AED1 - Árvores. Hebert Coelho. Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás. HC AED1-Árvores 1/49

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1 AED1 - Árvores Hebert Coelho Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás HC AED1-Árvores 1/49

2 Roteiro Árvore; Árvores - Representações; Árvores - Conceitos; Árvores Binárias; Árvores Binárias - Conceitos; Árvores Binárias - Representação; Árvores Binárias - Percursos; Árvores Binárias - Percursos Recursivos; Árvores Binárias de Busca. HC AED1-Árvores 2/49

3 Árvore Material baseado no capítulo 3 e 4 do livro Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 2 o edição, Autores: Jayme Luiz Szwarcter, Lilian Markenzon. HC AED1-Árvores 3/49

4 Aplicações de árvores Diversas aplicações necessitam que se represente um conjunto de objetos e suas relações hierárquicas; Várias são as aplicações de árvores: Relações de descendência; Diagrama hierárquico de uma organização; Campeonatos e modalidades esportivas Taxonomia; Busca de Dados armazenados no computador; Representação de espaço de soluções (ex: jogo de xadrez); Modelagem de algoritmos. HC AED1-Árvores 4/49

5 Exemplo de aplicação de árvores HC AED1-Árvores 5/49

6 Árvore Denição: Uma árvore enraizada T é um conjunto nito de vértices (nós) tais que: T é um conjunto vazio, ou Existe um nó r (raiz) tal que os demais nós são particionados em m > 1 conjuntos não vazios, as subárvores de r e sendo cada um desses conjuntos uma árvore. HC AED1-Árvores 6/49

7 Árvores - Representações a) Representação Hierárquica: Círculos são chamados de nós ou vértices e as retas são chamadas de arestas. b) Parênteses Aninhados: ( 1 ( 3 ( 4 ) ) ( 2 ) ( 5 ) ) HC AED1-Árvores 7/49

8 Árvores - Conceitos B é lho de A; B é tio de D; B é irmão de C; D é sobrinho de E; D, B e E são folhas; A e C são nós intermediários (internos). HC AED1-Árvores 8/49

9 Árvores - Conceitos Raiz é o nó que na representação hierárquica que esta desenhado na parte mais alta da ávore, o único nó que não possui pai; Caminho é uma sequencia de nós de modo que existe sempre uma aresta ligando o nó anterior com o seguinte; HC AED1-Árvores 9/49

10 Árvores - Conceitos A quantidade de arestas entre dois vértices é o comprimento do caminho entre os vértices; A altura de um nó x é a maior altura de um lho de x acrescido de 1, a altura de uma folha é 1; A altura de uma árvore é a altura da raiz; O nível de um nó x é o comprimento do caminho de x até a raiz; Existe um único caminho entre dois nós de uma árvore. Exercício: prove o último item! HC AED1-Árvores 10/49

11 Tipos de Árvores Árvore binária de busca; Árvore AVL; Árvore Rubro-Negra; Árvore B, B+ e B*; Árvore 2-3; Árvore 2-3-4; Quadtree; Octree; etc. HC AED1-Árvores 11/49

12 Árvores Binárias Denição: Uma árvore binária enraizada T é um conjunto nito de vértices (nós) tais que: T é um conjunto vazio, ou Existe um nó r (raiz) tal que os demais nós são particionados em 2 subconjuntos disjuntos, as subárvores esquerda (T e ) e direita (T d ) de r, sendo cada uma delas uma árvore binária. HC AED1-Árvores 12/49

13 Árvores Binárias - Conceitos Exemplo: Subárvore esquerda (T e ) do nó raiz com chave 1; Subárvore direita (T d ) do nó raiz.com chave 1. HC AED1-Árvores 13/49

14 Árvores Binárias - Conceitos n = 9 O número de subárvores nulas (ponteiros nulos) em uma árvore binária com n nós é n+1; Exercício: Prove! HC AED1-Árvores 14/49

15 Árvores Binárias - Conceitos Uma árvore é: Estritamente Binária se cada nó tem 0 ou 2 lhos; Binária Completa se as subárvores nulas estão todas abaixo dos dois últimos níveis; Binária Cheia se as subárvores nulas estão todas abaixo do último nível. HC AED1-Árvores 15/49

16 Árvores Binárias - Conceitos Árvore Estritamente Binária Exercícios: 1 Desenhar todas as árvores binárias distintas para com 3 chaves (ex. 1, 2, 3); 2 Desenhar uma árvore estritamente binária com 11 nós e altura 5. HC AED1-Árvores 16/49

17 Árvores Binárias - Conceitos Árvore Binária Cheia Exercícios: 1 Quantos nós tem uma árvore binária cheia de altura h? 2 Qual o número mínimo de nós em uma árvore binária completa de altura h? HC AED1-Árvores 17/49

