Árvores. N-árias, Binárias, Busca. Vanessa Maia Berny Mestrado em Ciência da Computação

Transcrição

1 Árvores N-árias, Binárias, Busca Vanessa Maia Berny Mestrado em Ciência da Computação Disciplina de Estrutura de Dados Prof. Dr. Luzzardi, Paulo Roberto Gomes Abril de 2008

2 Árvores N-árias São estruturas de dados não lineares que por sua vez caracterizam dados que tenham relações de hierarquia ou de composição. É composta por um elemento principal (raiz), que possui ligações com outros elementos (galhos ou filhos). Estes galhos levam a outros elementos que também possuem galhos. O elemento que não possui galhos é conhecido como folha ou nó terminal.

3 Características Grau: número de subárvores de um nó. Nível: número de linhas do caminho da raiz ao nó. Florestas Folhas Altura Floresta: conjunto de zero ou mais árvores, as subárvores. Altura: é o nível mais alto da árvore.

4 Representação Hierárquica Conjuntos

5 Representação Expressão Parentetizada Endentação A(B(E())C(F()G())D(H(I()J()K()))) Expressão Não Parentetizada A3 B1 E0 C2 F0 G0 D1 H3 I0 J0 K0

6 Árvores Binárias Uma Árvore Binária T é um conjunto finito de elementos denominados nós ou vértices, tal que: T = 0 e a árvore é dita vazia; ou Existe um nó especial r, chamado raiz de T, os restantes podem ser divididos em dois subconjuntos disjuntos, Tre e Trd, que são as sub-árvores esquerda e direita de r, respectivamente e as quais, por sua vez, também são árvores binárias. Expressão: (3 + 6) * (4-1) + 5

7 Conversão para Binária O nó da sub-árvore à esquerda é filho e o nó da sub-árvore à direita é irmão do filho

8 Representação Contigüidade Física (Adjacência): Os nodos são representados seqüencialmente na memória. Devem ser tomados os seguintes cuidados: Ser alocado espaço suficiente para armazenar a estrutura completa; Os nodos devem ser armazenados em uma lista, onde cada nodo i da árvore ocupa o i-ésimo nodo da lista A B C D E F G A B _ C _

9 Representação Contigüidade Física (Adjacência): Vantagens: Adequado para árvores binárias completas. Útil para o armazenamento em disco ou fita (sequencial). Desvantagens: A estrutura pode ter muitos espaços sem uso. Estrutura possui limite finito no número de nodos.

10 Representação Encadeamento: Os nodos são representados por encadeamento na memória. esq: endereço do nodo filho à esquerda info: contém a informação do nodo dir: endereço do nodo filho à direita

11 Caminhamento em Árvores Consiste em processar de forma sistemática e ordenada cada nó da árvore apenas uma vez, obtendo assim uma seqüência linear de nós. Pré-Fixado: 1. Visita raíz; 2. Caminha para sub-árvore a esquerda; 3. Caminha para sub-árvore a direita. In-Fixado: 1. Caminha para sub-árvore a esquerda; 2. Visita raíz; 3. Caminha para sub-árvore a direita. Pós-Fixado: 1. Caminha para sub-árvore a esquerda; 2. Caminha para sub-árvore a direita; 3. Visita raíz.

12 Caminhamento em Árvores Pré-Fixado: Algoritmo: preordem(struct No *n) { if (n!= null) { visita(n); preordem(n -> esq); preordem(n -> dir); } }

13 Caminhamento em Árvores In-Fixado: Algoritmo: emordem(struct No *n) { if(n!= null) { emordem(n -> esq); visita(n); emordem(n -> dir); } }

14 Caminhamento em Árvores Pós-Fixado: Algoritmo: posordem(struct No *n) { if(n!= null) { posordem(n -> esq); posordem(n -> dir); visita(n); } }

15 Árvore Binária de Busca O objetivo desta árvore é estruturar dados de forma flexível permitindo pesquisa binária. É uma árvore binária onde todos os nós são valores, todo nó a esquerda contêm valores menores ao nó raiz e todo nó a direita contêm valores maiores ao nó raiz. Os valores desta árvore aparecem em ordem crescente quando percorrida em ordem in-fixada (esq -> raiz -> dir).

16 Busca Para a busca em uma árvore binária por um valor específico começamos examinando a raiz. Se o valor for igual a raiz, o valor existe na árvore. Se o valor for menor do que a raiz, então deve buscar na sub-árvore da esquerda, e assim recursivamente em todos os nós da sub-árvore. Se o valor for maior do que a raiz, então deve buscar na sub-árvore da direita. Até alcançar o nó folha da árvore, encontrando ou não o valor requerido. 6 > 3 6 = 6 6 < 8 X = 6

17 Inserção A inserção começa com uma busca; procurando pelo valor, mas se não for encontrado, procuraremos as subárvores da esquerda ou direita como na busca. Eventualmente, alcançaremos a folha, e então inserimos o valor nesta posição. Ou seja nós examinamos a raiz e introduzimos um nó novo na sub-árvore da esquerda se o valor novo é menor do que a raiz, ou na sub-árvore da direita se o valor novo for maior do que a raiz. X = 5 5 > 3 5 < 6 5 > < 8

18 Exclusão A exclusão de um nó é mais complexa. Para excluir o nó de uma árvore binária de busca, considera-se três casos: Folha: Excluindo uma folha é simples, somente remova-o da árvore. Nó com um filho: Excluindo-o e o filho sobe para a posição do pai. Nó com dois filhos: Pode-se substituir o valor do nó a ser retirado pelo valor sucessor (o nó mais a esquerda da sub-árvore direita) ou pelo valor antecessor (o nó mais a direita da sub-árvore esquerda), e aí remove-se o nó sucessor (ou antecessor).

19 Exercício Escreva um programa em C que cria a árvore a(b(d()e())c(f(g()))). O programa deve exibir na tela os três tipos de caminhamentos.