em um país. Às vezes, porém, o grafo está escondido no problema e pode ser difícil detectá-lo. Agora vamos ver os algoritmos de grafos. Iremos passar por conceitos relacionados a grafos e estudar diferentes maneiras de representar grafos em algoritmos. 38

39 Grafo Muitos problemas de programação podem ser resolvidos modelando o problema como um problema de grafo e usando um algoritmo de grafo apropriado. Um exemplo típico de grafo é uma rede de estradas e cidades em um país. Às vezes, porém, o grafo está escondido no problema e pode ser difícil detectá-lo. Agora vamos ver os algoritmos de grafos. Iremos passar por conceitos relacionados a grafos e estudar diferentes maneiras de representar grafos em algoritmos. 39

40 Terminologia Um grafo consiste em nós e arestas. A variável n indica o número de nós em um grafo e a variável m indica o número de arestas. Os nós são numerados usando números inteiros 1, 2,, n. Por exemplo, o seguinte gráfico consiste em 5 nós e 7 bordas:

41 Terminologia Um caminho leva do nó a ao nó b através das bordas do grafo. O comprimento de um caminho é o número de arestas nele. Por exemplo, o grafo anterior contém um caminho de comprimento 3 do nó 1 ao nó 5:

42 Conectividade Um gráfico está conectado se houver um caminho entre dois nós. Por exemplo, o seguinte gráfico está conectado:

43 Conectividade O seguinte gráfico não está conectado, porque não é possível obter do nó 4 para qualquer outro nó:

44 Conectividade As partes conectadas de um grafo são chamadas de componentes. Por exemplo, o seguinte grafo contém três componentes: {1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7} e {8}

45 Conectividade Uma árvore é um grafo conectado que consiste em n nós e n - 1 arestas. Existe um caminho único entre os dois nós de uma árvore. Por exemplo, o seguinte grafo é uma árvore:

46 Direção de Aresta Um grafo é direcionado se as arestas podem ser percorridas apenas em uma direção. Por exemplo, o seguinte gráfico é direcionado: O grafo acima contém um caminho do nó 3 para o nó 5, mas não há caminho do nó 5 para o nó

47 Direção de Aresta Em um grafo com peso, cada aresta recebe um peso. Os pesos são frequentemente interpretados como comprimentos da aresta. Por exemplo, o seguinte grafo com peso:

48 Vizinhos e Graus Dois nós são vizinhos ou adjacentes se houver uma aresta entre eles. O grau de um nó é o número de seus vizinhos. Por exemplo, no grafo a seguir, os vizinhos do nó 2 são 1, 4 e 5, portanto seu grau é

49 Vizinhos e Graus A soma de graus em um gráfico é sempre de 2m, onde m é o número de arestas, porque cada extremidade aumenta o grau de exatamente dois nós por um. Por esse motivo, a soma dos graus é sempre uniforme. Um grafo é regular se o grau de cada nó for uma constante d. Um grafo é completo se o grau de cada nó for n-1, isto é, o grafo contém todas as arestas possíveis entre os nós. 49

50 Coloração Em uma coloração de um grafo, cada nó é atribuído a uma cor para que nenhum nó adjacente tenha a mesma cor. Um grafo é bipartido se for possível colorir usando duas cores. Acontece que um grafo é bipartido exatamente quando não contém um ciclo com um número ímpar de arestas. Por exemplo, o grafo

51 Coloração Em uma coloração de um grafo, cada nó é atribuído a uma cor para que nenhum nó adjacente tenha a mesma cor. Um grafo é bipartido se for possível colorir usando duas cores. Acontece que um grafo é bipartido exatamente quando não contém um ciclo com um número ímpar de arestas. Por exemplo, o grafo

52 Coloração é bipartido, porque pode ser colorido da seguinte maneira:

53 Coloração No entanto, o grafo não é bipartido, porque não é possível colorir o seguinte ciclo de três nós usando duas cores:

54 Representação do Grafo Existem várias maneiras de representar grafos em um algoritmo. A escolha de uma estrutura de dados depende do tamanho do grafo e da forma como o algoritmo o processa. Em seguida, passaremos por três representações comuns. 54

55 Representação por Lista de Adjacência Na representação da lista de adjacência, cada nó x no grafo é atribuído uma lista de adjacência que consiste de nó ligado em outro nó. As listas de adjacências são a maneira mais popular de representar grafos e a maioria dos algoritmos pode ser implementada de forma eficiente usando-os. Uma maneira conveniente de armazenar as listas de adjacência é declarar uma matriz de vetores da seguinte maneira: vector <int> adj[n]; 55

56 Representação por Lista de Adjacência 56

57 Representação por Lista de Adjacência A constante N é escolhida para que todas as listas de adjacência possam ser armazenadas. Por exemplo, o grafo

58 Representação por Lista de Adjacência podem ser armazenados da seguinte forma: adj[1].push_back(2); adj[2].push_back(3); adj[2].push_back(4); adj[3].push_back(4); adj[4].push_back(1); 58

59 Representação por Lista de Adjacência Se o grafo não for direcionado, ele pode ser armazenado de forma semelhante, mas cada aresta é adicionada em ambas as direções. Para um grafo com peso, a estrutura pode ser estendida da seguinte forma: vector<pair<int,int>> adj[n]; 59

60 Representação por Lista de Adjacência Neste caso, a lista de adjacência do nó a contém o par (b, w) sempre quando existe uma aresta do nó a para o nó b com peso w. Por exemplo, o grafo

61 Representação por Matriz de Adjacência Uma matriz de adjacência é uma matriz bidimensional que indica quais arestas o grafo contém. Podemos verificar com eficiência uma matriz de adjacência se houver uma vantagem entre dois nós. A matriz pode ser armazenada como uma matriz int adj[n][n]; 61

62 Representação por Matriz de Adjacência onde cada valor adj[a][b] indica se o grafo contém uma aresta do nó a para o nó b. Se a aresta estiver incluída no grafo, então, adj[a][b] = 1 e, de outra forma, adj[a][b] = 0. Por exemplo, o grafo

63 Representação por Matriz de Adjacência podem ser armazenados da seguinte forma:

64 Representação por Matriz de Adjacência Se o grafo com peso, a representação da matriz de adjacência pode ser estendida para que a matriz contenha o peso da aresta se a aresta existir. Usando essa representação, o grafo

65 Representação por Lista de Arestas Uma lista de arestas contém todas as arestas de um grafo em alguma ordem. Esta é uma maneira conveniente de representar um grafo se o algoritmo processar todas as arestas do grafo e não for necessário para encontrar arestas que começam em um determinado nó. A lista de aresta pode ser armazenada em um vetor vector<pair<int,int>> edges; 65

66 Representação por Lista de Arestas onde cada pair(a, b) denota que há uma ponta do nó a para o nó b. Assim, o grafo

67 Representação por Lista de Arestas podem ser armazenados da seguinte forma: edges.push_back({1,2}); edges.push_back({2,3}); edges.push_back({2,4}); edges.push_back({3,4}); edges.push_back({4,1}); 67

68 Representação por Lista de Arestas Se o grafo é com peso, a estrutura pode ser estendida da seguinte forma: vector<tuple<int,int,int>> edges; 68

69 Representação por Lista de Arestas Cada elemento nesta lista é da forma (a, b, w), o que significa que há uma aresta do nó a para o nó b com peso w. Por exemplo, o grafo

70 Representação por Lista de Arestas pode ser representado da seguinte forma: edges.push_back({1,2,5}); edges.push_back({2,3,7}); edges.push_back({2,4,6}); edges.push_back({3,4,5}); edges.push_back({4,1,2}); 70