18 Árvores Binárias - Conceitos Altura h de uma árvore árvore binária completa com n nós: 2 h 1 n 2 h 1 h = log 2 n + 1 Altura de uma árvore binária com n nós: log 2 n + 1 h n HC AED1-Árvores 18/49

19 Árvores Binárias - Representação Representação de cada nó: info left right 1 Typedef struct no 2 { 3 int info; 4 struct no left; 5 struct no right; 6 } no ; HC AED1-Árvores 19/49

20 Árvores Binárias - Percursos Percursos em árvores binárias são formas sistemáticas de percorrer (visitar) os nós da árvore. Percurso em Nível; Percurso em Pré-Ordem; Percurso em Ordem Simétrica; Percurso em Pós-Ordem. HC AED1-Árvores 20/49

21 Árvores Binárias - Percursos Percurso em Nível: A ideia é visitar um nível a cada vez, de cima para baixo e da esquerda para a direita. + * - A B C / D E HC AED1-Árvores 21/49

22 Árvores Binárias - Percursos 1 Percurso_nivel ( T ) 2 Esvazia(Fila); 3 Enfila (T); 4 5 Enquanto (Fila não estiver Vazia): 6 Desenfila (p); 7 Visita (p); 8 Enfila (p >esq); 9 Enfila (p >dir); 10 Fim enquanto; 11 Fim; + * - A B C / D E HC AED1-Árvores 22/49

23 Árvores Binárias - Percursos Exercício: Mostrar a situação da la na Busca em nível da árvore acima. HC AED1-Árvores 23/49

24 Árvores Binárias - Percursos Percurso em Pré-Ordem (RED): A ideia é visitar, sistematicamente, a raiz, em seguida toda a subárvore esquerda e depois toda a subárvore direita. + * A B - C / D E HC AED1-Árvores 24/49

25 Árvores Binárias - Percursos 1 Pré Ordem ( T ) 2 Esvazia (Pilha); 3 PUSH (T); 4 5 Enquanto(topo!= NULO)//pilha não vazia 6 POP (p); Visita (p); 7 PUSH (p >dir); 8 PUSH (p >esq); 9 Fim enquanto; 10 Fim; + * A B - C / D E HC AED1-Árvores 25/49

26 Árvores Binárias - Percursos Exercício: Mostrar a situação da pilha na Busca em pré-ordem da árvore acima. HC AED1-Árvores 26/49

27 Árvores Binárias - Percursos Percurso em Ordem Simétrica (ERD): A ideia é visitar, sistematicamente, toda a subárvore esquerda, a raiz, e em seguida toda a subárvore direita. A * B + C - D / E HC AED1-Árvores 27/49

28 Árvores Binárias - Percursos 1 Ordem Simétrica ( T ) 2 Esvazia (Pilha); p = T; 3 Enquanto ((p!= NULO) (topo!= NULO)) 4 Enquanto (p!= Nulo): 5 PUSH (p); p = p >esq; 6 Fim enquanto; 7 POP (p); Visita (p); p = p >dir; 8 Fim enquanto; 9 Fim; A * B + C - D / E HC AED1-Árvores 28/49

29 Árvores Binárias - Percursos Exercício: Mostrar a situação da pilha na Busca em ordem simétrica da árvore acima. HC AED1-Árvores 29/49

30 Árvores Binárias - Percursos Percurso em Pós-Ordem (EDR): A ideia é visitar, sistematicamente, toda a subárvore esquerda, em seguida toda a subárvore direita e, por m, a raiz. A B * C D E / - + HC AED1-Árvores 30/49

31 Árvores Binárias - Percursos Exercícios: 1 Implementar o percurso em pós-ordem; 2 Mostrar a situação da pilha na Busca em pós-ordem da árvore acima; 3 Implementar todos os percursos em linguagem C. HC AED1-Árvores 31/49

32 Árvores Binárias - Percursos 1 Pos Ordem ( T ) 2 Esvazia Pilha; p = T; 3 4 Enquanto ((p!= NULO) (topo!= NULO)): 5 Enquanto (p!= Nulo): 6 PUSH (p, 1); p = p >esq; 7 Fim enquanto; 8 9 Enquanto ((p == NULO) && (topo!= NULO)): 10 POP (p, vez); 11 Se ((vez = 1) && (p >dir!= Nulo)) Então 12 PUSH(p, 2); p = p >dir; 13 Senão 14 Visita (p); p!= Nulo; 15 Fim enquanto; 16 Fim enquanto; 17 Fim; HC AED1-Árvores 32/49

33 Árvores Binárias - Percursos Recursivos A maioria dos percursos em árvores binárias são intrinsecamente recursivos, pois cada percurso se constitui em visitar nós especiais e subárvores (problemas menores). Percurso em Pré-Ordem; Percurso em Ordem Simétrica; Percurso em Pós-Ordem. HC AED1-Árvores 33/49

34 Árvores Binárias - Percursos Recursivos Percurso em Pré-Ordem (RED): 1 Visitar a raiz; 2 Visitar a subárvore esquerda em Pré-Ordem; 3 Visitar a subárvore direita em Pré-Ordem. + * A B - C / D E HC AED1-Árvores 34/49

35 Árvores Binárias - Percursos Recursivos + * A B - C / D E 1 Pré Ordem (p); 2 Se (p!= Nulo) Então 3 Visita (p); 4 Pré Ordem (p >esq); 5 Pré Ordem (p >dir); 6 Fim se 7 Fim; Chamada externa: 1 Pré Ordem ( T ) HC AED1-Árvores 35/49

36 Árvores Binárias - Percursos Recursivos Percurso em Ordem Simétrica (ERD): 1 Visitar a subárvore esquerda In-Ordem; 2 Visitar a raiz; 3 Visitar a subárvore direita In-Ordem. A * B + C - D / E HC AED1-Árvores 36/49

37 Árvores Binárias - Percursos Recursivos A * B + C - D / E 1 Ordem simetrica (p); 2 Se(p!= Nulo) Então 3 Ordem simetrica (p >esq); 4 Visita (p); 5 Ordem simetrica (p >dir); 6 Fim se; 7 Fim; Chamada externa: 1 Ordem Simetrica (T); HC AED1-Árvores 37/49

38 Árvores Binárias - Percursos Recursivos Percurso em Pós-Ordem (EDR): 1 Visitar a subárvore esquerda em Pós-Ordem; 2 Visitar a subárvore direita em Pós-Ordem; 3 Visitar a raiz. A B * C D E / - + HC AED1-Árvores 38/49

39 Árvores Binárias - Percursos Recursivos A B * C D E / Pós Ordem (p) 2 Se (p!= Nulo) Então 3 Pós Ordem (p >esq); 4 Pós Ordem (p >dir); 5 Visita (p); 6 Fim se 7 Fim; Chamada externa: 1 Pós Ordem(T); HC AED1-Árvores 39/49

40 Árvores Binárias de Busca São árvores construídas com a seguinte regra: para cada nó r da árvore, todas as chaves da subárvore esquerda de r são menores que a chave de r, e todas as chaves da subárvore direita de r maiores. Exemplo: HC AED1-Árvores 40/49

41 Árvores Binárias de Busca Exercício: Desenhar todas as ABBs distintas para as chaves: 1, 2, 3 e 4, com 1 na raiz? HC AED1-Árvores 41/49

42 Árvores Binárias de Busca Inserções: Sempre é possível inserir uma chave não existente, através de um processo simples. 4, 1, 9, 2, 11, 6, 3, 7, 12, 8, 5, 10 HC AED1-Árvores 42/49

43 Árvores Binárias de Busca Exercício: Desenhar ABBs para as chaves incluídas nas seguintes ordens: a) 1, 2, 3, 4, 5, 12, 11, 10, 6, 9, 7, 8 b) 1, 12, 2, 11, 4, 10, 3, 9, 8, 5, 6, 7 HC AED1-Árvores 43/49

44 Árvores Binárias de Busca O percurso em ordem simétrica obtém as chaves ordenadas. Exemplo: Ordem: Essa propriedade conduz ao método de ordenação TreeSort!!! HC AED1-Árvores 44/49

45 Árvores Binárias de Busca Exercício Colocar as chaves 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 na estrutura abaixo, tal que tenhamos uma ABB. HC AED1-Árvores 45/49

46 Árvores Binárias de Busca Altura de uma ABB Altura mínima: árvore completa. h = log 2 n + 1 = log 2 (n + 1) Altura máxima: árvore degenerada. h = n Altura média (Knuth 73): h 1, 4log 2 n HC AED1-Árvores 46/49

47 Árvores Binárias de Busca Árvore de Decisão da Pesquisa Binária (ADPB) A Pesquisa Binária pode ser melhor compreendida por uma ABB, que representa o processo de busca no vetor. HC AED1-Árvores 47/49

48 Árvores Binárias de Busca Árvore de Decisão da Pesquisa Binária É uma árvore binária completa e pode ser construída recursivamente. HC AED1-Árvores 48/49

49 Árvores Binárias de Busca Exercício: Desenhar a ADPB para n = 11? HC AED1-Árvores 49/49